Szeregi Fouriera zadania na ćwiczenia

Szeregi Fouriera

zadania na ćwiczenia

Zad. 1. Wyznacz współczynniki Fouriera funkcji:

1. f jest okresowa o okresie 2 i f (t) = |t| dla |t| < 1, 2. f jest okresowa o okresie a i f (t) = _a^t dla 0 ¬ t < a, 3. f (t) = | sin t|,

4. f (t) = sin³t.

Zad. 2. Znając współczynniki Fouriera funkcji f , wyznacz współczynniki Fouriera dla funkcji f (t − t₀). Wykorzystując poprzednie zadanie, roz- wiń w szereg Fouriera funkcję f (t) = | cos t|.

Zad. 3. Zapisz równość Parsevala dla każdej funkcji z zadania 1.

Zad. 4. Niech f ∈ L²_P(0, a) i niech cn bądą jej współczynnikami Fouriera.

f należy także do L²_P(0, 2a) i ma współczynniki Fouriera c⁰_n. Jaka jest zależność pomiędzy współczynnikami c_n i c⁰_n?

Zad. 5. Rozwiń w szereg Fouriera funkcję o okresie a = 2 zdefiniowaną na przedziale [−1, 1) równością:

f (t) = e^iπzt (z ∈ C \ Z ustalone).

Wywnioskuj z równości Parsevala, że

∀_x∈R\Z π² sin²πx =

+∞

X

n=−∞

1 (x − n)².

Zad. 6. Załóżmy dla ułatwienia, że dana jest funkcja okresowa o okresie 1.

Udowodnimy, że jeśli wszystkie współczynniki Fouriera są równe zeru, tzn.

(H1) ∀_n∈Z c_n(f ) =

Z 1 0

f (t)e^−2iπntdt = 0,

to f zeruje się we wszystkich punktach poza ewentualnie punktami nieciągłości.

Niech s ∈ [0, 1] będzie punktem ciągłości f i przypuśćmy, że f (s) 6= 0.

Przesuwając odpowiednio wykres, możemy przyjąć, że s = 0, i założyć, że na przykład f (0) > 0.

1. Pokazać, że (H1) implikuje

(H2) ∀P ∈T

Z ¹

2

−¹₂ f (t)P (t)dt = 0,

gdzie T jest zbiorem wielomianów trygonometrycznych o okresie 1.

2. Niech α ∈ ^0,¹₄ⁱ będzie takie, że

|t| ¬ α ⇒ f (t) ­ 1 2f (0).

(Dlaczego takie α istnieje?) Przyjmijmy

σN(t) = 1 N

N −1

X

k=0 k

X

n=−k

e^2iπnt.

a) Wyznacz σ_N(t). Udowodnij, że

Z ¹₂

−¹

2

σ_N(t)dt = 1.

b) Udowodnij, że

N →∞lim

Z

α¬|t|¬¹₂

σ_N(t)dt = 0.

c) Wywnioskuj, że dla odpowiednio dużych N

Z _α

−ασ_N(t)f (t)dt ­ f (0) 4 . 3. Udowodnij, że dla dostatecznie dużych N

Z ¹

2

−¹₂

σ_N(t)f (t)dt > 0.