Wykłady z matematyki inżynierskiej
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ
IMiF UTP
01
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 1 / 38
FUNKCJA f : X → Y
DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .
X x3 x2
x1
Y y2
y1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38
FUNKCJA f : X → Y
DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .
X x3 x2
x1
Y y2
y1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38
FUNKCJA f : X → Y
DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowaniekażdemuelementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .
X x3 x2 x1
Y y2 y1
To nie jest funkcja, f (x3) =?
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38
FUNKCJA f : X → Y
DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .
X x3 x2
x1
Y y2
y1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38
FUNKCJA f : X → Y
DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .
X x3 x2 x1
Y y2 y1
To jest funkcja, f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y1.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38
FUNKCJA f : X → Y
DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .
X x3 x2
x1
Y y2
y1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38
FUNKCJA f : X → Y
DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .
X x3 x2 x1
Y y2 y1
To nie jest funkcja, f (x3) =?
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38
FUNKCJA f : X → Y
DEFINICJA. Funkcja f odwzorowuja¸ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y .
X x3 x2 x1
Y y3 y2
y1
To jest funkcja, f (x1) = y1, f (x2) = y3, f (x3) = y2.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 2 / 38
Złożenie funkcji
DEFINICJA. Załóżmy, że f : X → Y oraz g : Y → Z . Złożenie funkcji f oraz g to funkcja h : X → Z określona wzorem h(x ) = gf (x ).
X x2 x1
Y y2
y1
Z z1
z2
f g
h
f (x1) = y1, f (x2) = y2, g (y1) = z1, g (y2) = z2, h(x1)= g [f (x1)] = g (y1) =z1,
h(x2)= g [f (x2)] = g (y2) =z2
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 3 / 38
Złożenie funkcji
DEFINICJA. Załóżmy, że f : X → Y oraz g : Y → Z . Złożenie funkcji f oraz g to funkcja h : X → Z określona wzorem h(x ) = gf (x ).
X x2 x1
Y y2
y1
Z z1
z2
f g
h
f (x1) = y1, f (x2) = y2, g (y1) = z1, g (y2) = z2, h(x1)= g [f (x1)] = g (y1) =z1,
h(x2)= g [f (x2)] = g (y2) =z2
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 3 / 38
Złożenie funkcji
DEFINICJA. Załóżmy, że f : X → Y oraz g : Y → Z . Złożenie funkcji f oraz g to funkcja h : X → Z określona wzorem h(x ) = gf (x ).
X x2 x1
Y y2
y1
Z z1
z2
f g
h
f (x1) = y1, f (x2) = y2, g (y1) = z1, g (y2) = z2, h(x1)= g [f (x1)] = g (y1) =z1,
h(x2)= g [f (x2)] = g (y2) =z2
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 3 / 38
Funkcja odwrotna.
X x3
x2
x1
Y y2 y1
f
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 4 / 38
Funkcja odwrotna.
X x3
x2
x1
Y y2 y1
f
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 4 / 38
Funkcja odwrotna.
X x3 x2
x1
Y y2
y1 f
to jest funkcja (nie jest różnowartościowa);to nie jest funkcja
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 4 / 38
Funkcja odwrotna. Tu: x
16= x
3ale f (x
1) = f (x
3)
X x3
x2
x1
Y y2
y1 f
DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy
^
x1,x2∈X
x16= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 4 / 38
Tautologia (prawo kontrapozycji):
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)
DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy
^
x1,x2∈X
x16= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
równoważnie:
DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy
^
x1,x2∈X
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 5 / 38
Tautologia (prawo kontrapozycji):
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)
DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy
^
x1,x2∈X
x16= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
równoważnie:
DEFINICJA. Funkcje¸ f : X → Y nazywamy różnowartościowa¸, gdy
^
x1,x2∈X
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 5 / 38
Funkcja odwrotna
X x3
x2
x1
Y y3 y2 y1
y4
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 6 / 38
Funkcja odwrotna
X x3
x2
x1
Y y3 y2 y1
y4
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 6 / 38
Funkcja odwrotna
X x3 x2
x1
Y y3
y2 y1
y4
to jest funkcja (różnowartościowa, ale nie „na”);to nie jest funkcja
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 6 / 38
Funkcja odwrotna
DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa oraz że Y jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : X → Y to funkcja f−1 : Y → X określona naste¸puja¸co:
f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).
