Temat Wielokąty podobne. 1 klasa liceum na podbudowie szkoły podstawowej

Temat

Wielokąty podobne

1 klasa liceum

na podbudowie szkoły podstawowej

PRZYPOMNIENIE:

Na ostatniej lekcji nauczyliśmy się:

▪ twierdzenia Talesa,

▪ twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa,

▪ wykorzystywać poznane twierdzenia do rozwiązywania zadań.

CEL OGÓLNY:

Wykształcenie umiejętności rozpoznawania

wielokątów podobnych.

CELE SZCZEGÓŁOWE:

Na dzisiejszej lekcji nauczymy się:

▪ wyjaśniać pojęcie figur podobnych,

▪ obliczać długość boków w figurach podobnych,

▪ wykorzystywać zależności między obwodami figur podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań.

Figury podobne

Dwie figury geometryczne są podobne, jeśli są tego samego kształtu, lecz mogą różnić się wielkością.

Na rysunku podobne są figury 𝐹₁i 𝐹₂. Żadna z nich nie jest podobna do figury 𝐹₃.

𝐹₁ 𝐹₂ 𝐹₃

Wielokąty podobne

Dwa wielokąty są podobne, jeśli ich odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne.

|𝑨𝑩|

|𝑨_𝟏𝑩_𝟏|

=

|𝑩_𝟏𝑪_𝟏|

Jeśli figury 𝐹₁i 𝐹₂ są podobne to piszemy 𝐹₁~ 𝐹₂.

𝐹₁

𝐹₂

𝐴 𝐵

𝐷 𝐶

𝐴₁ 𝐵₁ 𝐶₁ 𝐷₁

α

β α

β α

β α

β

Uzasadnij, że równoległoboki 𝐹₁i 𝐹₂ nie są podobne.

Zadanie 1

10 4

𝐹₁ 8

9

𝐹₂

8

4 = ⁹

8 16

8 ≠ ⁹

8

W równoległokach 𝐹₁i 𝐹₂ odpowiednie boki nie są

proporcjonalne, więc równoległoboki te nie są podobne.

Zadanie 1 – rozwiązanie

8 4

𝐹₁ 8

9

𝐹₂

Jeżeli stosunek długości dwóch prostopadłych boków

jednego prostokąta jest równy stosunkowi odpowiednich boków drugiego prostokąta, to prostokąty są podobne,

Prostokąty podobne

𝑏 𝐹₁

𝑎 𝑑 𝐹₂

𝑐

𝒂

𝒃

=

𝒅

𝑭_𝟏~ 𝑭_𝟐

Sprawdź, czy prostokąty 𝐹₁i 𝐹₂ są podobne.

Zadanie 2

15 𝐹₁

10 12 𝐹₂

8

10

15 = ⁸

12 2

3 = ²

3

𝐹₁~ 𝐹₂

Stosunek prostopadłych boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi odpowiednich boków w drugim

prostokącie, więc prostokąty 𝐹₁ i 𝐹₂ są podobne.

Zadanie 2 – rozwiązanie

15 𝐹₁

10 12 𝐹₂

8

Skala podobieństwa

Stosunek długości odpowiadających sobie odcinków

w wielokątach podobnych nazywamy skalą podobieństwa oznaczamy 𝑘.

Skala podobieństwa figury 𝐹₁do 𝐹₂: 𝒌_𝟏 = ^𝒂

𝒄 , 𝒌_𝟏 = ^𝒃

𝒅 , 𝒌_𝟏 = ^𝒆

𝒇

Skala podobieństwa figury 𝐹₂do 𝐹₁: 𝒌_𝟐 = ^𝒄

𝒂 , 𝒌_𝟐 = ^𝒅

𝒃 , 𝒌_𝟐 = ^𝒇

𝒆

𝐹₁ 𝐹₂

𝑎

𝑏

𝑐 𝑒 𝑑

𝑓

Skala podobieństwa – własności

Niech skala podobieństwa figury 𝐹₁do 𝐹₂ wynosi 𝑘.

Jeśli:

▪ 0 < 𝑘 < 1, to figura 𝐹₁ jest pomniejszona w stosunku od figury𝐹₂,

▪ 𝑘 > 1, to figura 𝐹₁ jest powiększona w stosunku od figury𝐹₂,

▪ 𝑘 = 1, to figura 𝐹₁ i 𝐹₂ są tej samej wielkości (figury są przystające).

Dane są kwadraty 𝐹₁i 𝐹₂. Podaj skalę podobieństwa kwadratu 𝐹₁ do 𝐹₂ oraz skalę podobieństwa kwadratu 𝐹₂ do 𝐹₁.

Zadanie 3

20 8

𝐹₁ 𝐹₂

Skala podobieństwa kwadratu 𝐹₁ do 𝐹₂:

𝑘

=

20

=

5

Skala podobieństwa kwadratu 𝐹₂ do 𝐹₁:

𝑘

=

8

=

2

Można zauważyć, że obliczone skale są liczbami odwrotnymi.

Zadanie 3 – rozwiązanie

20 8

𝐹₁ 𝐹₂

Przedstawione figury 𝐹₁i 𝐹₂ są podobne.

a) podaj skalę podobieństwa figury 𝐹₁ do 𝐹₂ oraz skalę podobieństwa figury 𝐹₂ do 𝐹₁,

b) jaką długość mają boki figury 𝐹₁ i 𝐹₂.

Zadanie 4

6 8

𝐹₁ 𝐹₂ 4

9

15

a)

Skala podobieństwa kwadratu 𝐹₁ do 𝐹₂:

𝑘

=

4

=

2

Skala podobieństwa kwadratu 𝐹₂ do 𝐹₁:

𝑘

=

6

=

3

Zadanie 4 – rozwiązanie

6 8

𝐹₁ 𝐹₂ 4

9

15

b)

𝑥 = 8 · ³

2 = 12 𝑦 = 9 · ²

3 = 6 𝑧 = 15 · ²

3 = 10

Boki figury 𝐹₁ wynoszą 6, 9, 12, 15, a boki figury 𝐹₂ wynoszą 4, 6, 8, 10.

Zadanie 4 – rozwiązanie

6 8

𝐹₁ 𝐹₂ 4

9

15

𝑥 𝑦

𝑧

Figura 𝐹₁ jest podobna do figury 𝐹₂ w skali 𝑘₁ = 4. Ile razy obwód figury 𝐹₁ jest jest większy od obwodu figury 𝐹₂?

Zadanie 5

20𝑐𝑚

𝐹₁ 32𝑐𝑚 𝐹₂

28𝑐𝑚

16𝑐𝑚

𝑘₁ = 4 𝑘₂ = ¹

4

𝑎 = 20𝑐𝑚 · ¹

4 = 5𝑐𝑚 𝑏 = 32𝑐𝑚 · ¹

4 = 8𝑐𝑚 𝑂𝑏₁ = 96𝑐𝑚 𝑂𝑏₂ = 24𝑐𝑚 𝑐 = 28𝑐𝑚 · ¹

4 = 7𝑐𝑚

𝑂𝑏₁

𝑂𝑏₂ = ⁹⁶

24 = 4 𝑑 = 16𝑐𝑚 · ¹

4 = 4𝑐𝑚 Obwód figury 𝐹₁ jest 4 razy większy od obwodu figury 𝐹₂.

Zadanie 5 – rozwiązanie

20𝑐𝑚

𝐹₁ 32𝑐𝑚 𝐹₂

28𝑐𝑚

16𝑐𝑚 𝑎

𝑏 𝑐

𝑑

Obwody figur podobnych

Jeśli skala podobieństwa figury 𝐹₁do 𝐹₂ wynosi 𝑘, to stosunek obwodu figury 𝐹₁do obwodu figury 𝐹₂ wynosi 𝑘.

𝑶𝒃

𝑶𝒃

= 𝒌

𝐹₁ 𝐹₂

𝑂𝑏₁ 𝑂𝑏₂

Trapez prostokątny o bokach długości 5cm, 5cm, 2cm i 4cm jest podobny do trapezu prostokątnego o obwodzie 40cm.

Oblicz długości boków większego trapezu.

Zadanie 6

𝑂𝑏₂ = 40𝑐𝑚 𝑂𝑏₁ = 16𝑐𝑚 𝑘₂ = ^𝑂𝑏2

𝑂𝑏₁ = ⁴⁰

16 = 2,5

𝑎 = 5𝑐𝑚 · 2,5 = 12,5𝑐𝑚 𝑏 = 2𝑐𝑚 · 2,5 = 5𝑐𝑚

𝑐 = 4𝑐𝑚 · 2,5 = 10𝑐𝑚

Długości boków większego trapezu wynoszą: 12,5𝑐𝑚; 12,5𝑐𝑚; 5𝑐𝑚 i 10𝑐𝑚.

Zadanie 6 – rozwiązanie

5𝑐𝑚 2𝑐𝑚 4𝑐𝑚 𝐹₁ 5𝑐𝑚

𝐹₂

𝑎

𝑎 𝑏

𝑐 . .

Czy podane figury są podobne?

a) dowolne dwa kwadraty, b) dowolne dwa prostokąty,

c) dowolne dwa trapezy równoramienne.

Sprawdź, czy umiesz

a) dowolne dwa kwadraty

Dowolne dwa kwadraty są podobne, gdyż mają te same kąty i stosunek odpowiednich boków jest równy.

Sprawdź, czy umiesz – rozwiązanie

b) dowolne dwa prostokąty

Dowolne dwa prostokąty nie są podobne, pomimo, że mają te same kąty to stosunek odpowiednich ich boków nie zawsze jest równy.

Sprawdź, czy umiesz – rozwiązanie

c) dowolne dwa trapezy równoramienne

Dowolne dwa trapezy równoramienne nie są podobne, ponieważ nie zawsze mają te same kąty oraz stosunek odpowiednich ich boków nie zawsze jest równy.

Sprawdź, czy umiesz – rozwiązanie

PODSUMOWANIE:

Na dzisiejszej lekcji nauczyliśmy się:

▪ wyjaśniać pojęcie figur podobnych,

▪ obliczać długość boków w figurach podobnych,

▪ wykorzystywać zależności między obwodami figur podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań.

Dziękuję za uwagę

mgr Zbigniew Bahr

konsultacja: mgr Anna Drotlew