ALFRED ROSENBLATT
B A D A N I A N A D P E W N E M I KLASAMI P O W I E R Z C H N I A L G E B R A I C Z N Y C H N I E R E G U L A R N Y C H I NAD B I R A C Y O N A L N E M I P R Z E K S Z T A Ł C E N I A M I , N I E
Z MI E N I A J Ą C E M I T Y C H P O W I E R Z C H N I
KRAKÓW
NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI
SK ŁA D G Ł Ó W N Y W KSIĘG A RN I SPÓŁK I W Y D A W N IC ZE) POLSKIEJ
1912.
-
ALFRED ROSENBLATT
B A D A N I A N A D P E W N E M I KLASAMI P O W I E R Z C H N I A L G E B R A I C Z N Y C H N I E R E G U L A R N Y C H I NAD B I R A C Y O N A L N E M I P R Z E K S Z T A Ł C E N I A M I , N I E
ZM I E NI A JĄ C EM I T Y C H P O W I E R Z C H N I
X\V
KRAKÓW
NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI
SKŁAD G Ł Ó W N Y W KSIĘG A RN I SPÓ Ł K I W Y D A W N IC ZEJ POLSKIEJ
Osobne odbicie z T. L II. Ser. A. Kozpraw W ydziału mat.-przyr.
Akademii Umiejętności w Krakowie.
l n 0 % / ß "
& t Q b b Ą X
$
K ra k ó w 1912. — D r u k a r n ia U n iw e rs y te tu Jag ie llo ń sk ie g o p o d za rz ą d e m J ó z e f a F ilip o w sk ie g o .I
Badania nad p ew n em i klasami pow ierzchni algebraicznych n ieregularnych i nad biracyo- nalnemi przekształceniam i, nie zmieniającemi
tych pow ierzchni
przez
Alfreda Rosenblatta.
Rzecz przedstawiona przez Czł. K. Żorawskiego na posiedzeniu Wydz. mat.-przyr.
w dniu 1-śzym lipca 1912 r.
W stę p h isto ry czn y .
1. T eorya krzy w y ch algebraicznych zawdzięcza H. S c h w a r z o w i i F. K l e i n o w i ważne tw ierdzenia o grupach* transform a- cyj biracyonalnych, które przekształcają w siebie te krzyw e.
S c h w a r z 1) okazał, że tylko krzyw e rodzajów zero i jeden posia
dają g rupy ciągłe (w sensie L i e ’go) transform acyj biracyonalnych.
K l e i n 2) wypowiedział bez dowodu twierdzenie, że krzy w e rodza
jów większych od jedności w ogóle nie mogą posiadać nieskończe
nie wielu transform acyj biracyonalnych. Tw ierdzenia S c h w a r z a i K l e i n a b y ły następnie przedm iotem badań licznych m atem aty
ków. P roste i w ytw orne dowody tych tw ierdzeń podał P i c a r d 3).
*) Ü ber diejenigen algebraischen Gleichungen zwischen zwei veränderlichen Grössen, die eine Schar rationaler eindeutig um kehrbarer Transform ationen in sich selbst gestatten. Crelle's Journal T. 87.
2) W liście do P o i n c a r e ’go, cytowanym w pracy P o i n c a r e ’go: Sur un theorśme de M. F u c h s , Acta M athem atica T. 7.
3) Theorie des fonctions algebriques de deux variables independantes.
Journal de M athematiques. Ser. 4. T. 5. 1889, por. T raite d’Analyae. Tom 2.
4 A . R O S E N B L A T T
[
198]
P i c a r d p ie rw sz y 1) rozw inął analogiczną teoryę transform acyj bi- racyonalnych powierzchni algebraicznych. Powierzchnie algebraiczne, posiadające grupy ciągłe transform acyj biracyonalnych, albo posia
d ają pęki w ym ierne lub niew ym ierne k rz y w y ch w ym iernych, lub k rzy w y ch eliptycznych, posiadających tensam moduł, albo też spół- rzędne powierzchni można w yrazić ja k o funkcye hipereliptyczne dwóch zm iennych, lub jako d e g e n e ra c je ty ch fu n k cy j. W tej sa
mej pracy zastanaw ia się P i c a r d nad tern, k ied y pow ierzchnia algebraiczna dopuszcza nieskończenie wiele przekształceń biracyo
nalnych, nie dopuszczając je d n a k g rupy ciągłej przekształceń bira
cyonalnych. Jeżeli rodzaj geom etryczny pow ierzchni je st większy niż dwa, natenczas, ponieważ krzyw e kanoniczne pow ierzchni prze
chodzą przez tra n sfo rm a c je biracyonalne w krzy w e kanoniczne, więc, jeżeli krzy w e kanoniczne przechodzą w inne krzy w e kano
niczne, tran sfo rm acjo m pow ierzchni odpow iadają tran sfo rm acje p e w nych form algebraicznych k ilk u zm iennych; stąd można w ypro
wadzić niemożliwość istnienia nieskończenie wielu transform acyj biracyonalnych, nie należących do grupy ciągłej transform acyj.
K rzyw e kanoniczne powierzchni mogą się je d n a k w szystkie składać z jed n ej lub z większej liczby krzyw ych pewnego pęku wym iernego lub niewym iernego. W łasność ta zawsze istnieje, gdy rodzaj geom etryczny p g powierzchni rów na się 2, ale może zachodzić i wtedy, gdy rodzaj geom etryczny p g je s t w iększy niż 2. K rzyw e pęku są wówczas eliptyczne 2). Jeżeli powierzchnia przechodzi w sie-, bie nieskończenie wielu tran sfo rm acjam i w ta k i sposób, że każda k rzy w a eliptyczna przesuw a się w sobie p rzy ty ch tran sfo rm acjach , wówczas każdem u punktow i powierzchni odpowiada nieskończenie wiele punktów transform ow anych tego punktu przez te transfor
m a c je i leżących na krzyw ej eliptycznej, która przechodzi przez
*) W pracy powyżej cytowanej z r. 1889. Por. też dwie noty: Sur la trans- formation des surfaces algebriques en elles-mśmes. Comptes Eendus 1886 i Sur la transforrnation des surfaces algebriques en elles-memes et sur un nombre fun
damental dana la thćorie des surfaces. Tamże 1886.
2) N o e t h e r : Zur Theorie des eindeutigen Entsprochene algebraischer Ge
bilde. Zweiter Aufsatz. M athematische Annalen. Tom 8. Późniejsze badania oka
zały (por. F. E n r i q u e s ; Le superficie algebriche di genere jpto = 2, liendiconti della Reale Accademia dei Lincei. Ser. 5. T. 6. 1897), że, gdy po = 2, rodzaj krzywych kanonicznych bynajmniej nie musi być p lr> = 1. Zatem, rozważając prze
kształcenia biracyonalne, należy jeszcze dodać jako warunek, że w omawianym przypadku krzywe te są eliptyczne.
[199] O P E W N Y C H K L A S A C H P O W IE R Z C H N I 5
ten punkt. U w ażajm y grupę ciągłą o o 1 transform acyj biracyonal- nych krzyw ej eliptycznej. G rupa ta zależy od pewnego param etru
©. Dla nieskończenie wielu wartości tego param etru
na danej ogólnej krzy w ej pęku m am y nieskończoną seryę tra n s
form acyj, odpowiadającą transform acyom powierzchni. Spółczynniki w rów naniu krzyw ej są w ym iernem i funkcyam i param etrów % zw iązanych równaniem
(!) y (!,»?) = o,
które daje pęk (lub funkcyam i w ym iernem i jednego param etru, gdy krzyw a (1) je st w ym ierna), tak, źe naodw rót p aram etry r\ są fun
kcyam i w ym iernem i spółrzędnych powierzchni y, z. Zastępując w transform acyi ciągłej krzyw ej eliptycznej p aram etry rj przez funlccye x, y. z, otrzym ujem y spółrzędne przekształconego punktu x', y ', z', jak o funlccye w ym ierne spółrzędnych x, y. z. tak, że dla nie
skończenie wielu wartości param etru ©, figurującego w przekształce
niu, x, y, z w yrażają się przeciw nie jak o funkcye w ym ierne x', y', z'.