X x3
x2
x1
Y y3
y2 y1 f
f (x1) = y1, f (x2) = y3, f (x3) = y2;
f−1(y1) = x1, f−1(y2) = x3, f−1(y3) = x2.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 7 / 38
Funkcja odwrotna
DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa oraz że Y jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : X → Y to funkcja f−1 : Y → X określona naste¸puja¸co:
f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).
X x3
x2
x1
Y y3
y2 y1 f
f (x1) = y1, f (x2) = y3, f (x3) = y2;
f−1(y1) = x1, f−1(y2) = x3, f−1(y3) = x2.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 7 / 38
Funkcja odwrotna
DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa oraz że Y jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : X → Y to funkcja f−1 : Y → X określona naste¸puja¸co:
f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).
X x3
x2
x1
Y y3
y2 y1 f
f−1
f (x1) = y1, f (x2) = y3, f (x3) = y2;
f−1(y1) = x1, f−1(y2) = x3, f−1(y3) = x2.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 8 / 38
Funkcja odwrotna
WNIOSEK.
f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .
X x3
x2 x1
Y y3 y2 y1
f
f−1
f−1f (x1)= f−1(y1) = x1, . . . ff−1(y1)= f (x1) = y1, . . .
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 9 / 38
Funkcja odwrotna
WNIOSEK.
f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .
X x3
x2 x1
Y y3 y2 y1
f
f−1
f−1f (x1)= f−1(y1) = x1, . . . ff−1(y1)= f (x1) = y1, . . .
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 9 / 38
FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
DEFINICJA. Funkcja jednej zmiennej rzeczywistej f odwzorowuja¸ca zbiór D ⊂ R w R jest to przyporza¸dkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie jednej liczby rzeczywistej.
Piszemy f : D → R lub y = f (x), x ∈ D.
Jeżeli dziedzina D, w której funkcje¸ rozważamy nie jest wyraźnie
wskazana, to przyjmujemy, że jest nia¸ zbiór wszystkich liczb x , dla których prawa strona wzoru y = f (x ) ma określona¸ wartość.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 10 / 38
DZIEDZINA
PRZYKŁAD 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = sin x +√3 x + 1.
D = R
PRZYKŁAD 2. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) =√
x + 1 + ln(2 − x ). Oczywiście: x + 1 0 i 2 − x > 0 , zatem D = [−1, 2).
PRZYKŁAD 3. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = log2(−2x2− x + 3). Oczywiście: −2x2− x + 3 > 0, zatem D = (−1, 5; 1).
Tu: ∆ = b2− 4ac = (−1)2− 4 · (−2) · 3 = 25 x1=−b+
√∆
2a = −(−1)+52·(−2) = −1, 5; x2=−b−
√∆
2a = −(−1)−52·(−2) = 1.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 11 / 38
DZIEDZINA
PRZYKŁAD 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = sin x +√3 x + 1.
D = R
PRZYKŁAD 2. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) =√
x + 1 + ln(2 − x ).
Oczywiście: x + 1 0 i 2 − x > 0 , zatem D = [−1, 2).
PRZYKŁAD 3. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = log2(−2x2− x + 3). Oczywiście: −2x2− x + 3 > 0, zatem D = (−1, 5; 1).
Tu: ∆ = b2− 4ac = (−1)2− 4 · (−2) · 3 = 25 x1=−b+
√∆
2a = −(−1)+52·(−2) = −1, 5; x2=−b−
√∆
2a = −(−1)−52·(−2) = 1.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 11 / 38
DZIEDZINA
PRZYKŁAD 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = sin x +√3 x + 1.
D = R
PRZYKŁAD 2. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) =√
x + 1 + ln(2 − x ).
Oczywiście: x + 1 0 i 2 − x > 0 , zatem D = [−1, 2).
