Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria Środowiska
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
13. Granica funkcji
1. Granice funkcji.
I. Podstawowe definicje.
Punkt skupienia
Punkt x
0∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru D ⊂ R, jeśli
∀
δ>0∃
x∈D, x̸=x0|x − x
0| < δ.
Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy symbolem D
′. Warunek Heinego granicy funkcji
Niech f : D → R oraz x
0∈ D
′. Mówimy wówczas, że f (x) zmierza do g przy x zbieżnym do x
0wtedy i tylko wtedy, gdy
x
lim
→x0f (x) = g ⇐⇒ ∀
(xn)⊂D\{x0}(
x
n→ x
0= ⇒ f(x
n) → g
). Warunek Cauchy’ego granicy funkcji
Niech f : D → R oraz x
0∈ D
′. Wtedy:
x
lim
→x0f (x) = g ⇐⇒ ∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈Dx̸=x0
|x − x
0| < δ =⇒ |f(x) − g| < ε.
Uwaga
1. Obie definicje są równoważne.
2. Granica funkcji jest jedyna.
II. Własności granic.
Niech f, g : D → R, D ⊂ R oraz x
0∈ D
′. Niech również lim
x→x0
f (x) = a, lim
x→x0
g(x) = b, a, b ∈ R. Wtedy:
(a) lim
x→x0
(f (x) + g(x)) = a + b, (b) lim
x→x0
(f (x) − g(x)) = a − b, (c) lim
x→x0
λf (x) = λ a dla λ ∈ R, (d) lim
x→x0
f (x) · g(x) = a b, (e) jeśli b ̸= 0, to lim
x→x0
f (x) g(x)
=
ab. Twierdzenie o trzech funkcjach
Niech f, g, h : D → R, D ⊂ R, x
0∈ D
′oraz w pewnym otoczeniu punktu x
0dla x ̸= x
0zachodzi zależność f (x) 6 g(x) 6 h(x) (tzn. istnieje ε > 0 takie, że jeśli x ̸= x
0oraz
|x − x
0| < ε, to f(x) 6 g(x) 6 h(x)). Jeśli lim
x→x0
f (x) = a = lim
x→x0
h(x), to lim
x→x0
g(x) istnieje oraz lim
x→x0
g(x) = a.
III. Granice jednostronne.
Definicje lim
x→x−0
f (x) = g ⇐⇒ ∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈Dx<x0
|x − x
0| < δ =⇒ |f(x) − g| < ε.
lim
x→x+0
f (x) = g ⇐⇒ ∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈Dx>x0
|x − x
0| < δ =⇒ |f(x) − g| < ε
Twierdzenie
Niech x
0∈ (a, b) oraz f : (a, b)\{x
0} → R. Wtedy granica lim
x→x0
f (x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy
x→x
lim
+0f (x) = g = lim
x→x−0
f (x).
IV. Granice równe nieskończoność.
Definicja
Niech f : D → R, D ⊂ R, x
0∈ D
′. Wtedy:
(a) lim
x→x0
f (x) = + ∞, jeśli ∀
K∈R∃
δ>0∀
x∈Dx̸=x0
|x − x
0| < δ =⇒ f(x) > K, (b) lim
x→x0
f (x) = −∞, jeśli ∀
K∈R∃
δ>0∀
x∈Dx̸=x0
|x − x
0| < δ =⇒ f(x) < K.
V. Granice w nieskończoności.
Definicja
Niech f : D → R, D ⊂ R.
(a) Załóżmy, że dla dowolnego M mamy (M, + ∞) ∩ D ̸= ∅. Wtedy:
x→+∞
lim f (x) = g, jeśli ∀
ε>0∃
K∈R∀
x∈Dx > K = ⇒ |f(x) − g| < ε.
(b) Załóżmy, że dla dowolnego M mamy ( −∞, M) ∩ D ̸= ∅. Wtedy:
x→−∞
lim f (x) = g, jeśli ∀
ε>0∃
K∈R∀
x∈Dx < K = ⇒ |f(x) − g| < ε.
