November 11, 1988 NEARSHORE CIRCULATION
f o r THE SEA-VOLUME 9, OCEAN ENGINEERING SCIENCE
J.A. B a t t j e s l , R.J. Sobey2 a n d M.J.F. S t i v e ^ 1. INTRODUCTION The t o p i c o f s h e l f c i r c u l a t i o n h a s b e e n t r e a t e d i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r ( H u y e r ( l ) ) . N e a r s h o r e c i r c u l a t i o n , t h e t o p i c o f t h e p r e s e n t c h a p t e r , d i f f e r s e s s e n t i a l l y f r o m s h e l f c i r c u l a t i o n i n s c a l e a n d i n t h e r e l e v a n t d r i v i n g f o r c e s , a n d t h e r e f o r e d e s e r v e s a s e p a r a t e t r e a t m e n t . S h e l f c i r c u l a t i o n i s d r i v e n p r i m a r i l y b y w i n d - a n d t i d e - i n d u c e d f o r c e s . I t i s l a t e r a l l y o n l y w e a k l y c o n s t r a i n e d so t h a t t h e g e o s t r o p h i c ( C o r i o l i s ) a c c e l e r a t i o n i s m a n i f e s t i n t h e r e s p o n s e . N e a r s h o r e c i r c u l a t i o n o n t h e o t h e r h a n d i s d o m i n a t e d b y w a v e - i n d u c e d f o r c e s a s s o c i a t e d w i t h s h a l l o w - w a t e r wave b r e a k i n g a n d i s c o n f i n e d t o a r e l a t i v e l y n a r r o w s h o r e b o u n d e d a r e a . F o r b r e v i t y a n d f o r c l a r i t y o f p r e s e n t a -t i o n , o n l y w a v e - i n d u c e d n e a r s h o r e c i r c u l a -t i o n i s c o n s i d e r e d i n t h i s c h a p t e r , w i t h z e r o mean f l o w f a r o f f s h o r e . The p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t o g i v e a s t a t e - o f - t h e - a r t r e v i e w o f t h e s u b j e c t , r a t h e r t h a n a p r e s e n t a t i o n o f r e c e n t r e s e a r c h r e s u l t s . E m p h a s i s i s p l a c e d o n t h e p h y s i c s . M a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n s o f ' t h e m o s t i m p o r t a n t r e l a t i o n s a r e g i v e n , b u t s o l u t i o n t e c h n i q u e s a r e ' o n l y b r i e f l y r e f e r r e d t o w i t h o u t a n a l y t i c a l d e r i v a t i o n s o r n u m e r i c a l a l g o r i t h m s . 1 D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , 2600 GA D e l f t , The N e t h e r l a n d s 2 D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y , B e r k e l e y CA 9 4 7 2 0 , U.S.A.; o n l e a v e a t D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , 2600 D e l f t , The N e t h e r l a n d s . 3 D e l f t H y d r a u l i c s , 8300 AD E m m e l o o r d , The N e t h e r l a n d s 1
The o u t l i n e i s a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 g i v e s a b r i e f , q u a l i t a t i v e i n d i c a t i o n o f d i f f e r e n t t y p e s o f m o t i o n i n t h e n e a r s h o r e z o n e . The n e a r s h o r e wave f i e l d i s d e a l t w i t h i n s e c t i o n 3. S e c t i o n 4 f o c u s e s o n t h e i n t e r n a l , v e r t i c a l s t r u c t u r e o f t h e mean c i r c u l a t i o n i n t h e r e d u c e d c a s e o f s h o r e - n o r m a l m o t i o n s . The more g e n e r a l c i r c u l a t i o n i n t w o h o r i z o n t a l d i m e n s i o n s i s d e s c r i b e d i n a v e r t i c a l l y - i n t e g r a t e d s e n s e i n s e c t i o n 5. The c h a p t e r c l o s e s w i t h a d i s c u s s i o n o f r e c e n t d e v e l o p m e n t s t o w a r d s a t h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e l i n g o f t h e n e a r s h o r e c i r c u l a t i o n .