PRZYKŁAD 3. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x ) = log2(−2x2− x + 3).
Oczywiście: −2x2− x + 3 > 0, zatem D = (−1, 5; 1).
Tu: ∆ = b2− 4ac = (−1)2− 4 · (−2) · 3 = 25 x1=−b+
√∆
2a = −(−1)+52·(−2) = −1, 5; x2=−b−
√∆
2a = −(−1)−52·(−2) = 1.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 11 / 38
Wykres
DEFINICJA. Wykres funkcji f : D → R to zbiór {(x, y ); y = f (x), x ∈ D}.
x y
0 1
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 12 / 38
Wykres funkcji y = 2
xDEFINICJA. Wykres funkcji f : D → R to zbiór {(x, y ); y = f (x), x ∈ D}.
x y
0 1
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 12 / 38
Logarytmy
DEFINICJA.
Niech a > 0, a 6= 1, b > 0.
logab = c ⇔ ac = b WŁASNOŚCI.
Niech a > 0, a 6= 1, d > 0, d 6= 1, p > 0, q > 0.
λ logap = logapλ logapq = logap + logaq
logap
q = logap − logaq logap = logdp
logda
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 13 / 38
Wykres funkcji y = log
2x
y = log
2x ⇔ x = 2
yx y
0 1
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 14 / 38
Funkcja odwrotna.
DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze D oraz że W jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : D → W to funkcja f−1: W → D określona naste¸puja¸co:
f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).
WNIOSEK. f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .
WŁASNOŚĆ. Wykresy funkcji f (x ) oraz f−1(x ) sa¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 15 / 38
Funkcja odwrotna.
DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze D oraz że W jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : D → W to funkcja f−1: W → D określona naste¸puja¸co:
f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).
WNIOSEK. f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .
WŁASNOŚĆ. Wykresy funkcji f (x ) oraz f−1(x ) sa¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 15 / 38
Funkcja odwrotna.
DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze D oraz że W jest zbiorem wartości, które przyjmuje ta funkcja. Funkcja odwrotna do funkcji f : D → W to funkcja f−1: W → D określona naste¸puja¸co:
f−1(y ) = x ⇔ y = f (x ).
WNIOSEK. f−1f (x )= x oraz ff−1(y )= y .
WŁASNOŚĆ. Wykresy funkcji f (x ) oraz f−1(x ) sa¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 15 / 38
W szczególności wykresy funkcji f (x ) = 2
xoraz
f (x ) = log
2x sa ¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .
y
x
0 1
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 16 / 38
y = 2
x⇔ x = log
2y oraz x = 2
y⇔ y = log
2x
y
x
0 1
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 16 / 38
W szczególności wykresy funkcji f (x ) =
12xoraz f (x ) = log
12
x sa ¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .
y
x
0 1
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 17 / 38
y =
12x⇔ x = log
12
y oraz x =
12y⇔ y = log
12
x
y
x
0 1
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 17 / 38
W szczególności wykresy funkcji f (x ) = e
xoraz f (x ) = ln x = log
ex sa ¸ symetryczne wzgle¸dem prostej y = x .
x y
1 e
0 11 e
1
0 2
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 18 / 38
y = e
x⇔ x = ln y oraz x = e
y⇔ y = ln x
x y
1 e
0 11 e
1
0 2
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 18 / 38
MONOTONICZNOŚĆ
x y
x1 x2
f (x1) f (x2)
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 19 / 38
MONOTONICZNOŚĆ
x y
x1 x2
f (x1) f (x2)
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 19 / 38
MONOTONICZNOŚĆ
x y
x1 x2
f (x1) f (x2)
DEFINICJA. Funkcje¸ f : D → R nazywamy rosna¸ca¸, gdy
^
x1,x2∈D
x1< x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 19 / 38
MONOTONICZNOŚĆ
x y
x2
x1
f (x2) f (x1)
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 20 / 38
MONOTONICZNOŚĆ
x y
x2
x1
f (x2) f (x1)
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 20 / 38
MONOTONICZNOŚĆ
x y
x2
x1
f (x2) f (x1)
DEFINICJA. Funkcje¸ f : D → R nazywamy maleja¸ca¸, gdy
^
x1,x2∈D
x1< x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 20 / 38
PARZYSTOŚĆ
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgle¸dem osi 0y .
