STATYSTYKA MATEMATYCZNA
WERYFIKACJA HIPOTEZ O R ´OWNO´SCI WARTO´SCI OCZEKIWANEJ W DW ´OCH POPULACJACH.
Badana cecha X ma rozk lad normalny N(m1, σ1) w populacji I, z kt´orej pobrano pr´obk¸e o liczno´sci n1, i rozk lad N(m2, σ2) w populacji II, z kt´orej pobrano pr´obk¸e o liczno´sci n2 .
Weryfikacja hipotezy H0 : m1 = m2 na poziomie istotno´sci α.
Model 1 . σ1, σ2 znane.
Obliczamy warto´s´c statystyki testowej
U = x1− x2
qσ12
n1 +σn222 (statystyka U ma rozk lad N(0, 1)).
Hipotez¸e H0 odrzucamy (H1 przyjmujemy) gdy obliczona warto´s´c statystyki U nale˙zy do zbioru krytycznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
W = (−∞, −u1−α2) ∪ (u1−α2, +∞), gdy H1 : m1 6= m2
W = (u1−α, +∞), gdy H1 : m1 > m2
W = (−∞, −u1−α), gdy H1 : m1 < m2. Model 2. σ1, σ2 nieznane (zak ladamy, ˙ze σ1 = σ2).
Obliczamy warto´s´c statystyki testowej
T = x1− x2
qn1s12+n2s22
n1+n2−2 · nn1+n2
1·n2
(statystyka T ma rozk lad t-Studenta o n1+ n2− 2 stopniach swobody).
Hipotez¸e H0 odrzucamy (H1 przyjmujemy ) gdy obliczona warto´s´c statystyki T nale˙zy do zbioru krytycznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
W = (−∞, −t(α, n1+ n2− 2)) ∪ (t(α, n1+ n2− 2), +∞), gdy H1 : m1 6= m2 W = (t(2α, n1+ n2− 2), +∞), gdy H1 : m1 > m2
W = (−∞, −t(2α, n1+ n2− 2)), gdy H1 : m1 < m2. Opis danych:
n1, n2 - liczno´s´c pr´obek pobranych odpowiednio z populacji I i II;
x1, x2 - ´srednia z pr´oby dla populacji I i II;
S1, S2 - odchylenie standardowe z pr´oby dla populacji I i II;
α - poziom istotno´sci; uα - kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0, 1);
t(α, n) - warto´s´c krytyczna (kwantyl rz¸edu 1 − α2) rozk ladu t-Studenta o n stopniach swobody.
Krzysztof Bry´s 1999-2006c 1
