• Nie Znaleziono Wyników

wiedząc, że pochodna funkcji wyraża się następująco:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "wiedząc, że pochodna funkcji wyraża się następująco:"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 5

1. Oblicz pochodne funkcji f (x) = x

2

oraz g(x) = x

3

wiedząc, że pochodna funkcji wyraża się następująco:

f

0

(x) = lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f(x)

∆x .

2. Wiedząc, że (sin x)

0

= cos x, (cos x)

0

= − sin x, (e

x

)

0

= e

x

, (x

n

)

0

= n · x

n−1

, (ln x)

0

=

1x

oblicz pochodne funkcji:

(a) f (x) = 2x, (b) g(x) = sin x cos x,

(c) h(x) = (sin 2x)

5

, (d) j(x) = e

7x+3

,

(e) k(x) = tg x, (f) v(x) = x

x

.

3. Znajdź minimum funkcji f (x) = x

2

+ 2 oraz maksimum funkcji g(x) = 2 − x

2

. Określ, dla jakich wartości x funkcja jest malejąca, a dla jakich rosnąca. Jaki to ma związek z wartością pochodnej? Zauważ związek między drugą pochodą a wklęsłością i wypukłością funkcji.

4. Czy funkcja f (x) = x

3

posiada ekstremum dla x = 0? Przedyskutuj różnice w zachowa- niu pierwszej i drugiej pochodnej dla funkcji g(x) = x

2

+ 2 i f (x) = x

3

. Jak odróżnić ekstremum funkcji od punktu przegięcia?

5. Korzystając z twierdzenia de l’Hospitala:

x

lim

→x0

f (x)

g(x) = lim

x→x0

f

0

(x) g

0

(x) oblicz granice funkcji dla x → 0:

(a) f (x) =

sin 5xx

, (b) g(x) =

e3xsin−3x−125x

.

6. Oblicz granicę lim

x→1

(

x−11

ln x1

) przekształcając wyrażenie tak, by móc skorzystać z twierdzenia de l’Hospitala.

7. Wyznacz przedziały, w których funkcja y = 1 − 24x + 15x

2

− 2x

3

jest malejąca.

8. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji y = x

3

−3x

2

+6x+2 w przedziale [ −1, 1].

9. Zbadaj przebieg zmienności funkcji

f (x) = 5x 1 + x

2

.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

(2)

Zadania domowe

1. Proszę wykazać, że funkcja f (x) = x

5

− 5x

3

+ 25x nie ma ekstremum.

2. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x +

x2

− 2 w przedziale [1, 4].

3. Zbadaj przebieg zmienności funkcji f (x) =

xx+12+2

.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

Cytaty

Powiązane dokumenty

Można też rozwiązywać jedno jeszcze zadanie jako dodatkowe (wynik będzie wliczony do punk- tów uzyskanych za aktywność).. W rozwiązaniach proszę jawnie wskazywać na

[r]

[r]

Jakie warto´sci mo˙ze przybiera´c wyznacznik macierzy A?.

4. Stojące na stole akwarium o szerokości w, długości l i wysokości h napełniono wodą po czym przechylono wzdłuż boku l tak, że podstawa akwarium tworzy ze stołem kąt

[r]

Korzystając ze wzorów na pochodną iloczynu i złożenia funkcji oraz ze znajo- mości pochodnych funkcji potęgowych wyprowadzić wzór na pochodną ilorazu.. Obliczyć pochodną

Wskazówki: Co to znaczy, że pochodna jest ­ 2. Marcin