• Nie Znaleziono Wyników

b) struktura Rn×n,•jest grup ˛a abelow ˛a, gdzie

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "b) struktura Rn×n,•jest grup ˛a abelow ˛a, gdzie"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

Algebra liniowa – dr Michał Góra Zestaw 6. Macierze Zadanie 1. Niech Fn×m oznacza zbiór macierzy o n wierszach, m kolumnach oraz o ele-

mentach nale˙z ˛acych do zbioru F. Sprawd´z, czy:

a) struktura Rn×m,+jest grup ˛a abelow ˛a, gdzie + – dodawanie macierzy;

b) struktura Rn×n,jest grup ˛a abelow ˛a, gdzie • – mno˙zenie macierzy;

c) struktura (A, +, •) jest ciałem, gdzie A =

 b

−b 



: , b ∈R



, + – dodawanie macierzy, • – mno˙zenie macierzy,

d) struktura Rn×m,+, • jest przestrzeni ˛a wektorow ˛a nad ciałem R, gdzie + – do- dawanie macierzy, • – mno˙zenie macierzy przez liczb˛e. W przypadku pozyty- wnej odpowiedzi, podaj baz˛e tej przestrzeni.

Zadanie 2. Niech

A=

 1 2 0 0 3 −1



oraz B =

 −1 2 −1

1 1 0

 .

Znajd´z macierz X, spełniaj ˛ac ˛a równanie a) 4 (A − X) + 5 (3X + B) = A − B + 8X;

b) BTX= [1 1 0]T.

Zadanie 3. Znajd´z macierz trójk ˛atn ˛a doln ˛a L z dodatnimi elementami na przek ˛atnej speł- niaj ˛ac ˛a równanie:

LLT =

 1 1 1 4

 .

Zadanie 4. Sprawd´z, czy dla A, B ∈Rn×n prawdziwe s ˛a poni˙zsze zale˙zno´sci:

a) AB = BA;

b) AB = 0 ⇒ (A = 0 ∨ B = 0) , 0 ∈Rn×n; c) (A + B)2= A2+ 2AB + B2;

d) AB = BA ⇒ (A + B)3= A3+ 3A2B+ 3AB2+ B3.

Zadanie 5. Wyznacz ƒ (A), je˙zeli ƒ () = 2− 5 + 3 oraz A =

 2 −1

−3 3

 .

Zadanie 6.* Uzasadnij, ˙ze dla dowolnej macierzy A ∈ Cn×n istnieje wielomian ƒ :R R taki, ˙ze ƒ (A) = 0.

Zadanie 7. Rozwi ˛a˙z macierzowy układ równa´n



X+ Y =

 0 1 0 1



2X + 3Y =

 1 0 0 1

 .

Zadanie 8.* Dla macierzy

a) A =

 0 0 −



, dla  =p

−1, b) A =

 cos θ sin θ

− sin θ cos θ



, dla θ ∈R

wyznacz An= A · . . . · A

| {z }

× n

.

13

(2)

Zadanie 9.* Dla macierzy A ∈Rn×n okre´slamy odwzorowanie Ψ :Rn3  → A ∈Rn. Podaj interpretacj˛e geometryczn ˛a odwzorowania Ψ w przypadku, gdy

a) A =

 cos θ − sin θ sin θ cos θ



, dla θ ∈R, b) A =

1 0 0 0 0 1 0 1 0

.

W oparciu o interpretacj˛e geometryczn ˛a odwzorowania Ψ, uzasadnij jego bijekty- wno´s´c oraz wyznacz odwzorowanie odwrotne Ψ−1.

Zadanie 10. Udowodnij, ˙ze iloczyn macierzy trójk ˛atnych górnych (dolnych) jest macierz ˛a trójk ˛atn ˛a górn ˛a (doln ˛a).

Zadanie 11. Wyka˙z, ˙ze je˙zeli A =”j—n

,j=1 jest macierz ˛a ortogonaln ˛a (tj. ATA= AAT = ), to:

a) Pnk=12

kj= 1, ∀j = 1, . . . , n;

b) Pnk=12

k= 1, ∀ = 1, . . . , n;

c) Pnk=1kkj= 0, dla  6= j.

Zadanie 12. Zadana jest macierz ortogonalna A ∈Rn×n. Rozwi ˛a˙z równanie AX€ATŠ2= −3,

z niewiadom ˛a macierz ˛a X, −macierz jednostkowa.

Odpowiedzi:

Zadanie 1: a) jest; b) nie jest; c) jest; d) jest;

Zadanie 2: a) X =

 1 −6 2

−2 −5 1



; b) X =

 0 1



;

Zadanie 3: L =

– 1 0 1 p

3

™

;

Zadanie 4: a) nie; b) nie; c) nie; d) tak;

Zadanie 5: ƒ (A) =

 0 0 0 0



;

Zadanie 6*: Wskazówka: wykorzystuj ˛ac zadanie 1d) uzasadni´c, ˙ze istnieje taka liczba NN, ˙ze macierze , A, . . . , AN s ˛a liniowo zale˙zne;

Zadanie 7: X =

 −1 3 0 2

 , Y=

 1 −2 0 −1



;

Zadanie 8*: a)

 n 0 0 (−)n



, nN; b)

 cos nθ sin nθ

− sin nθ cos nθ



, nN;

Zadanie 9*: a) Obrót o k ˛at θ, A−1 =

 cos θ sin θ

− sin θ cos θ



; b) Symetria wzgl˛edem płaszczyzny

¦(, y, z) ∈R3: y − z = 0©, A−1= A;

14

(3)

Zadanie 10: A = ”j—, B = ”bj— : j = 0, bj = 0 dla  < j. AB = C = ”cj—. Wówczas:

cj=Pnk=1kbkjdla k>=

k=0

P

k=1kbkjdla k<j=

bkj=0

P

k=jkbkj, czyli dla  < j : cj= 0.

Zadanie 11: Wskazówka: rozpisa´c warunki ortogonalno´sci jak w zadaniu poprzednim.

Zadanie 12: −A.

15

Cytaty

Powiązane dokumenty

Kolejne zadania są dodatkowe (choć bardzo polecam zrobienie ich przed robieniem zadania punktowanego).. Następnie zbadaj ciągłość otrzymanej w ten

Banacha o operatorze odwrotnym) Je˙zeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwzorowuj¸ acym wzajem- nie jednoznacznie przestrze´ n Banacha X na przestrze´ n Banacha Y , to

Znaleźć największą liczbę n ∈ N, dla której umie Pan/i pokazać, że dla każdej nieparzystej m &lt; n, jeśli |G| = m, to G jest

Na przełomie lat 20- tych i 30-tych XX wieku niezależnie Kołmogorow, Nagumo oraz de Finetti wpadli na pomysł nowych średnich będących daleko idącym uogólnieniem

[r]

Udowodnij, że każdy wielomian ϕ stopnia 3 przyjmuje wartości różnych znaków.. Korzystając z własności Darboux, wywnioskuj, że ϕ

Probability Calculus 2019/2020 Introductory Problem Set1. Using the notation with operations on sets, how would

[r]