• Nie Znaleziono Wyników

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ"

Copied!
89
0
0

Pełen tekst

(1)

Wykłady z matematyki inżynierskiej

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

IMiF UTP

01

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 1 / 38

(2)

FUNKCJA f : X → Y

DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .

X x3 x2

x1

Y y2

y1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38

(3)

FUNKCJA f : X → Y

DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .

X x3 x2

x1

Y y2

y1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38

(4)

FUNKCJA f : X → Y

DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowaniekażdemuelementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .

X x3 x2 x1

Y y2 y1

To nie jest funkcja, f (x3) =?

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38

(5)

FUNKCJA f : X → Y

DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .

X x3 x2

x1

Y y2

y1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38

(6)

FUNKCJA f : X → Y

DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .

X x3 x2 x1

Y y2 y1

To jest funkcja, f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y1.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38

(7)

FUNKCJA f : X → Y

DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .

X x3 x2

x1

Y y2

y1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38

(8)

FUNKCJA f : X → Y

DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .

X x3 x2 x1

Y y2 y1

To nie jest funkcja, f (x3) =?

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38

(9)

FUNKCJA f : X → Y

DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .

X x3 x2 x1

Y y3 y2

y1

To jest funkcja, f (x1) = y1, f (x2) = y3, f (x3) = y2.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38

(10)

Złożenie funkcji

DEFINICJA. Załóżmy, że f : X → Y oraz g : Y → Z . Złożenie funkcji f oraz g to funkcja h : X → Z określona wzorem h(x ) = gf (x ).

X x2 x1

Y y2

y1

Z z1

z2

f g

h

f (x1) = y1, f (x2) = y2, g (y1) = z1, g (y2) = z2, h(x1)= g [f (x1)] = g (y1) =z1,

h(x2)= g [f (x2)] = g (y2) =z2

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 3 / 38

(11)

Złożenie funkcji

DEFINICJA. Załóżmy, że f : X → Y oraz g : Y → Z . Złożenie funkcji f oraz g to funkcja h : X → Z określona wzorem h(x ) = gf (x ).

X x2 x1

Y y2

y1

Z z1

z2

f g

h

f (x1) = y1, f (x2) = y2, g (y1) = z1, g (y2) = z2, h(x1)= g [f (x1)] = g (y1) =z1,

h(x2)= g [f (x2)] = g (y2) =z2

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 3 / 38

(12)

Złożenie funkcji

DEFINICJA. Załóżmy, że f : X → Y oraz g : Y → Z . Złożenie funkcji f oraz g to funkcja h : X → Z określona wzorem h(x ) = gf (x ).

X x2 x1

Y y2

y1

Z z1

z2

f g

h

f (x1) = y1, f (x2) = y2, g (y1) = z1, g (y2) = z2, h(x1)= g [f (x1)] = g (y1) =z1,

h(x2)= g [f (x2)] = g (y2) =z2

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 3 / 38

(13)

Funkcja odwrotna.

X x3

x2

x1

Y y2 y1

f

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 4 / 38

(14)

Funkcja odwrotna.

X x3

x2

x1

Y y2 y1

f

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 4 / 38

(15)

Funkcja odwrotna.

X x3 x2

x1

Y y2

y1 f

to jest funkcja (nie jest różnowartościowa);to nie jest funkcja

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 4 / 38

(16)

Funkcja odwrotna. Tu: x

1

6= x

3

ale f (x

1

) = f (x

3

)

X x3

x2

x1

Y y2

y1 f

DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy

^

x1,x2∈X

x16= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 4 / 38

(17)

Tautologia (prawo kontrapozycji):

(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)

DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy

^

x1,x2∈X

x16= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

równoważnie:

DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy

^

x1,x2∈X

f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 5 / 38

(18)

Tautologia (prawo kontrapozycji):

(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)

DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy

^

x1,x2∈X

x16= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

równoważnie:

DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy

^

x1,x2∈X

f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 5 / 38

(19)

Funkcja odwrotna

X x3

x2

x1

Y y3 y2 y1

y4

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 6 / 38

(20)

Funkcja odwrotna

X x3

x2

x1

Y y3 y2 y1

y4

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 6 / 38

(21)

Funkcja odwrotna

X x3 x2

x1

Y y3

y2 y1

y4

to jest funkcja (różnowartościowa, ale nie „na”);to nie jest funkcja

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 6 / 38

(22)

Funkcja odwrotna

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa oraz że Y jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : X → Y to funkcja f−1 : Y → X określona naste¸puja¸co:

f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).

