• Nie Znaleziono Wyników

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE MODELOWANIA KSZTAŁTU JABŁEK

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE MODELOWANIA KSZTAŁTU JABŁEK"

Copied!
13
0
0

Pełen tekst

(1)

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE MODELOWANIA KSZTAŁTU JABŁEK

Leszek Mieszkalski

Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Przedstawiono propozycję metody matematycznego modelowania kształtu jabłek z wykorzystaniem krzywych Béziera. Do modelowania wybrano jabłka odmian Li- gol i Jonagored. Kontur jabłka, który jest jego południkiem, opisano trzema połączonymi krzywymi Béziera. Podstawą do opisu konturów jabłek są ich fotografie w 10 zmieniają- cych się co 36o położeniach i99 krzywych Béziera rozmieszczonych wzdłuż południków jabłka. Krzywe Béziera aproksymujące południki leżące na powierzchni jabłka są jego modelem 3D. Przedstawiona metoda z wykorzystaniem krzywych Béziera może być sto- sowana do matematycznego modelowania kształtu jabłek.

Słowa kluczowe: jabłko, kształt, krzywe Béziera, metoda, model matematyczny, mo- del 3D

WSTĘP

Do modelowania kształtu jabłek Rogge i in. [2014] zastosowali metodę komputero- wej tomografii quasi-osiowosymetrycznych obiektów biologicznych, a Goñi i in. [2008]

zastosowali technikę rezonansu magnetycznego. Na podstawie uzyskanych obrazów tymi metodami określono kontury jabłek, z których tworzono bryłę. Do opisu krzywych wykorzystano eliptyczne deskryptory Fouriera. Stosując algorytmy interpolacji, aprok- symacji i przekształceń geometrycznych [Foley i in. 2001], otrzymano geometryczne modele 3D jabłek. Mebatsion i in. [2011] zaproponowali procedurę opisu kształtu sy- metrycznych owoców za pomocą konturów podłużnych, które opisano deskryptorami Fouriera, stosując algorytmy wygładzające powierzchnię owocu lub warzywa. Kontury przekrojów badanych obiektów opisywano krzywymi B-sklejanymi. Model 3D zbudo- wano za pomocą metody lofting przez interpolację krzywymi B-sklejanymi.

Adres do korespondencji – Corresponding author: Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego Katedra Organizacji i Inżynierii Produkcji, 02-787 Warszawa, ul. Nowoursynowska 164, e-mail:

mieszko@poczta.fm

© Copyright by Wydawnictwo Uniwersytetu Przyrodniczego w Lublinie, Lublin 2016

(2)

Kształt w ocenie owoców oraz ich klasyfikowaniu i sortowaniu odgrywa ważną rolę.

Ma również znaczenie przy wykorzystaniu systemów wizyjnych. Kakadiya i in. [2015]

oraz Moreda i in. [2012] również uważają, że kształt obiektów biologicznych jest ich kluczową cechą. Liming i Yanchao [2010] zaproponowali zautomatyzowany system klasyfikacji owoców truskawki na podstawie cech takich jak kształt, wymiary i kolor.

Stosując teorię podejmowania decyzji, uzyskano dokładność rozpoznawania na pozio- mie ok. 90%.

Przyjmując kulisty kształt jabłek, Hazbavi [2014] wyznaczył maksymalną wysokość złoża jabłek przechowywanych w prostopadłościennym pojemniku. Na podstawie po- równania jabłek do regularnych brył, np. elipsoidy spłaszczonej i elipsoidy, Torabi i in.

[2013] modelowali ich objętość. Podobnie Chakespari i in. [2010] do modelowania masy jabłek wykorzystali elipsoidę i elipsoidę spłaszczoną. Uyar i Erdoğdu [2009] do opisu kształtu owoców zastosowali technikę skanowania 3D. Technika skanowania 3D obiektów biologicznych za pomocą skanera wymaga wykonania wielu skanów, z któ- rych można złożyć pojedynczy obiekt [Anders i in. 2014].