Poniew aż na to, aby transform acya w ym ierna, w której spół- czynnikach figuruje (algebraicznie lub przestępnie) pewien param etr
©, była też w ym iernie odw racalna, potrzeba, aby m iędzy spółczyn- nikam i transform acyi dla wartości param etru ©, dla których tran s
form acya je s t w ym iernie odw racalna, zachodziły pew ne związki, i ponieważ związki te algebraiczne w spółczynnikach transform a
cyi są spełnione dla nieskończenie wielu w artości p aram etru 0:
©i, ©2, — , stąd zatem wnosi P i c a r d , że w zw iązkach tych figu
ru je przynajm niej je d e n param etr (spółezynnik) dowolny, a więc m am y wówczas na pow ierzchni grupę ciągłą o o 1 L ie 'g o , do której należy nieskończona serya powyższa transform acyj biracyonalnych.
Ale param etr ©, figurujący w przekształceniu ciągłem k rz y wej eliptycznej, zależy sam przez się od param etrów rj. Ściślej mówiąc: nieskończonej seryi przekształceń biracyonalnych pow ierz
chni odpowiada nieskończenie wiele przekształceń biracyonalnych pojedynczych k rzy w y ch eliptycznych w siebie, ta k że spółczyn
n iki w formułach transform acyi krzyw ych w siebie są funkcyam i w y
m iernem i param etrów rj krzyw ej, funkcyam i, tworzącemi również nieskończony ciąg. Otóż owa nieskończona serya w artości param etru ©:
6 A . R O S E N B L A T T [200]
81, 9 „ ...
na każdej krzyw ej eliptycznej, odpowiada nieskończonej seryi w ar
tości owej seryi funkcyj dla w artości param etrów r\ danej k rz y wej eliptycznej. Z astępując owe funkcye g, rj przez funkcye spół- rzędnych x , y , z , otrzym ujem y nieskończoną nieciągłą seryę trans- form acyj biracyonalnych pow ierzchni, ale param etr @, d ający na każdej krzyw ej eliptycznej ciągłą grupę transform acyj biracyonal
ny ch krzyw ej, nie daje w cale ciągłej g rupy przekształceń b ira
cyonalnych powierzchni. Zatem i dla p g ^> 1 możliwe są powierz
chnie, dopuszczające tylko nieciągłą nieskończoną seryę przekształ
ceń biracyonalnych; ja k przekonam y się, powierzchnie tak ie rze
czywiście istnieją.
Z agadnienia te w yjaśnił później F. E n r i q u e s , którego prace rozw ażym y w dalszym ciągu.
2. W k ilk a lat po ogłoszeniu badań P i c a r d a odkryto pierw sze p rz y k ład y powierzchni, dopuszczających nieciągłą seryę prze
kształceń biracyonalnych. W badaniach nad powierzchniam i hi- pereliptycznem i, w szczególności nad powierzchnią K u m m e r a , Gr. H u m b e r t 1) uzyskał ważny rezultat następujący: Jeżeli funkcye theta, określające powierzchnię hipereliptyczną lub powierzchnię K u m m e r a , posiadają peryody a ,b ,c , związane równaniem o spół- czynnikach całkow itych kształtu:
A a -\- B b Ą - C c-\- D (ac — 62) —(— JS? === 0,
natenczas na pow ierzchniach tych leżą krzyw e algebraiczne, nie leżące w przy p ad k u ogólnym ty ch powierzchni. W ów czas na po
w ierzchni K u m m e r a m am y nieskończoną nieciągłą seryę tran s
form acyj biracyonalnych, ale powierzchnia K u m m e r a nie posiada nigdy g rupy ciągłej transform acyj biracyonalnych.
W tym sam ym czasie P a i n l e v ö 2) podał k ilk a przykładów J) Sur la decomposition des fonctions & en facteurs. Comptes Kendus 1897; Sur les fonctions abeliennes singulieres. Comptes Rendus 1898; Sur les fonctions abeliennes singulieres. Journal de L i o u v i l l e . Ser. 5. T. 5. 1899; Sur les fonctions abeliennes singulieres. Ibidem, Ser. 5. T. 6. 1900.
s) Sur les surfaces qui adm ettent un groupe infini discontinu de transfor- mations. Comptes Rendus 1898. P rzykład (2) P a i n i e v e g o jest omówiony w dziele P i c a r d - S i m a r t : Theorie des fonctions algebriques de deux variables indepen- dantes. Tom 2.
[201] O P E W N Y C H K L A S A C H P O W IE R Z C H N I 7
powierzchni, posiadających nieskończoną seryę przekształceń bira- cyonalnych, przykładów znacznie prostszych od przykładu H u m h e r t a. Dwie powierzchnie
, 1
z i =
1 — y » ' 1 - y »
podane przez P a i n l e v ö g o , są jednakże pow ierzchniam i wym ier- nemi, ja k widzimy, w prow adzając param etry
l Ą - x
-— — = u , z = v.
1
+ ?/
Pow ierzchnia
4a» —
(2) 2* =
P a i n l e v ó g o posiada natom iast rodzaj geom etrycznym = 1 ik rz y w ą kanoniczną rzędu zero, t. j. w szystkie „plu rig en eri“ powierzchni P t (i = 2 ,3 ,...) rów nają się jedności. W ówczas je d n a k rodzaj ary tm etyczny pow ierzchni p a je st też rów ny jedności, gdyż nie może być rów ny z e r u 1), ani — 1 ; w tym ostatnim przyp ad k u powierz
chnia je s t hipereliptyczna i dopuszcza ciągłą grupę oo2 przekształceń 2).
3. W k ilk a łat później m atem atycy włoscy odkryli nowe ciekawe k lasy powierzchni algebraicznych omawianego typu. G\
F a n o 3) o d k ry ł powierzchnię rzędu czw artego bez punktów i pro
stych osobliwych, a więc znów o w szystkich rodzajach równych jedności
Pa == P 2 == ^ 3 == pa == ll
która się tern różni od poprzednio omówionych powierzchni, że nie posiada pęków krzy w y ch eliptycznych; ja k S e v e r i 4) później oka-
') Por. prace E n r i q u es a o powierzchniach, dopuszczających nieskończoną nieciągłą seryę przekształceń, które niżej są omówione.
2) F. E n r i q u e s i F. Se v e r i : Intorno alle superficie iperellittiche irrego- lari. Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei. Ser. a, T. 17. 1908.
*) Sopra alcuńe superficie del 4. ordine rappresentabili sul piano doppio.
Rendiconti del Reale Istituto Lombardo, Ser. 2. T. 39. 1906. Por. F. E n r i q u e s : Sulle superficie algebriehe che ammettono une serie discontinua di trasformazioni birazionali. Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei. Ser. 5. T. 15. 1906.
4) Gomplementi all a teoria della base per la totalita delle curve di una superficie algebrica. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. T. 30. 1910.
8 A. R O S U N B L A T T [202]
zat, pow ierzchnia ta nie posiada wogóle krzy w y ch rodzaju m niej
szego od dwóch. P ow ierzchnia ta je s t określona jak o najogólniejsza pow ierzchnia rzędu czwartego, przechodząca przez krzyw ą rzędu szóstego, rodzaju drugiego (niezupełny przekrój dwóch powierzchni rzędu trzeciego).
Niem al równocześnie F. E n r i q u e s ogłosił studyum o po
wierzchniach, które w postaci rzutow ej odkrył ju ż w r. 1896 jak o po
w ierzchnie szóstego rzędu, przechodzące dwa razy przez krawędzie czw orościanu1). Pow ierzchnie te inw aryantyw nie są określone w spo
sób następujący:
(3) p g = p a = 0, P 2 = 1, P 3 — 0;
można je biracyonalnie przekształcić w powierzchnie rzędu szóstego, o d k ry te przez E n r i q u e s a w r. 1896. I te pow ierzchnie posiadają nieskończoną nieciągłą seryę przekształceń biracyonalnych, ale in nego typu, aniżeli powierzchnie, o których była poprzednio mowa.
Mianowicie na ty ch pow ierzchniach istnieje nieskończenie wiele li
niowych pęków krzyw ych eliptycznych. K ażdem u pękowi odpo
wiada nieskończenie wiele przekształceń biracyonalnych powierzchni, w taki sposób, że krzyw e pęku przesuw ają się w sobie. Mimo to te przekształcenia nie należą do grupy ciągłej transform acyj po
wierzchni. J a k się rzeczy te właściwie m ają, zobaczym y to, oma
w iając prace E n r i q u e s a z zakresu tej teoryi. Zbadanie tych po
wierzchni E n r i q u e s a zawdzięczamy panu G. F a n o 2).