X x3

x2

x1

Y y3

y2 y1 f

f (x1) = y1, f (x2) = y3, f (x3) = y2;

f−1(y1) = x1, f−1(y2) = x3, f−1(y3) = x2.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 7 / 38

(23)

Funkcja odwrotna

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa oraz że Y jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : X → Y to funkcja f−1 : Y → X określona naste¸puja¸co:

f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).

X x3

x2

x1

Y y3

y2 y1 f

f (x1) = y1, f (x2) = y3, f (x3) = y2;

f−1(y1) = x1, f−1(y2) = x3, f−1(y3) = x2.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 7 / 38

(24)

Funkcja odwrotna

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa oraz że Y jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : X → Y to funkcja f−1 : Y → X określona naste¸puja¸co:

f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).

X x3

x2

x1

Y y3

y2 y1 f

f−1

f (x1) = y1, f (x2) = y3, f (x3) = y2;

f−1(y1) = x1, f−1(y2) = x3, f−1(y3) = x2.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 8 / 38

(25)

Funkcja odwrotna

WNIOSEK.

f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .

X x3

x2 x1

Y y3 y2 y1

f

f−1

f−1f (x1)= f−1(y1) = x1, . . . ff−1(y1)= f (x1) = y1, . . .

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 9 / 38

(26)

Funkcja odwrotna

WNIOSEK.

f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .

X x3

x2 x1

Y y3 y2 y1

f

f−1

f−1f (x1)= f−1(y1) = x1, . . . ff−1(y1)= f (x1) = y1, . . .

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 9 / 38

(27)

FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ

DEFINICJA. Funkcja jednej zmiennej rzeczywistej f odwzorowuja¸ca zbiór D ⊂ R w R jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie jednej liczby rzeczywistej.

Piszemy f : D → R lub y = f (x), x ∈ D.

Jeżeli dziedzina D, w której funkcje¸ rozważamy nie jest wyraźnie

wskazana, to przyjmujemy, że jest nia¸ zbiór wszystkich liczb x , dla których prawa strona wzoru y = f (x ) ma określona¸ wartość.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 10 / 38

(28)

DZIEDZINA

PRZYKŁAD 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = sin x +3 x + 1.

D = R

PRZYKŁAD 2. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) =

x + 1 + ln(2 − x ). Oczywiście: x + 1 ­ 0 i 2 − x > 0 , zatem D = [−1, 2).

PRZYKŁAD 3. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = log2(−2x2− x + 3). Oczywiście: −2x2− x + 3 > 0, zatem D = (−1, 5; 1).

Tu: ∆ = b2− 4ac = (−1)2− 4 · (−2) · 3 = 25 x1=−b+

2a = −(−1)+52·(−2) = −1, 5; x2=−b−

2a = −(−1)−52·(−2) = 1.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 11 / 38

(29)

DZIEDZINA

PRZYKŁAD 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = sin x +3 x + 1.

D = R

PRZYKŁAD 2. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) =

x + 1 + ln(2 − x ).

Oczywiście: x + 1 ­ 0 i 2 − x > 0 , zatem D = [−1, 2).

PRZYKŁAD 3. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = log2(−2x2− x + 3). Oczywiście: −2x2− x + 3 > 0, zatem D = (−1, 5; 1).

Tu: ∆ = b2− 4ac = (−1)2− 4 · (−2) · 3 = 25 x1=−b+

2a = −(−1)+52·(−2) = −1, 5; x2=−b−

2a = −(−1)−52·(−2) = 1.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 11 / 38

(30)

DZIEDZINA

PRZYKŁAD 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = sin x +3 x + 1.

D = R

PRZYKŁAD 2. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) =

x + 1 + ln(2 − x ).

Oczywiście: x + 1 ­ 0 i 2 − x > 0 , zatem D = [−1, 2).

PRZYKŁAD 3. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = log2(−2x2− x + 3).

Oczywiście: −2x2− x + 3 > 0, zatem D = (−1, 5; 1).

