• Nie Znaleziono Wyników

Znale´z´c macierz Jordana AJ przekształcenia f oraz tak ˛a macierz C, ˙ze C−1AC = AJ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Znale´z´c macierz Jordana AJ przekształcenia f oraz tak ˛a macierz C, ˙ze C−1AC = AJ"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

A EGZAMIN ZALGEBRYLINIOWEJ,SEMESTR LETNI2002

CZ ˛E ´S ´CI. ZADANIA

1. Niech f : C3 7→ C3b˛edzie homomorfizmem o macierzy A =

1 1 0

−1 1 1 0 1 1

w bazie standardowej.

Znale´z´c macierz Jordana AJ przekształcenia f oraz tak ˛a macierz C, ˙ze C−1AC = AJ.

2. Niech R3 b˛edzie afiniczn ˛a przestrzeni ˛a euklidesow ˛a ze standardowym iloczynem skalarnym i H = af {[2, 3, 1], [1, 2, 1], [2, 4, 1]} ⊆ R3.

(a) Znale´z´c układ równa´n opisuj ˛acy H.

(b) Znale´z´c wzór analityczny rzutu prostopadłego R3na H (c) Znale´z´c odległo´s´c punktu [0, 0, 0] od H.

3. Niech R3 b˛edzie przestrzeni ˛a euklidesow ˛a ze standardowym iloczynem skalarnym. Dla dowolnej liczby a ∈ R rozwa˙zmy przekształcenia fa, ga: R3 → R3okre´slone wzorami:

fa(x1, x2, x3) = (ax1−1 2x2,1

2x1+ ax2, x3) ga(x1, x2, x3) = (x1, ax2− 1 2x3,1

2x2+ ax3).

Wyznaczy´c wszystkie warto´sci parametru a dla których przekształcenie fa◦ gajest izometri ˛a.

4. Niech Xa⊆ R3b˛edzie hiperpowierzchni ˛a opisan ˛a równaniem x1x2+ax1x3+x2x3+x1+2 = 0. Dla jakich a ∈ R, Xa jest afinicznie równowa˙zna z paraboloid ˛a hiperboliczn ˛a (tzn. z hiperpowierzchni ˛a opisan ˛a równaniem x21− x22+ x3 = 0)

5. Niech A b˛edzie macierz ˛a n × n o współczynnikach z ciała K tak ˛a, ˙ze Am = 0 dla pewnej liczby naturalnej m. Wykaza´c, nie korzystaj ˛ac z twierdzenia Jordana, ˙ze An= 0.

CZ ˛E ´S ´CII. TEORIA

1. Zdefiniuj ´srodek ci˛e˙zko´sci układu punktów w przestrzeni afinicznej, co to znaczy, ˙ze układ punktów jest w poło˙zeniu ogólnym?

2. Co to jest przekształcenie sprz˛e˙zone do przekształcenia liniowego?

3. Podaj definicj˛e przekształcenia samosprz˛e˙zonego i jego macierzow ˛a charakteryzacj˛e.

4. Podaj definicj˛e afinicznej przestrzeni euklidesowej.

5. Sformułuj kryterium Sylwestera.

6. Podaj definicj˛e k ˛ata niezorientowanego i jego miary w przestrzeni euklidesowej.

Punktacja:

zadania z cz˛e´sci I po 10 punktów zadania z cz˛e´sci II po 4 p.

Razem 74 p.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Dodawanie jest działaniem dwuargumentowym, w jednym kroku umiemy dodać tylko dwie liczby, więc aby dodać nieskończenie wiele liczb, trzeba by wykonać nieskończenie wiele kroków,

przykładem jest relacja koloru zdefiniowana na zbiorze wszystkich samochodów, gdzie dwa samochody są w tej relacji, jeśli są tego samego koloru.. Jeszcze inny przykład to

nierozsądnie jest ustawić się dziobem żaglówki w stronę wiatru – wtedy na pewno nie popłyniemy we właściwą stronę – ale jak pokazuje teoria (i praktyka), rozwiązaniem

W przestrzeni dyskretnej w szczególności każdy jednopunktowy podzbiór jest otwarty – dla każdego punktu możemy więc znaleźć taką kulę, że nie ma w niej punktów innych niż

Spoglądając z różnych stron na przykład na boisko piłkarskie, możemy stwierdzić, że raz wydaje nam się bliżej nieokreślonym czworokątem, raz trapezem, a z lotu ptaka

Następujące przestrzenie metryczne z metryką prostej euklidesowej są spójne dla dowolnych a, b ∈ R: odcinek otwarty (a, b), odcinek domknięty [a, b], domknięty jednostronnie [a,

nierozsądnie jest ustawić się dziobem żaglówki w stronę wiatru – wtedy na pewno nie popłyniemy we właściwą stronę – ale jak pokazuje teoria (i praktyka), rozwiązaniem

W przestrzeni dyskretnej w szczególności każdy jednopunktowy podzbiór jest otwarty – dla każdego punktu możemy więc znaleźć taką kulę, że nie ma w niej punktów innych niż