4. Transform acye biracyonalne powierzchni K u m m e r a i wo
góle powierzchni rzędu czwartego, posiadających n punktów podwój
nych, gdzie 1 << n 16, badali H u t c h i n s o n 8), G a r n i e r 4), R e m y 5)
4 E n r i q u e s : Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche.
Memorie della Societa lta lia n a delle Scienze. Ser. 3. T. 10. 1896. — Sopra le superticie algebriche di bigenere uno. Ibidem. Ser. 3. T. 14. 1907. Por. G. C a- s t e l n u o v o : Solle superficie di genere zero. Ibidem. Ser. 3. T. 10. 1896.
2) Superficie algebriche di genere zero e bigenere uno e loro casi partico- lari. Rendiconti del Circolo M atematico di Palermo. T. 29. 1910.
s) On some birational transformations of the Kummer surface into itself.
Bulletin of the American M athematical Society 1901.
4) Sur des surfaees du 4 ordre qui adm ettent un groupe fini discontinu de transform ations birationnelles. Comptes Rendus T. 149. 1909.
5) Sur les transform ations birationnelles des surfaees de quatriem e ordre a pointa doubles isolds. Ibidem. T: 149. 1909.
[203] O P E W N Y C H K L A SA C H P O W IE R Z C H N I 9 i S n y d e r 1). Jeżeli punktem transform ow anym danego punktu na powierzchni ogólnej rzędu czwartego z przynajm niej dwoma punktam i podwójnymi będzie punkt, leżący z danym punktem i z jednym z punktów podw ójnych na linii prostej, natenczas mamy transfor
m a c ję biracyonalną inw olucyjną powierzchni. K om binując tra n s
fo rm a cje te, należące do dwóch lub większej liczby punktów po
dw ójnych, otrzym uje się nieciągłą nieskończoną grupę transform a- cyj. Tem i tran sfo rm acjam i i innem i tran sfo rm acjam i biracyonal- nemi pow ierzchni rzędu czwartego, k tó ry ch w szystkie rodzaje, geo
m etryczny, arytm etyczny i plurigeneri, są równe jedności, zajm ują się wyżej wym ienieni autorowie.
5. Ogólna teorya powierzchni algebraicznych z grupą niecią
głą nieskończoną przekształceń biracyonalnych je s t traktow ana po raz pierw szy w pracy E n r i q u e s a 2), o której wyżej była mowa.
E n r i q u e s bada przede wszy stkiein, ja k ie wartości m ają niezm ien
nik i powierzchni, dopuszczających nieciągłą seryę przekształceń bi
racyonalnych.
Rodzaj arytm etyczny ty ch powierzchni je st p a ^ 0, gdyż po
w ierzchnie o ujem nym rodzaju arytm etycznym posiadają ciągłe g rupy przekształceń b ira c y o n a ln y c h s). Rodzaj geom etryczny pg po
w ierzchni może być rów ny zeru, lub większy od zera, ale „bige- n ere“ P 2 je st w iększe od zera, inaczej pow ierzchnia byłaby w y
m ierna 4). Rodzaj liniow y t. j. rodzaj krzyw ych kanonicznych powierzchni równa się jedności, albowiem powierzchnie, posiadające p (1) < j 1, są biracyonalnie równoważne powierzchniom prostokreśl- nym B), k tóre posiadają grupę ciągłą przekształceń biracyonalnych.
') Infinite discontinuous gronps of birational transform ations which leave certain surfaces invariant. Transactions of the American M athem atical Society.
T. 11. 1910.
2) Sulle superficie algebriche che ammettono una serie discontinua di tras- formazioni birazionali. Rendiconti d ellaReale Accademia dei Lincei. Ser. 5. T .1 5 .1906.
3) E n r i q n e s : Sulle superficie algebriche di genere geometrico zero. Ren
diconti del Oircolo Matematico di Palermo. ;T. 20. 1905. Solle superficie alge
briche che ammettono un gruppo continuo di trasformazioni birazionali in se.
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. T. 20. 1905.
4) C a s t e l n u o v o : Sulle superficie di genere zero. Memorie della Societa lta lia n a delle Scienze. Ser, 3. T. 10. 1896.
5) C a s t e l n u o v o ed E n r i q u e s : Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie algebriche. A nnali di M atematica. Ser. 3. T. 6. 1901.
10 A . lłO S B N B L A T T [204]
Gcly rodzaj liniow y p (I) je s t w iększy od jedności, n a te n c z a s1) w y
m iar w irtualny, a więc i w ym iar efektyw ny systemów liniowych plurikanonicznych
j i C ' — i C » = 2 , 3 , . . . ,
gdzie | O | je s t system liniow y, dołączony do s y s te m u ||C j , rośnie razem z i w nieskończoność, stopień w irtualny ty ch system ów ro
śnie rów nież w nieskończoność. Na powierzchni istnieją zatem nie- przyw iedlne system y plurikanoniezne dowolnego w ym iaru, można przeto powierzchnię biracyonalnie przekształcić w powierzchnię, któ rej przekroje płaskie odpow iadają pew nem u systemowi krzyw ych plurikanonicznych. Stąd w ynika, źe dana powierzchnia nie może dopuszczać nieskończonej seryi przekształceń biracyonalnych, nie będąc ani powierzchnią w ym ierną, ani prostokreślną 2).
Po otrzym aniu tych wartości na inw aryanty p giP a-,p(v E n r i q u e s wykazuje, że w szystkie klasy powierzchni, które posiadają inw aryanty, spełniające powyższe w arunki, m ają w ym ierne lub nie
w ym ierne pęki krzyw ych eliptycznych, z w yjątkiem przypadku P » = P a = Ą = p (1) = 1 ,
w którym krzyw a kanoniczna je st rzędu zero, a więc P{ = 1 dla i >• 2 3). W ostatnim przypadku istnieją zarówno powierzchnie z pę
kam i krzyw ych eliptycznych, ja k bez pęków krzyw ych eliptycznych, i w ogóle bez k rz y w y ch eliptycznych *).
G dy p, > 1, oraz gdy m am y wprawdzie p g = pa = 1, lecz zarazem P 2 %> 1, m am y na powierzchni pęk, w pierw szym p rzy padku w ym ierny lub niew ym ierny, w drugim przypadku z p e
w nością w ym ierny, krzyw ych eliptycznych, z któ ry ch w pierw szym przypadku złożone są krzyw e kanoniczne, a w drugim przypadku krzyw e bikanoniczne.
!) C a s t e l n u o vo ed E n r i q u e s 1. c. Nr. 5.
2) Gr. F a n o: Sülle superficie algebriche eon infinite trasformazioni pro
jettive in se stesse. Rendiconti dei Lincei Ser. 5. T. 4. 1895. — Sulle superficie algebriche eon un gruppo continuo transitivo di trasformazioni projettive in se.
Bendiconti del Circolo M atematico di Palermo. T. 10. 1896. F. E n r i q u e s : Le superficie eon infinite trasformazioni projettive in se stesse. Atti del Reale Isti- tuto Voneto. 1893.
3) F. E n r i q u e s : Sui piani doppi di genere uno. Memorie delia Socielä Italian a delle Scienze. Ser. 3. T. 10. 1896.
*) Por. prace F a n o i S e v e r i ’ego, cytowane w ustępie 3. Wstępu.
[205] O P E W N Y C H K L A S A C H P O W IE R Z C H N I 11
W przypadku p g = p a — ], P 2 = 1, istnieją albo nie istnieją pęki krzyw ych eliptycznych.
W przypadku — 1, p a = 0 istnieje pęk eliptyczny krzyw ych eliptycznych.
Nareszcie w przypadku, gdy rodzaj geom etryczny p g — 0, a więc i p a = 0, albo P 2 > 1; wówczas m am y pęk w ym ierny krzyw ych elip
tycznych, z k tórych złożone są krzyw e bikanoniczne, albo P2 — l ,a w te
dy !) albo P 3 = 0 , i w tedy pow ierzchnia posiada w szystkie plurigeneri równe albo zeru albo jedności; można ją wówczas biracyonalnie przekształcić w powierzchnię szóstego rzędu, przechodzącą dwa razy przez kraw ędzie czworościanu. Albo P , %>0. wówczas istnieją pęki krzy w y ch eliptycznych, z k tó ry ch złożone są krzyw e sestikanoni- czne, mianowicie P 6 > 1, więc system
— 6 G|
istnieje i je s t nieskończony.
6 . Powierzchnie, posiadające nieskończoną seryę przekształceń biracyonalnych, należą do jednej z w yliczonych klas powierzchni, posiadając właściwe niezm ienniki. E n r i q u e s nie bada dalej kwe- styi, ja k im dalszym biracyonalnie niezm iennym w arunkom muszą czynić zadość niezm ienniki powierzchni, jeżeli ma posiadać nieskoń
czoną nieciągłą seryę przekształceń; natom iast podaje nowy sposób otrzym ania takiej seryi przekształceń, jeżeli powierzchnia czyni za
dość pew nym również biracyonalnie niezm iennym warunkom , po
siadając pew ne krzyw e, które przecinają w szystkie krzyw e pęku k rzyw ych eliptycznych, leżącego na powierzchni.