Tu: ∆ = b2− 4ac = (−1)2− 4 · (−2) · 3 = 25 x1=−b+

2a = −(−1)+52·(−2) = −1, 5; x2=−b−

2a = −(−1)−52·(−2) = 1.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 11 / 38

(31)

Wykres

DEFINICJA. Wykres funkcji f : D → R to zbiór {(x, y ); y = f (x), x ∈ D}.

x y

0 1

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 12 / 38

(32)

Wykres funkcji y = 2

x

DEFINICJA. Wykres funkcji f : D → R to zbiór {(x, y ); y = f (x), x ∈ D}.

x y

0 1

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 12 / 38

(33)

Logarytmy

DEFINICJA.

Niech a > 0, a 6= 1, b > 0.

logab = c ⇔ ac = b WŁASNOŚCI.

Niech a > 0, a 6= 1, d > 0, d 6= 1, p > 0, q > 0.

λ logap = logapλ logapq = logap + logaq

logap

q = logap − logaq logap = logdp

logda

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 13 / 38

(34)

Wykres funkcji y = log

2

x

y = log

2

x ⇔ x = 2

y

x y

0 1

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 14 / 38

(35)

Funkcja odwrotna.

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze D oraz że W jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : D → W to funkcja f−1: W → D określona naste¸puja¸co:

f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).

WNIOSEK. f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .

WŁASNOŚĆ. Wykresy funkcji f (x ) oraz f−1(x ) sa¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 15 / 38

(36)

Funkcja odwrotna.

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze D oraz że W jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : D → W to funkcja f−1: W → D określona naste¸puja¸co:

f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).

WNIOSEK. f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .

WŁASNOŚĆ. Wykresy funkcji f (x ) oraz f−1(x ) sa¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 15 / 38

(37)

Funkcja odwrotna.

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze D oraz że W jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : D → W to funkcja f−1: W → D określona naste¸puja¸co:

f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).

WNIOSEK. f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .

WŁASNOŚĆ. Wykresy funkcji f (x ) oraz f−1(x ) sa¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 15 / 38

(38)

W szczególności wykresy funkcji f (x ) = 2

x

oraz

f (x ) = log

2

x sa ¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .

y

x

0 1

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 16 / 38

(39)

y = 2

x

⇔ x = log

2

y oraz x = 2

y

⇔ y = log

2

x

y

x

0 1

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 16 / 38

(40)

W szczególności wykresy funkcji f (x ) =

12x

oraz f (x ) = log

1

2

x sa ¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .

y

x

0 1

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 17 / 38

(41)

y =

12x

⇔ x = log

1

2

y oraz x =

12y

⇔ y = log

1

2

x

y

x

0 1

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 17 / 38

(42)

W szczególności wykresy funkcji f (x ) = e

x

oraz f (x ) = ln x = log

e

x sa ¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .

x y

1 e

0 11 e

1

0 2

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 18 / 38

(43)

y = e

x

⇔ x = ln y oraz x = e

y

⇔ y = ln x

x y

1 e

0 11 e

1

0 2

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 18 / 38

(44)

MONOTONICZNOŚĆ

x y

x1 x2

f (x1) f (x2)

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 19 / 38

(45)

MONOTONICZNOŚĆ

x y

x1 x2

f (x1) f (x2)

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 19 / 38

(46)

MONOTONICZNOŚĆ

x y

x1 x2

f (x1) f (x2)

DEFINICJA. Funkcje¸ f : D → R nazywamy rosna¸ca¸, gdy

^

x1,x2∈D

x1< x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 19 / 38

(47)

MONOTONICZNOŚĆ

x y

x2

x1

f (x2) f (x1)

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 20 / 38

(48)

MONOTONICZNOŚĆ

x y

x2

x1

f (x2) f (x1)

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 20 / 38

(49)

MONOTONICZNOŚĆ

x y

x2

x1

f (x2) f (x1)

DEFINICJA. Funkcje¸ f : D → R nazywamy maleja¸ca¸, gdy

^

x1,x2∈D

x1< x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 20 / 38

(50)

PARZYSTOŚĆ

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgle¸dem osi 0y .

x y

−x x

f (x ) = f (−x )

x

−x

f (−x ) = f (x )

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 21 / 38

(51)

PARZYSTOŚĆ

WŁASNOŚĆ. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgle¸dem osi 0y .

x y

−x x

f (x ) = f (−x )

x

−x

f (−x ) = f (x )

DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest parzysta, gdy

^

x ∈D

−x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 21 / 38

(52)

PARZYSTOŚĆ

WŁASNOŚĆ. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgle¸dem osi 0y .

x y

x

−x

f (−x ) = f (x )

DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest parzysta, gdy

^

x ∈D

−x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 21 / 38

(53)

PARZYSTOŚĆ

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgle¸dem środka układu współrze¸dnych.

x y

x

−x

f (x )

f (−x )

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 22 / 38

(54)

PARZYSTOŚĆ

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgle¸dem środka układu współrze¸dnych.

x y

x

−x f (x )

f (−x )

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 22 / 38

(55)

PARZYSTOŚĆ

DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest nieparzysta, gdy

^

x ∈D

−x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).