x y
−x x
f (x ) = f (−x )
x
−x
f (−x ) = f (x )
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 21 / 38
PARZYSTOŚĆ
WŁASNOŚĆ. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgle¸dem osi 0y .
x y
−x x
f (x ) = f (−x )
x
−x
f (−x ) = f (x )
DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest parzysta, gdy
^
x ∈D
−x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 21 / 38
PARZYSTOŚĆ
WŁASNOŚĆ. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgle¸dem osi 0y .
x y
x
−x
f (−x ) = f (x )
DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest parzysta, gdy
^
x ∈D
−x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 21 / 38
PARZYSTOŚĆ
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgle¸dem środka układu współrze¸dnych.
x y
x
−x
f (x )
f (−x )
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 22 / 38
PARZYSTOŚĆ
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgle¸dem środka układu współrze¸dnych.
x y
x
−x f (x )
f (−x )
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 22 / 38
PARZYSTOŚĆ
DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest nieparzysta, gdy
^
x ∈D
−x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).
WŁASNOŚĆ. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgle¸dem środka układu współrze¸dnych.
x y
−x x f (x )
f (−x )
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 22 / 38
Parzystość
Przykład. Zbadaj parzystość funkcji f (x ) = 3xx3−3−x−x5 . D : 3x− 3−x 6= 0, 3x 6= 3−x, x 6= 0, D = R \ {0},
f (−x ) = (−x )3(−x )3−3−(−x)−(−x)5 = (−x(3−x3−3+xx5)·(−1))·(−1) = −3x3−x−x+35x = 3xx3−3−x−x5 = f (x ), funkcja jest parzysta.
Przykład. Zbadaj parzystość funkcji f (x ) = x6+|x |+1sin x . D = R,
f (−x ) = (−x )sin(−x )6+|−x |+1 = x6− sin x+|x |+1 = −x6+|x |+1sin x = −f (x ), funkcja jest nieparzysta.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 23 / 38
Funkcje ograniczone
DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest ograniczona z góry, gdy istnieje taka liczba M, że dla każdego x ∈ D mamy f (x ) ¬ M.
DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest ograniczona z dołu, gdy istnieje taka liczba m, że dla każdego x ∈ D mamy f (x ) m.
DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest ograniczona, jeśli jest ograniczona z dołu i z góry.
DEFINICJA. Funkcja f : D → R jest okresowa, gdy istnieje takie r 6= 0, że dla każdego x ∈ D mamy x + r ∈ D oraz f (x + r ) = f (x ).
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 24 / 38
Funkcje trygonometryczne, przypomnienie
(a, b)
a b
α 1
1
sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sin 0 = 0, cos 0 = 1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 25 / 38
Funkcje trygonometryczne, przypomnienie
(a, b)
a b
1
1 (1,0)
sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sin 0 =0, cos 0 = 1, tg0 = 01 = 0
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 26 / 38
Funkcje trygonometryczne, przypomnienie
(a, b)
a b
1
1 (0, 1)
sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sinπ2 = 1, cosπ2 = 0, ctgπ2 = 0
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 27 / 38
Funkcje trygonometryczne, przypomnienie
(a, b)
a b
1
1 (−1, 0)
sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sin π = 0, cos π = −1, tgπ = 0
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 28 / 38
Funkcje trygonometryczne, przypomnienie
(a, b)
a b
1
1
(0, −1)
sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0 sin32π = −1 = sin −π2, cos23π = 0 = cos −π2, ctg32π = 0
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 29 / 38
Funkcje trygonometryczne, przypomnienie
(a, b)
a b
1
1 (1, 0)
sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0
sin 2π = 0 = sin 4π = sin 6π = . . . , cos 2π = 1 = cos 4π = . . . , tg2π = 0
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 30 / 38
Funkcje trygonometryczne, przypomnienie
(a, b)
(a, −b) a
b
−αα 1
1
sin α = b, cos α = a, tgα = ba, a 6= 0, ctgα = ab, b 6= 0
sin(−α) = −b = sin α, cos(−α) = a = cos α, tg(−α) = −ba − tgα
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 31 / 38
Funkcja sinus. Czy istnieje funkcja do niej odwrotna?
