Stanisław Żukowski 1 ROZWIĄZANIE RUSZTU BELKOWEGO METODĄ SIŁ
I OBLICZENIE PRZEMIESZCZENIA Dany jest ruszt belkowy jak na
rysunku obok.
Rozwiązać go metodą sił, sporządzić wykresy sił przekrojowych i
dokonać kontroli rozwiązania oraz obliczyć zaznaczone przemieszczenie.
I..ROZWIĄZANIE DANEGO RUSZTU BELKOWEGO OD DANEGO OBCIĄŻENIA
1 STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI Korzystamy ze wzoru nh e2b. Uwzględniamy tu tylko więzi
translacyjne prostopadłe do płaszczyzny rusztu i więzi rotacyjne w płaszczyznach prostopadłych do płaszczyzny rusztu, na których leżą osie belek.
nh 9233
2 UKŁAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJĄCY MU UKŁAD RÓWNAŃ
Układ podstawowy (obok) tworzymy z układu danego przez zastąpienie n więzi niewiadomymi h siłami w taki sposób by powstały układ był geometrycznie
niezmienny.
, 0
, 0
, 0
3 3 3 33 2 32 1 31
2 2 3 13 2 22 1 21
1 1 3 13 2 12 1 11
rz F
rz F
rz F
X X
X
X X
X
X X
X
3 ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO
3.1.ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD DANEGO OBCIĄŻENIA F = (F, q) Uwaga: Momenty zginające przyjmujemy za dodatnie, gdy rozciągane są włókna dolne a za ujemne, gdy rozciągane są włókna górne.
Poniżej przedstawiono układ podstawowy w rozłożeniu na belki obciążony obciążeniem (F, q).
Belka EG opiera się w punkcie 2 na belce AB. Podparcie to zastąpiono podporą o reakcji R2F oraz obciążeniem belki AB reakcją R2F.
(e = 1) (e = 1)
(e = 1) (e = 1)
(e = 1)
(e = 2)
(e = 1) (e = 1)
3.00m
2.00m 2.00m 2.00m
1.50m
1.50m F
q=0.5F/m X1
X1
X2 X2
X3
A B
C
D
E
G
3.00m
2.00m 2.00m 2.00m
1.50m
1.50m F
q=0.5F/m i EI
EI
EI
EI
2 EI 2 EI 2 EI
Stanisław Żukowski 2
F
C
D
E
G
q=0.5F/m
RC RE
RD RG
R2
3.00m
1.50m 1.50m
R2
2.00m 2.00m 2.00m
A B
RA RB
F
F
F
F
F
F F
F
1 1
2 2
Z rozwiązania belki CD otrzymano: RCF F/4, RFD 3F/4 i moment pod siłą F MFF 9Fm/8. Z rozwiązania belki EG otrzymano: RFE R2F 3F/4, RGF 0
i moment w środku rozpiętości pręta E2 MFs,E2 9Fm/16. Z rozwiązania belki AB otrzymano: RFA R2F /3 F/4, RFB 2R2F /3F/2
i moment pod siłą R2F MFR2 Fm. Wykres momentów zginających
E
G
q=0.5F/m
RE
RG
R2
F
F
+ F
MF
A B
RAF + RFB
169Fm 8 Fm
9 F
C
D
RC
RFD
F
+ Fm Fm 43 1615Fm
4Fm 3
2 Fm 1
R2F
2 Fm 1
3.2.ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA X1 = 1 Obok przedstawiono układ
podstawowy w rozłożeniu na belki obciążony obciążeniem X1 1.
otrzymano: R1C R1D 1/2 i moment pod siłą Z rozwiązania belki CD
1 1
X , M11,CD 1.5m.
Z rozwiązania belki EG otrzymano: 1 12 1 0
G
E R R
R .
Z rozwiązania belki AB otrzymano: R1A 2/3, R1B 1/3.
i moment pod siłą X1 1 M11,AB 4m/3. C
D
E
G
RC RE
RD RG
R2
3.00m
1.50m 1.50m
R2
2.00m 2.00m 2.00m
A B
RA RB
1
1
1
1
1
1 1
1
X1= 1
X1= 1
1 1
2
2 = 0
F
Stanisław Żukowski 3 Wykres momentów zginających
E
G
RE
RG
R2
1
1
1
M1
A B
RA1 R1B
-
C
D
RC
RD1
1
+ X1= 1
X1= 1
2 m 3
4 m 3 8 m 9
3 m 4
3 m
1 m 2 31 m
3.3.ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA X2 = 1 Obok przedstawiono układ
podstawowy w rozłożeniu na belki obciążony obciążeniem
2 1
X .