WŁASNOŚĆ. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgle¸dem środka układu współrze¸dnych.

x y

−x x f (x )

f (−x )

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 22 / 38

(56)

Parzystość

Przykład. Zbadaj parzystość funkcji f (x ) = 3xx3−3−x−x5 . D : 3x− 3−x 6= 0, 3x 6= 3−x, x 6= 0, D = R \ {0},

f (−x ) = (−x )3(−x )3−3−(−x)−(−x)5 = (−x(3−x3−3+xx5)·(−1))·(−1) = −3x3−x−x+35x = 3xx3−3−x−x5 = f (x ), funkcja jest parzysta.

Przykład. Zbadaj parzystość funkcji f (x ) = x6+|x |+1sin x . D = R,

f (−x ) = (−x )sin(−x )6+|−x |+1 = x6− sin x+|x |+1 = −x6+|x |+1sin x = −f (x ), funkcja jest nieparzysta.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 23 / 38

(57)

Funkcje ograniczone

DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest ograniczona z góry, gdy istnieje taka liczba M, że dla każdego x ∈ D mamy f (x ) ¬ M.

DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest ograniczona z dołu, gdy istnieje taka liczba m, że dla każdego x ∈ D mamy f (x ) ­ m.

DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest ograniczona, jeśli jest ograniczona z dołu i z góry.

DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest okresowa, gdy istnieje takie r 6= 0, że dla każdego x ∈ D mamy x + r ∈ D oraz f (x + r ) = f (x ).

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 24 / 38

(58)

Funkcje trygonometryczne, przypomnienie

(a, b)

a b

α 1

1

sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sin 0 = 0, cos 0 = 1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 25 / 38

(59)

Funkcje trygonometryczne, przypomnienie

(a, b)

a b

1

1 (1,0)

sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sin 0 =0, cos 0 = 1, tg0 = 01 = 0

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 26 / 38

(60)

Funkcje trygonometryczne, przypomnienie

(a, b)

a b

1

1 (0, 1)

sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sinπ2 = 1, cosπ2 = 0, ctgπ2 = 0

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 27 / 38

(61)

Funkcje trygonometryczne, przypomnienie

(a, b)

a b

1

1 (−1, 0)

sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sin π = 0, cos π = −1, tgπ = 0

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 28 / 38

(62)

Funkcje trygonometryczne, przypomnienie

(a, b)

a b

1

1

(0, −1)

sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sin32π = −1 = sin −π2, cos23π = 0 = cos −π2, ctg32π = 0

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 29 / 38

(63)

Funkcje trygonometryczne, przypomnienie

(a, b)

a b

1

1 (1, 0)

sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0

sin 2π = 0 = sin 4π = sin 6π = . . . , cos 2π = 1 = cos 4π = . . . , tg2π = 0

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 30 / 38

(64)

Funkcje trygonometryczne, przypomnienie

(a, b)

(a, −b) a

b

−αα 1

1

sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0

sin(−α) = −b = sin α, cos(−α) = a = cos α, tg(−α) = −ba − tgα

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 31 / 38

(65)

Funkcja sinus. Czy istnieje funkcja do niej odwrotna?

WŁASNOŚCI:

D = R, jest nieparzysta, ograniczona (z góry przez 1, z dołu przez −1), okresowa (o okresie 2π). Oczywiście nie jest różnowartościowa.

x y

0 π2 π

π2

−π

−2π

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 32 / 38

(66)

sinus

x y

0 π2 π

π2

−π

−2π

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 33 / 38

(67)

Funkcje cyklometryczne: arcus sinus

DEFINICJA. Funkcjaarcus sinus to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = sin x o dziedzinie ograniczonej do przedziału π2,π2. Inaczej mówia¸c

arc sin x = y ⇔ x = sin y dla x ∈ [−1, 1] oraz y ∈π2,π2.

x y

0 1 π2

π2

π 2

π2 1

−1

−1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 34 / 38

(68)