WŁASNOŚCI:
D = R, jest nieparzysta, ograniczona (z góry przez 1, z dołu przez −1), okresowa (o okresie 2π). Oczywiście nie jest różnowartościowa.
x y
0 π2 π 2π
−π2
−π
−2π
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 32 / 38
sinus
x y
0 π2 π 2π
−π2
−π
−2π
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 33 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus sinus
DEFINICJA. Funkcjaarcus sinus to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = sin x o dziedzinie ograniczonej do przedziału −π2,π2. Inaczej mówia¸c
arc sin x = y ⇔ x = sin y dla x ∈ [−1, 1] oraz y ∈−π2,π2.
x y
0 1 π2
−π2
π 2
−π2 1
−1
−1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 34 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus sinus
DEFINICJA. Funkcjaarcus sinus to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = sin x o dziedzinie ograniczonej do przedziału −π2,π2. Inaczej mówia¸c
arc sin x = y ⇔ x = sin y dla x ∈ [−1, 1] oraz y ∈−π2,π2.
x y
0 1 π2
−π2
π 2
−π2 1
−1
−1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 34 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus sinus
DEFINICJA. Funkcjaarcus sinus to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = sin x o dziedzinie ograniczonej do przedziału −π2,π2. Inaczej mówia¸c
arc sin x = y ⇔ x = sin y dla x ∈ [−1, 1] oraz y ∈−π2,π2.
x y
0 1 π2
−π2
π 2
−π2 1
−1
−1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 34 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus sinus
WŁASNOŚCI. Dziedziną funkcji arcus sinusjest przedział domknięty [−1, 1]. Jest to funkcja rosnąca, nieparzysta, ograniczona (z góry przez π2, z dołu przez −π2).
x y
0 1 π2
−π2
π 2
−π2 1
−1
−1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 35 / 38
Funkcja cosinus
WŁASNOŚCI:
D = R, jest parzysta, ograniczona (z góry przez 1, z dołu przez −1), okresowa (o okresie 2π); nie istnieje limx →+∞cos x ; nie istnieje limx →−∞cos x .
x y
0 π2 π 2π
−π2
−π
−2π
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 36 / 38
cosinus
x y
0 π2 π 2π
−π2
−π
−2π
1
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 37 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus cosinus
DEFINICJA. Funkcja arcus cosinus to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = cos x o dziedzinie ograniczonej do przedziału 0, π.
x y
0 1 π2
−π2
π 2
1
−1
−1
π
π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 38 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus cosinus
Oczywiście: arc cos x = y ⇔ x = cos y dla x ∈ [−1, 1] oraz y ∈0, π].
x y
0 1 π2
−π2
π 2
1
−1
−1
π
π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 38 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus cosinus
x y
0 1 π2
−π2
π 2
1
−1
−1
π
π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 38 / 38
WŁASNOŚCI. Dziedziną funkcji arcus cosinus jest przedział domknięty [−1, 1]. Jest to funkcja malejąca, ograniczona (z góry przez π, z dołu przez 0).
x y
0 1 π2
−π2
π 2
1
−1 π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 39 / 38
tangens
WŁASNOŚCI: D = R \ {. . . , −32π, −12π,12π,32π,52π, . . . }, jest nieparzysta, nie jest ograniczona ani góry, ani z dołu, jest okresowa (o okresie π).
x
y f (x ) = tg x
π
2 π 3
2π 2π
0 1
−1
π 4
−π4
−π2
−32π −π
−2π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 40 / 38
tangens
WŁASNOŚCI: D = R \ {. . . , −32π, −12π,12π,32π,52π, . . . }, jest nieparzysta, nie jest ograniczona ani góry, ani z dołu, jest okresowa (o okresie π).