Stosowanie technik tomografii komputerowej (CT) oraz rezonansu magnetycznego (MRI) do pozyskania obrazów jabłek wymaga dużych nakładów finansowych. Technika skanowania 3D jest techniką wykorzystywaną do tworzenia modelu na podstawie kon- kretnego obiektu i nie można jej uogólnić, tak jak jest w przypadku modeli matema- tycznych. Należy więc poszukiwać prostych i tanich metod obrazowania, które z wy- starczającą dokładnością dostarczą danych o obrazowanych jabłkach i na podstawie tego samego modelu mogą być stosowane do modelowania jabłek różnych odmian.

W pracy przedstawiono propozycję metody matematycznego modelowania kształtu jabłek z wykorzystaniem krzywych Béziera.

MATERIAŁ I METODY

Materiałem do badań były jabłka odmian Ligol i Jonagored. Jabłka zakupiono w hurtowni w Broniszach. Przechowywano je w pomieszczeniu o stałej temperaturze 19°C i wilgotności powietrza 60%. Do modelowania wybrano jabłka nieuszkodzone, o średnich wymiarach charakterystycznych dla tych odmian (rys. 1). Na rysunku 1 za- mieszczono podstawowe wymiary jabłka (długość, szerokość oraz grubość oraz wymia- ry h1 i h2), które zmierzono suwmiarką z dokładnością do 0,1 mm.

Rys. 1. Wybrane do modelowania jabłka odmian Ligol i Jonagored oraz podstawowe ich wymiary Fig. 1. Selected modeling apple varieties Ligol and Jonagored and their basic dimensions

(3)

Rys. 2. Stanowisko badawcze Fig. 2. The test stand

Rys. 3. Jabłko odmiany Ligol w 10 położeniach do opisania konturów krzywymi Béziera Fig. 3. An apple variety Ligol 10 positions to describe the contours of Bézier curves

(4)

W celu wykonania fotografii dla 10 położeń, każde jabłko umieszczano na stanowi- sku badawczym (rys. 2). Stanowisko badawcze umożliwiało obrót jabłka co 36o względem jego naturalnej osi symetrii. Za naturalną oś symetrii jabłka przyjęto linię łączącą zagłębienie szypułkowe z zagłębieniem kielicha. Do wykonania fotografii posłużono się aparatem Panasonic LUMIX DMC-TZ3. Odległość obiektywu od jabłka była stała i wynosiła 400 mm. Zdjęcia o wymiarach 2560 ×1712 pikseli zapisywano w formacie JPEG.

Położenia jabłek do wyznaczenia krzywych Béziera zamieszczono na rysunkach 3 i 4.

Rys. 4. Jabłko odmiany Jonagored w 10 położeniach do opisania konturów krzywymi Béziera Fig. 4. An apple variety Jonagored 10 positions to describe the contours of Bézier curves

Fotografie jabłek kadrowano i wczytywano do programu graficznego, np. Corel Draw. Po naniesieniu na fotografię układu współrzędnych dokonano skalowania, następnie do konturów jabłka dopasowywano trzy połączone krzywe Béziera (rys. 5).

(5)

Rys.5. Oznaczenia punktów węzłowych i kontrolnych trzech krzywych Béziera opisujących kontur jabłka

Fig. 5. Designation of nodal points and control the three Bézier curves describing the contour apples

W celu wygładzenia modelu na podstawie macierzy współrzędnych punktów wę- złowych i kontrolnych krzywych Béziera leżących na powierzchni jabłek przeprowa- dzono interpolacje i aproksymacje krzywymi B-sklejanymi.

Model kształtu konturów bryły jabłka reprezentowany krzywymi Béziera. Kon- tur jabłka opisano krzywymi Béziera za pomocą macierzowych równań współrzędnych xn, yn, zn (rys. 5) punktów należących do konturu jabłka. Przykładowe równia krzywej Béziera dla górnej części konturu jabłka są następujące:







 

 



 

 

 

 





 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

N t 3 cos 180

N ABnx 1 t N

t 2 180 3

cos AAnx

N 1 t

2 N

3 t cos 180

N Anx 1 t

3 Ax

n n

xAnt n

(1)







 

 



 

 

 

 





 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

N t 3 s 180

N ABny 1 t N

t 2 180 3

s AAny

N 1 t

2 N

3 t s 180

N Any 1 t

3 Ay

in n in n

in n yAnt

(2)

(6)



 





 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 N

t 3 N ABnz

1 t N

t 2 3 N AAnz

1 t 2 N

3 t N Anz

1 t 3 zAnt Az

(3)

Dla N = 23, t = 0…N, n – numer krzywej Béziera, n = 1, 2, 3, …, 11. n = 0o, 36o, …, 360o.

Podobne równania zastosowano do opisu środkowej i dolnej części konturu jabłka.

Trzy krzywe Béziera połączono w punktach węzłowych z zachowaniem zasady gładkości połączenia, spełniając warunek, aby punkty kontrolne łączonych krzywych leżały na wspólnej prostej. Na podstawie równań od 1 do 3 zbudowano 30 połączonych krzywych Béziera leżących wzdłuż południków jabłka, tworząc jego model 3D.

Wyniki współrzędnych punktów węzłowych i kontrolnych krzywych Béziera oraz uzyskane modele kształtu jabłek. Współrzędne punktów węzłowych i kontrol- nych krzywych Béziera jabłka odmiany Ligol, występujących w równaniach 1, 2, 3, zamieszczono w macierzach ukazanych niżej.

Współrzędne węzłów wspólnych dla krzywych Béziera:

Ax Cx

Ay Cy

Az Cz

 

 

0 0

0 0

90 12

 

 



Współrzędne węzłów łączących krzywe Béziera:

AB1x AB2x AB3x AB4x AB5x AB6x AB7x AB8x AB9x AB10x AB11x

AB1y AB2y AB3y AB4y AB5y AB6y AB7y AB8y AB9y AB10y AB11y

AB1z AB2z AB3z AB4z AB5z AB6z AB7z AB8z AB9z AB10z AB11z

BC1x BC2x BC3x BC4x BC5x BC6x BC7x BC8x BC9x BC10x BC11x

BC1y BC2y BC3y BC4y BC5y BC6y BC7y BC8y BC9y BC10y BC11y

BC1z BC2z BC3z BC4z BC5z BC6z BC7z BC8z BC9z BC10z BC11z

































37.8

38.5

37.8

36

36.1 32.3 33.4 33.1 31.2 32.7

37.8

37.8

38.5

37.8

36

36.1 32.3 33.4 33.1 31.2 32.7

37.8 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90

32.8

32.8

35.1

34.9

33.7 24.2 24.3 21.3 23.2 27.2

32.8

32.8

32.8

35.1

34.9

33.7 24.2 24.3 21.3 23.2 27.2

32.8 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12



































(7)

Współrzędne punktów kontrolnych krzywej Béziera B:

A2x A3x A4x A5x A6x A7x A8x A9x A10x A11x

A2y A3y A4y A5y A6y A7y A8y A9y A10y A11y

A2z A3z A4z A5z A6z A7z A8z A9z A10z A11z

AA2x AA3x AA4x AA5x AA6x AA7x AA8x AA9x AA10x AA11x

AA2y AA3y AA4y AA5y AA6y AA7y AA8y AA9y AA10y AA11y

AA2z AA3z AA4z AA5z AA6z AA7z AA8z AA9z AA10z AA11z





























12.4

12.4

9.8

9.6 1.7 1.5 1.7 5.3 5.2

12.2

12.4

12.4

9.8

9.6 1.7 1.5 1.7 5.3 5.2

12.2 105.8 105.9 105.3 104.9 103.1 102.5 102.6 102 102.2 105.6

29

29.3

27.6

27.6 21.8 23.1 22.8 25 26.8

28.9

29

29.3

27.6

27.6 21.8 23.1 22.8 25 26.8

28.9 98.6 99.1 99.1 98.4 100.7 100.7 99.6 95.7 95.2 98.7































B1x B2x B3x B4x B5x B6x B7x B8x B9x B10x B11x

B1y B2y B3y B4y B5y B6y B7y B8y B9y B10y B11y

B1z B2z B3z B4z B5z B6z B7z B8z B9z B10z B11z

BB1x BB2x BB3x BB4x BB5x BB6x BB7x BB8x BB9x BB10x BB11x

BB1y BB2y BB3y BB4y BB5y BB6y BB7y BB8y BB9y BB10y BB11y

BB1z BB2z BB3z BB4z BB5z BB6z BB7z BB8z BB9z BB10z BB11z

































58

53.3

57.3

55.5

56 44.1 49.1 48 48.4

49

58

58

53.3

57.3

55.5

56 44.1 49.1 48 48.4

49

58 71.7 74.8 70.2 69.8 70.2 79.2 74.7 75.1 73.2 71.6 71.7

44.4

44.2

47.1

43.4

41.6 48.1

48 44.9 51.5 51.2

44.4

44.4

44.2

47.1

43.4

41.6 48.1

48 44.9 51.5 51.2

44.4 23.2 23.1 23.2 24.7 24.2 45.2 45.7 45.9 47 45 23.3



































(8)

Współrzędne punktów kontrolnych krzywej Béziera C:

Model 3D kształtu jabłka odmiany Ligol zamieszczono na rysunku 6.

Rys. 6. Model 3D kształtu jabłka odmiany Ligol: po lewej model na podstawie danych surowych, po prawej model po interpolacji i aproksymacji krzywymi B-sklejanymi

Fig. 6. 3D model of the shape of the apple varieties Ligol: left model based on raw data, to the right model interpolation and approximation B-spline curves

Współrzędne punktów węzłowych wspólnych i kontrolnych krzywych Béziera jabł- ka odmiany Jonagored, występujących w równaniach 1, 2, 3, zamieszczono w macier- zach ukazanych niżej.

CC1x CC2x CC3x CC4x CC5x CC6x CC7x CC8x CC9x CC10x CC11x

CC1y CC2y CC3y CC4y CC5y CC6y CC7y CC8y CC9y CC10y CC11y

CC1z CC2z CC3z CC4z CC5z CC6z CC7z CC8z CC9z CC10z CC11z

C1x C2x C3x C4x C5x C6x C7x C8x C9x C10x C11x

C1y C2y C3y C4y C5y C6y C7y C8y C9y C10y C11y

C1z C2z C3z C4z C5z C6z C7z C8z C9z C10z C11z

































26.7

26.5

29.1

30

28.1 14.6 13.5 10.4 16.1 16.3

26.7

26.7

26.5

29.1

30

28.1 14.6 13.5 10.4 16.1 16.3

26.7 4.6 4.6 4.6 2 1.2

3.2 0.6 0.6 4.2

0.2 4.6

12.2

7.3

7.5

7.4

4.1

0.6 2.1

0.4

0.2

0.5

12.2

12.2

7.3

7.5

7.4

4.1

0.6 2.1

0.4

0.2

0.5

12.2

1.2

5.5

5.3

5.3

8

3.7

2.1

4.4

4

3.8

1.2



































(9)

Współrzędne węzłów łączących krzywe Béziera:

AB1x AB2x AB3x AB4x AB5x AB6x AB7x AB8x AB9x AB10x AB11x

AB1y AB2y AB3y AB4y AB5y AB6y AB7y AB8y AB9y AB10y AB11y

AB1z AB2z AB3z AB4z AB5z AB6z AB7z AB8z AB9z AB10z AB11z

BC1x BC2x BC3x BC4x BC5x BC6x BC7x BC8x BC9x BC10x BC11x

BC1y BC2y BC3y BC4y BC5y BC6y BC7y BC8y BC9y BC10y BC11y

BC1z BC2z BC3z BC4z BC5z BC6z BC7z BC8z BC9z BC10z BC11z

































48.2

47.1

49.5

50.4

46.6 45.6 44.7 44.9 44.8 45.2

48.2

48.2

47.1

49.5

50.4

46.6 45.6 44.7 44.9 44.8 45.2

48.2 67 67 67 67 67 67 67 67 67 67 67

36.7

36.7

41

36.4

33.9 32.1 31.1 31 30.9 34.3

36.7

36.7

36.7

41

36.4

33.9 32.1 31.1 31 30.9 34.3

36.7 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14



































Współrzędne punktów kontrolnych krzywej Béziera A:

A1x A2x A3x A4x A5x A6x A7x A8x A9x A10x A11x

A1y A2y A3y A4y A5y A6y A7y A8y A9y A10y A11y

A1z A2z A3z A4z A5z A6z A7z A8z A9z A10z A11z

AA1x AA2x AA3x AA4x AA5x AA6x AA7x AA8x AA9x AA10x AA11x

AA1y AA2y AA3y AA4y AA5y AA6y AA7y AA8y AA9y AA10y AA11y

AA1z AA2z AA3z AA4z AA5z AA6z AA7z AA8z AA9z AA10z AA11z

































16.3

18.5

20

20

20 11.1

8.8 9.3 9.4 9.3

16.3

16.3

18.5

20

20

20 11.1

8.8 9.3 9.4 9.3

16.3 112.4 107.8 112.7 112.6 112.8 101.2 97.8 97.6 98.2 98.4 112.4

43.6

43.3

44.9

44.8

41.5 40.6 39.1 39.4 34.5 35.4

43.6

43.6

43.3

44.9

44.8

41.5 40.6 39.1 39.4 34.5 35.4

43.6 78.3

78 80 81.1 80.6 84.8 85.1 85.1 90.1 90.2 78.3



































(10)

Współrzędne punktów kontrolnych krzywej Béziera B:

B1x B2x B3x B4x B5x B6x B7x B8x B9x B10x B11x

B1y B2y B3y B4y B5y B6y B7y B8y B9y B10y B11y

B1z B2z B3z B4z B5z B6z B7z B8z B9z B10z B11z

BB1x BB2x BB3x BB4x BB5x BB6x BB7x BB8x BB9x BB10x BB11x

BB1y BB2y BB3y BB4y BB5y BB6y BB7y BB8y BB9y BB10y BB11y

BB1z BB2z BB3z BB4z BB5z BB6z BB7z BB8z BB9z BB10z BB11z

































55.6

54.2

57.5

57.9

51.8 48.8 47.9 49.5 52.3 52.8

55.6

55.6

54.2

57.5

57.9

51.8 48.8 47.9 49.5 52.3 52.8

55.6 49.7 49.5 50 49.8 52.3 57.2 57.4 45.3 45.1 44.8 49.7

45.8

45.5

49.4

44.3

41.9 50.1 49.4 40.9 40.9 43.1

45.8

45.8

45.5

49.4

44.3

41.9 50.1 49.4 40.9 40.9 43.1

45.8 24.9 24.9 24.7 24.4 24.4 38.2 38.3 25.5 25.7 29.9 24.9



































Współrzędne punktów kontrolnych krzywej Béziera C:

CC1x CC2x CC3x CC4x CC5x CC6x CC7x CC8x CC9x CC10x CC11x

CC1y CC2y CC3y CC4y CC5y CC6y CC7y CC8y CC9y CC10y CC11y

CC1z CC2z CC3z CC4z CC5z CC6z CC7z CC8z CC9z CC10z CC11z

C1x C2x C3x C4x C5x C6x C7x C8x C9x C10x C11x

C1y C2y C3y C4y C5y C6y C7y C8y C9y C10y C11y

C1z C2z C3z C4z C5z C6z C7z C8z C9z C10z C11z

































26.8

26.7

30.7

25.8

22.9 22.2 21.3 18.7 18.4 26

26.8

26.8

26.7

30.7

25.8

22.9 22.2 21.3 18.7 18.4 26

26.8 6.7 6.6 6.4 5.9 5.9 3.9 4 5.5 5.5 3.4 6.7

5.1

7.6

7.8

7.6

7.4

5.4

5.2

9

7.5

7.9

5.1

5.1

7.6

7.8

7.6

7.4

5.4

5.2

9

7.5

7.9

5.1

8.8

11.1

11.6

8.8

12.2

9.1

11.9

15.5

9.9

9.6

8.8



































(11)

Rys. 7. Model 3D kształtu jabłka odmiany Jonagored: po lewej model na podstawie danych surowych, po prawej model po interpolacji i aproksymacji krzywymi B-sklejanymi Fig. 7. 3D model of the shape of the apple varieties Jonagored: left model based on raw data, to

the right model interpolation and approximation B-spline curves

Porównanie modeli z jabłkami. W celu porównania modeli z jabłkami na rysunku 8 zamieszczono nałożone na siebie wybrane ich rzuty.

Rys. 8. Porównanie nałożonych na siebie wybranych rzutów modeli i jabłek: po lewej jabłko i model odmiany Ligol, po prawej jabłko i model odmiany Jonagored

Fig. 8. Comparison of superimposed shots of selected models and apples: from left model and apple variations Ligol, the right model and apple varieties Jonagored

(12)

Wykonane fotografie obracanego jabłka względem jego naturalnej osi symetrii co 36o mogą stanowić podstawę do opisu konturów jabłka za pomocą krzywych Béziera.

Do wykonania modelu 3D jabłka wystarczy 30 połączonych krzywych Béziera rozmieszczonych na powierzchni. Na powierzchni modelu 3D jabłka jest umieszczonych 690 punktów. Z porównania jabłek z modelami 3D uzyskanymi po wykonanej interpolacji i aproksymacji danych wynika, że ich dopasowanie jest dokład- ne. Niewielkie odchylenia występują lokalnie.

PODSUMOWANIE

Proponowana metoda z wykorzystaniem krzywych Béziera może być stosowana do matematycznego modelowania kształtu jabłek różnych odmian. Do opisu wklęsłych i wypukłych części jabłka są użyteczne łączone krzywe Béziera. Krzywe Béziera rozmieszczone wzdłuż południków jabłka mogą być jego modelem 3D. Dokładność dopasowania modelu do jabłka jest duża, z małymi odchyleniami lokalnymi.

PIŚMIENNICTWO

Anders, A., Markowski, P., Kaliniewicz, Z. (2014). Badanie właściwości geometrycznych i fizycznych owoców wybranych odmian gruszy na podstawie modeli numerycznych uz- yskanych za pomocą skanera 3D. Zesz.Probl. Post. Nauk Roln., 577, 3–12.

Chakespari, A.G., Rajabipour, A., Mobli, H. (2010). Mass modeling of two apple varieties by geometrical attributes. Austr. J. Agricult. Engin., 1(3),112–118.

Foley, J.D., van Dam, A., Feiner, S.K., Hughes, J.F., Phillips, R.L. (2001).Wprowadzenie do grafiki komputerowej. WNT, Warszawa.

Goñi, S.M., Purlis, E., Salvadori, V.O. (2008). Geometry modelling of food materials from mag- netic resonance imaging. J. Food Eng., 88, 561–567.