Funkcje cyklometryczne: arcus sinus

DEFINICJA. Funkcjaarcus sinus to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = sin x o dziedzinie ograniczonej do przedziału π2,π2. Inaczej mówia¸c

arc sin x = y ⇔ x = sin y dla x ∈ [−1, 1] oraz y ∈π2,π2.

x y

0 1 π2

π2

π 2

π2 1

−1

−1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 34 / 38

(69)

Funkcje cyklometryczne: arcus sinus

DEFINICJA. Funkcjaarcus sinus to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = sin x o dziedzinie ograniczonej do przedziału π2,π2. Inaczej mówia¸c

arc sin x = y ⇔ x = sin y dla x ∈ [−1, 1] oraz y ∈π2,π2.

x y

0 1 π2

π2

π 2

π2 1

−1

−1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 34 / 38

(70)

Funkcje cyklometryczne: arcus sinus

WŁASNOŚCI. Dziedziną funkcji arcus sinusjest przedział domknięty [−1, 1]. Jest to funkcja rosnąca, nieparzysta, ograniczona (z góry przez π2, z dołu przez −π2).

x y

0 1 π2

π2

π 2

π2 1

−1

−1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 35 / 38

(71)

Funkcja cosinus

WŁASNOŚCI:

D = R, jest parzysta, ograniczona (z góry przez 1, z dołu przez −1), okresowa (o okresie 2π); nie istnieje limx →+∞cos x ; nie istnieje limx →−∞cos x .

x y

0 π2 π

π2

−π

−2π

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 36 / 38

(72)

cosinus

x y

0 π2 π

π2

−π

−2π

1

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 37 / 38

(73)

Funkcje cyklometryczne: arcus cosinus

DEFINICJA. Funkcja arcus cosinus to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = cos x o dziedzinie ograniczonej do przedziału 0, π.

x y

0 1 π2

π2

π 2

1

−1

−1

π

π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 38 / 38

(74)

Funkcje cyklometryczne: arcus cosinus

Oczywiście: arc cos x = y ⇔ x = cos y dla x ∈ [−1, 1] oraz y ∈0, π].

x y

0 1 π2

π2

π 2

1

−1

−1

π

π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 38 / 38

(75)

Funkcje cyklometryczne: arcus cosinus

x y

0 1 π2

π2

π 2

1

−1

−1

π

π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 38 / 38

(76)

WŁASNOŚCI. Dziedziną funkcji arcus cosinus jest przedział domknięty [−1, 1]. Jest to funkcja malejąca, ograniczona (z góry przez π, z dołu przez 0).

x y

0 1 π2

π2

π 2

1

−1 π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 39 / 38

(77)

tangens

WŁASNOŚCI: D = R \ {. . . , −32π, −12π,12π,32π,52π, . . . }, jest nieparzysta, nie jest ograniczona ani góry, ani z dołu, jest okresowa (o okresie π).

x

y f (x ) = tg x

π

2 π 3

2π

0 1

−1

π 4

π4

π2

32π −π

−2π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 40 / 38

(78)

tangens

WŁASNOŚCI: D = R \ {. . . , −32π, −12π,12π,32π,52π, . . . }, jest nieparzysta, nie jest ograniczona ani góry, ani z dołu, jest okresowa (o okresie π).

x

y f (x ) = tg x

π

2 π 3

2π

0 1

−1

π 4

π4

π2

32π −π

−2π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 40 / 38

(79)

Funkcje cyklometryczne: arcus tangens

DEFINICJA. Funkcjaarcus tangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = tg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału π2,π2. Oczywiście: arctg x = y ⇔ x = tg y dla x ∈ R oraz y ∈ −π2,π2.

x y

y = arctgx

π 4

0 1

π 2

π2

π4

−1

y =π2

y = −π2

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 41 / 38

(80)

Funkcje cyklometryczne: arcus tangens

DEFINICJA. Funkcjaarcus tangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = tg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału π2,π2. Oczywiście: arctg x = y ⇔ x = tg y dla x ∈ R oraz y ∈ −π2,π2.

x y

y = arctgx

π 4

0 1

π 2

π2

π4

−1

y =π2

y = −π2

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 41 / 38

(81)

Funkcje cyklometryczne: arcus tangens

DEFINICJA. Funkcjaarcus tangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = tg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału π2,π2. Oczywiście: arctg x = y ⇔ x = tg y dla x ∈ R oraz y ∈ −π2,π2.

