przydatne wzory:

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

Caªka nieoznaczona.

Informacje pomocnicze:

przydatne wzory:

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh

²

x dx = tgh x + c

11. R ₁

sinh

²

x dx = − ctgh x + c

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R ₁

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos

²

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin

²

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R ₁

√ a

²

−x

²

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

²

+x

²

dx = _a ¹ arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

√ x

²

+a dx = ln 

x + √

x ² + a 

 + c a ∈ R

20. R ₁

a

²

−x

²

dx = _2a ¹ ln   ^a+x _a−x



 + c a > 0, |x| 6= a

21. R f

⁰

(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

23. R cos ⁿ xdx = _n ¹ sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R sin ⁿ xdx = − _n ¹ cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

26. R _dx

(x

²

+1)

ⁿ

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

2

)

ⁿ⁻¹

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

(1+x

²

)

ⁿ⁻¹

dx n ≥ 2

27. R √

a ² − x ² dx = ^a ₂

²

arcsin _|a| ^x + ^x ₂ √

a ² − x ² + c

Twierdzenie 1. (Podstawowe prawa rachunku caªkowego)

Niech funkcje f i g b¦d¡ ci¡gªe na przedziale [a, b] oraz k ∈ R \ {0}. Wówczas:

• R kf (x)dx = k · R f (x)dx , gdzie a = const. ∈ R,

• R [f (x) ± g(x)]dx = R f (x)dx ± R g(x)dx.

Twierdzenie 2. (caªkowanie przez podstawienie)

Niech funkcja f b¦dzie ci¡gªa na przedziale [a, b] oraz funkcja g ma ci¡gª¡ pochodn¡ (tzn. funkcja g

⁰

(x) jest ci¡gªa). Wówczas zachodzi poni»szy wzór na caªkowanie przez podstawienie:

Z

f [g(x)] · g

⁰

(x)dx = Z

f (t)dt, (1)

gdzie t = g(x) oraz dt = g

⁰

(x)dx.

Twierdzenie 3. (caªkowanie przez cz¦±ci)

Niech funkcje f i g maj¡ ci¡gªe pochodne. Wówczas ma miejsce tzw. wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:

Z

f (x)g

⁰

(x)dx = f (x)g(x) − Z

f

⁰

(x)g(x)dx. (2)

Inne metody caªkowania

a) Caªkowanie funkcji wymiernych

Algorytm rozkªadania na uªamki proste:

1. Wielomian Q(x) z mianownika wyra»enia wymiernego W (x) =

^{P (x)}_Q(x)

zgodnie z wªasno±ci¡:

wielomian rzeczywisty jednej zmiennej mo»na rozªo»y¢ na iloczyn wielomianów rzeczywistych co najwy»ej drugiego stopnia; rozkªadamy do postaci:

Q(x) = q

_m

(x − e

₁

)

ⁿ¹

(x − e

₂

)

ⁿ²

· · · (x − e

_l

)

ⁿ¹

· (x

²

+ b

₁

x + c

₁

)

^k1

. . . (x

²

+ b

_r

x + c

_r

)

^kr

, gdzie δ

i

= b

²_i

− 4c

_i

< 0 dla i = 1, 2, ...., r.

2. Wspóªczynnik q

m

przyjmujemy, »e jest równy 1. Mo»na tak zrobi¢, o ile podzielimy licznik i mianownik wyra»enia W (x) przez q

m

.

3. Wyra»enie W (x) rozkªadamy w nast¦puj¡cy sposób na sum¦ uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju:

W (x) = P (x)

Q(x) = p

_n

x

ⁿ

+ p

_n−1

x

ⁿ⁻¹

+ . . . + p

₁

x + p

₀

(x − e

₁

)

ⁿ¹

(x − e

₂

)

ⁿ²

· · · (x − e

_l

)

ⁿ¹

· (x

²

+ b

₁

x + c

₁

)

^k1

. . . (x

²

+ b

_r

x + c

_r

)

^kr

= A

₁

x − e

₁

+ A

₂

(x − e

₁

)

²

+ · · · + A

_n1

(x − e

₁

)

ⁿ¹

+ B

₁

x − e

₂

+ B

₂

(x − e

₂

)

²

+ · · · + B

_n2

(x − e

₂

)

ⁿ²

+ · · · + C

1

x + D

1

x

²

+ b

₁

x + c

₁

+ C

2

x + D

2

(x

²

+ b

₁

x + c

₁

)

