Matematyka Dyskretna
Zestaw zada´n nr 1
1. Ile rozwia,za´n ma r´ownanie x1+ x2 + ... + xk = n, gdzie ka˙zde xi jest caÃlkowite dodatnie.
2. Korzystaja,c z odpowiedzi poprzedniego zadania znale´z´c liczbe,rozwia,za´n r´ownania x1+ x2+ ... + xk = n, gdzie ka˙zde xi jest caÃlkowite nieujemne.
3. Biora,c pod uwage,liczbe,tych xi, kt´ore sa,zerami w 2 i stosuja,c odpowied´z zadania 1 pokaza´c, ˙ze (n+k−1k−1 ) =Pk−1i=0(ki)(n−1k−1−i).
4. n os´ob wsiadÃlo do windy na parterze w k-pie,trowym budynku. Jakie jest prawdopodobie,´nstwo, ˙ze ka˙zda z nich wysia,dzie na innym pie,trze?
ZakÃladamy, ˙ze n ≤ k.
5. Na ile sposob´ow mo˙zna posadzi´c n os´ob przy okra,gÃlym stole ,aby wybrane 2 osoby siedziaÃly obok siebie?
6. W poczekalni do lekarza, w rze,dzie zÃlo˙zonym z n krzeseÃl, siedzi k pacjent´ow od lewej do prawej , w ten spos´ob, ˙ze ˙zadni dwaj nie siedza, na sa,siednich kresÃlach. Na ile sposob´ow mo˙zna wybra´c odpowiedni zbi´or k krzeseÃl?
7. Rozwa˙zaja,c kolorowanie k spo´sr´od n obiekt´ow, maja,c do dyspozycji 2 kolory, pokaza´c, ˙ze 2k(nk) =Pki=0(ni)(n−ik−i).
8. Udowodni´c r´o˙znymi metodami : (2nn ) =Pni=0(ni)2.
9. Na pÃlaszczy´znie mamy n prostych z kt´orych x1 jest r´ownolegÃlych w jednym kierunku, x2 w drugim kierunku itd... xk w k-tym kierunku oraz ˙zadne trzy nie przecinaja,sie, w jednym punkcie. Pokaza´c, ˙ze liczba punkt´ow przecie,cia tych prostych wynosi: 0, 5(n2− (Pki=1x2i))