14. Czy wz´or p =

Zadania z termodynamiki - kurs du˙zy (zestaw 3)

14. Czy wz´or p =

ρv

jest prawdziwy r´ownie˙z w przypadku gazu relatywistycznego?

Jaki jest zwi azek pomi

edzy ci´snieniem a g

esto´sci

a energii w przypadku ultra-relaty-

wistycznym?

15. Wiedz ac, ˙ze w temperaturze pokojowej, pod ci´sniniem atmosferycznym 10

Pa masa azotu zawartego w obj eto´sci V = 1 litr wynosi oko lo 1.15 g obliczy´c ´sredni

a warto´s´c

pr edko´sci cz

asteczek gazu.

16. Za l´o˙zmy, ˙ze cz asteczki gazu s

a sztywnymi kulami o promieniu r ka˙zda. Niech ¯

n oznacza ´sredni a liczb

e cz

asteczek gazu w jednostkowej obj

eto´sci, tzn. ¯

n = N/V , gdzie N jest liczb a wszystkich cz

asteczek, a V obj

eto´sci

a naczynia. Prosz

e osza-

cowa´c ´sredni a drog

e swobodn

a cz

asteczki w gazie, tj. drog

e jak

a przebywa ona

´srednio pomi edzy kolejnymi zderzeniami. Przyjmuj

ac, ˙ze promie´

n cz asteczki azotu

N

jest rz edu 10

cm, prosz e oszacowa´c ´sredni

a drog

e swobodn

a cz

asteczek azotu

dla warunk´ow z poprzedniego zadania. Jaki jest ´sredni czas pomi edzy zderzeniami?

Masa molowa azotu µ

= 14g.

17. Litrowa ba´ nka szklana zawieraj aca azot (N

) o temperaturze pokojowej i ci´snieniu atmosferycznym zosta la umieszczona w komorze pr´o˙zniowej. W ba´ nce znajduje si e

ma la dziurka o ´srednicy oko lo 10

cm. Prosz e oszacowa´c w jakim czasie z ba´

nki ucieknie 1% znajduj acego si

e w niej pocz

atkowo azotu

18. R´ ownowaga mi edzy cz

asteczkami o r´

o˙znych masach. Rozwa˙zmy elastyczne zderzenie mi edzy cz

asteczkami o masach m

i m

. Pr edko´sci tych cz

asteczek przed

zderzeniem wynosz a ~v

i ~v

, a po zderzdeniu odpowiednio ~v

i ~v

. Chcemy obliczy´c jak w wyniku zderzenia zmienia sie energia pierwszej cz asteczki.

(a) Korzystaj ac z zasad zachowania pokaza´c, ˙ze ~v

+ ~v

= ~v

+ ~v

. Wskaz´owka:

v

− v

= (~v − ~v

) (~v + ~v

)

(b) Korzystaj ac z powy˙zszego wzoru i zasady zachowania p

edu wyeliminowa´c ~v

i wyrazi´c ~v

przez pr edko´sci pocz

atkowe ~v

i ~v

.

(c) Pokaza´c, ˙ze w wyniku zderzenia zmiana energii pierwszej cz asteczki wynosi

∆

= 1

2 m

v

− v

2 1



= 4m

m

(m

+ m

)



− (

− 

) + 1

2 (m

− m

) ~v

· ~ v



.

(d) Rozwa˙zmy uk lad du˙zej ilo´sci cz asteczek m

, m

o ustalonej energii ca lkowitej (cz asteczki zamkniete w adiabatycznym pudle o sztywnych ´sciankach), wymie-

niaj acych pomi

edzy sob

a energi

e w zderzeniach elastycznych. Pokaza´c, ˙ze w

stanie r´ownowagi ¯

= ¯

. Wskaz´owka: w stanie r´ownowagi musi by´c ∆

= 0.

19. Ci´ snienie mieszaniny gaz´ ow. Pewien gaz doskona ly sk lada si e z dw´och rodzaj´ow

atom´ow. Niech w jednostce obj eto´sci znajduje si

e n

atom´ow o masie m

oraz n

atom´ow o masie m

. Zak ladamy, ˙ze gaz jest w r´ownowadze, tzn. ´srednia energia atomu ¯ jest taka sama dla obydwu rodzaj´ow atom´ow. Znale´z´c wz´or na ci´snienie mieszaniny. Rezultat wyrazi´c za pomoc a ¯.

20. Przegroda p´ o lprzepuszczalna (zjawisko osmozy). Ba´ nka szklana zawiera ar- gon o temperaturze pokojowej pod ci´snieniem 1 atmosfery. Ba´ nk e t

e umieszczono

w du˙zym zbiorniku zawieraj acym hel o temperaturze pokojowej i ci´snieniu 1 at-

mosfery. Szk lo, z kt´orego zrobiona jest ba´ nka przepuszcza ma le atomy helu, ale nie przepuszcza du˙zych atom´ow argonu.

(a) Opisa´c zachodz acy proces.

(b) Jaki b edzie rozk lad atom´ow helu w stanie r´ownowagi?

(c) Jakie b edzie ci´snienie gazu wewn

atrz ba´

nki po osi agni

eciu stanu r´ownowagi?

Literatura

[1] F. Reif Fizyka statystyczna