P rzypuśćm y, że na pow ierzchni leżą dwie krzy w e algebraiczne, które możemy w ym iernie oznaczyć i k tóre przecinają krzyw e eli
ptyczne w dwóch grupach Gr,, ćr2 o m 1,m 2 punktach. N iechaj ani te dwie grupy nie będą sobie równow ażne (gdy m1 = m2), t. j. nie należą do tegosamego system u liniowego nieskończonego, ani też niechaj żadne wielokrotności ty ch grup nie będą sobie równoważne.
Będzie to miało miejsce, jeżeli ani obie krzyw e K1. K.2 (gdy mn = m2) nie są sobie równoważne na powierzchni t. j. nie należą do tegosamego systemu liniowego krzyw ych, ani nie są równoważne
F. E n r i ą u e s : Sopra le superficie algebriehe di bigenere uno. Memorie della Societa Italiana delle Ścienne. Ser. 3. T. 14. 1907. Por. prace cytowane w ustępie 3. W stępu i wywody tegoż ustępu.
12 A . R O S E N B L A T T [206]
sobie, gdy do nich dodam y krzyw e pęku eliptyczne, lub krzyw e częściowe, na które krzyw e pęku rozpadają się, ani też żadne wie
lokrotności krzy w y ch K x, K% nie są sobie równoważne naw et i wtedy, gdy dodam y znowu całkow ite lub częściowe krzyw e e lip ty czn e1).
Niechaj krzyw e K x, K 2 będą tegosamego rzędu; natenczas, jeżeli dany pęk krzyw ych eliptycznych je st liniow y, krzyw e K 1} K % mogą różnić się tylko (co do równoważności) o części rozpadających się krzy w y ch eliptycznych. F u n k cy e sym etryczne spółrzędnych pun
któw każdej z grup punktów ćr1; 6r2 są funkcyam i w ym iernem i p unktu x , y, z na powierzchni.
U w ażajm y całkę pierwszego gatunku eliptyczną m, należącą do krzyw ej eliptycznej pęku. C ałka ta będzie funk cy ą przestępną
£, 17; nie będzie można na ogół w ym iernie oznaczyć je j dolnej g ra nicy jak o funltcyi r\. U w ażajm y dwa p u n k ty na krzyw ej P {x .y ,z) i F ( x ', y \ z ') , którym odpowiadają w artości całki u, spełniające kongruencyę
(4) U ~f- 2 = V -J- N Ug^ (modd. 2 6 ),, 2<o2).
Na podstawie odwrotności tw ierdzenia A b e l a dla krzyw ych eliptycznych g rupy punktów
P -j- G1 i P ' -j- G2
są sobie równoważne, a więc spółrzędne punktu P ' są funkcyam i w y
m iernem i spółrzędnych punktu P , funkcyj sym etrycznych spółrzę
dnych g ru p y punktów Gx i grupy 6r2, oraz param etrów y. wcho
dzących w ym iernie do spółczynników rów nania krzyw ej eliptycznej.
Na mocy tego, co powiedzieliśm y wyżej, w ynika stąd, że x ', y ', z ' na powierzchni są w ym iernem i funkcyam i x, y , z. Mamy zatem se- ry ę nieskończoną transform acyj biracyonalnych, daną przez rów nania
(5) u = m - |- /c —
k2u9a,
fc = 1 , 2 , 3 __W idzim y, że transform acye te są odmienne od transform acyj na powierzchniach, zbadanych przez H u m b e r t a , P a i n l e v d ’go,
') S e v e r i : 11 teorama d’A b e l sulle superficie algebriche. Annali di Mate- m atica pura ed applicata. Ser. 3. T. 12. 1905. Osservazioni varie di geometria sopra una superficie. A tti del Reale Istituto Veneto di Scienze, L ettera ed Arti.
1905/6. T. 65. Aleune relazioni di equivalenza tra gruppi di punti d’una curva algebriea. Ibidem, T. 70. 1910/11.
[207] O P R W N Y C H K L A SA C H P O W IE R Z C H N I 13
F a n o i innych. Tam tra n sfo rm a c ja biracyonalna pow staje albo przez składanie 2-eh inw olucyj I 2 , takich, że punktow i na powierz
chni odpowiada pun k t oznaczony z nim sprzężony, lub przez tra n s
fo rm a cje liniowe param etrów w, v powierzchni, tw orzące nieskoń
czoną nieciągłą seryę. W idzim y też, że wartości , ©2, . . . param e
tru & ustępu 1 są to wartości funlccyj eliptycznych danej krzyw ej . dla argum entów
k 5 fc = 1, 2, 3 , ...,
a więc funkcyj sym etrycznych spółrzędnych grup punktów G1 i ćr2, są to zatem wartości nieskończonej nieciągłej seryi funkcyj w y
m iernych x , y , z , odpow iadających danej krzyw ej.
7. Ogólna teorya pow ierzchni regularnych, dopuszczających nie
skończoną nieciągłą seryę przekształceń biracyonalnych, postąpiła w ostatnich czasach znacznie naprzód dzięki badaniom S e v e r i ’eg o 1).
O pierając się na teoryi, przez siebie stworzonej, zasady (basis) systemów algebraicznych k rzyw ych algebraicznych na pow ierzchni 2); uczony ten w ykazał, że tran sfo rm acjo m pow ierzchni algebraicznej odpowia
dają tran sfo rm acje liniowe pewnej form y kw adratow ej samej w so
bie. Form a ta je st formą o p zm iennych, jeżeli p je st liczbą syste
mów algebraicznych, tw orzących basis. Izomorfizm g rupy prze
kształceń powierzchni i g rupy transform acyj form y kw adratow ej może być nie holoedryczny, lecz m eriedryczny, ale ze skończonym indeksem , t. j. jednej tra n sfo rm a c ji form y może odpowiadać k ilk a transform acyj powierzchni. Zresztą nie w szystkim transform acjom form y m uszą odpowiadać tran sfo rm acje powierzchni.
S e v e r i stosuje teoryę tę do pow ierzchni F a n o ’a rzędu d-go z krzy w ą rzędu szóstego rodzaju dwa. o której w ustępie 3 była mowa, okazując, że na pow ierzchni tej niem a k rz y w y ch w ym ier
nych, ani eliptycznych. Znalezienie transform acyj biracyonalnych powierzchni sprow adza się do rozw iązania rów nania P e l l a z teo
ry i liczb, które, ja k wiadomo, posiada nieskończenie wiele roz
wiązań.
!) Complementi alla teoria della base per la W ali ta delle curve di una su- perficie algebrica. Eendiconti del Circolo matem atico di Palermo. T. 30. 1910.
2) Sulla totalita delle curve algebriche, tracciate sopra una superficie al
gebrica. Mathematiache Annalen. T. 62. 1906. L a base minima pour la totalite des courbes algebriques, tracees sur une surface algebrique. Annales de 1’Ecole Normale Supćrieure 1908.
14 A . R O S E N B L A T T [208] W N o c ie !), w bieżącym roku przedstawionej A kadem ii dei Lincei, E n r i q u e s w raca do daw niejszych badań nad powierzchnia
mi, posiada]ącemi nieciągłą seryę przekształceń b irac y o n aln y ch 3).
U w ażając powierzchnie, posiadające pęk liniowy krzyw ych elip ty cznych, dochodzi do niespodziewanego w yniku, że w szystkie po
wierzchnie, posiadające taki pęk, posiadają nieskończenie wiele trans- formacyj biracyonalnych, które przeprow adzają w siebie te powierz
chnie i przesuw ają krzyw e eliptyczne w siebie.
Jeżeli na utworze algebraicznym o o 2 oprócz pęku krzyw ych eliptycznych leży krzyw a algebraiczna, przecinająca krzyw e pęku w jed n y m punkcie, tedy można przekształcić tę powierzchnię w po
wierzchnię przestrzeni trójw ym iarow ej , tak by krzyw e elipty
czne przeszły w krzyw e płaskie, które leżą na płaszczyznach, prze
chodzących przez wspólną prostą L i które posiadają wspólny punkt P na tej prostej. Można założyć, że te krzyw e płaskie są rzędu trzeciego i że punkt P je st punktem wspólnym przegięcia w szy
stkich tych krzyw ych, ta k że prosta L je s t wspólną styczną prze
gięcia. W istocie (por. Rozdział II), w przeciw nym razie powierz
chnia posiadałaby nieskończoną nieciągłą seryę przekształceń. P ro
sta L je s t wówczas n — 3-krotną na powierzchni rzędu n.