Z rozwiązania belki CD otrzymano: RC2 R2D 0.
Z rozwiązania belki EG otrzymano: RE2 RG2 1/3m, R22 2/3m,
i moment w punkcie 2 M22,EG 1. Z rozwiązania belki AB otrzymano: R2A 2/9m, R2B 4/9m i moment w punkcie 2 M22,AB 8/9. Wykres momentów zginających
E
G
RE
RG
R2
2
2
2
M2
A B
RA2 R2B
-
C
D
RC
RD2
2
+ R22 X2= 1 X2= 1
1
98 94
21 43
32 94 C
D
E
G
RC RE
RD RG
R2
3.00m
1.50m 1.50m
R2
2.00m 2.00m 2.00m
A B
RA RB
2
2
2
2
2
2 2
2
X2= 1 X2= 1
1 1
2 2 F
Stanisław Żukowski 4
3.4.ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA X3 = 1.
Poniżej przedstawiono układ podstawowy w rozłożeniu na belki obciążony obciążeniem X3 1.
otrzymano: R3C R3D 0. Z rozwiązania belki CD
Z rozwiązania belki EG otrzymano: 3 3 32 0
R R
RE G .
Z rozwiązania belki AB otrzymano: R3A 1/6m, R3B 1/6m. Wykres momentów zginających
E
G
RE
RG
R2
3
3
3
M3
A B
RA3 R3B
-
C
D
RC
RD3
3
1 32
31
X3= 1
21
65
4. UKŁAD RÓWNAŃ I JEGO ROZWIĄZANIE.
4.1.OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW UKŁADU RÓQNAŃ
Współczynniki układu równań obliczamy wykorzystując wzory identyczne jak dla układów płaskich
s sj is j
i
ij k
S dx S
EI M
M ,
s Fs is F
i
iF k
S dx S
EI M
M .
Do obliczenia całek w powyższych wzorach zastosowano wzór Simpsona lub Mohra .
1
01 , 1 , 1 , 1 1 1 11
D C B A
dx M EI M
EI m m
m m EI m m
m EI
m m
m EI
3
277778 .
6 2 2
3 3 2 2 2
3 3 1 3 4 3 2 2 3
4 4 2
1 3
4 3 2 2 3
2 4 2
1
,
1
0 21 43 22 32 942 , 12 , 1 1
2 1 21
12
m m dx EI
M EI M
B A
, 037037 .
9 1 8 3 2 2 3
2 2 2
1 9 8 3 2 3 ) 2 1 ( 9 4 4 3 4 6 2 2
1 2
EI m m
m EI m m
m m
EI
C
D
E
G
RC RE
RD RG
R2
3.00m
1.50m 1.50m
R2
2.00m 2.00m 2.00m
A B
RA RB
3
3
3
3
3
3 3
3
X3= 1
1 1
2 2
F
= 0
Stanisław Żukowski 5
1
01 , 1 3 1 31
13
B A
dx M EI M
0
3 2 3 4 2 3
1 3 4 6
4 2
1 3
1 3 2 2 3
2 4 2
1 m m m
EI m
m
EI EI
m2 888889 .
0 ,
1
0 21 43 22 32 2, 1 , 1 , 2 , 12 , 1 1
1
Fm m
m dx EI
M EI M
FD F C B A F
F
4
3 3 2 2 2
3 3 1 3
2 2 3
2 2 2
1 3
2 4 ) 3 1 ( 2 4 3 4 6 2 2
1 m m Fm
Fm EI m
m Fm EI
m m Fm
Fm m m
EI
, 927083 .
8 1 9 3 2 2 4
5 . 1 3 1 8
9 4 3 16 15 8 4 9 4 3 2 3 6 5 . 1
1 3
EI Fm Fm
m m EI Fm m Fm m
Fm m m
EI
1
02 , 2 , 2 , 2 2
2 22
G E B A
dx M EI M
EI m m
EI m
EI m
EI ( 1) 2 3.790123
3 2 2
3 1 1 9 8 3 2 2 9
2 8 2
1 9 8 3 2 2 9
4 8 2
1
,
1
02 , 2 3
2 32
23
B A
dx M EI M
EI m m
EI m
EI 0 -0.740741
6 5 9 4 4 3
2 9 8 6 2 2
1 3
2 3 2 2 9
4 8 2
1
,
1
02 , 2 , 2 2
2
E B A F
F M M dx
EI
EI Fm Fm
m Fm EI
m Fm EI
m EI
2
0.326389 16 0
) 9 5 . 0 ( 4 6 0
3 1 3
2 2 9
2 8 2
1 3
2 2 9
4 8 2
1
,
, 1 ) 1 3 ( 2 2
6 1 2
0 1
1 3 3
33 EI
m m
dx EI M
EIAB ABM
1
02 , 2 3
3
B A F
F M M dx
EI
EI Fm Fm Fm
m Fm EI
m EI
2
833333 .
