M. Kwapisz (Gdańsk)
Uwaga o ograniczoności rozwiązań układu równań całkowych Yolterry
§ 1. Dla układu liniowych równań całkowych Yolterry postaci
n X
щ{ос) = Ajk(x, t)uk(t)M+bj{x), j = 1, 2, n,
k—la *
Z. Butlewski w pracy [1] podał następujące twierdzenia:
Twierdzenie 1. Jeżeli
1° max \Ajk(x,t)\ < A ( x , t ) dla ( x, t ) eD, П
2° |fy(®)| B(x) dla x e j , gdzie funkcje Ajk(x, t), A( x , t ) , bj{x),
7 = 1
B{x) są ciągłe odpowiednio w zbiorach D, J:
D: a < x < + o o ,
a < t < x, J : a < x < + o o ,
ponadto funkcje A( x , t ) i B(x) są nieujemne,
3° A{x, t) jest nierosnąca względem zmiennej x przy t ustalonym,
I ® n x
JY \щ{х)\ ^ /5(ж)ехр|тг J A ( t t t)dtj dla x e J ,
j ~ 1 a
gdzie fi{x) = m a xB(t).
Twierdzenie 2. Jeżeli założenia 1° i 2° twierdzenia 1 од spełnione, a założenie 3° zastąpione założeniem
3° funkcja A( x , t ) jest niemalejąca względem zmiennej t przy każdej ustalonej wartości zmiennej x oraz B(x) ^ A ( x , x ) dla xcJ,
to n X
^ 1 Uj{x)\ < A{x, a?)exp [n f A( t , t ) dt ) dla x e J .
7 = 1 a
R oczniki PTM — P race M a tem atyczn e VII
2 M. K w a p i s z
§ 2. Analogiczne twierdzenia mogą być podane dla nieco ogólniej
szego układu n nieliniowych równań całkowych Volterry, który w zapisie wektorowym ma postać
X
(1) U(x) = J F [ x , t, u(t)]dt-\-b(x),
a
gdzie funkcje wektorowe F ( x , t , p ) , b(x), przyjmujące wartości z prze
strzeni Rn, są określone odpowiednio w zbiorach G = D x R n, p e R n, J.
W dalszych rozważaniach przyjmujemy następujące określenie normy p e R n, p = {px, p 2, . . . , p n), П
iip ii = 2 ! i^ i* 1=i
Dla wygody, podczas prowadzenia dalszych rozważań i formułowania twierdzeń, już na początku notujemy niezbędne założenia.
Z a ło żen ie H„: 1° istnieje całka Lebesgue’a j j F ( x , t, v(tj)dxdt,
p
gdzie P:
1
a < x < b, a < £ < ж,dla dowolnego Ъ > a i dla dowolnej funkcji wektorowej V (i) całkowalnej w sensie Lebesgue’a w przedziale (a, by,
2 ° \ \ F ( x , t , p 1) —F ( x , t , p 2) \ \ ^ A ( x , t ) \ \ p 1- p 2\\, F ( x , t , 0) = 0 dla { x , t , p x), ( x , t , p 2), (x,i,0)f:G, gdzie funkcja A( x, t ) jest określona i nie- ujemna w zbiorze D, całkowalna w sensie Lebesgue’a względem zmiennej t w przedziale <а,ж> dla każdego x ^ a oraz istnieje całka Lebesgue’a
X
f A{ t , t ) dt dla każdego x e J .
a
3° Funkcja wektorowa b (x) jest całkowalna w sensie Lebesgue’a w każdym przedziale {a, by, b > a oraz istnieje nieujemna funkcja B(x) określona dla x<zJ, ograniczona i całkowalna w sensie Lebesgue’a w każ
dym przedziale (a, by taka, że ||b(a?)|| < B(x) dla x e j .
Z a ło ż en ie H x: funkcja A( x, t) jest nierosnąca względem zmiennej x dla każdej ustalonej wartości zmiennej t.
