Wykªad 1 Wst¦p

(1)

Wykªad 1 Wst¦p

5 pa¹dziernika 2020

(2)

Czego b¦dziemy si¦ uczy¢ ?

Cz¦±¢ 1. Elementy matematyki ubezpiecze« na »ycie.

Cz¦±¢ 2. Wybrane zagadnienia z ubezpiecze« nie»yciowych.

W ubezpieczeniach na »ycie mamy dwa mechanizmy:

mechanizm procentu skªadanego; akumulacja i dyskontowanie.

w czasie trwania ubezpieczenia, polisa mo»e by¢ zako«czona w losowym momencie. Na przykªad przez ±mier¢ lub inne losowe zdarzenie.

5 pa¹dziernika 2020 2 / 24

(3)

Literatura

Do cz¦±ci pierwszej:

Bªaszczyszyn, B. & Rolski, T. Podstawy matematyki ubezpiecze« na

»ycie, 2004, WNT

Skaªba, M. Ubezpieczenia na »ycie (wyd. I - 1999, wyd. II - 2002:

WNT.

Do cz¦±ci drugiej:

Klugman, S.A., Panjer, H.H. i Willmot, G.E. Loss Models: From Data to Decisions, Fourth Ed., 2012.

Klugman, S.A., Panjer, H.H. i Willmot, G.E. Student Solutions Manual to Accompany Loss Models: From Data to Decisions, Fourth Edition 4th Edition.

(4)

Literatura

Inne ksi¡»ki z tej dziedziny.

Otto, W. Ubezpieczenia maj¡tkowe: Cz¦±¢ I. WNT, 2004.

R. Szekli. Matematyka ubezpiecze« maj¡tkowych i osobowych. Skrypt UWr, 2018.

Klasyczna pozycja z ubezpiecze« na »ycie:

Gerber, H.U. Life Insurance Mathematics, Springer.

(5)

Przykªadowe zadania

Portfel skªada si¦ z 300 polis na caªe »ycie dla 37 latków pªatnych w chwili

±mierci. Ka»da polisa jest wystawiona na sum¦ ubezpieczenia 2000 zª.

Zaªó»my, »e czas trwania »ycia 37-latka jest jednostajny na odcinku (0, 37) oraz mamy dane staªe nat¦»enie stopy procentowej δ = ¹₈.

Jak¡ minimaln¡ kwot¦ nale»y zainwestowa¢ w chwili t=0 aby byªy mo»liwe wypªaty wszystkich polis z tego funduszu z prawdopodobie«stwem 0,9?

Wiadomo, »e Φ(1, 28) = 0, 9.

(6)

Przykªadowe zadania

Modelujemy wielko±¢ odszkodowania za bª¦dy lekarskie rozkªadem z dystrybuant¡

F₄(x) =

0, x < 0,

1 − 0.3e⁻^0.00001x, x ≥ 0.

Dla ryzyka z rozkªadem F₄ obliczy¢ oczekiwan¡ wypªat¦ na szkod¦ je±li jest wspóªpªacenie w wysoko±ci 20% przez ubezpieczonego i dopuszczalny limit w wysoko±ci 20000.

(7)

Elementy analizy prze»ycia

(Ω,Pr)

T - czas »ycia osoby nowourodzonej; T ∼ F , z g¦sto±ci¡ f ; Funkcja prze»ycia S(t) = 1 − F (t) = Pr(T > t)

Zauwa»my, »e f (t) = −S⁰(t)

(8)

Elementy analizy prze»ycia

Przyszªy czas »ycia x-latka; T_x

T_x =_dT − x pod warunkiem, »e T ≥ x Tx ∼Fx, g¦sto±¢ fx, funkcja prze»ycia Sx.

Zauwa»my, »e na tym wykªadzie

S_x(t) = Pr(T_x>t) = Pr(T > x + t|T > x) = S(x + t) S(x) .

(9)

Oznaczenia aktuarialne

Przyj¦te podczas Second International Actuarial Congress; London Maj I898 i potem rozwijane.

tp_x =Pr(T_x>t); w szczególno±ci je±li t = 1 to

1p_x =p_x ,

tq_x =Pr(T_x≤t); w szczególno±ci je±li t = 1 to ₁q_x =q_x,

t|sq_x - prawdopodobie«stwo, »e x-latek prze»yje jeszcze t lat i nast¦pnie umrze w przeci¡gu czasu s.

Fakt Mamy

t|sq_x = _t+sq_x −_sq_x.

(10)

Oznaczenia aktuarialne

Tylko dla info: Pojawia si¦ oznaczenie tp[x]+u - prawdopodobie«stwo, »e osoba, która weszªa do systemu w wieku x, prze»yje u lat i nast¦pnie jeszcze t lat,

podobnie tq[x]+u - prawdopodobie«stwo, »e osoba, która weszªa do

systemu w wieku x, prze»yje u lat i nast¦pnie umrze w przeci¡gu t lat. My b¦dziemy zakªada¢ tzw. hipotez¦ jednorodnej populacji (HJP), »e

tp[x]+u = _tp_x+u.

(11)

Maªe zadanko

Pokaza¢, »e

(∗) _tp[x]+s = _tpx+s

jest równowa»ne

(∗∗) S_x(t) = Pr(T_x>t) = Pr(T > x + t|T > x) = S(x + t) S(x) . Rozwi¡zanie: (∗) → (∗∗) Podstawi¢ w (∗) s = 0.