Definicja
Niech f : D → R, D ⊂ R. Załóżmy, że dla dowolnego M zachodzi (M, +∞) ∩ D ̸= ∅. Wtedy:
(a) lim
x→+∞
f (x) = +∞, jeśli ∀
K∈R∃
M∈R∀
x∈Dx > M = ⇒ f(x) > K, (b) lim
x→+∞
f (x) = −∞, jeśli ∀
K∈R∃
M∈R∀
x∈Dx > M = ⇒ f(x) < K.
Załóżmy że dla dowolnego M zachodzi (−∞, M) ∩ D ̸= ∅, wtedy (c) lim
x→−∞
f (x) = + ∞, jeśli ∀
K∈R∃
M∈R∀
x∈Dx < M = ⇒ f(x) > K, (d) lim
x→−∞
f (x) = −∞, jeśli ∀
K∈R∃
M∈R∀
x∈Dx < M = ⇒ f(x) < K.
VI. Niektóre granice.
(a) Jeśli lim
x→x0
f (x) = ±∞, to lim
x→x0
1 f (x)
= 0.
(b) Jeśli lim
x→x0
f (x) = 0 i f (x) > 0 w pewnym sąsiedztwie punktu x
0, to lim
x→x0
1
f (x)
= + ∞.
(c) Jeśli lim
x→x0
f (x) = 0 i f (x) < 0 w pewnym sąsiedztwie punktu x
0, to lim
x→x0
1
f (x)
= −∞.
(d) Jeśli lim
x→x0
f (x) = ±∞ i c > 0, to lim
x→x0
c · f(x) = ±∞.
(e) Jeśli lim
x→x0
f (x) = ±∞ i c < 0, to lim
x→x0
c · f(x) = ∓∞.
(f) lim
x→x0
c = c (g) lim
x→x0
x = x
0(h) lim
x→∞
√
nx = ∞ (i) lim
x→∞
(1 +
1x)
x= e (j) lim
x→−∞
(1 + x)
1x= e
(k) lim
x→0 sin x
x
= 1 (l) lim
x→0 tg x
x
= 1 (m) lim
x→0 arc sin x
x
= 1 (n) lim
x→0 arc tg x
x
= 1
2. Asymptoty.
Niech f : R → R oraz x
0∈ D /
f. a. Asymptota pionowa.
(a) Jeśli lim
x→x+0
f (x) = ±∞, tzn. granica wynosi +∞ lub −∞, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionową prawostronną o równaniu x = x
0.
(b) Jeśli lim
x→x−0
f (x) = ±∞, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionową lewostronną o równaniu x = x
0.
(c) Jeśli lim
x→x+0
f (x) = ±∞ i lim
x→x−0
f (x) = ±∞, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionową (obustronną) o równaniu x = x
0.
b. Asymptota pozioma.
(a) Jeśli lim
x→+∞
f (x) = b
1∈ R, to mówimy, że funkcja f ma w +∞ asymptotę poziomą o równaniu y = b
1.
(b) Jeśli lim
x→−∞
f (x) = b
2∈ R, to mówimy, że funkcja f ma w −∞ asymptotę poziomą o równaniu y = b
2.
c. Asymptota ukośna.
(a) Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptotą ukośną w + ∞, jeśli lim
x→+∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
Można wykazać, że
a = lim
x→+∞
f (x)
x , b = lim
x→+∞
(f (x) − ax) . (b) Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptotą ukośną w −∞, jeśli lim
x→−∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
Można wykazać, że
a = lim
x→−∞
f (x)
x , b = lim
x→−∞
(f (x) − ax) . (c) Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptotą ukośną, jeśli lim
x→±∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
Można wykazać, że
a = lim
x→±∞
f (x)
x , b = lim
x→±∞
(f (x) − ax) . Przykładowe zadania
1. Obliczyć lim
x→2 x2−4
x−2
. Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: a
2− b
2= (a + b)(a − b)
x
lim
→2(x+2)(x−2) x−2
= lim
x→2
(x + 2) = 4 Odpowiedź: 4.