Z a ło żen ie H 2: 1° funkcja A( x, t) jest niemalejąca względem zmien
nej t dla każdej ustalonej wartości zmiennej x,
2° funkcja A( x, x) jest ograniczona w każdym przedziale <a, by, b > a , 3° B(x) ^ A ( x , x ) dla xę j .
Bozwiązanie układu (1) konstruujemy metodą kolejnych przybliżeń.
Budujemy ciąg funkcji wektorowych {um(x)} przyjmując u0{x) = b(x),
X
um(x) = f F(x, t, Uq(x), m = 1 , 2 , . . .
( 2 )
Na podstawie twierdzenia Fubiniego [2] i założenia H0 stwierdzamy, że ciąg {«т (ж)} jest dobrze określony.
Zbieżność ciągu {um{x)\ ustalamy rozpatrując szereg
oo
(3) %(®)+ £
m=o
§ 3. Niech
p(x) = sup B(t), a^ąt^r wówczas, wobec założenia H0, mamy
K0»)|| < № ) • Korzystając z założeń H0 i otrzymujemy
Г$(ж)1т %
(4) \\um{x)— V i H K № ) — , w = 1 , 2 , . . . , ml
gdzie
X
8(x) = j A (t,t)dt.
a
Nierówność (4) uzasadniamy wykorzystując zasadę indukcji matematycz
nej. Przede wszystkim mamy
X X
\\ux{x) — < j ||F(a?, t, u0(t))\\dt < j A(x, t)\\b(t)\\dt <
a a
x
< j A(t, t)B(t)dt < (3(x)S(x). /
a
Dalej, zakładając, że wzór (4) jest prawdziwy dla liczby naturalnej 1, otrzymujemy
X
INm+l(®)— Um{x)\\ < f A( x, t)\\um(t) — wm_x{t)\\dt
a
r [tf (*)]"* r
A ( t , t ) P ( t ) - - ~ -.dt ^ в ( х ) A (t, t)
J ml J
a a
e M f M c m r +1 ь . ot \
w J a i ; + i )! г = № ) ! ^ т : [« (ot
m ! -di
Powyższe nierówności łącznie z zasadą indukcji matematycznej dowodzą prawdziwości nierówności (4). Szereg
P0*0 ^ = P0*0exP ( f A (h *)<&<) (5)
m!
4 M. K w a p i s z
jest majorantą szeregu (3). Z uwagi na to, że funkcje (5(x) i 8(x) są niema- lejące wnioskujemy, iż szereg (3) jest niemal jednostajnie zbieżny w prze
dziale <tf, +oo). Mamy ponadto następujące oszacowanie :
X
(6) IMaOH ^ /3(ж)ехр | J A (t, t)dt^ dla x * J ,
a
gdzie funkcja wektorowa u(x) jest sumą szeregu (3). Widoczne jest bez
pośrednio, że funkcja wektorowa u(x), równa sumie szeregu (3), jest roz
wiązaniem układu (1). Stwierdzamy również, że funkcja wektorowa u(x) równa sumie szeregu (3) jest jedynym ograniczonym w każdym przedziale
(a, by, b > a, rozwiązaniem układu (1).
Istotnie, przypuśćmy, że istnieje funkcja wektorowa v(x), v(x) Ф u(x), ograniczona w przedziale (a, by, a, i spełniająca układ (1). Wówczas, podobnie jak poprzednio, stosując zasadę indukcji otrzymujemy
[,8(x)]m+1
\\v (x) - um {св)\\ < К (x) - - — —— , m = 0 , 1 , . . . ,
' (m +1)!
gdzie K{x) = sup ||'у(<)||. Z nierówności tej wynika, że v(x) u(x), co jest sprzeczne z przypuszczeniem.
Eezultaty przeprowadzonych rozważań możemy zestawić w postaci twierdzenia.
Twierdzenie 1. Jeżeli spełnione są założenia H0 i I I 1, to układ równań (1) ma jedyne ograniczone w każdym przedziale (a, by, b > a, roz
wiązanie u(x) określone szeregiem (3), oraz zachodzi oszacowanie
X
\\u(x)\\ < /?(ж)ехр A (t, t)di^ dla x e J , a
gdzie fi(x) — sup B(t).