0 - 2 0
6 4 5 3
2 6 2 2
1 3
2 2 3
4 2 2
1
.
4.2.POSTAĆ SZCZEGÓŁOWA UKŁADU RÓWNAN
, 0 1.927083
888889 .
0 1.037037
6.277778
3 3
2 2
2 1
3
EI X Fm
EI X m
EI X m
EI m
, 0 0.326389
0.740741 3.790123
037037 .
1 2 1 2 3 2
EI
X Fm EI X m
EI X m
EI m
. 0 833333
. 0 1
740741 .
0 888889
. 0
2 3
2 1
2
EI X Fm
EI X m EI X m
EI m
4.3.ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ F
X
X1 1F -0.483858 , X2 X2F 0.033228Fm, X3 X3F 1.288044Fm.
Stanisław Żukowski 6
5. SIŁY RZECZYWISTE 5.1.OBLICZENIA
Obliczenia reakcji i momentów zginających wykonano w tabeli wykorzystując wzory
F r F r F r F r F
r R X R X R X R
R 1 1 2 2 2 2 , MF M1 X1F M2X2F M3X3F MF, Uwaga: W tabeli zamiast nadkreślenia zastosowano przekreślenie a wartości rzeczywiste
wytłuszczono
X1 = -0.483858 X2 = 0.033228 X3 = 1.28804356
Pręt A1 p s k Pręt 12 p s k
M1 0 -0.6666667 -1.3333333 M1 -1.333333333 -1 -0.6666667 M2 0 0.22222222 0.44444444 M2 0.444444444 0.666666667 0.88888889 M3 0 -0.1666667 -0.3333333 M3 -0.333333333 -0.5 -0.6666667
MF 0 0.25 0.5 MF 0.5 0.75 1
MF 0 0.36528192 0.73056384 MF 0.730563836 0.611988062 0.49341229
Pręt 2B p s k Pręt C1 p s k
M1 -0.6666667 -0.3333333 0 M1 0 0.75 1.5
M2 0.88888889 0.44444444 0 M2 0 0 0
M3 -0.6666667 -0.8333333 -1 M3 0 0 0
MF 1 0.5 0 MF 0 0.375 0.75
MF 0.49341229 -0.3973156 -1.2880436 MF 0 0.012106731 0.02421346
Pręt 1F p s k Pręt FD p s k
M1 1.5 1.125 0.75 M1 0.75 0.375 0
M2 0 0 0 M2 0 0 0
M3 0 0 0 M3 0 0 0
MF 0.75 0.9375 1.125 MF 1.125 0.5625 0
MF 0.02421346 0.3931601 0.76210673 MF 0.762106731 0.381053366 0
Pręt E2 p s k Pręt 2G p s k
M1 0 0 0 M1 0 0 0
M2 0 -0.5 -1 M2 -1 -0.5 0
M3 0 0 0 M3 0 0 0
MF 0 0.5625 0 MF 0 0 0
MF 0 0.54588589 -0.0332282 MF -0.033228226 -0.016614113 0
RA RB RC RD RE RG R2
R1 -0.6666667 -0.3333333 0.5 0.5 0 0 0
R2 0.22222222 0.44444444 0 0 -0.333333333 -0.3333333 0.666667
R3 -0.1666667 0.16666667 0 0 0 0 0
RF 0.25 0.5 0.25 0.75 0.75 0 0.75
RF 0.36528192 0.89072792 0.00807115 0.5081 0.738923925 -0.011076075 0.77215215 MOMENTY ZGINAJACE
REAKCJE
Wartości sił tnących obliczono wykorzystując znane już wartości reakcji.
Pręt AB
VA1 V1A RA 0.3653F, V12 V21 RA X1 0.1186F, V2B VB2 RB 0.8907F, Pręt CD
VC1 VCA RC 0.0081F, V1F VF1 RC X1 0.4919F, VFD VDF RD 0.5081F, Pręt EG
VE2 RE 0.7389F, V2E RE 0.5*3m*3m/20.7611F, V2G VG2 RG 0.0111F.