2. TYPES AND SCALES OF MOTION
The f l o w p a t t e r n i n t h e n e a r s h o r e zone i s d o m i n a t e d b y w i n d - g e n e r a t e d waves t h a t e v o l v e f r o m deep w a t e r t o t h e b e a c h i n p r o c e s s e s o f r e f r a c t i o n , s h o a l i n g a n d b r e a k i n g . As t h e waves p r o p a g a t e i n t o s h a l l o w w a t e r , a n i n c r e a s i n g p r o f i l e d i s t o r t i o n o c c u r s a s a r e s u l t o f b o u n d h i g h e r h a r m o n i c s , whose r e l a t i v e i n t e n s i t y r e a c h e s a maximum i n t h e v i c i n i t y o f t h e l o c a t i o n o f i n i t i a l > b r e a k i n g . . I n t h e b r e a k e r z o n e , a c o n s i d e r a b l e p a r t o f t h e h i g h - f r e q u e n c y k i n e t i c e n e r g y i s a s s o c i a t e d w i t h b r e a k i n g - i n d u c e d t u r b u l e n c e . I n c i d e n t wave f r e q u e n c i e s a t e x p o s e d s e a c o a s t s a r e t y p i c a l l y o f t h e o r d e r o f 0.1 Hz. H o w e v e r , s p e c t r a l m e a s u r e m e n t s t h r o u g h t h e s u r f z o n e i d e n t i f y a s i g n i f i c a n t r o l e f o r l o w - f r e q u e n c y m o t i o n s o r s u r f ' b e a t , f r e q u e n c i e s l e s s t h a n a b o u t 0.05 Hz. T h e i r r e l a t i v e i m p o r t a n c e i s e n h a n c e d t h r o u g h t h e s u r f z o n e a s a c o n s e q u e n c e o f s h o a l i n g a n d b r e a k i n g ; t h e y a r e a r g u a b l y d o m i n a n t ' d u r i n g r o u g h c o n d i t i o n s (Guza a n d T h o r n t o n ( 2 ) ) . B o t h c r o s s - s h o r e a n d l o n g s h o r e p r o p a g a t i o n modes h a v e b e e n i d e n t i f i e d . C r o s s s h o r e modes may d e r i v e f r o m
f o r c e d l o n g waves t h a t a r e b o u n d t o s h o r t wave g r o u p s ( L o n g u e t - H i g g i n s a n d S t e w a r t ( 3 ) , H u n t l e y a n d K i m ( 4 ) ) o r t o l o n g p e r i o d v a r i a t i o n s i n t h e b r e a k l o c a t i o n s i n d u c e d b y i n c i d e n t s h o r t wave g r o u p s (Symonds e t a l ( 5 ) ) . L o n g wave m o t i o n s r a d i a t e b o t h s e a w a r d a n d s h o r e w a r d f r o m t h e b r e a k e r
l i n e as a c o n s e q u e n c e o f t h i s s e c o n d m e c h a n i s m . L o n g s h o r e modes may be p r o g r e s s i v e o r s t a n d i n g edge w a v e s ( H u n t l e y e t a l
( 6 ) , H o l m a n and Bowen ( 7 ) ) . The l o w - f r e q u e n c y m o t i o n s i n t h e n e a r s h o r e z o n e r e f e r r e d t o a b o v e a r e m a n i f e s t a t i o n s a t d i f f e r e n c e f r e q u e n c i e s o f n o n l i n e a r i n t e r a c t i o n s w i t h i n a n a r r o w - b a n d e d i n c i d e n t wave f i e l d . Such i n t e r < u C t i o n s a l s o g i v e r i s e t o s t e a d y p e r t u r b a -t i o n s ( s p a -t i a l v a r i a -t i o n s o f -t h e mean w a -t e r l e v e l (MWL) and mean f l o w s ) . S p a t i a l v a r i a t i o n s i n t h e l o c a l MWL a r e m o s t n o t a b l e i n t h e s h o r e - n o r m . a l d i r e c t i o n w h e r e t h e r e i s a c l o s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s h o a l i n g - b r e a k i n g e v o l u t i o n o f t h e wave h e i g h t and t h e s e t u p o f t h e MWL f r o m t h e g l o b a l s t i l l w a t e r l e v e l (SWL) . The s h o a l i n g i n c r e a s e i n wave h e i g h t p r i o r t o b r e a k i n g i s a c c o m p a n i e d b y a s e t down o f t h e l o c a l MWL a n d t h e s u b s e q u e n t d e c r e a s e i n wave h e i g h t t