²

+ · · · + C

k1

x + D

k1

(x

²

+ b

₁

x + c

₁

)

^k1

+ · · · + E

₁

x + F

₁

x

²

+ b

₂

x + c

₂

+ E

₂

x + F

₂

(x

²

+ b

₂

x + c

₂

)

²

+ · · · + E

_k2

x + F

_k2

(x

²

+ b

₂

x + c

₂

)

^k2

(3)

4. Aby wyznaczy¢ wspóªczynniki A

1

, A

₂

, . . . , B

₁

, B

₂

, . . . E

_k2

, F

_k2

nale»y sprowadzi¢ praw¡ stron¦

(3) do wspólnego mianownika, a nast¦pnie porówna¢ licznik otrzymanego wyra»enia z wielo- mianem P (x) tzw. metoda wspóªczynników nieoznaczonych.

5. Caªki uªamków prostych pierwszego rodzaju obliczmy albo ze wzoru 22 (tabela caªek), albo poprzez podstawienie. Caªki uªamków prostych drugiego rodzaju wyliczmy jak poni»ej.

Obliczanie caªki uªamków prostych drugiego rodzaju

Z Ax + B

(ax

²

+ bx + c)

ⁿ

dx, (4 = b

²

− 4ac < 0).

Powy»sz¡ caªk¦ sprowadzamy do postaci kanonicznej

Z Ax + B

[a(x − p)

²

+ q]

ⁿ

dx, 

p = − b

2a , q = − 4 4a



; nast¦pnie wykonuj¡c podstawienie x − p = pq/a t, mamy

Z Ct + D (t

²

+ 1)

ⁿ

dt.

Teraz nale»y ja rozbi¢ na dwie caªki C R

_(t2+1)^{t n}

dt oraz D R

_(t2+1)^{1 n}

dt. Pierwsz¡ obliczmy przez pod- stawienie w = t

²

+ 1, a drug¡ przy stosuj¡c wzór indukcyjny nr 25.

Uwaga 4. Je»eli W (x) =

^{P (x)}_Q(x)

oraz stopie« wielomianu P (x) jest niemniejszy od stopnia wielo- mianu Q(x) to najpierw nale»y podzieli¢ wielomian P (x) przez Q(x). Je»eli w wyniku tego dzielenia otrzymamy wielomian Z(x) oraz reszt¦ z dzielenia R(x), to wówczas mo»emy zapisa¢:

P (x)

Q(x) = Z(x) + R(x)

Q(x) . (4)

b) Caªkowanie pewnych caªek niewymiernych:

1. Je»eli funkcja podcaªkowa jest iloczynem funkcji wymiernej oraz pewnej ilo±ci pot¦g postaci (ax + b)

^m1n1

, (ax + b)

^m2n2

, . . . lub

^ax+b_cx+d

_m1ⁿ¹

,

^ax+b_cx+d

_m2ⁿ²

, . . . gdzie n

i

, m

_i

∈ N s¡ wzgl¦dnie pierwsze to stosujemy odpowiednio podstawienia

ax + b = t

^M

lub ax + b

cx + d = t

^M

(5)

gdzie M to najmniejsza wspólna wielokrotno±¢ m

1

, m

₂

, . . . 2a. Caªk¦ postaci R

^√_ax2^dx+bx+c

sprowadzamy do R √

^dx

a(x−p)²+q

i dokonujemy podstawienia x − p = q

1

|a|

t.

2b. Caªk¦ postaci R √

ax

²

+ bx + cdx sprowadzamy do R pa(x − p)

²

+ qdx i dokonujemy podsta- wienia x − p = q

1

|a|

t, a nast¦pnie stosujemy wzory(wymiennie) Z √

x

²

+ adx = 1 2 x √

x

²

+ a + a

2 ln |x + √

x

²

+ a| + c;

lub

Z √

a

²

− x

²

dx = a

²

2 arcsin x

|a| + x 2

√

a

²

− x

²

+ c.

3. Caªk¦ postaci R

^√_ax^W2ⁿ+bx+c^(x)

dx przedstawiamy jako:

Z W

_n

(x)

√ ax

²

+ bx + c dx = (A

_n−1

x

ⁿ⁻¹

+ . . . A

₁

x + A

₀

) √

ax

²

+ bx + c + B

Z dx

√ ax

²

+ bx + c , w celu wyliczenia A

n−1

, . . . , A

₁

, A

₀

, B obustronnie ró»niczkujemy, mno»ymy przez √

ax

²

+ bx + c i otrzymujemy równanie wielomianowe.