Stanisław Żukowski 7 5.1. WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH
MF
A B
RAF + RFB
0.7306 Fm 0.4934 Fm 1.2880 Fm 0.6120 Fm 0.3973 Fm
- F
C
D
RC
RDF
F
X1F
0.0242 Fm
+
0.3932 Fm 0.7621 Fm
R2
E REF
F
G
q=0.5F/m
RGF
+
0.5459 Fm 0.0332 Fm
- F = -0.4839 FX 1 F R= 0.7722 F2 XF3= 1.2880 Fm
E
G
q=0.5F/m
+
-
VF F
C
D X1F
0.0081 F
+
RCF= 0.0081 F
-
0.4919 F 0.5081 F
RDF= 0.5081 F
A B
+
0.8907 F
- XF3= 1.2880 Fm
= 0.3653 F RAF 0.3653 F
= 0.8907 F RFB
F R 2= 0.7722 F
0.1186 F
F X1= -0.4839 F
= 0.7389 F REF
R2F
0.7389 F 0.7611 F 0.0111 F
= 0.0111 F RGF
6. KONTROLA POPRAWNOŚCI ROZWIĄZANIA
Kontrola rozwiązania polega na sprawdzeniu czy otrzymane rozwiązanie jest statycznie i kinematycznie dopuszczalne, czyli czy siły spełniają równania równowagi a przemieszczenia są kinematycznie zgodne. Dokonując kontroli należy pamiętać, że kontroli podlegają tylko te wartości, które występują w obliczeniach kontrolnych.
6.1.KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA
Aby sprawdzić wszystkie rzędne charakterystyczne momentów i sił tnących sprawdzimy równania równowagi dla elementów jak na rysunku poniżej.
D VFD = 0.5081 F
C
V1C = 0.0081 F
VC1 = 0.0081 F 1
M1C = 0.0242 Fm
VF1 = 0.4919 F F
V1F = 0.4919 F
M1F = 0.0242 Fm
MF1 = 0.7621 Fm MFD = 0.7621 Fm
VDF = 0.5081 F
A
VA1 = 0.3653 F V1A = 0.3653 F
1 2
V12 = -0.1186 F V21 = -0.1186 F V2B = -0.8907 F VB2 = -0.8907 F
M1A = 0.7306 Fm M12 = 0.7306 Fm M21 = 0.4934 Fm M2B = 0.4934 Fm MB2 =-1.2880 Fm B VG2 = -0.0111 F
E
V2E = -0.7611 F
VE2 = 0.0081 F 2
M2E = -0.0332 Fm G
V2G = -0.0111 F M2G = -0.0332 Fm
q=0.5F/m
Stanisław Żukowski 8
Dla pręta A1
MA M1A V1A2m0.7306Fm0.3653F2m0, 0 2 3653 . 0 7306. 0
1 2
1
1
M M A VA m Fm F m ,Dla pręta 12
M1 M12 M21V212m0.7306Fm0.4934Fm0.1186F2m0, 02 1186 . 0 4934 . 0 7306 . 0
12 2
21 12
2
M M M V m Fm Fm F m ,Dla pręta 2B
M2 M2B MB2 VB22m0.4934Fm(1.288)Fm0.8907F2m0, 02 8907 . 0 )
288 . 1 ( 4934 . 0
2 2
2
2
MB M B MB V B m Fm Fm F m ,Dla pręta C1
MC M1C V1C 3m0.0242Fm0.0081F3m0.0001Fm0, 00001 . 0 3 0081 . 0 0242 . 0
1 3
1
1
M M C VC m Fm F m Fm ,Dla pręta 1F
M1 M1F MF1VF11.5m0.0242Fm0.7621Fm0.4919F1.5m0, 05 . 1 4919 . 0 7621 . 0 0242 . 0 5 .
1 1
1
1
MF M F MF VF m Fm Fm F m , Dla pręta FD0 5 . 1 5081 . 0 7621 . 0 5
.
1
MF MFD VDF m Fm F m , 05 . 1 5081 . 0 7621 . 0 5
.