Jeżeli pęk k rzy w y ch eliptycznych je st liniowy, można rzuto
wać z p unktu P, któ ry je st n — 2-krotny na powierzchni F, od
wzorowując powierzchnię na płaszczyźnie podwójnej. N a tej pła
szczyźnie podwójnej można znaleźć pew ną liczbę krzy w y ch alge
braicznych, które nie przecinają krzyw ej dyram acyi, lecz są do niej styczne, a przez punkt w ielokrotny 2m — 3-krotuy krzyw ej dyram acyi rzędu 2 m przechodzą parzystą liczbę razy. W ówczas na powierzchni F takiej krzyw ej odpowiada krzyw a, rozpadająca się na dwie krzyw e, z których każda przecina krzyw e pęku eli
ptyczne w jed n y m punkcie, nie równow ażnym punktow i przegięcia krzyw ej. K ażda powierzchnia, na której istnieje krzyw a, przecina
ją c a krzyw e pęku raz jeden, posiada zatem nieskończoną seryę transform acyj biracyonalnych.
Jeżeli m am y dowolną powierzchnię, o której nie zakładam y,
1) F. E n r i q u e s : Sulle saperficie algebriche eon un fascio di curve ellitti- che. Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei. Ser. 5. T. 21. 1912.
2) F. E n r i q u e s : Salle saperficie che ammettono una serie discontinua etc.
J a k wyżej.
[209] O P E W N Y C H K L A SA C H P O W IE R Z C H N I 15
że dana je s t krzyw a, przecinająca krzyw e eliptyczne w jednym punkcie, natenczas m ożna wyobrazić sobie tę powierzchnię rzutowo w pewnej przestrzeni ta k że krzyw e eliptyczne są norm alne rzędu m. Pow ierzchnię tę można odwzorować w taki sposób na innej powierzchni, że o o 1 seryom liniow ym y”-1 na krzyw ych eli
ptycznych odpow iadają p u n k ty krzyw ych eliptycznych tej nowej przestrzeni. Nowa pow ierzchnia posiada wówczas pęk krzyw ych eli
ptycznych i krzyw ą, k tóra przecina w jednym punkcie każdą k rz y wą eliptyczną. Rzecz sprowadza się zatem do przypadku poprze
dnio omówionego.
W świeżo ogłoszonej 1) Nocie p. G r o d e a u x zajm uje się powierz
chniam i, o których mowa, zakładając, że przekształcenia biracyo- nalne pozostawiają niezm ienny system ciągły krzyw ych algebraicz
nych. Pow ierzchnie te albo są prostokreślne, eliptyczne lub hip er- eliptyczne, albo też posiadają pęk krzyw ych eliptycznych niezmien
nych przy transform acyi, albo nareszcie mogą posiadać liniowy pęk krzyw ych eliptycznych, przechodzących przez transform acye jed n e w drugie. K rzyw e te posiadają wówczas tensam moduł, więc istnieje drugi pęk krzyw ych bez punktów „base“ ; ten pęk nie może być liniowy, ale je s t eliptyczny. Zatem pow ierzchnia w tym p rz y padku je st eliptyczna o p„ = 0, p a — — 1.
8. W Nocie z) przedstawionej A kadem ii N auk w P aryżu, po
daliśm y przykład powierzchni nieregularnych, posiadających tra n s
form acye, o których mowa. W dalszej pracy 3) podaliśm y w łasno
ści krzyw ych kanonicznych tych powierzchni, om awiając obszerniej wspom niany przykład. W niniejszej pracy studyujem y własności biracyonalnie niezm ienne powierzchni nieregularnych, które mogą posiadać nieskończoną nieciągłą seryę przekształceń biracyonalnych, a więc o inw aryantach
P (1) = 1, p , — Ta > 0, p a A 0 .
1) Sur les transformations des aurfaces algebriques laissant invariant un Systeme continu de courbes. Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei. Ser. 5.
T. 21. 1912.
2) Sur lea surfaces algebriques adm ettant une serie discontinue de tran s
formations birationnelles en elles-memes. Comptes Rendus, T. 153. 1911.
3) Algebraische Flächen mit diskontinuierlich unendlich vielen birationellen Transformationen in sich. Eendieonti del Circolo M atematico di Palerme T. 33. 1912.
2
16 A. U O S E N B L A T T [210]
N a te powierzchnie, jak powiedzieliśmy, pierw szy zwrócił uwagę p. E n r i q u e s 1); nie zajmowano się niem i dotychczas, jakkolw iek zasługują na szczególną uwagę, ponieważ m ają własności analogi
czne do własności powierzchni eliptycznych, które, ja k wiadomo, po
siadają również pęki niew ym ierne krzyw ych eliptycznych. Jedyne w śród powierzchni nieregularnych, mogą one dopuszczać nieskoń
czenie wiele przekształceń biracyonalnych. W pracy niniejszej sto
sujem y rezultaty tych badań do przyp ad k u — pa = 1, t. j. do pęku eliptycznego krzyw ych eliptycznych. Dalej przedstaw iam y powierzchnie te w postaci rzutowej w S 8 i badam y w arunki, aby mogła istnieć nieskończona nieciągła serya przekształceń biracyo- nalnych. P odajem y w Rozdziale I I I p rz y k ład y powierzchni, posia
dających te przekształcenia, ale nie zdołaliśmy znaleźć niestety w a
runków koniecznych, ażeby powierzchnie te posiadały owe prze
kształcenia.
R O Z D Z IA Ł I.
O gólne stu d yu m p o w ie r z c h n i n iereg u la rn y ch o in w aryan tach
(i) p . ^ o , p „ > o , =
1. P ow ierzchnie algebraiczne dzielą się na trzy klasy, zale
żnie od w artości rodzaju liniowego jo(1). Pow ierzchnie rodzaju li
niowego jü(1) < 1 nie przedstaw iają dzisiaj większego interesu ze sta
now iska teoryi powierzchni algebraicznych, gdyż są wym ierne, albo też mogą b y ć biraeyonalnie odwzorowane na pow ierzchniach pro- stokreślnych rodzaju większego niż jedność. Natomiast metody, stworzone w najnow szych czasach przez uczonych włoskich, po
zw alają badać powierzchnie dwóch innych klas, mianowicie po
w ierzchnie klasy, pod wielu w zględam i w yjątkow ej, posiadającej j9(1) równe 1 i powierzchnie ogólnej klasy, posiadającej p (1) większe niż 1.
K lasa pow ierzchni rodzaju liniowego — 1 rozpada się na dw ie odrębne klasy, zależnie od w artości rodzaju arytm etycznego f a. W szystkie pow ierzchnie rodzaju p„ -< 0 posiadają ciągłe grupy przekształceń biracyonalnych; tylko te pow ierzchnie posiadają wła
sność tę wśród pow ierzchni rodzaju j 3(1) 2=; 1. Powierzchnie rodzaju
*) Sulle superficie algebriche etc. ja k wyżej. Bendiconti della Reale Acca- demia dei Lincei. Ser. 5. T. 15. 1906.
[211] O P E W M Y C H K L A S A C H P 0 W 1B B Z 0 H N I 17
pa ^ 0 (oraz p m = 1) są w ogólności jedynem i powierzchniam i, które mogą dopuszczać nieskończoną nieciągłą seryę przekształceń biracyonalnych, nie dopuszczając zarazem ciągłych grup przekształ
ceń. Nie w szystkie te pow ierzchnie dopuszczają nieskończoną nie
ciągłą seryę przekształceń; powierzchnie o inw aryantach Pg := Pa == P i == 1
mogą, ja k widzieliśm y we W stępie, ale nie m uszą ich dopuszczać;
ogólna pow ierzchnia rzędu czwartego w przestrzeni B s n aprzykład nie dopuszcza nieskończenie wielu przekształceń biracyonalnych.
In n e powierzchnie omawianej klasy, ja k w idzieliśm y we wstępie, posiadają pęki liniowe lub nieliniowe k rzy w y ch eliptycznych; w p ier
wszym przypadku, j a k okazał E n r i q u e s , posiadają nieskończenie wiele przekształceń biracyonalnych. Pow ierzchnie, posiadające p m^> 1, mogą posiadać tylko skończoną liczbę przekształceń biracyonalnych 1).