x
y f (x ) = tg x
π
2 π 3
2π 2π
0 1
−1
π 4
−π4
−π2
−32π −π
−2π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 40 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus tangens
DEFINICJA. Funkcjaarcus tangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = tg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału −π2,π2. Oczywiście: arctg x = y ⇔ x = tg y dla x ∈ R oraz y ∈ −π2,π2.
x y
y = arctgx
π 4
0 1
π 2
−π2
−π4
−1
y =π2
y = −π2
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 41 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus tangens
DEFINICJA. Funkcjaarcus tangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = tg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału −π2,π2. Oczywiście: arctg x = y ⇔ x = tg y dla x ∈ R oraz y ∈ −π2,π2.
x y
y = arctgx
π 4
0 1
π 2
−π2
−π4
−1
y =π2
y = −π2
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 41 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus tangens
DEFINICJA. Funkcjaarcus tangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = tg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału −π2,π2. Oczywiście: arctg x = y ⇔ x = tg y dla x ∈ R oraz y ∈ −π2,π2.
x y
y = arctgx
π 4
0 1
π 2
−π2
−π4
−1
y =π2
y = −π2
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 41 / 38
Funkcje cyklometryczne: arcus tangens
WŁASNOŚCI:
D = R, jest rosnąca, nieparzysta, ograniczona (z góry przez π/2, z dołu przez −π/2), limx →+∞arctgx = π2, limx →−∞arctgx = −π2.
x y
y = arctgx
π 4
0 1
π 2
−π2
−π4
−1
y =π2
y = −π2
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 42 / 38
cotangens
WŁASNOŚCI: D = R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, . . . }, jest nieparzysta, nie jest ograniczona ani góry, ani z dołu, jest okresowa (o okresie π).
x
y f (x ) = ctg x
π
2 π 3
2π 2π
0 1
−1
π 4
−π4
−π2
−32π −π
−2π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 43 / 38
cotangens
WŁASNOŚCI: D = R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, . . . }, jest nieparzysta, nie jest ograniczona ani góry, ani z dołu, jest okresowa (o okresie π).
x
y f (x ) = ctg x
π
2 π 3
2π 2π
0 1
−1
π 4
−π4
−π2
−32π −π
−2π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 43 / 38
Funkcje cyklometrycze: arcus cotangens
DEFINICJA. Funkcjaarcus cotangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = ctg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału 0, π.
Oczywiście: arcctg x = y ⇔ x = ctg y dla x ∈ R oraz y ∈ 0, π.
x y
π 4
0 1
π 2
π
3 4π
−1
y = π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 44 / 38
Funkcje cyklometrycze: arcus cotangens
DEFINICJA. Funkcjaarcus cotangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = ctg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału 0, π.
Oczywiście: arcctg x = y ⇔ x = ctg y dla x ∈ R oraz y ∈ 0, π.
x y
π 4
0 1
π 2
π
3 4π
−1
y = π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 44 / 38
Funkcje cyklometrycze: arcus cotangens
DEFINICJA. Funkcjaarcus cotangens to funkcja odwrotna do funkcji f (x ) = ctg x o dziedzinie ograniczonej do przedziału 0, π.
Oczywiście: arcctg x = y ⇔ x = ctg y dla x ∈ R oraz y ∈ 0, π.
x y
π 4
0 1
π 2
π
3 4π
−1
y = π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 44 / 38
Funkcje cyklometrycze: arcus cotangens
WŁASNOŚCI:
D = R, jest malejąca, ograniczona (z góry przez π, z dołu przez 0), limx →+∞arcctgx = 0, limx →−∞arcctgx = π.
x y
π 4
0 1
π 2
π
3 4π
−1
y = π
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 45 / 38
Funkcje elementarne
DEFINICJA.
Funkcja elementarna to funkcja, która powstała z funkcji trygonometrycznych, cyklometrycznych (arcus), pote¸gowych,
wykładniczych i logarytmicznych za pomoca¸ skończonej liczby operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i złożeń.
JJ (IMiF UTP) FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ 01 46 / 38