1
MD MFD VFD m Fm F m , Dla pręta E2
ME M2E V2E 3mq3m1.5m(0.0332)Fm(0.7611)F3m0.5F/m4.5m2 0,
M2 M2E VE23mq3m1.5m(0.0332)Fm0.0081F3m0.5F/m4.5m2 0, Dla pręta 2G0 0001
. 0 3
) 0111 . 0 ( ) 0332 . 0 (
2 3
2
2
M M G VG m Fm F m Fm ,0 0001
. 0 3
) 0111 . 0 ( ) 0332 . 0 (
2 3
2
MG M G V G m Fm F m Fm . 6.2.KONTROLA KINWMATYCZNEJ DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIAKontrola zgodności przemieszczeń polega na sprawdzeniu zgodności przemieszczeń układu rozwiązanego z przemieszczeniami rzeczywistymi w tylu miejscach ile wynosi stopień statycznej niewyznaczalności. Sprawdzimy przemieszczenia w miejscach 1, 2 i 3 ( i 1F , 1F i 2F ) 3F wykorzystując wzór
s F s is F
i
iF k
S dx S
EI M M
F
, 1 i 2F . 3F
1
0, 1 , 1 , 2 , 12 , 1 1
1
FD F C B A F
F M M dx
EI
m Fm
Fm m
m Fm m
Fm EI m
m
EI 0.4934
3 612 2
. 0 ) 1 ( 4 7306 . 3 0 4 6 2 2 7306 1 . 3 0 2 2 3
2 4 2
1
m m Fm
Fm EI Fm m
m m
EI 0.0242
3 2 2 2
3 3 0 1
) 3973 . 0 3 ( 4 1 4934 . 3 0 2 6 2 2
1
0 0 7621 . 3 0 2 2 4
5 . 1 3 7621 1
. 4 0 3932 3
. 8 0 4 9 0242
. 2 0 3 6 5 . 1
1
m m Fm
Fm EI Fm m
Fm m m
m EI
1
02 , 2 , 2 , 12 , 1 2
2
G E B A F
F M M dx
EI
Stanisław Żukowski 9
m Fm Fm Fm
Fm EI m
EI 0.4934
9 612 8 . 3 0 4 2 7306 . 9 0 4 6 2 2 7306 1 . 3 0 2 2 9
2 4 2
1
( 3973) 0
9 4 4 4934 . 9 0 8 6 2 2
1 m Fm Fm
EI
0 )
0332 . 0 3 ( 2 2
3 1 0 1
) 0332 . 0 ( ) 1 ( 5459 . 2 0 4 1 6 0
3
1
m Fm
Fm EI m Fm
EI ,
1
02 , 12 , 1 1
3 1 3
B A A
F A
F M M dx
EI
m Fm Fm Fm
Fm EI m
EI 0.4934
3 612 2
. 0 ) 5 . 0 ( 4 7306 . 3 0 1 6 2 2 7306 1
. 3 0 2 2 3
2 1 2
1
0 )
288 . 1 ( ) 1 ( ) 3973 6 (
4 5 4934 . 3 0 2 6 2 2
1
m Fm Fm Fm
EI .
II..ROZWIĄZANIE IZOSTATYCZNEGO MODELU RUSZTU BELKOWEGO OD OBCIĄŻENIA
Pi 1Uwzględniając, że znamy rozwiązanie rusztu danego od danego obciążenia (M ,F SsF), w celu wyznaczenia szukanego przemieszczenia musimy jeszcze wykonać rozwiązanie dowolnego modelu izostatycznego rusztu od obciążenia jednostkowego przyłożonego w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia (Pi 1). Do rozwiązania przyjęto model jak na rysunku poniżej.
C
D
E
G
RC RE
RD RG
R2
3.00m
1.50m 1.50m
R2
2.00m 2.00m 2.00m
A B
RA RB
i
i
i
i
i
i i
i
1 1
2 2
Pi = 1
= 0
W wyniku rozwiązania tego układu otrzymano:
4 /
1
iC
R , RiD 3/4, MiF 9m/8, i 2i iG 0
E R R
R , i iB 0
A R
R .
Wykresy momentów zginających
E
G
RE
RGi
i
Mi
A B
RAi RBi
8 m 9
C
D
RC
RDi
i
+ 43 16
15 i
R2 Pi = 1
m m
1.
Stanisław Żukowski 10
III..OBLICZENIE SZUKANEGO PRZEMIESZCZENIA
1
0, 1 , 1 FFD C F i s
F s is F
i
iF M M dx
EI k
S dx S
EI M M
m Fm
m Fm m Fm
m Fm EI
m m
EI 0.7621
8 3932 9
. 16 0 4 15 0242
. 4 0 3 6 5 . 1 0242 1
. 3 0 2 2 4
3 3 1
. 0343 . 1 7621 . 3 0 2 2 8
5 . 1 9
1 3
EI Fm Fm
m m
EI
