16. Mocne prawo wielkich liczb zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 16.1 Niech X1, X2, ...b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªadzie wykªadniczym E(2). Oblicz granic¦ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn=
Pn i=1Xi2
Pn i=1Xi .
Zad. 16.2 Niech X1, X2, ...b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (−1, 1). Znajd¹ granic¦ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn=
Pn
i=1(X2i−1− X2i)2
Pn
i=1|Xi| .
Zad. 16.3 Niech X1, X2, ...b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªadzie jednostajnym na odcinku (−π2,π2]. Zbadaj zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn=
Pn
i=1(Xi+ 1)2
Pn
i=1cos(Xi) .
Zad. 16.4 Niech X1, X2, ...b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach jednostajnych na odcinku (1, 3). Zbadaj zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn= (
2n
Y
k=1
Xk(−1)k+1)n1 .
Zad. 16.5 Zmienne X1, X2, ...s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad wykªadniczy z g¦sto±ci¡
f (x) = 2e−2xI(0,∞)(x). Zbadaj zbie»no±¢ P -p.w. ci¡gu Yn=
Pn
k=1max(X2i, X2i−1)
Pn
k=1(X2i+ X2i−1) .
Zad. 16.6 Niech X1, X2, ...b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach wykªadniczych z parametrem 1. Zbadaj zbie»no±¢ ci¡gu
Yn =
Pn
k=1e−Xk
Pn
k=1Xk . Zad. 16.7 Znajd¹ granic¦ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn = 1 2n
2n
X
i=1
Xi(1+(−1)i+1),
gdzie {Xi}i=1,2,... jest ci¡giem iid o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 2).
Zad. 16.8 (2004) X1, X2, X3, . . .jest ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie jednostajnym na odcinku −π4,π4. Zbadaj zbie»no±¢ P -prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn= 1 n2 ·
n
X
k=1
tg Xk·
n
X
k=1
Xk2.
Zad. 16.9 (2004) X1, X2, X3, . . .jest ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie geometrycznym z parametrem p. Zbadaj zbie»no±¢ P -prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn = 1 n
n
X
k=1
e−Xk.
Zad. 16.10 (2004) Niech X1, X2, ... b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie zadanym g¦sto±ci¡ f(x) = 1x 1(e,e2)(x).Oblicz granic¦ P −p.w.
ci¡gu
Yn= qnln X1· ln X2· ... · ln Xn.