x y

y = arctgx

π 4

0 1

π 2

π2

π4

−1

y =π2

y = −π2

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 41 / 38

(82)

Funkcje cyklometryczne: arcus tangens

WŁASNOŚCI:

D = R, jest rosnąca, nieparzysta, ograniczona (z góry przez π/2, z dołu przez −π/2), limx →+∞arctgx = π2, limx →−∞arctgx = −π2.

x y

y = arctgx

π 4

0 1

π 2

π2

π4

−1

y =π2

y = −π2

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 42 / 38

(83)

cotangens

WŁASNOŚCI: D = R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, . . . }, jest nieparzysta, nie jest ograniczona ani góry, ani z dołu, jest okresowa (o okresie π).

x

y f (x ) = ctg x

π

2 π 3

2π

0 1

−1

π 4

π4

π2

32π −π

−2π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 43 / 38

(84)

cotangens

WŁASNOŚCI: D = R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, . . . }, jest nieparzysta, nie jest ograniczona ani góry, ani z dołu, jest okresowa (o okresie π).

x

y f (x ) = ctg x

π

2 π 3

2π

0 1

−1

π 4

π4

π2

32π −π

−2π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 43 / 38

(85)

Funkcje cyklometrycze: arcus cotangens

DEFINICJA. Funkcjaarcus cotangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = ctg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału 0, π.

Oczywiście: arcctg x = y ⇔ x = ctg y dla x ∈ R oraz y ∈ 0, π.

x y

π 4

0 1

π 2

π

3 4π

−1

y = π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 44 / 38

(86)

Funkcje cyklometrycze: arcus cotangens

DEFINICJA. Funkcjaarcus cotangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = ctg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału 0, π.

Oczywiście: arcctg x = y ⇔ x = ctg y dla x ∈ R oraz y ∈ 0, π.

x y

π 4

0 1

π 2

π

3 4π

−1

y = π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 44 / 38

(87)

Funkcje cyklometrycze: arcus cotangens

DEFINICJA. Funkcjaarcus cotangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = ctg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału 0, π.

Oczywiście: arcctg x = y ⇔ x = ctg y dla x ∈ R oraz y ∈ 0, π.

x y

π 4

0 1

π 2

π

3 4π

−1

y = π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 44 / 38

(88)

Funkcje cyklometrycze: arcus cotangens

WŁASNOŚCI:

D = R, jest malejąca, ograniczona (z góry przez π, z dołu przez 0), limx →+∞arcctgx = 0, limx →−∞arcctgx = π.

x y

π 4

0 1

π 2

π

3 4π

−1

y = π

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 45 / 38

(89)

Funkcje elementarne

DEFINICJA.

Funkcja elementarna to funkcja, która powstała z funkcji trygonometrycznych, cyklometrycznych (arcus), pote¸gowych,

wykładniczych i logarytmicznych za pomoca¸ skończonej liczby operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i złożeń.

JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 46 / 38

Cytaty

Powiązane dokumenty

Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: staªe, pot¦gowe, wykªadnicze, loga- rytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne.. Funkcje elementarne, to takie które

Twierdzenia o dwóch i o trzech funkcjach zachodz¡ równie» dla granic wªa±ciwych jednostronnych jak równie» dla granic wªa±ciwych

Ponadto, niech funkcja g(x) ma staªy znak w przedziale [a, b]. (nieujemna

Niech funkcja f okre±lona na przedziale (a, b] oraz a b¦dzie punktem osobliwym tj. funkcja b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie

Niech funkcja f okre±lona na przedziale (a, b] oraz a b¦dzie punktem osobliwym tj. funkcja b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie punktu a.. Oblicz drog¦ pokonan¡

2) zbadaj podstawowe wªasno±ci funkcji tj. parzysto±¢, nieparzysto±¢, okresowo±¢, punkty prze- ci¦cia wykresu funkcji z osiami wspóªrz¦dnych,. 3) wyznacz asymptoty

Wykazaliśmy, że ciąg liczb naturalnych, który ma skończoną granicę musi być od pewnego miejsca stały, więc granica jest równa pewnym wyrazom ciągu.. Jest to niezgodne z

Zauwa˙zmy, ˙ze poprzednio (przy definiowaniu granicy funkcji w punkcie) interesowali´smy si˛e jedynie proble- mem zbie˙zno´sci ci ˛ agu warto´sci funkcji... Rozwa˙zana