2. Obliczyć lim
x→3 2√
x+1−√ x+13 x2−9
. Rozwiązanie:
Licznik i mianownik mnożymy przez 2 √
x + 1 + √ x + 13.
x
lim
→3 (2√x+1−√
x+13)(2√ x+1+√
x+13) (x2−9)(2√
x+1+√
x+13)
= lim
x→3
4(x+1)−(x+13) (x+3)(x−3)(2√
x+1+√
x+13)
= lim
x→3
3x−9 (x+3)(x−3)(2√
x+1+√
x+13)
=
= lim
x→3
3(x−3) (x+3)(x−3)(2√
x+1+√
x+13)
= lim
x→3
3 (x+3)(2√
x+1+√
x+13)
=
6(2·2+4)3=
161Odpowiedź:
161.
3. Obliczyć lim
x→+∞
x3+3x2−1 1−x3
. Rozwiązanie:
x→+∞
lim
x3+3x2−1
1−x3
= lim
x→+∞
1+3x−x31
1
x3−1
= −1 Odpowiedź: −1.
4. Obliczyć lim
x→+∞
(x
4+ 3x
2+ x + 1).
Rozwiązanie:
Wyłączamy przed nawias x przy najwyższej potędze, czyli x
4.
x→+∞
lim x
4(1 +
x32+
x13+
x14) = + ∞ Odpowiedź: + ∞.
5. Obliczyć lim
x→−1 x2+x x3+1
. Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a
3+ b
3= (a + b)(a
2− ab + b
2).
x
lim
→−1x(x+1)
(x+1)(x2−x+1)
= lim
x→−1 x
x2−x+1
= −
13Odpowiedź: −
13.
6. Obliczyć lim
x→+∞
( √
x + 3 − √ x).
Rozwiązanie:
Licznik i mianownik mnożymy przez √
x + 3 + √ x .
x→+∞
lim
x+3−x
√x+3+√
x
= lim
x→+∞
√ 3 x+3+√
x
= 0 Odpowiedź: 0.
7. Obliczyć lim
x→4
√x−2
√x−3−1
. Rozwiązanie:
Licznik i mianownik mnożymy przez √
x − 3 + 1.
x
lim
→4 (√x−2)(√ x−3+1) (√
x−3+1)(√
x−3+1)
= lim
x→4 (√
x−2)(√ x−3+1) x−4
= lim
x→4 (√
x−2)(√ x−3+1) (√x+2)(√x−2)
= lim
x→4
√√x−3+1x+2
=
24=
12Odpowiedź:
12.
8. Obliczyć lim
x→0 tg x
x
. Rozwiązanie:
tg x =
sin xcos x, więc lim
x→0 sin x cos x
x
= lim
x→0 sin x
x·cos x
= lim
x→0 sin x
x
·
cos x1= 1, bo lim
x→0 sin x
x
= 1, lim
x→0
cos x = 1
Odpowiedź: 1.
9. Obliczyć lim
x→π4
cos x−sin x cos 2x
. Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru cos 2x = cos
2x − sin
2x oraz a
2− b
2= (a + b)(a − b).
x
lim
→π4cos x−sin x
cos 2x
= lim
x→π4
cos x−sin x
cos2x−sin2x
= lim
x→π4
cos x−sin x
(cos x+sin x)(cos x−sin x)
= lim
x→π4 1
cos x+sin x
=
1 1√2+√1 2
=
12√2
=
√2 2
Odpowiedź:
√22. 10. Obliczyć lim
x→0 sin 3x
2x
. Rozwiązanie:
x
lim
→0 sin 3x3x
·
3x2x=
32(korzystamy ze wzoru lim
x→0 sin x
x
= 1) Odpowiedź:
32.
11. Obliczyć lim
x→0 sin 2x sin 7x
. Rozwiązanie:
x→0
lim
sin 2x
2x
·
sin 7x7x·
2x7x=
27(korzystamy ze wzoru lim
x→0 sin x
x
= 1) Odpowiedź:
27.
12. Obliczyć lim
x→0 sin 2x
5x3
. Rozwiązanie:
x
lim
→0 sin 2x2x
·
5x2x3= lim
x→0 sin 2x
2x
·
5x22= +∞
(korzystamy ze wzoru lim
x→0 sin x
x
= 1 oraz (x → 0 =⇒
x12→ +∞)) Odpowiedź: + ∞.