4. Caªk¦ postaci R P (x) √

ax

²

+ bx + cdx poprzez pomno»eni i podzielenie funkcji podcaªkowej przez √

ax

²

+ bx + c przeksztaªcamy do postaci R

^(ax√²+bx+c)P (x) ax²+bx+c

dx.

5. Caªk¦ postaci R

^dx

(x−k)ⁿ

√

dx²+ex+f

poprzez podstawienie x − k =

¹_t

przeksztaªcamy do postaci R

_tⁿ⁻¹

√at²+bt+c

dt, a wi¦c caªki z podpunktu 3.

Caªki typu R R(x, √

ax

²

+ bx + c)dx

Wyra»enie pod pierwiastkiem (trójmian kwadratowy) sprowadzamy najpierw do postaci kanonicz- nej i dokonuj¡c odpowiednie podstawienie otrzymujemy jedna z nast¦puj¡cych postaci: R R(t, √

A

²

− t

²

)dt , R R(t, √

A

²

+ t

²

)dt, R R(t, √

t

²

− A

²

)dt. W przypadku:

a) R R(t, √

A

²

− t

²

)dt stosujemy podstawienie: t = A sin w lub t = A tgh w;

b) R R(t, √

A

²

+ t

²

)dt stosujemy podstawienie: t = A tg w lub t = A sinh w;

c) R R(t, √

t

²

− A

²

)dt stosujemy podstawienie: t =

_{cos w}^A

lub t = A cosh w.

Do obliczania caªek typu R R(x, √

ax

²

+ bx + c)dx mo»na równie» zastosowa¢ tzw. podstawienia EULERA, jednak»e ze wzgl¦du na dosy¢ skomplikowane rachunki stosowane s¡ jako ostateczno±¢:

a) pierwsze podstawienie Eulera, gdy a>0

√

ax

²

+ bx + c = − √

ax + t;

a) drugie podstawienie Eulera, gdy a<0 i wyró»nik δ > 0

√ ax

²

+ bx + c = t(x − x

₁

), gdzie x

1

to jeden z pierwiastków trójmianu ax

²

+ bx + c.

Caªki postaci R

^√_ax^Ax+B2+bx+c

dx oraz R (Ax + B) √

ax

²

+ bx + cdx Obliczamy je rozkªadaj¡c na dwie cz¦±ci i stosuj¡c wcze±niejsze metody:

• caªk¦ R

_ax^Ax+B2+bx+c

dx

Z Ax + B

√ ax

²

+ bx + c dx = C ·

Z 2ax + b

√ ax

²

+ bx + c dx + D

Z 1

√ ax

²

+ bx + c dx

= 2C √

ax

²

+ bx + c + D

Z 1

√ ax

²

+ bx + c dx; (6)

• caªk¦ R (Ax + B) ax

²

+ bx + cdx Z

(Ax + B) √

ax

²

+ bx + cdx = C Z

(2ax + b) √

ax

²

+ bx + cdx + D Z √

ax

²

+ bx + cdx

= 2

3 C(ax

²

+ bx + c)

³²

+ D Z √

ax

²

+ bx + cdx (7) Caªki dwumienne Caªki postaci R x

^m

(a + bx

ⁿ

)

^p

, gdzie m, n, p s¡ liczbami wymiernymi nazywamy caªkami dwumiennymi. Caªki te na podstawie twierdzenia Czybyszewa mo»na obliczy¢ poprzez odpowiednie podstawienia w jednym z trzech przypadków:

a) gdy p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

x = t

^N

,

gdzie N jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb wymiernych m, n;

b) gdy

^m+1_n

jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

a + bx

ⁿ

= t

^N

, gdzie N jest mianownikiem liczby p;

c) gdy

^m+1_n

+ p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

a

x

^m

+ b = t

^N

, gdzie N jest mianownikiem liczby p.

c) Caªkowanie pewnych wyra»e« trygonometrycznych:

1. Caªk¦ R W (sin x, cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg

^x₂

. Wówczas mamy:

dx = 2

1 + t

²

dt, sin x = 2t

1 + t

²

, cos x = 1 − t

²

1 + t

²

.