Zauw ażm y, ze powierzchnie te nie mogą posiadać nieskończonych system ów k rzy w y ch eliptycznych, ani liniow ych ani nieliniow ych.
Ponieważ m iędzy stopniem w irtualnym n a m iędzy rodzajem w ir
tualnym n każdej krzyw ej algebraicznej na powierzchni, która nie może zostać przekształcona biracyonalnie w powierzchnię prosto- k reślną 2), zachodzi nierówność
n < ^ 2 n — 2,
zatem istotnie stopień w irtualny system ów krzyw ych eliptycznych m ógłby być ty lk o zerem. Ale n a powierzchniach, posiadających p m j> 1, istn ie ją zawsze system y plurikanoniczne; n a i-genere tych
powierzchni m am y formułę C a s t e l n u o v o - E n r i q u e s 8)
(2) +
Z tej form uły w ynika, że dla i > 2 i-genere je s t przynajm niej 4) E n r i q u e s : Sali® snperficie algebriche ghe ammettono una serie dis- continua di trasformazioni birazionali. Eendiconti della Reale Accademia dei Lincei, T. 15. Ser. 5. 1906.
s) C a s t e l n u o v o - E n r i q u e s : Sopra alcune questioni fondam entali nella teoria delle superficie algebriche. Annali di M atematica pura ed applicata. Ser. 3.
T. 6. 1901.
3) C a s t e l n u o v o - E n r i q u e s , 1. c.
2*
18 A . R O Ś E N B L A T T [2121 rów ne 2, istnieje więc zawsze nieskończony system bikanoniczny.
D la każdego system u | C] m am y związek
| iC ' | = | iC -j- i K | ,
gdzie | K \ je st system em liniowym kanonicznym powierzchni. P o
nieważ system krzyw ych G eliptycznych posiada stopień w irtualny zero, więc na k rz y w y ch G system i-kanoniczny musi w ycinać seryę liniow ą grup punktów i-kanoniczną. To je d n a k nie je s t możliwe, albowiem na krzyw ych eliptycznych niem a efektyw nej seryi linio
wej kanonicznej; niem a więc również seryj liniow ych grup pun
któw plurikanonicznych.
U w ażajm y teraz na dowolnej powierzchni nieregularnej do
wolny nieskończony system liniow y® G \ , rodzaju n, stopnia n. bez efektyw nych punktów base. System \ C' |, dołączony do system u
|. C\, ja k udowodnił S e v e r i 1), je st zawsze regularny, t.j. jego w y
m iar efektyw ny rów na się w ym iarow i w irtualnem u
r e ff. - r v i r t . === n n —|— P a ~T 1 ;
gdzie n', n ' oznaczają stopień w irtualny system u $ C Z |. Ponieważ m am y zawsze
n' — n ' = n — 2,
więc w ym iar system u S|C' ] je st też w yrażony przez formułę r' = p a - \ - n ~ l .
System ten | C | w ycina na krzyw ych C seryę kanoniczną, k tó ra jednak nie koniecznie je st zupełna; może posiadać pewien nie
dostatek d, nie przew yższający nieregularności p g — p a powierzchni.
S y s te m « C' | w ycina zatem na krzyw ych C seryę liniową g ^ p 6, zaw artą w seryi kom pletnej kanonicznej. N akładając na krzyw e C w arunek, aby przechodziły przez n — 1 — «5 —j— 1 punktów dowol
nych, położonych na krzyw ej C, zmuszamy je tem sam em , aby za
w ierały tę krzyw ą C jak o część składową i rozpadały się na tę k rzy w ą C i na krzyw e kanoniczne K . Ponieważ w ym iar systemu liniowego kanonicznego j K \
b S e v e r i : Salla regolaritä del siateina aggiunto ad un sistema lineare di curve. Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei. Ser. 5. T. 17. 1908.
[213] O P E W N Y C H K L A SA C H P O W IE R Z C H N I 19
(3) . . , |: Z | = | C — C | w ynosi p g — 1, więc m am y spełnioną równość
Pa + tt — 1 — — 1 — 8) — 1 = Vg — I-
Z równości tej otrzym ujem y wartość niedostatku d, mianowicie
Uważajm y teraz system |C'j. Ponieważ w ym iar w irtualny, ró
wny efektyw nem u systemuHC" [, rów na się conajm niej zeru, gdyż mamy p a ^ 0 i możemy założyć n dowolnie wielkie, n zaś jest większe niż 1, przeto w edług tw ierdzeń E n r i q u e s’a i S e v e - r i ’e g o 2) system liniowy \C' j należy do obszerniejszego system u al
gebraicznego {C'}: złożonego z ooP«—Pa system ów liniow ych sobie nie równoważnych. Nazwijm y C '*W ogólny system liniow y tego system u algebraicznego.
System liniow y jCj można również tak obrać, aby należał do obszerniejszego system u algebraicznego {0 }, złożonego z ooP«~Pa sy
stemów liniowych. Jeżeli bowiem w ym iar w irtualny system u jCj
■ n ^ n Ą - pa-\- 1 — i,
gdzie i je s t indeksem specyalności tego systemu, je st przynajm niej rów ny zeru 3), natenczas system ten należy do obszerniejszego sy stemu {C}, złożonego z ooP«-Pa systemów liniow ych sobie nie ró
wnoważnych. N azw ijm y znów (7* | ogólny system liniowy, wcho
dzący w skład tego obszerniejszego system u {C}. Możemy system
\G\ jeszcze i ta k obrać, aby był regularny, mianowicie można ten system tak obrać, aby był dołączonym systemem innego systemu liniowego nieskończonego.
’) Sulla proprietä caratteristica delle superficie irregołari. Eendiconto della Reale Accademia di Bologna 1904.
z) Intorno all a costruzione dei sistemi completi non lineari, che apparten- gono ad una superficie irregolare. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.
T. 20. 1905.
3) S e ve r i : Sul teorema di R i e m a n n - R o c h e sulle serie continue di curve appartenenti ad una superficie irregolare. Atti della Reale Accademia di Torino. T. 40. 1905:
20 A. R O S E N B L A T T [214]
U w ażajm y teraz serye liniowe grup punktów , które w ycinają system y |C"*|, należące do system u {6"}, na krzy w y ch system u linio
wego (Oj,' Są to serye liniowe grup 2 n — 2 punktów gf^ , z któ ry c h żadna nie jest równow ażna sery i liniowej k anonicznej; żadne dwie serye liniowe, w ycięte przez dwa system y liniowe |(7* |, nie mogą też być sobie równoważne. W edług rezultatów S e v e r i ’ego 1), dwie krzyw e, w ycinające na krzyw ych system u nieskończonego alge
braicznego {0 } g rupy równoważne, są albo sobie równoważne albo też różnią się co do równoważności o krzyw e, nie mające punktów przecięcia z krzyw em i systemu {(?}. Jeżeli te dwie krzyw e należą do tegosamego system u a l g e b r a i c z n e g o , a system (C ) nie jest pękiem niew ym iernym , wówczas krzyw e te należą do tegosamego system u l i n i o w e g o nieskończonego2). Zatem dwa system y w ycinające g rupy równoważne m usiałyby być sobie równo
ważne. co je d n a k nie zachodzi. A więc serye grup gtn^ są sobie nierów noważne i są niespecjalne. Ogólna ta k a sery a będzie miała ten sam w ym iar; ponieważ mianowicie zupełna serya alL-s ma w ym iar n — 2, więc, jeżeli niedostatek seryi wyciętej przez ogólny system \C'*\ oznaczym y przez ó*, w ym iar ogólnej seryi g*a. bę
dzie n — 2 — d*.
J a k przedtem odejm owaliśm y system | C g o d system u dołączo
nego | C" | , podobnie możemy teraz odejm ować system jC| od syste
mów liniow ych | (7* j. O trzym am y w ten sposób system y liniowe
(4) |.E *| = | C * — Uj ,
które należą do tegosamego obszerniejszego system u algebraicznego { K ) . do którego należy system liniow y kanoniczny j K \. System y te będą w tej samej liczbie o q M “ , ja k system y | C '*|. E n r i q u e s nazw ał je 3) system am i p a r a k a n o n i c z n y m i . System algebraiczny { K } można nazwać system em a l g e b r a i c z n y m k a n o n i c z n y m .