13. Obliczyć lim
x→1
sin(x−1) x2−1
. Rozwiązanie:
x
lim
→1sin(x−1)
(x+1)(x−1)
= lim
x→1
sin(x−1)
x−1
·
x+11= 1 ·
12=
12(korzystamy ze wzoru lim
x→0 sin x
x
= 1 oraz a
2− b
2= (a + b)(a − b)) Odpowiedź:
12.
14. Obliczyć lim
x→+∞
(
1 +
x4)2x. Rozwiązanie:
x→+∞
lim
[(1 +
1x 4)x
4
]8
= e
8, bo lim
x→+∞
(1 +
1x)
x= e Odpowiedź: e
8.
15. Obliczyć lim
x→+∞
(2x−3 2x
)4x
. Rozwiązanie:
x→+∞
lim
(1 −
2x3 )4x= lim
x→+∞
[(
1 +
1−2x3
)−2x
3
]−6
= e
−6.
Odpowiedź: e
−616. Obliczyć lim
x→+∞
(x+2 x−3
)2x+1
. Rozwiązanie:
x→+∞
lim
(x+2x−3
)2x+1
= lim
x→+∞
(x+2 x−3
)2x(
x+2 x−3
)
= lim
x→+∞
(1+2x 1−3x
)2x(
1+2x 1−3x
)
= lim
x→+∞
(1+2x)2x
(
1−3x)2x
(1+x2 1−x3
)
=
x→+∞
lim
[(1+1x 2
)x
2
]4
[(
1+− x1
3
)− x3]−6 (1+2x
1−3x
)
=
ee−64= e
10Odpowiedź: e
10. 17. Obliczyć lim
x→5 1 x−5
. Rozwiązanie:
Obliczmy granice jednostronne:
x→5
lim
−1
x−5
= −∞ lim
x→5+ 1
x−5
= + ∞
Granice jednostronne są różne, więc nie istnieje lim
x→5 1 x−5
. Odpowiedź: Granica ta nie istnieje.
18. Obliczyć lim
x→0 sin 4x
tg2x
. Rozwiązanie:
Obliczmy granice jednostronne:
x
lim
→0− sin 4x4x
·
tg xx·
4xx·
tg x1= 4 lim
x→0− sin 4x
4x
·
tg xx·
tg x1= −∞, bo lim
x→0− sin 4x
4x
= 1, lim
x→0− x
tg x
= 1 oraz
x
lim
→0−tg x = 0
−= ⇒ lim
x→0− 1
tg x
= −∞
x
lim
→0+ sin 4x4x
·
tg xx·
4xx·
tg x1= 4 lim
x→0+ sin 4x
4x
·
tg xx·
tg x1= +∞, bo lim
x→0+ sin 4x
4x
= 1, lim
x→0+ x
tg x
= 1 oraz lim
x→0+
tg x = 0
+= ⇒ lim
x→0+ 1
tg x
= −∞
Granice jednostronne są różne, więc nie istnieje lim
x→0 sin 4x
tg2x
. Odpowiedź: Granica ta nie istnieje.
19. Znaleźć asymptoty wykresu funkcji f (x) =
x2−4x+3x+1. Rozwiązanie:
a) Wyznaczamy dziedzinę funkcji: x
2− 4x + 3 ̸= 0, ∆ = 4, zatem x
1̸= 1, x
2̸= 3. Czyli D
f= R \ {1, 3}.
b) Obliczamy granice w punktach nie należących do dziedziny funkcji.
x→1
lim
−x + 1
x
2− 4x + 3 = + ∞, lim
x→1+
x + 1
x
2− 4x + 3 = −∞
zatem x = 1 to asymptota pionowa obustronna.
lim
x→3−
x + 1
x
2− 4x + 3 = −∞, lim
x→3+
x + 1
x
2− 4x + 3 = + ∞ zatem x = 3 to asymptota pionowa obustronna.
c) Obliczamy
x→±∞
lim
x + 1
x
2− 4x + 3 = lim
x→±∞
1 x
+
x121 −
x4+
x32= 0, zatem y = 0 to asymptota pozioma.
Odpowiedź: x = 1, x = 3 – asymptoty pionowe obustronna, y = 0 – asymptota pozioma.