2. Caªk¦ R W (sin

²

x, cos

²

x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:

dx = 1

1 + t

²

dt, sin

²

x = t

²

1 + t

²

, cos

²

x = 1 1 + t

²

. 3. Caªk¦ postaci R sin

^m

x cos

ⁿ

xdx, n, m ∈ N liczmy:

a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;

b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.

4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzo- rów:

sin x sin y = 1

2 [cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y = 1

2 [cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1

2 [sin(x − y) + sin(x + y)].

Inne przydatne wzory trygonometryczne:

cos

²

x =

^{1+cos 2x}₂

, sin

²

x =

^{1−cos 2x}₂

, cos 2x = cos

²

x − sin

²

x, sin 2x = 2 sin x cos x.

1. Sprawd¹, czy funkcja F (x) = (x

²

+ 5x + 1) cos x jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f (x) = (2x + 5) cos x − (x

²

+ 5x + 1) sin x − 2013 w zbiorze P = [-2013;2013].

2. Wyznaczy¢ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f(x) = x

²

− 3, do której wykresu nale»y punkt (1; 3).

3. Wyznaczy¢ zbiór, w którym wykres dowolnej funkcji pierwotnej funkcji f(x) = 4x

²

− x jest wypukªy.

4. Korzystaj¡c z podstawowych wzorów na caªki funkcji elementarnych oblicz podane caªki nie- oznaczone:

(a) R x

²

dx; (b) R x

²

√

x + x

³

+ 4x − 1dx; (c) R 5x − 6x

²

+

¹_x

+ cos x + e

^x

dx;

(d) R

_dx

√5

x²

; (e) R 3

^x

dx; (f ) R

_x²_dx

x²+1

; (g) R 2

^x

· 5

^1−x

dx; (h) R sin

^{2 x}₂

dx; (i) R tg

²

xdx;

(j) R

_e^x_dx

3e^x−2

; (k) R

₄

x²+1

dx; (l) R

x√

x−x√⁴ x

√3

x

dx;

(m) R

^√x−2√³ x²+4√⁵

5x³ 6√³

x

dx; (n) R

(x²−1)³

x

dx; (o) R

₅

3x

−

^√_x⁴₂₊₁

+

⁵

√ 3

cos²x

dx − cosh xdx;

(p) R

_{cos 2x}

cos²x sin²x

dx; (r) R

₁

sin²x cos²x

dx; (s) R e

^x



1 −

^e_x^−x2

 dx.

5. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez podstawianie oblicz:

(a) R

_e^x

e^x+2

dx; (b) R x √

x

²

− 3dx; (c) R

_x

3x²−2

dx;

(d) R

_{ln x}

x

dx; (e) R xe

^x2

dx; (f ) R (5 − 3x)

¹⁰

dx;

(g) R

_2x+1

2x²+2x+5

dx; (h) R sin

³

xdx; (i) R (7x + 2)

⁴

dx;

(j) R

_{x dx}

√

16−9x⁴

; (k) R

_{sin x}

3+2 cos x

dx; (l) R

cos(ln x) x

dx;

(m) R (x

²

+ x) sin(x

³

+

³₂

x

²

)dx; (n) R

_x²

cos²(x³+1)

dx; (o) R

_dx

(x²+1) arctan x

dx;

(p) R x

³

ln(x

⁴

+ 2)dx; (r) R

_sin³_x

cos x+1

dx; (s) R

sin x cos x 1+cos²x

dx;

6. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci oblicz:

(a) R x sin xdx; (b) R x

²

e

^−x

dx; (c) R

_x

cos²x

dx;

(d) R ln xdx; (e) R 3

^x

cos xdx; (f ) R

_{ln x}

√3

x⁵

dx;

(g) R x

²

sin xdx; (h) R e

^2x

sin xdx; (i) R e

^4x

cos 3xdx;

(j) R x ln

³

x; (k) R x

⁴

ln xdx; (l) R xe

^x

cos xdx;

(m) R (3x

²

+ 4x − 1) cos 4xdx; (n) R e

^3x

sin 2xdx; (o) R x

³

ln

²

x dx;

(p) R

_{x arcsin x√}

1−x²

dx; (r) R

x ln(√

1+x²+x)

√

1+x²

dx; (s) R

_x²_{sin x}

cos³x

dx;

7. Oblicz caªki z funkcji wymiernych:

(a) R

_2x

x+1

dx; (b) R

_x+2

x²−2x

dx; (c) R

₁

x(x+1)²

dx;