h r o u g h o u t t h e s u r f z o n e i s a c c o m p a n i e d ( a f t e r some l a g ) by a r i s e i n t h e MWL w h i c h e v o l v e s i n t o a r a t h e r l a r g e r s e t u p . I n a d d i t i o n , t h e r e i s a s i g n i f i c a n t v e r t i c a l m e a n - f l o w c i r c u l a t i o n i n t h e o n - o f f s h o r e d i r e c t i o n and a t w o l a y e r s t r u c t u r e c a n be i d e n t i f i e d . I n c i d e n t p r o g r e s s i v e waves c a r r y a s m a l l f o r w a r d mass f l u x t o w a r d s t h e b e a c h i n t h e t r o u g h - c r e s t r e g i o n , b a l a n c e d b y a s m a l l o f f s h o r e f l o w o r u n d e r t o w b e n e a t h t h e t r o u g h . L o n g s h o r e c u r r e n t s o f s i m i l a r m a g n i t u d e may be i d e n t i f i e d i n t h e mean f l o w w i t h i n t h e s u r f z o n e . L o n g s h o r e n o n u n i f o r m i -t i e s -t o g e -t h e r w i -t h -t h e r e q u i r e m e n -t s o f mass c o n s e r v a -t i o n may l e a d t o n e a r s h o r e c e l l s o f h o r i z o n t a l c i r c u l a t i o n . R e t u r n f l o w s t h r o u g h t h e s u r f a r e n a r r o w a n d i n t e n s e ( r i p c u r r e n t s ) , as a r e s u l t o f v o r t e x s t r e t c h i n g ( A r t h u r ( 8 ) ) , b u t t h e b a l a n c e o f t h e g y r e s b e y o n d t h e s u r f z o n e a n d r e t u r n i n g t h r o u g h t h e s u r f z o n e a r e b r o a d a n d weak. R i p c u r r e n t s a r e r e g u l a r f e a t u r e s o f m o s t b e a c h e s and i d e n t i f y t h e e x i s t e n c e o f one o r more c i r c u l a t i o n c e l l s . The r i p s may be l o c a t e d b y t o p o g r a p h i c c o n s t r a i n t s o f t h e f l o w f i e l d s u c h as g r o y n e s o r
h e a d l a n d s b u t a r e n o n e t h e l e s s o b s e r v e d o n l o n g s t r a i g h t b e a c h e s a t n e a r - n o r m a l i n c i d e n c e , s u g g e s t i n g a n a l t e r n a t i v e o r i g i n i n t h e n e a r s h o r e h y d r o d y n a m i c s o r p e r h a p s m o r p h o l o g y . The d y n a m i c s o f t h e v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l n e a r s h o r e c i r c u l a t i o n (mean f l o w ) a r e g o v e r n e d p r i m a r i l y b y t h e b r e a k i n g i n c i d e n t w a v e s ; t u r b u l e n c e and l o w - f r e q u e n c y m o t i o n s p l a y a s e c o n d a r y r o l e . P r e s e n t - d a y n e a r s h o r e c i r c u l a t i o n m o d e l s do i n c l u d e t u r b u l e n t momentum t r a n s f e r , a l b e i t i n c r u d e a p p r o x i m a t i o n s , b u t t h e i n f l u e n c e o f l o w - f r e q u e n c y m o t i o n s o n t h e s t e a d y c i r c u l a t i o n i s g e n e r a l l y i g n o r e d . T h i s i s n o t c o r r e c t b e c a u s e o f t h e n o n - z e r o c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e l o w - f r e q u e n c y m o t i o n s a n d t h e s h o r t - w a v e g r o u p s ( s e e e . g . Goda ( 9 ) , D a l l y a n d Dean ( 1 0 ) ) . However, t h e r e i s p r e s e n t l y no r e a l a l t e r n a t i v e a s a r e l i a b l e p r e d i c t i o n o f t h e l o w - f r e q u e n c y n e a r s h o r e m o t i o n i s n o t y e t a v a i l a b l e . A l t h o u g h t h e f l u c t u a t i n g m o t i o n s d o m i n a t e i n t h e n e a r s h o r e z o n e , i t i s n o n e t h e l e s s c o n v e n i e n t t o a d o p t a R e y n o l d s - s t y l e d e c o m p o s i t i o n o f t h e i n s t a n t a n e o u s f l o w v a r i a b l e s i n t o mean f l o w a n d f l u c t u a t i n g p a r t s . We a d o p t a c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m l o c a t e d i n t h e h o r i z o n t a l p l a n e o f t h e g l o b a l SWL w i t h h o r i z o n t a l a x e s x a n d y ( o r (x.y) i n t e n s o r n o t a t i o n o r a U ^=(x,y) i n v e c t o r n o t a t i o n ) a n d v e r t i c a l a x i s z d i r e c t e d u p w a r d s . The a c o m p o n e n t s o f t h e h o r i z o n t a l v e l o c i t y , f o r e x a m p l e , a r e w r i t t e n
