Nazwisko i imi¦:
Zadanie 1. Znajd¹ promie« zbie»no±ci szeregu:
∑∞ n=1
(−2)nxn
√n 3n .
Rozwi¡zanie: Wykorzystujemy wzór na promie« zbie»no±ci pochodz¡cy z kryt. d'Alemberta:
an an+1
=
√(−2)n n· 3n ·
√n + 1· 3n (−2)n+1
=
√n + 1 n · 3
2
n→∞
−−−→ 3 2. A wi¦c R = 32.
1
Zadanie 2. Oblicz granic¦:
xlim→0
ex2 − 1 cos x− 1.
Rozwi¡zanie: Jest to wyra»enie nieoznaczone postaci 00, wi¦c stosujemy reguª¦ de l'H0pitala:
xlim→0
ex2 − 1
cos x− 1 = lim
n→0
ex2 · 2 x
− sin x =−2 lim
x→0
ex2
sin x x
=−21
1 =−2.
2
Zadanie 3. Rozwi¡» nierówno±¢:
2x− 5 x + 3
> 1.
Rozwi¡zanie: Zauwa»amy najpierw, »e x = −3 nie jest rozwi¡zaniem, po czym wyklu- czaj¡c ten przypadek mno»ymy nierówno±¢ stronami przez |x + 3|:
|2 x − 5| > |x + 3|.
Rozwa»amy osobno przypadki:
• x < −3 ⇒ −(2x − 5) > −(x + 3) ⇔ −2x + 5 > −x − 3 ⇔ 8 > x. Wszystkie x <−3 speªniaj¡ wi¦c nierówno±¢.
• −3 < x < 52 ⇒ −(2x − 5) > x + 3 ⇔ −2x + 5 > x + 3 ⇔ 2 > 3x ⇔ x < 23. Nierówno±¢ jest wi¦c speªniona przez wszystkie −3 < x < 23.
• x ≥ 52 ⇒ 2x − 5 > x + 3 ⇔ x > 8.
Rozwi¡zanie: (−∞, −3) ∪ (−3,23)∪ (8, ∞).
3
Zadanie 4. Oblicz pochodn¡ funkcji:
f (x) = 1− sin3x 1 + x3 . Rozwi¡zanie:
f′(x) = (1− sin3x)′(1 + x3)− (1 − sin3x)(1 + x3)′ (1 + x3)2
= −3 sin2x cos x(1 + x3)− (1 − sin3x) 3 x2
(1 + x3)2 .
4
Zadanie 5. Znajd¹ warto±ci najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ podanej funkcji na podanym prze- dziale:
f (x) =|x3− x| +x
2, x∈ [−1, 1].
Rozwi¡zanie: Najpierw sprawdzimy, kiedy x3− x zmienia znak:
x3− x > 0 ⇔ x2− 1 > 0 ∧ x > 0 lub x2− 1 < 0 ∧ x < 0.
Czyli dla x ∈ (−1, 0) jest x3 − x > 0, a dla x ∈ (0, 1) jest x3− x < 0. Rozwa»amy wi¦c przypadki:
• x ∈ (0, 1). Wtedy f(x) = x − x3 + x2 = 3x2 − x3, a wi¦c f′(x) = 32 − 3x2. Mamy wi¦c f′(x) = 0⇔ 32 − 3x2 = 0⇔ 21 = x2 ⇔ x = ±√12 ⇒ x = √12.
• x ∈ (−1, 0). Wtedy f(x) = x3− x + x2 = x3− x2, a wi¦c f′(x) = 3x2− 12. Mamy wi¦c f′(x) = 0⇔ 3x2− 12 = 0⇔ 61 = x2 ⇔ x = ±√16 ⇒ x = −√16.
Punkty, w których warto±ci musimy sprawdzi¢ to ±1 (ko«ce), 0 (nieró»niczkowalno±¢),
√1
2,−√16 (punkty krytyczne).
f (−1) = −12, f (0) = 0, f (1) = 12, f (√1
2) = √1
2 − 2√12 +√1 2 = √1
2 ≃ 0, 701 . . . f (−√16) = 6−1√6 + √16 − 2√16 = √16(11
2 − 16) = √16(6−3−16 ) = √16 · 13 < 12.
Porównujemy warto±ci funkcji we wszystkich tych punktach, i otrzymujemy maksimum:
f (√1
2) = √1
2 i minimum: f(−1) = −12.
5
Zadanie 6. Oblicz caªk¦ niewªa±ciw¡, je»eli jest zbie»na:
∫ ∞
0
e−xdx.
Rozwi¡zanie: Niech M > 0
∫ M 0
e−xdx =−e−x M
0 = 1− e−M M→∞−−−−→ 1.
A wi¦c caªka jest zbie»na, i ∫ ∞
0
e−xdx = 1.
6
Zadanie 7. Funkcja f(x) okre±lona jest nast¦puj¡co:
f (x) =
0 : x < 0, x : 0 ≤ x < 1,
−x2 + 4x− 2 : 1 ≤ x < 3, x− 3 : x≥ 3.
Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji (czyli wska» punkty nieci¡gªo±ci, o ile istniej¡).
Rozwi¡zanie: Mamy 3 punkty sklejenia: 0, 1, 3 w których ci¡gªo±¢ funkcji trzeba spraw- dzi¢. Poza tymi punktami funkcja jest wielomianem, wi¦c jest ci¡gªa.
lim
x→0−f (x) = lim
x→0−0 = 0, lim
x→0+f (x) = lim
x→0+x = 0.
W 0 funkcja jest wi¦c ci¡gªa.
lim
x→1−f (x) = lim
x→1−x = 1, lim
x→1+f (x) = lim
x→1+(−x2+ 4x− 2) = −1 + 4 − 2 = 1.
W 1 funkcja te» jest ci¡gªa.
lim
x→3−f (x) = lim
x→3−(−x2+ 4x− 2) = −9 + 12 − 2 = 1, lim
x→3+f (x) = lim
x→3+(x− 3) = 0.
W punkcie 3 funkcja jest nieci¡gªa. Jest to jedyny punkt nieci¡gªo±ci funkcji f.
7
Zadanie 8. Oblicz caªk¦ oznaczon¡:
∫ 2
−2
√ dx
8− 2x2. Rozwi¡zanie:
∫ 2
−2
√ dx
8− 2x2 =
∫ 2
−2
√ dx 8·√
1− x42
= 1
2√ 2
∫ 2
−2
√ dx 1−(x
2
)2
{ y = x2 dy = 12dx
}
= 1
√2
∫ 1
−1
√ dy 1− y2
= 1
√2arcsin y 1
−1
= 1
√2 (π
2 −(
− π 2
))
= π
√2.
8