(d) R

_x²

x²+2x−3

dx; (e) R

₃

x²+4x+7

dx; (f ) R

_8x+2

2x²+4x+3

dx;

(g) R

x(x+2)

x²+2x+3

dx; (h) R

_x⁴_−x³_+x²₊₁

x³+x

dx; (i) R

_2x²_+x−4

x³−x²−2x

dx;

(j) R

_x²

(x+2)²(x+4)²

dx; (k) R

_3x²_−5x+2

x³−9x²+6x−54

dx; (l) R

_7x²_+7x−176

x³−9x²+6x+56

dx;

(m) R

_x²_+x−1

(x²+4x+4)²

dx; (n) R

₁

x⁴+2x³+2x²+2x+1

dx; (o) R

₁

x⁴+64

dx.

8. Oblicz caªki z funkcji trygonometrycznych:

(a) R

₁

1+sin x+cos x

dx; (b) R

_sin²_x

1+cos x

dx; (c) R

₁

cos x

dx;

(d) R

₁

sin x+cos x

dx; (e) R

₁

3+cos x

dx; (f ) R cos

⁴

xdx;

(g) R sin

³

xdx; (h) R

₁

4 sin²x+9 cos²x

dx; (i) R sin

³

x cos

³

xdx;

(j) R sin

²

x cos

⁴

xdx; (k) R sin 3x cos 5xdx; (l) R sin x sin 3xdx;

(m) R sin

⁸

xdx; (n) R sin

⁷

xdx; (o) R

_sin²_x−cos²_x

sin⁴x+cos⁴x

dx.

9. Oblicz caªki z funkcji niewymiernych:

(a) R

_{√ 1}

2+3x−2x²

dx; (b) R

1+√

x 1−√

x

dx; (c) R

₃₊^√6_2x+1

√3

2x+1+√⁴

2x+1

dx;

(d) R

₁

√x+√³

x

dx; (e) R

₁

x

q

x−1

x+1

dx; (f ) R

_x²₊^√_1+x

√3

1+x

dx;

(g) R

_dx

√

2x²+4x+3

; (h) R

_dx

√

3−2x−x²

; (i) R

_x²_+4x−3

√

x²−3x−4

dx;

(j) R x √

1 − 5xdx; (k) R x √

x − 4dx; (l) R x

²

√

4x

²

+ 4x + 5dx;

(m) R x √

x

²

+ 2x + 2dx; (n) R

_dx

(x−1)²√

10x+x²

; (o) R

_dx

(x+1)³√ x²+2x

; 10. Oblicz nast¦puj¡ce caªki nieoznaczone (z niewymierno±ciami):

1) R

_dx

√

4x²−27

; 2) R

_dx

√

1−4x²

; 3) R

_dx

√

x²+5x+7

; 4) R

_dx

√−3x²+2x+1

; 5) R √

−x

²

− 4x + 5dx; 6) R √

x

²

− 2x − 1dx;

7) R

_x³_+2x²_+x−1

√

x²+2x−1

dx; 8) R (2x − 5) √

−x

²

+ 3x + 1dx; 9) R 12x

²

√

4 − x

²

dx;

10) R

_dx

1−√

x²−1

; 11) R

_dx

x−√

x²−2x−1

; 12) R

_dx

(x²+4x)√ 4−x²

; 13) R √

_dx

(x−1)³(x−2)

; 14) R

³

√ x²dx

√ x³(1+√⁶

x)²

; 15) R x

³

(1 + 2x

²

)

⁻³²

; 16) R √

^√3xdx

√3

x+1

; 17) R

_dx

x²

√

(2+x³)⁵

; 18) R

^√3_3x−x³

x⁶

dx.

11. Oblicz nast¦puj¡ce caªki nieoznaczone:

(a) R

_dx

sin²x·ctg x

; (b) R

_(1−x)²

x√

x

dx; (c) R x sin x cos xdx;

(d) R

_{√ 2x+3}

x²−2x+5

dx; (e) R

_x⁶₊₁

x²+x+1

dx; (f ) R x tg

²

xdx;

(g) R x

²

arctg 3xdx; (h) R cos

⁴

x · sin

³

xdx; (i) R q

x−1

x−2

·

_(x−1)¹ 2

dx;

(j) R √x ln xdx; (k) R sin 2x · e

^{sin x}

dx; (l) R

_x²_−3x+2

(x²+x+1)(x+1)²

dx.