20. Znaleźć asymptoty wykresu funkcji f (x) = x +
x+13. Rozwiązanie:
a) Wyznaczmy dziedzinę funkcji: x + 1 ̸= 0, zatem x ̸= −1, czyli D
f= R \ {−1}.
b) Obliczamy granice w punkcie nie należącym do dziedziny funkcji.
lim
x→−1−
(
x + 3 x + 1
)
= −∞, lim
x→−1+
(
x + 3 x + 1
)
= + ∞, zatem x = −1 to asymptota pionowa obustronna.
c) Obliczamy
x→±∞
lim
(x + 3 x + 1
)
= ±∞ + 0 = ±∞, zatem nie ma asymptoty poziomej.
d) Sprawdźmy, czy istnieje asymptota ukośna:
a = lim
x→±∞
f (x)
x = lim
x→±∞
x +
x+13x = lim
x→±∞
(
1 + 3 x
2+ x
)
= 1 + 0 = 1,
b = lim
x→±∞
[f (x) − ax] = lim
x→±∞
(
x + 3 x + 1 − x
)
= lim
x→±∞
3
x + 1 = 0.
Zatem y = x jest asymptotą ukośną.
Odpowiedź: x = −1 – asymptota pionowa obustronna, y = x – asymptota ukośna.
21. Znaleźć asymptoty wykresu funkcji f (x) = 5x −arctgx.
Rozwiązanie:
a) Dziedziną funkcji jest R, zatem nie ma ona asymptoty pionowej.
b) Obliczamy
x→−∞
lim (5x − arc tg x) = +∞, lim
x→+∞
(5x − arc tg x) = −∞, zatem nie ma asymptoty poziomej.
c) Sprawdźmy, czy istnieje asymptota ukośna:
a = lim
x→±∞
f (x)
x = lim
x→±∞
5x − arc tg x
x = lim
x→±∞
(
5 − arc tg x x
)
= 5 − 0 = 5, b
1= lim
x→−∞
[f (x) − ax] = lim
x→−∞
(5x − arc tg x − 5x) = lim
x→−∞
( − arc tg x) = −(−
π2) =
π2, b
2= lim
x→+∞
[f (x) − ax] = lim
x→+∞
(5x − arc tg x − 5x) = lim
x→+∞
( − arc tg x) = −
π2.
Zatem y = 5x +
π2jest asymptotą ukośną w −∞, zaś y = 5x −
π2jest asymptotą ukośną w + ∞.
Odpowiedź: y = 5x +
π2to asymptota ukośna w −∞, zaś y = 5x −
π2asymptota ukośna w + ∞.
Zadania
1. Spośród funkcji elementarnych wskazać takie, które mają asymptoty, podać ich równania.
2. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f :
a) Wyznaczyć dziedzinę funkcji f . Wyznaczyć granicę (o ile istnieje):
b) lim
x→−∞
f (x).
c) lim
x→−2−
f (x).
d) lim
x→−2+
f (x).
e) lim
x→0+
f (x).
f) lim
x→1−
f (x).
g) lim
x→1+
f (x).
h) lim
x→1
f (x).
i) lim
x→+∞
f (x).
j) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f .
3. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f :
a) Wyznaczyć dziedzinę funkcji f . Wyznaczyć granicę (o ile istnieje):
b) lim
x→−∞
f (x).
c) lim
x→−3+
f (x).
d) lim
x→0−
f (x).
e) lim
x→0
f (x).
f) lim
x→1+
f (x).
g) lim
x→+∞
f (x).
h) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f .
Obliczyć granicę (o ile istnieje):
4. lim
x→3
x2−2x−3 x2−4x+3
. 5. lim
x→1− 1 x2−5x+4
. 6. lim
x→1+ 1 x2−5x+4
.
7. lim
x→+∞
x2−4x+6 3−4x2
. 8. lim
x→−∞
(x
5+ 3x
2+ 3x).
9. lim
x→+∞
( √
3x
3+ 1 − x).
10. lim
x→1 x3−1 x4−1
. 11. lim
x→0 x+1−√
1−2x−x2
2x
.
12. lim
x→−5
√x2−9−4 x+5