lia(X,Z,t) = U^(x,z) + U,(x,Z,t) ( 2 . 1 )
w h e r e i s t h e f l o w v e l o c i t y a v e r a g e d o v e r a d u r a t i o n much l o n g e r t h a n t h e wave g r o u p s , b u t s t i l l s i g n i f i c a n t l y s h o r t e r t h a n a n y t i m e s c a l e a s s o c i a t e d w i t h i n c i d e n t s e a c o n d i t i o n s . Such a n a v e r a g i n g p e r i o d w i l l a v e r a g e o v e r b o t h t h e w a v e s a n d t h e t u r b u l e n c e . M e a s u r e d t i m e s c a l e s i n s u r f zone t u r b u l e n c e a r e s i g n i f i c a n t l y s h o r t e r t h a n t y p i c a l wave p e r i o d s a n d i t i s f u r t h e r c o n v e n i e n t t o s e p a r a t e t h e f l u c t u a t i n g v e l o c i t y a, i n t o t u r b u l e n t ( s i n g l e p r i m e s u p e r s c r i p t ) a n d wave ( d o u b l e p r i m e s u p e r s c r i p t ) c o m p o n e n t s , f o r e x a m p l e
KI me
a , ( x , z , t ) = a,{x,z,t)-^a^(ix,z,t) ( 2 . 2 ) The v a l u e o f t h i s s e p a r a t i o n i s e n h a n c e d b y t h e common l a c k o f c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e wave a n d t u r b u l e n t c o m p o n e n t s . 3. NEARSHORE WAVE F I E L D Q u a l i t a t i v e d i s c u s L i o n . T h i s s e c t i o n g i v e s a q u a l i t a t i v e d i s c u s s i o n o f some a s p e c t s o f wave m o d e l s w h i c h a r e i m p o r t a n t f o r t h e c a l c u l a t i o n o f n e a r s h o r e c i r c u l a t i o n , p r i o r t o a q u a n t i t a t i v e p r e s e n t a -t i o n .Random o r d e t e r m i n i s t i c wave m o d e l s . Randomness i s a n e s s e n t i a l p r o p e r t y o f w i n d - g e n e r a t e d w a v e s a n d s h o u l d b e i n c l u d e d i f r e a l i s t i c r e s u l t s a r e t o be o b t a i n e d f o r t h e c i r c u l a t i o n i n d u c e d b y w i n d w a v e s . C a l c u l a t e d r e s u l t s f o r m o n o c h r o m a t i c , u n i d i r e c t i o n a l i n c i d e n t w a v e s o f t e n c o n t a i n r a p i d a n d l a r g e s p a t i a l v a r i a t i o n s i n e n e r g y d e n s i t y ( e . g . i n r e f r a c t i o n c a l c u l a t i o n s ) o r e n e r g y d i s s i p a t i o n - r a t e ( e . g . n e a r t h e s o - c a l l e d b r e a k e r l i n e ) , w h i c h l e a d t o s p u r i o u s r e s u l t s i n t h e c a l c u l a t e d w a v e - i n d u c e d c i r c u l a t i o n . T h i s c o n t r a s t s s t r o n g l y w i t h t h e m o r e r e a l i s t i c s m o o t h a n d weak m o d u l a t i o n s i n t h e r e s u l t s o f random-wave m o d e l s , w i t h a d i s t r i b u t i o n o f t h e wave e n e r g y o v e r a c o n t i n u u m ( i n t h e o r y ) o r a m u l t i t u d e ( i n n u m e r i c a l m o d e l s ) o f f r e q u e n c i e s a n d d i r e c t i o n s . P r o p a g a t i o n . N e a r s h o r e waye p r o p a g a t i o n i s c h a r a c t e r i z e d p r i m a r i l y b y d e p t h - i n d u c e d s h o a l i n g , r e f r a c t i o n a n d b r e a k i n g . E f f e c t s o f w a v e - i n d u c e d . c u