Wniosek 1. Jeżeli spełnione są założenia H0 i H x oraz
X
l i mf t ( x ) < -j-oo, lim j A ( t , t ) d t < + o o ,
•X—> o o X—> o o a
to rozwiązanie układu (I) określone szeregiem (3) jest ograniczone dla x e J .
§ 4. Na podstawie założeń H0 i H 2 mamy
■\\uQ{x)\\ < B( x) ^ A ( x , x ) oraz
(7) \\um( x ) ~ u m_1{x)\\ ф А ( х , х ) ~ ---— , m = 1 , 2 , . . . m !
Prawdziwość oszacowania (7) dowodzimy analogicznie jak nierówności (4).
Szereg
OO „ X
Г$(ж)1 / г \
(8) A( x, x) У --- -— = A( x, x) e xp( f A ( t , t ) d t )
ć-j ml \J !
от=0 a
jest maj or antą szeregu (3). Szereg (3) jest niemal jednostajnie zbieżny w przedziale <a, + oo), a jego suma u(x) jest jedynym rozwiązaniem układu (1) ograniczonym w każdym przedziale <«,&>, b ^ a .
Widoczne jest również, że zachodzi następujące oszacowanie:
X
1И®)11 < A(x, ж)ехр| j A(t , t)dt} dla x e J .
a
Eezultaty powyższych rozważań zestawiamy w postaci twierdzeń^.
Twierdzenie 2. Jeżeli spełnione są założenia H0 i H 2, to układ rów
nań (1) ma jedyne ograniczone w każdym przedziale (a, by, b ^ a, rozwią
zanie ц{х) określone szeregiem (3), oraz zachodzi oszacowanie:
X
||w(£r)|| < A{x, a?)exp|J A(t, t)dt} dla x e J .
a
Wniosek 2. Jeżeli spełnione są założenia H0 i H 2 oraz
X
lim A ( # , & ) < + o o , lim j A ( t , t ) d t < + o o ,
to rozwiązanie układu (1) określone szeregiem (3) jest ograniczone dla xeJ.
Prace cytowane
[1] Z. B u tlew sk i, Sur la limitation des solutions d'un systeme equations inte
grates de Volterra, Ann. Polon. Math. 6 (1959), str. 253-257.
[2] R. S ik o rsk i, Funkcje rzeczywiste, tom I, Warszawa 1958.
M. Квапиш (Гданьск)
ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ
Р Е З Ю М Е
Пусть
X
и(х) = j F (x , t, u{t))dt-\- b(x)
а
нелинейная система интегральных уравнений Вольтерры в векторном представ
лении. Найдены достаточные условия для того, чтобы эта система имела во вся
6 M. K w a p i s z
ком интервале <а, by единое ограниченное решение и(х), данное рядом
где
СО
ио(х )+ £ 1>ТГН1(х)— ит (х)], т=О
а0(ж) = Ь (ж), X
%п(ж) = j F ( x , t, um- 1(t))dt+ и0(х) (Ш = 1 ,2 ,...) ,
а
причем дается оценка нормы ||ад(ж)||
М. Kwapisz (Gdańsk)
A REMARK ON THE BOUNDEDNESS OF SOLUTIONS OF A SYSTEM OF INTEGRAL EQUATIONS OF YOLTERRA
SUMMARY Let
x
u(x) = j F ( x , t, и (f)) dt+ b (x)
a
be a system of n nonlinear integral equations of Yolterra in vector notation. The author finds sufficient conditions under which this system has in every interval (a, by a unique bounded solution и (x), given by the series
where
OO
«о(*) + У [г*т+1(а:)-«т(а!)], m=0
u0 (x ) = b (x),
X
= j F (x , t, um_ i (t))dt+ u0(x) (m — 1 ,2 ,...) ,
a
and gives an estimation of the norm ||ад(ж)||.
