LOGIKA MATEMATYCZNA
Zadanie przygotowujące do sprawdzianu zaliczającego wykład 1. Rozstrzygnij czy poniższe zdanie jest tautologią rachunku zdań:
(a) (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ∧ q) ⇒ r) (b) [(p ⇒ q) ∨ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)
(c) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) (d) [(p ⇒ q) ⇒ p] ⇒ q
(e) (q ⇒ r) ⇒ [(p ∨ q) ⇒ (p ∨ r)]
(f) [p ⇒ q) ⇒ [(p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)]
2. Rozstrzygnij czy następujące zdanie jest prawem rachunku kwantyfikatorów:
(a) ∃x (p(x) ∨ q(x)) ⇒ [(∃x p(x)) ∨ (∃x q(x))]
(b) ∀x (p(x) ⇒ q(x)) ⇒ [(∀x p(x)) ⇒ (∀x q(x))]
(c) ∀x (p(x) ⇒ q(x)) ⇒ [(∃x p(x)) ⇒ (∃x q(x))]
3. Rozstrzygnij czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdą jest, że:
(a) A ∪ (B \ C) = [(A ∪ B) \ C] ∪ (A ∩ C)]
(b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (c) A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C
(d) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C (e) (A ∪ B ∪ C) \ (B ∪ C) = A 4. Zbadaj własności poniższej relacji R:
(a) dla dowolnych liczb naturalnych x, y: xRy ⇔ (x = 3 ∨ y = 3) (b) dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y: xRy ⇔ y = x2
(c) dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y: xRy ⇔ x · y = 0
5. Rozstrzygnij czy dla dowolnych x, y, z należących do dowolnej algebry Bolle’a prawdziwe jest następujące zdanie:
(a) x · y + z · (−(x · y)) = z + x · y
(b) (−(x · y) + (−x)) · z + (−(y + z)) + (−(x · y)) = −(x · y) ODPOWIEDZI
1.a) TAK, b) NIE, c) TAK, d) NIE, e) TAK, f) TAK; 2.a) TAK, b) NIE, c) TAK; 3.a) TAK, b) TAK, c) NIE, d) TAK; 4.a) zwrotna, symetryczna, b) antysymetryczna, c) symetryczna. 5.a) TAK b) NIE
PRZYKŁADOWY SPRAWDZIAN ZALICZAJĄCY WYKŁAD 1. Rozstrzygnij czy poniższe zdanie jest tautologią rachunku zdań:
(q ⇒ r) ⇒ [(p ∧ q) ⇒ (p ∧ r)].
2. Rozstrzygnij czy następujące zdanie jest prawem rachunku kwantyfikatorów:
∃x (p(x) ∧ q(x)) ⇒ [(∃x p(x)) ∧ (∃x q(x))].
3. Rozstrzygnij czy dla dowolnych zbiorów A, B prawdą jest, że:
(A ∪ B) \ (A ∩ B) = A \ B.
4. Zbadaj własności poniższej relacji R:
dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y: xRy ⇔ x = y.
Za każde zadanie można uzyskac maksymalnie 10 punktów
ODPOWIEDZI DO ZADAŃ Z PRZYKŁADOWEGO SPRAWDZIANU 1.TAK, 2.TAK, 3.NIE, 4.zwrotna, symetryczna, przechodnia.