Aby obliczyć w ym iar system u ogólnego parakanonicznego | K * |,
d) S e v e r i : II teorema d’Abel sulle superficie algebriche. Annali di Mate- m atica p ara ed applicata, Ser. 3. T. 12. 1905. Aloune relazioni di equivalenza tra gruppi di punti d’una curva algebrica o tra carve di una superficie. Atti del Reale Istitato Veneto di Scienze, Lettere ed Arti. T. 70. 1910/11.
2) S e v e r i 1. c.
3) Sulle superficie di genere geoinetrico zero. Rendiconti del Circolo Mate
rn ati co di Palermo. T. 20. 1905.
[215] O P E W N Y C H K L A SA C H P O W IE R Z C H N I 21
postępujem y tak, ja k poprzednio przy obliczaniu w ym iaru system u kanonicznego®!K |; jed n ak że w obecnym przypadku w ym iar ogól
nego system u parakanonicznego nie je s t nam a priori wiadomy.
N akładając na krzyw e ogólnego system u H C '*IIw aru n e k przecho
dzenia przez n — 2 — <5* —1— 1 punktów , położonych na krzyw ej sy
stem u | Cj . tj. o jed en w arunek więcej, aniżeli wynosi w ym iar se- ry i liniowej w yciętej przez system [ C'* \ na krzyw ych G, wyw ołujem y rozpadanie się krzyw ych O'* na krzyw e C -j- K * i otrzy
m ujem y w ym iar system u liniowego parakanonicznego pa -(- n — 1 — (n — 2 — d*) — 1 = p a d* .
Ale łatwo widzimy, że w ym iar o g ó l n e g o liniowego sy
stemu | K * | nie może być w iększy od w ym iaru s z c z e g ó l n e g o liniowego system u® AT], należącego do tegosamego system u algebrai
cznego {K }- W istocie, gdy w (4) będziem y zm ieniali w sposób ciągły system | C'* j w system ie algebraicznym { C'}, aż przejdzie w system dołączony j: C \, wówczas w ym iar system u liniowego [ K * gdy przejdzie w system \ K \ , może tylko zw iększyć się. ale nigdy zmniejszyć, gdyż s z c z e g ó l n y system lin io w y ! C'\ może tylko zawierać więcej krzyw ych C . zaw ierających daną k rzy w ą C, ani
żeli o g ó l n y system liniow y | 0 ’* \, ale nigdy mniej krzyw ych, A więc m am y z pewnością
P a Ą -S * iS ? » — I-
Zatem na niedostatek <5* m am y następującą nierówność ( 1) ö* < ^p g — p a — 1.
Dochodzimy tedy do następującego w niosku: gdy nieregular- ność pow ierzchni p g — p a rów na się j e d n o ś c i , natenczas mamy d* = 0, a więc w ym iar o g ó l n e g o system u parakanonicznego K * \ rów na się wówczas w ym iarow i system u kanonicznego | / l | .
Poniew aż m am y p„ ^ 0, więc w ym iar w irtualny w szystkich systemów parakanonicznych je st przynajm niej rów ny zeru. Stąd w y n ik a według rezultatu S e v e r i ’ego i), że i w ym iar efektyw ny
i) Sul teorem a di R i e m a n n - R o c h e sulle serie continue di curve, appartenenti ad una superficie irregolare, ja k wyżej.
2 2 A . B O S E N B L A T T |216]' ty ch system ów je st przynajm niej równy zeru. W przypadku, gdy m am y p g — 1, p a — 0, rząd krzyw ej kanonicznej, a więc i rząd w szystkich krzy w y ch parakanonicznych je st w iększy od zera, tj. te krzyw e są efektyw ne *), w przeciw nym bowiem razie, tj. gdyby w szystkie te krzyw e były rzędu zero, m ielibyśm y
]
o*
| = sc
| = |c
| ,a więc w szystkie s y s te m y # C * | byłyby równoważne systemowi dołączonemu | C | i systemowi »danemu Ć j, co je d n a k nie zacho
dzi. Zatem w przypadku p a = 1, p a = 0 m am y ciągły nieskończony system algebraiczny w ym iaru o o 1, w którym każda k rzy w a tw o
rzy zupełny system algebraiczny sama dla siebie.
Pow staje teraz pytanie, czy i w ogólnym przypadku, gdy nie zachodzi równość p g — p a ~ 1, w ym iar system ów parakanonicznych je st tensam ja k w ym iar systemu kanonicznego; w ogóle, czy w sy
stemie algebraicznym kanonicznym { K } mogą istnieć pewne sy stem y liniowe (nie koniecznie system kanoniczny liniowy), których w ym iar je st w iększy od w ym iaru ogólnego system u liniowego \K * L G dy p a << 0, wówczas w ynika z rezultatów badań E n r i q u e s a ?), źe dla powierzchni eliptycznych o p g >> 1 krzyw e kanoniczne są złożone z 2 p g — 2 krzyw ych eliptycznych pęku rodzaju p g, i sy
stem liniowy kanoniczny dany je st przez seryę kanoniczną w pęku, zaś system y parakanoniczne efektyw ne w liczbie o o V a dane są przez serye g f ^ f 8 parakanoniczne w pęku. Na powierzchniach eliptycznych o p g = 1 3) mamy jed n ę krzywą, kanoniczną, złożoną z części krzyw ych eliptycznych rozpadających się pęku, ale k rz y wych parakanonicznych efektyw nych niema. N a powierzchniach hipereliptycznych, które m ają krzyw ą kanoniczną rzędu zero, niem a krzyw ych parakanonicznych. Zatem, gdy p u < 0, system kanoni
czny, o ile istnieje, ma zawsze w ym iar większy od w ym iaru sy
stemów parakanonicznych. R ezultaty te w ynikają bezpośrednio z tw ierdzeń E n r i q u e s a o system ie liniow ym kanonicznym na powierzchniach hipereliptycznych i eliptycznych.
*) E n r i q u e s : Intorno alle superficie algebriche di genere lineare j>0-) = 1..
Kendiconto della Reale Accademia di Bologna. 1906/7.
2) Sulle superficie algebriche, che contengono un gruppo continuo di trasform a- zioni birazionali in se. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. T. 20. 1905..
s) E n r i q u e s 1. c.
[217] O P E W N Y C H K L A S A C H P O W IE R Z C H N I 23
Ale istnieją jeszcze inne klasy pow ierzchni, mianowicie klasy powierzchni rodzaju liniowego p (1) większego niż jeden, k tórych system liniow y kanoniczny ma w ym iar w iększy od systemów linio
w ych parakancnicznych, Podam y tutaj następujący przykład. Z na
ne s ą !) powierzchnie, przedstaw iające w szystkie p ary punktów dwóch krzy w y ch algebraicznych C, i C2 o rodzajach i p 2. W przy
padku szczególnym obie te krzyw e mogą być identyczne, t. j. po
w ierzchnia przedstaw ia p ary punktów tej samej krzyw ej algebrai
cznej, przyczem oba p u n k ty tej samej pary punktów następują po sobie w pewnym porządku. U w ażajm y krzyw e na powierzchni, złożone z k rzy w y ch obu pęków 1 \ i P 2 krzyw ych na powierzchni, odpow iadających krzyw ym 6j i C2. P ęki te są rodzajów i p 2.
Suma 1% krzyw ych pęku P 1 , należących do seryi liniowej grup m x krzyw ych w pęku P 1 o w ym iarze p3, i w.2 krzy w y ch p ę k u P 2, należących do seryi liniowej grup ro2 krzyw ych w pęku P 2 o w y
m iarze p2, daje krzyw ą, należącą do liniowego system u nieskoń
czonego w ym iaru
r = p2 - |- p, -j- p2 .
K rzyw e kanoniczne powierzchni otrzym ujem y, dodając grupę kanoniczną krzyw ych pęku P Ł do g rupy kanonicznej krzyw ych pęku P 2. Mamy więc teraz
2, p^ — 1, ^p2 ' ^2 — Pa P
Zatem otrzym ujem y jak o w ym iar r system u kanonicznego
r — Pa — 1 = (Pl 1) (Pa — 1) 4 ” (Pi — 1) + (Pi — 1) = P iP : — 1- Taksam o otrzym ujem y krzyw e systemów parakanonicznych powierzchni. Ogólny system parakanoniczny otrzym am y m ianowi
cie, dodając m 1 = 2pt — 2 krzyw ych pęku P 1 , należących do seryi liniowej parakanonicznej w ym iaru — 2 do grupy m2 = 2 p 2 — 2
*) M. de F r a n c h i s : Salle varieta oo' delle coppie di punti di due curve o di una curva algebrica. Eendiconti del Circolo Matematico di Palermo. T. 17.
