Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 5
1. Oblicz pochodne funkcji f (x) = x
2oraz g(x) = x
3wiedząc, że pochodna funkcji wyraża się następująco:
f
0(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f(x)
∆x .
2. Wiedząc, że (sin x)
0= cos x, (cos x)
0= − sin x, (e
x)
0= e
x, (x
n)
0= n · x
n−1, (ln x)
0=
1xoblicz pochodne funkcji:
(a) f (x) = √ 2x, (b) g(x) = sin x cos x,
(c) h(x) = (sin 2x)
5, (d) j(x) = e
7x+3,
(e) k(x) = tg x, (f) v(x) = x
x.
3. Znajdź minimum funkcji f (x) = x
2+ 2 oraz maksimum funkcji g(x) = 2 − x
2. Określ, dla jakich wartości x funkcja jest malejąca, a dla jakich rosnąca. Jaki to ma związek z wartością pochodnej? Zauważ związek między drugą pochodą a wklęsłością i wypukłością funkcji.
4. Czy funkcja f (x) = x
3posiada ekstremum dla x = 0? Przedyskutuj różnice w zachowa- niu pierwszej i drugiej pochodnej dla funkcji g(x) = x
2+ 2 i f (x) = x
3. Jak odróżnić ekstremum funkcji od punktu przegięcia?
5. Korzystając z twierdzenia de l’Hospitala:
x
lim
→x0f (x)
g(x) = lim
x→x0
f
0(x) g
0(x) oblicz granice funkcji dla x → 0:
(a) f (x) =
sin 5xx, (b) g(x) =
e3xsin−3x−125x.
6. Oblicz granicę lim
x→1(
x−11−
ln x1) przekształcając wyrażenie tak, by móc skorzystać z twierdzenia de l’Hospitala.
7. Wyznacz przedziały, w których funkcja y = 1 − 24x + 15x
2− 2x
3jest malejąca.
8. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji y = x
3−3x
2+6x+2 w przedziale [ −1, 1].
9. Zbadaj przebieg zmienności funkcji
f (x) = 5x 1 + x
2.
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni
Zadania domowe
1. Proszę wykazać, że funkcja f (x) = x
5− 5x
3+ 25x nie ma ekstremum.
2. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x +
x2− 2 w przedziale [1, 4].
3. Zbadaj przebieg zmienności funkcji f (x) =
xx+12+2.
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni