Caªka Riemana i caªka niewªa±ciwa
De nicja 1. (suma caªkowa Riemanna)
Niech funkcja f(x) b¦dzie ograniczona na przedziale [a, b] oraz P b¦dzie podziaªem odcinka [a, b] na n cz¦±ci: P = {x0, x1, x2, . . . , xn}speªniaj¡cych warunek: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.Wybieramy punkty po±rednie x∗k ∈ [xk−1, xk] odcinków [xk−1, xk]. Liczb¦ S(f, Pn) :
S(f, Pn) :=
n
X
k=1
f (x∗k)∆xk
nazywamy sum¡ caªkow¡ funkcji f(x) odpowiadaj¡c¡ podziaªowi Pn, gdzie ∆xk to dªugo±¢ odcinka [xk−1, xk].
Zatem skªadniki sumy caªkowej mo»emy uto»samia¢ z polami prostok¡tów o podstawie ∆xk i wysoko±ci f(x∗k). Natomiast sum¦ caªkow¡ z sum¡ pól tych prostok¡tów(patrz rysunek 1).
Rysunek 1: suma caªkowa
De nicja 2. (±rednica podziaªu)
Dªugo±¢ najdªu»szego z odcinków [xk−1, xk]nazywamy ±rednic¡ podziaªu δn: δn := max
1≤k≤n∆xk. De nicja 3. (caªka oznaczona Riemanna)
Niech funkcja f(x) b¦dzie ograniczona na przedziale [a, b]. Caªk¦ oznaczon¡ Riemanna z funkcji f(x) na przedziale [a,b] oznaczamy symbolem Rb
a
f (x)dx i de niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
b
Z
a
f (x)dx := lim
δ(Pn)→0 n
X
k=1
f (x∗k)∆xk,
je»eli granica ta (prawa strona) nie zale»y od sposobu podziaªu przedziaªu [a, b] na podprzedziaªy oraz nie zale»y od wyboru punktów po±rednich x∗k.
Twierdzenie 4. (Druga cz¦±¢ gªównego tw. rachunku caªkowo-ró»niczkowego:Wzór Newtona-Leibniza) Je±li f(x) ∈ C([a, b]) i F (x) jej funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f(x) to:
b
Z
a
f (x)dx = F (b) − F (a).
Twierdzenie 5. (wªasno±ci caªki oznaczonej)
Niech funkcje f i g b¦d¡ caªkowalne na przedziale [a, b], wówczas:
a) Rb
a
f (x) ± g(x)dx =Rb
a
f (x)dx ±
b
R
a
g(x)dx;
b) Rb
a
c · f (x)dx = c
b
R
a
f (x)dx, gdzie c = const.;
c) Rb
a
f (x)dx ≤
b
R
a
g(x)dx, o ile f(x) ≤ g(x) dla ka»dego x ∈ [a, b];
d)
b
R
a
f (x)dx
≤
b
R
a
|f (x)|dx;
e) Rb
a
f (x)dx =
c
R
a
f (x)dx +
b
R
c
f (x)dx, dla c ∈ [a, b];
f) Rb
a
f (x)dx = −
a
R
b
f (x)dx;
g) Ra
a
f (x)dx = 0.
Twierdzenie 6. (podstawianie w caªce oznaczonej)
Niech funkcje φ : [a, b] → [α, β] i f : [α, β] → R b¦d¡ funkcjami ci¡gªymi. Je»eli φ0(x) jest ci¡gªa na przedziale [a, b] oraz φ(a) = α), φ(b) = β, to:
b
Z
a
f (φ(x))φ0(x)dx =
β
Z
α
f (t)dt. (1)
Caªka oznaczona zostaªa zde niowana dla funkcji ograniczonych okre±lonych na przedziale ogra- niczonym. Rozwa»my teraz przypadki funkcji nieograniczonych lub okre±lonych na przedziale nie- ograniczonym.
Caªka na przedziale nieograniczonym (caªka niewªa±ciwa I rodzaju):
De nicja 7. (caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju)
Niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale [a, +∞) i caªkowalna na ka»dym sko«czonym pod- przedziale [a, B], B > a. Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [a, +∞) de niujemy wzorem:
+∞
Z
a
f (x)dx := lim
B→+∞
B
Z
a
f (x)dx. (2)
Analogicznie: niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale [−∞, b) i caªkowalna na ka»dym sko«- czonym podprzedziale [A, b], A < b. Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [−∞, b] de niujemy wzorem:
b
Z
−∞
f (x)dx := lim
A→−∞
b
Z
A
f (x)dx. (3)
W sytuacji, gdy granice we wzorach (2)-(3) s¡ sko«czone, to mówimy, »e caªki niewªa±ciwe R∞
a
f (x)dx,
b
R
−∞
f (x)dx s¡ zbie»ne. Natomiast, je»eli granice we wzorach (2)-(3) s¡ niesko«czone, lub te» nie istniej¡, to mówimy »e caªki +∞R
a
f (x)dx,
b
R
−∞
f (x)dx s¡ rozbie»ne.
W przypadku caªki niewªa±ciwej okre±lonej na przedziale (−∞, +∞) b¦dziemy zapisywa¢:
+∞
Z
−∞
f (x)dx := lim
A→−∞
c
Z
A
f (x)dx + lim
B→+∞
B
Z
c
f (x)dx,
gdzie c ∈ (−∞, +∞) jest dowolne (o ile obie caªki z prawej strony istniej¡).
Caªka z funkcji nieograniczonej (caªka niewªa±ciwa II rodzaju):
De nicja 8. (caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju)
Niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale (a, b], ponadto niech a b¦dzie punktem osobliwym funkcji f tj. funkcja f b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie punktu a. Zakªadamy równie», »e funkcja f jest caªkowalna na ka»dym przedziale [t, b], gdzie a < t < b. Caªk¦ niewªa±ciw¡
drugiego rodzaju funkcji f na przedziale (a, b] de niujemy wzorem:
b
Z
a
f (x)dx := lim
t→a+ b
Z
t
f (x)dx.
Analogicznie: niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale [a, b), ponadto niech b b¦dzie punk- tem osobliwym funkcji f tj. funkcja f b¦dzie nieograniczona na lewostronnym s¡siedztwie punktu b.
Zakªadamy równie», »e funkcja f jest caªkowalna na ka»dym przedziale [a, t], gdzie a < t < b. Caªk¦
niewªa±ciw¡ drugiego rodzaju funkcji f na przedziale [a, b) de niujemy wzorem:
b
Z
a
f (x)dx := lim
t→b− t
Z
a
f (x)dx.
Zbie»no±¢ i rozbie»no±¢ caªki niewªa±ciwej drugiego rodzaju de niujemy analogicznie do przypadku caªki niewªa±ciwej pierwszego rodzaju.
Je»eli punkt osobliwy c le»y wewn¡trz przedziaªu [a, b] to caªk¦ niewªa±ciw¡ de niujemy wzorem:
b
Z
a
f (x)dx := lim
t→c− t
Z
a
f (x)dx + lim
s→c+ b
Z
s
f (x)dx, (4)
przy zaªo»eniu, »e obie caªki po prawej stronie (4) istniej¡.
Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych:
Uwaga 9. W twierdzeniach 10-12 rozpatrywa¢ b¦dziemy caªki niewªa±ciwe postaci Rb
a
f (x)dx, gdzie b = +∞ lub funkcja podcaªkowa f(x) jest nieograniczona na lewostronnym s¡siedztwie punktu b. A zatem zapis Rb
a
f (x)dx oznacza¢ b¦dzie jednocze±nie caªk¦ I-go jak i II-go rodzaju, czyli twierdzenia 10-12 dotycz¡ obu tych caªek.
Twierdzenie 10. (kryterium porównawcze dla caªek niewªa±ciwych I i II rodzaju)
Niech funkcje f(x), g(x), b¦d¡ caªkowalne w sensie Riemanna na ka»dym przedziale [a, y] gdzie a ≤ y < b ≤ +∞ oraz 0 ≤ f(x) ≤ g(x) dla prawie wszystkich x ∈ [a, b). Wówczas:
a) ze zbie»no±ci caªki Rb
a
g(x)dx wynika zbie»no±¢ caªki Rb
a
f (x)dx;
b) z rozbie»no±ci caªki Rb
a
f (x)dx wynika rozbie»no±¢ caªki Rb
a
g(x)dx.
Twierdzenie 11. (kryterium ilorazowe dla caªek pierwszego rodzaju)
Niech funkcje f(x) ≥ 0 oraz g(x) > 0 b¦d¡ caªkowalne w sensie Riemanna na ka»dym przedziale [a, y]
gdzie a ≤ y < b ≤ +∞, ponadto niech k := lim
x→b− f (x)
g(x). Wówczas:
a) je»eli k ∈ (0, +∞), to caªki Rb
a
f (x)dx,
b
R
a
g(x)dx s¡ zbie»ne lub rozbie»ne jednocze±nie;
b) je»eli k = +∞ oraz caªki Rb
a
g(x)dx = +∞, to Rb
a
f (x)dx = +∞;
c) je»eli k = 0 oraz caªki Rb
a
g(x)dx < +∞, to Rb
a
f (x)dx < +∞.
Twierdzenie 12. (kryterium Dirichleta )
Niech f(x) ∈ C([a, b)). Ponadto, funkcja dana wzorem F (y) := Ry
a
f (x)dxjest ograniczona dla ka»dego y ∈ [a, b) oraz funkcja g(x) jest monotoniczna i lim
x→b−g(x) = 0, to zbie»na jest caªka Rb
a
f (x)g(x)dx.
De nicja 13. (zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i warunkowa ) Je»eli istnieje i zbie»na jest caªka niewªa±ciwa Rb
a
|f (x)|dx, to mówimy, »e caªkaRb
a
f (x)dx jest zbie»na bezwzgl¦dnie. Je»eli caªka Rb
a
|f (x)|dx jest rozbie»na, a zbie»na jest caªka Rb
a
f (x)dx, to mówimy, »e caªka Rb
a
f (x)dx jest zbie»na warunkowo.
Twierdzenie 14. (o zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych zbie»nych bezwzgl¦dnie)
Niech funkcja f(x) : [a, b) → R b¦dzie caªkowalna w sensie Riemanna na ka»dym przedziale [a, y] gdzie a ≤ y < b ≤ +∞ oraz zbie»na jest caªka niewªasiwa Rb
a
|f (x)|dx, to istnieje i zbie»na jest caªka
b
R
a
f (x)dx oraz zachodzi:
b
Z
a
f (x)dx
≤
b
Z
a
|f (x)|dx.
Twierdzenie 15. (caªkowe kryterium zbie»no±ci szeregu: Cauchy'ego)
Niech funkcja f : [m, +∞) → [0, +∞), gdzie m ∈ N b¦dzie malej¡ca i caªkowalna w sensie Riemanna na przedziaªach [m, l], m, l ∈ R. Je»eli f(n) = an dla n ≥ m, to szereg P∞
n=m
an jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy zbie»na jest caªka +∞R
m
f (x)dx.
Zadania
1. Korzystaj¡c z de nicji caªki oznaczonej jako granicy sum cz¦±ciowych oblicz:
(a)
3
R
−2
x2dx; (b)
2
R
1 1
x2dx; (c)
1
R
0
x3dx; (d)
π 4
R
0
sin xdx.
Przydatne wzory: Pn
k=1
k2 = n(n+1)(2n+1)
6 ,
n
P
k=1
k3 =
n P
k=1
k
2
=
n(n+1) 2
2
2. Oblicz podane caªki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza 1)
3
R
0 1
x2+9dx; 2)
1
R
0 x−1
x+1dx; 3)
2
R
0
|x − 1|dx;
4)
π/3
R
π/6
1+cos2x
1+cos 2xdx; 5)
6
R
0 6x
√3
(x2+4)5dx; 6)
π/2
R
0
sin3x cos xdx;
7)
e
R
1/e
ln xdx; 8)
1
R
0
x√
1 − xdx; 9)
5
R
0
√ x
1+3xdx;
10)
2
R
0
√4 − x2dx, (t = 2 sin x); 11)
e2
R
e 1
x ln xdx; 12)
0
R
−1
xe−xdx;
13)
0
R
−π
2
√1 + sin x · cos xdx; 14)
0
R
−π
2
√1 + sin xdx; 15)
1
R
0
x2√
1 − x2dx;
16)
5
R
−3
E(x)dx; 17)
5
R
−2
x sgn(x2− 2x − 3)dx; 18)
1
R
0
e
√xdx;
19)
ln 2
R
0
√ex− 1dx; 20)
1
R
0
arcsin√
√ x
x(1−x)dx; 21)
2 arctg 2
R
π 2
1
sin2x(1+cos x)dx.
3. Oblicz R2
−1
f (x)dx, gdzie f(x) =
(x2, dla − 1 ≤ x < 1 3 − x, dla 1 ≤ x ≤ 2.
4. W zale»no±ci o parametru α ∈ R zbadaj zbie»no±¢ caªki niewªa±ciwej +∞R
a 1
xαdx, gdzie a > 0.
5. W zale»no±ci o parametru α ∈ R zbadaj zbie»no±¢ caªki niewªa±ciwej R1
0 1 xαdx.
6. Korzystaj¡c z de nicji zbadaj zbie»no±¢ nast¦puj¡cych caªek niewªa±ciwych (je»eli to mo»liwe wyznacz warto±¢):
1)
+∞
R
0
e−2xdx; 2)
+∞
R
1 1
xdx; 3)
0
R
−∞
(x − 2)e3x+1dx;
4)
+∞
R
0 x
x2+4dx; 5)
+∞
R
−∞
1
x2+9dx; 6)
+∞
R
√π
x cos2xdx;
7)
+∞
R
1 1
x2(x+1)dx; 8)
+∞
R
−∞
dx
x2+6x+12dx; 9)
+∞
R
1 dx x√
1+x2dx.
10)
+∞
R
−1 1
√3
xdx; 11)
4
R
0 1 x√
xdx; 12)
1
R
0 ln x
x dx;
13)
3
R
−3
√dx
9−x2; 14)
3
R
0 x
x2−1dx; 15)
3π/2
R
π 1 sin2xdx;
16)
3
R
2 1
x(x−3)dx; 17)
+∞
R
0
√ dx
x(1+x); 18)
1
R
0 1 x ln xdx.
7. Korzystaj¡c z odpowiednich kryteriów zbadaj zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych:
1)
+∞
R
1
ex2dx; 2)
+∞
R
0 1
x2+x+2dx; 3)
+∞
R
1
sin x2dx;
4)
+∞
R
1
cos2x
e−x+x2dx; 5)
+∞
R
0 sin x
x dx; 6)
1
R
0 ex−1
x3 dx;
7)
+∞
R
1
ln(1+x2)
x4 dx; 8)
1
R
0
√x
esin x−1dx; 9)
+∞
R
0 sin2x
x dx;
10)
+∞
R
0
arctg x
x dx; 11)
+∞
R
1 1 x√
1+x2dx; 12)
+∞
R
0 x32 1+x2dx.
8. Zbadaj zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ i warunkow¡ nast¦puj¡cych caªek niewªa±ciwych:
1)
+∞
R
2 cos x x√
xdx; 2)
1
R
0 1
xsinx1dx; 3)
1
R
0 sin x√
x dx.
9. Korzystaj¡c z kryterium caªkowego zbie»no±ci szeregów zbadaj zbie»no±¢:
1)
∞
P
n=2 1
n(ln n)1+α, α > 0; 2)
∞
P
n=0
ne−n2; 3)
∞
P
n=2 ln n
n2 ; 4)
∞
P
n=0
√ 1 (n+2)3;