1903. A. M a r o n i : Sulle superficie algebriche possedenti due fasci di cnrve alge- briche unisecantisi. Atti della Reale Accademia di Torino. T. 38. 1903. F . Se- v e r i : Sulle correspondenze fra i punti di una curva algebrica e sopra certe classi di superficie. Memorie della Reale Accademia di Torino. Ser. 2. T. 54. 1903.
24 A. R O S E N B L A T T [218]
krzyw ych pęku P 2 , należących do seryi liniowej paraltanonicznej w ym iaru p 2 — 2. Zatem ogólny system liniow y parakanoniczny bę
dzie m iał w ym iar
(Pi — 2) (p2 — 2) -f- ,'p, — 2) -j- (p2 — 2) = piPg — fu p2 • Ale rodzaj arytm etyczny powierzchni p a, ja k okazują bada
nia nad te mi powierzchniam i, w ynosi właśnie PiP: — P i — P :,
a więc rów na się w ym iarow i ogólnego systemu parakanonicznego, k tó ry jest m niejszy od w ym iaru system u kanonicznego, jeżeli m am y p„ — Pa > 1, zaś rów ny, gdy pg — p a — 1. Że je d n a k liczby p 1 i p 2 rów nają się przynajm niej jedności, inaczej powierzchnia, zaw ierając pęk w ym iernych krzyw ych, byłaby prostokreślna, więc w ym iar sy
stemu kanonicznego je st w iększy od w ym iaru systemów parakano- nicznych.
Możemy jeszcze w inny sposób tw orzyć n a pow ierzchni sy
stem y liniowe parakanoniczne. Możemy nasam przód dodać do siebie grupę k a n o n i c z n ą m 1 = 2yą — 2 krzyw ych pęku P x i grupę nie- kanoniczną, t. j. parakanoniczną m 2 — 2p 2 — 2 krzyw ych pęku P 2.
W ówczas m am y wartości Qs — p x — 1, ß2 = P i — 2, ta k że w ym iar takiego system u parakanonicznego będzie wynosił
[Pi --- 1) (p2 2) -)- (p, 1) -j- (pt! 2) = p 1p 2 --- p! — 1- . Ponieważ w pęku P 2 m am y ooP* seryj liniow ych sobie nierówno ważnych, więc takich system ów liniow ych parakanoni
czny ch będzie też ooP->.
Możemy tw orzyć również system y parakanoniczne, dodając do siebie grupę m x = 2 p x — 2 k rzy w y ch pęku Px nie kanoniczną, i grupę m2 = 2 p 2 — 2 krzyw ych pęku P 2 kanoniczną. O trzym am y system liniow y parakanoniczny w ym iaru
(Pi — 2) (p2 — 1) -j- (P] — 2) —j— (p2 — 1) = P i P 3 — Pa — 1- Systemów takich będzie tyle, ile je s t seryj liniow ych paraka- nonicznych sobie, nierówno w ażnych w pęku P 1, a więc ooP1.
U w ażajm y teraz pow ierzchnie o niezm iennikach p a ^ 0, p (1)= 1
[919] O P E W N Y C H K L A S A C H P O W I E R Z C H N I 25
i przypatrzm y się ich system om liniowym kanonicznym i paraka- nonicznym . Ponieważ mamy p m = 1, więc krzyw e te są złożone z krzyw ych eliptycznych pewnego pęku krzyw ych eliptycznych.
P ę k ten je st koniecznie niew ym ierny, inaczej w szystkie krzyw e sy
stemów parakanonicznych b y ły b y sobie równoważne. Mamy więc pewien pęk niew ym ierny na powierzchni, któ ry będziem y oznaczali przez { k } . Rodzaj tego pęku, t. j. rodzaj krzyw ej, k tó ra je st obra
zem pęku, nie może być w iększy aniżeli p g —- p a, in a c z e j1) po
w ierzchnia posiadałaby więcej niż p u — p a całek P i c a r d a pierw szego gatunku, więc je j nieregularnośó nie byłaby p g p„, lecz w iększa niż pg — p a, co być nie może. Z drugiej strony rodzaj ten nie może być m niejszy niż p g-— p a, gdyż na krzyw ej rodzaju n każda serya liniowa grup punktów należy do obszerniejszej seryi algebraicznej, złożonej z oon seryj liniow ych sobie nie równowa
żnych. Ponieważ system y parakanoniczne są złożone z krzyw ych pęku, tak że m am y oóP»-f" seryj liniow ych grup krzyw ych k pęku sobie nierów noważnych, więc musi być n ^ p a — p a, więc osta
tecznie m am y n = p g — pa.
Zauw ażm y dalej, że prócz pęku { k ) krzy w y ch eliptycznych niem a na naszych powierzchniach nietylko żadnych innych pęków niew ym iernych, co je st rzeczą oczywistą, ale niem a też żadnych nieskończonych system ów krzyw ych eliptycznych prócz pęku {k}, albowiem na tych krzyw ych eliptycznych krzyw e kanoniczne po
w ierzchni w ycinałyby grupę punktów, z równości zaś j C i = l c + K
w ynikałoby, że g rupy te są grupam i seryi kanonicznej na k rz y w ych C, ale krzyw e eliptyczne nie posiadają grup kanonicznych punktów.
2. Zw róćm y się na chwilę do ogólnej klasy powierzchni al
gebraicznych nieregularnych rodzaju liniowego p m => 1. Studyum k ategoryi powierzchni rodzaju liniowego p (,) j> 1 je st łatwe: są to powierzchnie, posiadające p {1) = 2. Przypom nijm y sobie w istocie podstawową nierów ność2) N o e t h e r a
1) S e v e r i : Osservazioni sui sistemi continui di curve, appartenenti ad una superficie algebrica. A tti della Eeale Accademia, di Torino. T. 39. 1904. E n r i q u e s : Intorno alle superficie algebriche di genere lineare p(r>= 1, ja k wyżej 1906/7.
2) N o e t h e r : Zur Theorie des eindeutigen E n ts p rech eu s alg ebraischer Ge
bilde. Zweiter Aufsatz. M athem at isc he An nalen T. 8 .
26 A. R O S E N B L A T T
[
220]
(5) p « - 1 ^ 2 ( f , - 2 ) ,
dającą dolną granicę rodzaju liniowego p m powierzchni w zależności od rodzaju geom etrycznego pg powierzchni. N o e t h e r udowodnił tę nierówność w założeniu, że serya charakterystyczna system u linio
wego kanonicznego jest zupełna. Serya ta je d n a k może nie być zu
pełna; jeżeli nazwiem y d6 jej niedostatek, wówczas mam y spełnioną nierówność p. C a s t e l n u o v o 1)
Zatem dla powierzchni reg ularnych p g == p a wzór N o e t h e r a nie ulegnie zmianie, natom iast dla powierzchni nieregularnych nie
równość (5) należy zastąpić przez nierówność (5») p ( " - 1 ^ 2 (p, - 2 + d*).
Z nak równości m am y wówczas i tylko wówczas, gdy krzyw e system u liniowego kanonicznego, a więc w szystkie krzyw e systemu algebraicznego kanonicznego są liipereliptyczne.
U w ażajm y na powierzchni system algebraiczny krzyw ych taki, że wszystkie system y liniowe, wchodzące w jego skład, m ają tensam w ym iar. Obrazem system u algebraicznego będzie wówczas utwór algebraiczny, utw orzony z oo* utworów liniow ych (prostych, płaszczyzn i t. d.), odpow iadających oo* systemom liniowym k rz y w ych na powierzchni. Jeżeli w szystkie system y liniowe m ają ten
sam wym iar, natenczas odpow iadające im utw ory liniowe m ają też.
w szystkie tensam wymiar. S erya charakterystyczna kompletna, w y
cięta na krzyw ych system u algebraicznego przez krzyw e nieskoń
czenie blizkie do danej krzyw ej, ma wówczas w ym iar o i w iększy od w ym iaru seryi charakterystycznej, w yciętej przez system linio
wy, do którego dana krzyw a należy, a więc niedostatek seryi cha
rakterystycznej system u liniowego jest i. Liczba i je st najw yżej rów na p g — p a. G dy zachodzi równość p g — pa — 1, wówczas sy
stem liniow y kanoniczny m a tensam w ym iar p g— 1, ja k ogólny system parakan o n iczn y ; m am y wówczas dk — pg — p a == 1. Zatem
J) C a s t e l n u o v o : Alcune proprieta fondamentali dei sistemi linear! di curve, tracciati sopra u na superficie algebrica. A nnali di M atematica pura ed ap- plicata Ser. 2. T. 25. 1897.
