Hipotez¸e H0 odrzucamy (H1 przyjmujemy) gdy obliczona warto´s´c statystyki U nale˙zy do zbioru krytycznego W

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

WERYFIKACJA HIPOTEZ O R ´OWNO´SCI WARTO´SCI OCZEKIWANEJ W DW ´OCH POPULACJACH.

Badana cecha X ma rozk lad normalny N(m₁, σ₁) w populacji I, z kt´orej pobrano pr´obk¸e o liczno´sci n₁, i rozk lad N(m₂, σ₂) w populacji II, z kt´orej pobrano pr´obk¸e o liczno´sci n₂ .

Weryfikacja hipotezy H₀ : m₁ = m₂ na poziomie istotno´sci α.

Model 1 . σ₁, σ₂ znane.

Obliczamy warto´s´c statystyki testowej

U = x₁− x₂

qσ12

n1 +^σ_n²₂² (statystyka U ma rozk lad N(0, 1)).

Hipotez¸e H₀ odrzucamy (H₁ przyjmujemy) gdy obliczona warto´s´c statystyki U nale˙zy do zbioru krytycznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

W = (−∞, −u₁₋^α₂) ∪ (u₁₋^α₂, +∞), gdy H₁ : m₁ 6= m₂

W = (u_1−α, +∞), gdy H₁ : m₁ > m₂

W = (−∞, −u_1−α), gdy H₁ : m₁ < m₂. Model 2. σ₁, σ₂ nieznane (zak ladamy, ˙ze σ₁ = σ₂).

Obliczamy warto´s´c statystyki testowej

T = x1− x2

qn1s12+n2s22

n1+n2−2 · ⁿ_n¹⁺ⁿ²

1·n2

(statystyka T ma rozk lad t-Studenta o n1+ n2− 2 stopniach swobody).

Hipotez¸e H₀ odrzucamy (H₁ przyjmujemy ) gdy obliczona warto´s´c statystyki T nale˙zy do zbioru krytycznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

W = (−∞, −t(α, n₁+ n₂− 2)) ∪ (t(α, n₁+ n₂− 2), +∞), gdy H₁ : m₁ 6= m₂ W = (t(2α, n₁+ n₂− 2), +∞), gdy H₁ : m₁ > m₂

W = (−∞, −t(2α, n₁+ n₂− 2)), gdy H₁ : m₁ < m₂. Opis danych:

n₁, n₂ - liczno´s´c pr´obek pobranych odpowiednio z populacji I i II;

x₁, x₂ - ´srednia z pr´oby dla populacji I i II;

S1, S2 - odchylenie standardowe z pr´oby dla populacji I i II;

α - poziom istotno´sci; u_α - kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0, 1);

t(α, n) - warto´s´c krytyczna (kwantyl rz¸edu 1 − ^α₂) rozk ladu t-Studenta o n stopniach swobody.

Krzysztof Bry´s 1999-2006c 1