Hazbavi, A.I. (2014). Maximum Height calculation for bulk of apple fruits (var. Golden Deli- cious). J. Agroaliment. Proc. Technol., 20(1), 33–38.

Kakadiya, D., Shah, R., Shah, N., Kachariya, C., Patel, M., Sukhwani, K. (2015). Shape extrac- tion methods for fruits: Technical review. Internat. J. Comp. Appl., 111(1), 43–48.

Liming, X., Yanchao, Z. (2010). Automated strawberry grading system based on image pro- cessing. Com. Electr. Agricult., 71, 32–39.

Mebatsion, H.K., Boudon, F., Godin, C., Pradal, C., Génard, M., Goz-Bac, C., Bertin, N. (2011).

A novel profile based model 415 for virtual representation of quasi-symmetric plant organs.

Com. Electr. Agricult., 75(1), 113–124.

Moreda, G.P., Muñoz, M.A., Ruiz-Altisent, M., Perdigones, A. (2012). Shape determination of horticultural produce using two-dimensional computer vision. A review. J. Food Engin., 108(2), 245–261.

Rogge, S., Beyene, S.D, Herremans, E., Hertog, M.L., Defraeye, T., Verboven, P., Nicolai, B.M.

(2014). A geometrical model generator for quasi – axisymmetric biological products. Food Bioproc. Technol., 7, 1783–1792. DOI 10.1007/s11947-013-1169-6

Torabi, A., Tabatabaekoloor, R., Hashemi, S.J. (2013). Volume modelling of three apple varieties based on physical parameters. Internat. J. Agricult. Food Sci. Technol., 4(5), 461–466.

Uyar, R., Erdoğdu, F. (2009). Potential use of 3-dimensional scanners for food process modeling.

J. Food Engin., 93, 337–343.

(13)

gored. The contour of the apple, which is the meridian described three connected Bézier curves. The basis for the contour the apples are their photographs in 10 changing positions at 36o and 99 Bézier curves arranged along meridians apples. Bézier curves approximat- ing the meridians lying on the surface of apples are the 3D model. The proposal method using Bézier curves can be used for mathematical modeling of the shape of apples.

Key words: apple shape, Bézier curves, method, mathematical model, model 3D

Cytaty

Powiązane dokumenty

„ Wektory własne są najszybszym rozwiązaniem dla pewnych operacji, mogą jednak być wykorzystane tylko w sytuacjach, gdy zbiór uniwersalny jest mały. „ Tablice mieszające

„ Oznacza to, że jeśli R jest relacją porządku całkowitego oraz jeśli a i b są dowolnymi elementami tej dziedziny, to albo aRb, albo bRa jest prawdziwe (mówimy wtedy że

Jeśli drzewo T nie jest puste oraz jego korzeń zawiera element x, to x znajduje się już w drzewie i nie wykonujemy żadnych dodatkowych kroków. Indukcja: Jeśli T nie jest puste i

Lampa produkcji niemieckiej firmy Friemann & Wolf z Zwic- kau w Saksoni stała się standardowym modelem benzynowej lampy bezpieczeństwa, używanej do oświetlenia wyrobisk

Żyrafa Ola i Zuzia rozmawiają o tym, jak bardzo różnią się języki poszczególnych krajów Unii Europejskiej. Sprawdzają w słownikach, jak mówi się tam

– Do obiektu mogą być dołączone typy, przy czym wszystkie obiekty jednego typu mają taką samą strukturę i zachowanie.. – W modelu zdefiniowano wiele

Klucz podstawowy relacji (ang. primary key) jest to atrybut lub zbiór atrybutów, którego wartość jednoznacznie identyfikuje krotkę relacji. Z definicji, wartość atrybutu,

Koncepcja przyjęta przez ustawodawcę polskiego jest najbardziej typowa dla instytucji sądownictwa administracyjnego i dobrze się stało, że model polskiej kontroli decyzji