r r e n t s u s u a l l y a r e o f s e c o n d a r y i m p o r t a n c e , w h i c h i s n o t t o s a y t h a t t h e y a r e a l w a y s n e g l i g i b l e . T h e y c a n b e s i g n i f i c a n t i n r e g i o n s o f s t r o n g v e l o c i t y s h e a r a s i n r i p - c u r r e n t s y s t e m s . A m o r e f u n d a m e n t a l r e a s o n f o r t h e i r i m p o r t a n c e i s t h e f a c t t h a t w i t h m u t u a l i n t e r a c t i o n s , t h e n e a r s h o r e w a v e - c u r r e n t s y s t e m may b e u n s t a b l e a g a i n s t l o n g s h o r e p e r t u r b a t i o n s ( D a l r y m p l e a n d L o z a n o 5
( 1 1 ) , M i l l e r and B a r c i l o n ( 1 2 ) ) . F o r t h e s e r e a s o n s , t h e c u r r e n t i n f l u e n c e on t h e waves i s t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e q u a n t i t a t i v e f o r m u l a t i o n s g i v e n b e l o w . D i f f r a c t i o n s m o o t h e s a m p l i t u d e v a r i a t i o n s s u c h a s may a r i s e as a r e s u l t o f s h o a l i n g a n d r e f r a c t i o n , o r i n t h e v i c i n i t y o f o b s t a c l e s s u c h as b r e a k w a t e r s a n d h e a d l a n d s . I n t h e l a t t e r c a t e g o r y , t h e a m p l i t u d e g r a d i e n t s a r e s t r o n g ( s i g n i f i c a n t v a r i a t i o n s w i t h i n a w a v e - l e n g t h ) and d i f f r a c t i o n s h o u l d be m o d e l e d . I n s i t u a t i o n s w i t h o u t o b s t a c l e s , t h e i n f l u e n c e o f d i f f r a c t i o n on t h e n e a r s h o r e w a v e - f i e l d i s g e n e r a l l y n e g l i g i b l e . T h i s i s u n d e r s t a n d a b l e i n v i e w o f t h e r e l a t i v e l y s m o o t h v a r i a t i o n s i n t h e w a v e - f i e l d w h i c h r e s u l t f r o m t h e f i n i t e s p e c t r a l b a n d w i d t h o f t h e i n c i d e n t - w a v e s p e c t r u m . E n e r g y i n p u t and d i s s i p a t i o n . The s i n g l e m o s t i m p o r t a n t s o u r c e / s i n k o f wave e n e r g y i n t h e n e a r s h o r e z o n e i s t h e d i s s i p a t i o n due t o s h a l l o w - w a t e r wave b r e a k i n g . O t h e r p r o c e s s e s s u c h as l o c a l w i n d i n p u t o r b o u n d a r y - l a y e r d i s s i p a t i o n a r e r e l a t i v e l y i n s i g n i f i c a n t b e c a u s e o f t h e r e l a t i v e l y s h o r t p r o p a g a t i o n d i s t a n c e s i n v o l v e d . Weak n o n - l i n e a r wave-wave i n t e r a c t i o n s a r e c o n s e r v a t i v e o v e r t h e e n t i r e s p e c t r u m , b u t n o t l o c a l l y i n t h e s p e c t r a l d o m a i n . T h e y a r e an o r d e r o f m a g n i t u d e s t r o n g e r i n s h a l l o w w a t e r ( t r i a d r e s o n a n t i n t e r a c t i o n s ) t h a n i n de p w a t e r ( q u a d r u p l e t r e s o n a n t i n t e r a c t i o n s ) . I n s h a l l o w w a t e r b r e a k i n g w a v e s , t h e i n t e r a c -t i o n s a r e no l o n g e r weak. No -t h e o r e -t i c a l f o r m u l a -t i o n o f -t h e s e i n t e r a c t i o n s i s a v a i l a b l e . Q u a n t i t a t i v e f o r m u l a t i o n . I n t h i s p a r a g r a p h , a q u a n t i t a t i v e f o r m u l a t i o n i s g i v e n o f t h e m o s t r e l e v a n t p h y s i c a l p r o c e s s e s m e n t i o n e d a b o v e ; d i f f r a c t i o n i s e x c l u d e d h e r e s i n c e t h a t i s d e a l t w i t h i n d e t a i l i n t h e c h a p t e r on "wave t r a n s f o r m a t i o n " i n t h e p r e s e n t v o l u m e ( L i u ( 1 3 ) ) .