(∗∗) → (∗) Lewa strona w (∗)

tp_[x]+s =Pr(T_x>s + t|T_x>s) = Pr(Tx>s + t) Pr(T_x>s)

= S_x(s + t)

Sx(s) = S(x + s + t)/S(x) S(x + s)/S(x)

= S(x + s + t)

S(x + t) =_tp_x+s.

(12)

Oznaczenia aktuarialne

Je±li nie jest powiedziane inaczej to zakªadamy HJP.

Fakt

t+sp_x =_sp_x ·_tp_x+s, (∗)

t|sq_x =_sp_x·_tq_x+s, (∗∗) Dowód (*).

Pr(T_x>s + t) = Pr(T_x>s + t|T_x>u)Pr(T_x>s)

= _sp_x ·_tp_x+s. (**)

t|spx =Pr(t < Tx≤t + s) = Pr(t < Tx≤t + s|Tx>t)Pr(Tx>t)

= _tp_x·_sp_x+t.

(13)

Oznaczenia aktuarialne

˚e_x ±rednia przyszªego czasu »ycia.

Fakt

˚e_x = Z ∞

0 tf_x(t) dt =Z ∞ 0 tp_xdt.

Wniosek ˚e_x =

R∞ x S(t) dt

S(x) .

(14)

Nat¦»enie ±miertelno±ci

Niech T b¦dzie czas »ycia osoby nowonarodzonej funkcj¡ prze»ycia S(t) i g¦sto±ci¡ f (t). Funkcj¦

µ(t) = f (t) S(t) nazywamy nat¦»eniem ±miertelno±ci.

(15)

Nat¦»enie ±miertelno±ci

Heurystyka:

Pr(T ≤ t + h|T > t) = S(t) − S(t + h)

S(t) ≈ −S⁰(t) S(t) h

= µ(t)∆

Korzystamy z twierdzenia o warto±ci ±redniej

S(t) − S(t + h) = −S⁰(t)h + o(∆) (−S⁰ =f musi by¢ by¢ ci¡gªa w ototczeniu punktu t).

(16)

Nat¦»enie ±miertelno±ci

Dla x-latka z przyszªym czasem »ycia T_x z funkcj¡ prze»ycia S_x i g¦sto±ci¡

f_x

µ_x(t) = f_x(t) Sx(t)

(17)

Nat¦»enie ±miertelno±ci

Fakt

µ_x(t) = µ(x + t).

Dowód Pami¦tamy, »e

S_x(t) = S(x + t) S(x) Wtedy

f_x(t) = −d dt

S(x + t) S(x) i st¡d

µ_x(t) = (−d dt

S(x + t)

S(x) )/S(x + t)

S(x) ) = −S⁰(x + t)

S(x + t) = µ(x + t).

(18)

Nat¦»enie ±miertelno±ci

Formalnie mo»na zdeniowa¢ funkcj¦ hazardow¡

H(t) = − log S(t) i wtedy µ jest taka funkcj¡, ze dla x > 0

H(x) =Z _x

0 µ(t) dt.

Wa»ny wzór Fakt

S(t) = exp(−Z _t

0 µ(u) du).

Logarytmuj¡c stronami mamy

− logS(t) = Z _t

0 µ(u) du.

Ponadto

S_x(t) = exp(−Z _t

0 µ_x(u) du).

(19)

Analityczne prawa ±miertelno±ci

B¦dziemy wsz¦dzie zakªada¢ HJP.

ω - maksymalny wiek jednostki Prawo de Moivre'a

S(t) = 1 − t

ω, 0 < t ≤ ω.

Wtedy

µ(t) = 1

ω −t, 0 < t < ω.

Mamy

tpx = S(x + t)

S(x) = ω −x − t ω −x .

Uwaga. To s¡ wszystko rozkªady jednostajne: odpowiednio na [0, ω] i [0, ω − x]

(20)

Analityczne prawa ±miertelno±ci

Ten rozkªad nie pasuje do danych demogracznych, ale u»ywamy go w zadaniach bo jest ªatwy do manipulacji analitycznych.

Rozkªad wykªadniczy

S(t) = exp(−At), t ≥ 0.

Wtedy

µ(t) = A.

Zauwa»my !!!

S_x(t) = exp(−At), t ≥ 0 i wobec tego µ_x(t) = A.

(21)

Analityczne prawa ±miertelno±ci

Prawo Gompertza Postulat:

µ(t) = Bc^t, gdzie B > 0, c > 1.

W konsekwencji

S(t) = exp(−m(c^t−1)), gdzie m = B/ log c oraz

tp_x = exp(−m(c^t+x −c^x)).

(22)

Analityczne prawa ±miertelno±ci

Prawo Makehama Postulat:

µ(t) = A + Bc^t, gdzie B > 0, A ≥ −B, c > 1.

W konsekwencji

S(t) = exp(−At − m(c^t−1)), gdzie m = B/ log c. oraz

tpx = exp(−At − m(c^t+x−c^x)).

(23)

Analityczne prawa ±miertelno±ci

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3

20 40 60 80 100

Rysunek:Prawo Gompertza z wyestymowanymi B = 5.2967 × 10⁵, c = 1.0926.

(24)

Analityczne prawa ±miertelno±ci

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014

10 20 30 40

Rysunek:Prawo Gompertza z wyestymowanymi B = 5.2967 × 10⁵, c = 1.0926.