Zadania z matematyki dyskretnej (zestaw 5)
Proszę zapoznać się z relacją kongruencji (przystawania) modulo - R.L Graham, D.E Knuth, O. Patasnik Matematyka konkretna, rozdział 4.6
1. Dla pary liczb 2613 i 2171 proszę znaleźć ich największy wspólny dzielnik za pomocą algorytmu Euklidesa oraz liczby całkowite a, b takie, że
2613a + 2171b = NWD(2613, 2171).
Wskazówka: zastosować rozszerzony algorytm Euklidesa.
2. Proszę znaleźć odwrotność liczby 160 modulo 841 (tzn. taką liczbę a aby 160a ≡ 1 (mod 841)).
3. Liczba naturalna zapisana w systemie dziesiętnym jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Udowodnij i uogólnij tę powszechnie znaną regułę.
4. Niech d = N W D(m, n). Proszę pokazać, że ciąg liczb:
0 mod m, n mod m, 2n mod m, ..., (m − 1)n mod m składa się z d kopii ciągu m/d liczb, będącego pewną permutacją ciągu
0, d, 2d, ..., m − d.
5. Wykorzystując wynik poprzedniego zadania proszę udowodnić (małe :)) twierdzenie Fermata:
n ⊥ p =⇒ np−1 ≡ 1 (mod p), gdzie p jest liczbą pierwszą.
6. W jaki sposób, korzystając z małego twierdzenia Fermata, można pokazać, że liczba 225 + 1 jest złożona?
7. Jak za pomocą dwóch naczyń o pojemnościach 7 i 17 litrów nalać do basenu 19 litrów wody. Zakładamy, że basen ma nieoganiczoną pojemność oraz, że wodę można nalewać i wylewać z basenu tylko pełnymi naczyniami.
Jaka jest minimalna pojemność basenu przy, której można wykonać to zadanie?
Czy da się wykonać to zadanie za pomocą naczyń pojemnościach 6 i 15 litrów?
(Proszę uzasadnić odpowiedź.)
