A EGZAMIN ZALGEBRYLINIOWEJ,SEMESTR LETNI2002
CZ ˛E ´S ´CI. ZADANIA
1. Niech f : C3 7→ C3b˛edzie homomorfizmem o macierzy A =
1 1 0
−1 1 1 0 1 1
w bazie standardowej.
Znale´z´c macierz Jordana AJ przekształcenia f oraz tak ˛a macierz C, ˙ze C−1AC = AJ.
2. Niech R3 b˛edzie afiniczn ˛a przestrzeni ˛a euklidesow ˛a ze standardowym iloczynem skalarnym i H = af {[2, 3, 1], [1, 2, 1], [2, 4, 1]} ⊆ R3.
(a) Znale´z´c układ równa´n opisuj ˛acy H.
(b) Znale´z´c wzór analityczny rzutu prostopadłego R3na H (c) Znale´z´c odległo´s´c punktu [0, 0, 0] od H.
3. Niech R3 b˛edzie przestrzeni ˛a euklidesow ˛a ze standardowym iloczynem skalarnym. Dla dowolnej liczby a ∈ R rozwa˙zmy przekształcenia fa, ga: R3 → R3okre´slone wzorami:
fa(x1, x2, x3) = (ax1−1 2x2,1
2x1+ ax2, x3) ga(x1, x2, x3) = (x1, ax2− 1 2x3,1
2x2+ ax3).
Wyznaczy´c wszystkie warto´sci parametru a dla których przekształcenie fa◦ gajest izometri ˛a.
4. Niech Xa⊆ R3b˛edzie hiperpowierzchni ˛a opisan ˛a równaniem x1x2+ax1x3+x2x3+x1+2 = 0. Dla jakich a ∈ R, Xa jest afinicznie równowa˙zna z paraboloid ˛a hiperboliczn ˛a (tzn. z hiperpowierzchni ˛a opisan ˛a równaniem x21− x22+ x3 = 0)
5. Niech A b˛edzie macierz ˛a n × n o współczynnikach z ciała K tak ˛a, ˙ze Am = 0 dla pewnej liczby naturalnej m. Wykaza´c, nie korzystaj ˛ac z twierdzenia Jordana, ˙ze An= 0.
CZ ˛E ´S ´CII. TEORIA
1. Zdefiniuj ´srodek ci˛e˙zko´sci układu punktów w przestrzeni afinicznej, co to znaczy, ˙ze układ punktów jest w poło˙zeniu ogólnym?
2. Co to jest przekształcenie sprz˛e˙zone do przekształcenia liniowego?
3. Podaj definicj˛e przekształcenia samosprz˛e˙zonego i jego macierzow ˛a charakteryzacj˛e.
4. Podaj definicj˛e afinicznej przestrzeni euklidesowej.
5. Sformułuj kryterium Sylwestera.
6. Podaj definicj˛e k ˛ata niezorientowanego i jego miary w przestrzeni euklidesowej.
Punktacja:
zadania z cz˛e´sci I po 10 punktów zadania z cz˛e´sci II po 4 p.
Razem 74 p.