I n t h e f o l l o w i n g , t h e d e p t h h a n d c u r r e n t v e l o c i t y u_ i n t h e d o m a i n o f c o m p u t a t i o n a r e s u p p o s e d t o b e known a p r i o r i . The i n f l u e n c e o f t h e wave f i e l d o n t h e mean d e p t h a n d t h e c u r r e n t v e l o c i t y c a n be t a k e n i n t o a c c o u n t b y s i m u l t a n e o u s
( i t e r a t i v e ) i n t e g r a t i o n o f t h e wave p r o p a g a t i o n e q u a t i o n s w i t h t h e mass a n d momentum e q u a t i o n s f o r t h e mean f l o w , w h i c h a r e d e s c r i b e d i n s e c t i o n 5 o f t h i s c h a p t e r . Ray K i n e m a t i c s . F o r w a v e s o n a v a r i a b l e c u r r e n t , t h e D o p p l e r s h i f t b e t w e e n a b s o l u t e f r e q u e n c y w a n d i n t r i n s i c f r e q u e n c y a s h o u l d be t a k e n i n t o a c c o u n t : 'Ad •4 a = (^gA:tann/cn.j"" = co-/c„o'„ w h e r e fc i s t h e m a g n i t u d e o f t h e wave number v e c t o r k. ( 3 . 1 ) The k i n e m a t i c s o f t h e p r o p a g a t i o n a r e d e s c r i b e d b y t h e r a y e q u a t i o n s dt ( 3 . 2 ) i n w h i c h c^^- da/dk^,
dka dka dka. dxp da dh dt dt dXp dt dhdx, -k,
a n d , f o r t i m e - i n v a r i a n t d e p t h a n d c u r r e n t , dUf
'Jx, ( 3 . 3 )
duo _ dao dco dXa
~dr~''^^ dx„ dt = 0 ( 3 . 4 ) See W h i t h a m ( 1 4 ) , P h i l l i p s ( 1 5 ) o r M e i ( 1 6 ) f o r a f u l l t r e a t m e n t . S p e c t r a l Wave A c t i o n B a l a n c e . N e g l e c t i n g d i f f r a c t i o n , t h e d y n a m i c s o f w a v e s i n a n a r e a w i t h n o n - u n i f o r m d e p t h a n d c u r r e n t v e l o c i t y a r e c o n v e n i e n t l y d e s c r i b e d o n t h e b a s i s o f t h e p r i n c i p l e o f c o n s e r v a t i o n o f wave a c t i o n , f o r m u l a t e d i n t e r m s o f t h e s p e c t r a l a c t i o n d e n s i t y i n wave number s p a c e . 7
w h i c h ( t o l o w e s t o r d e r ) e q u a l s t h e s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e wave e n e r g y , d i v i d e d b y t h e i n t r i n s i c f r e q u e n c y ( B r e t h e r t o n and G a r r e t t ( 1 7 ) , H a s s e l m a n n e t a l ( 1 8 ) ) . I n a n o n d i s s i p a -t i v e w a v e - c u r r e n -t s y s -t e m , and n e g l e c -t i n g n o n l i n e a r wave-wave i n t e r a c t i o n s , t h e s p e c t r a l a c t i o n d e n s i t y N(fc:x,<) i s c o n s e r v e d . I n a more g e n e r a l f o r m u l a t i o n , a s o u r c e t e r m S(k;x,t) a c c o u n t s f o r t h e n e t r a t e o f t r a n s f e r o f wave a c t i o n t o t h e c o m p o n e n t dt ^ dx^ dt ^ dka dt ~ T h i s b a l a n c e e q u a t i o n c a n be t r a n s f o r m e d f r o m wave-number s p a c e t o t h e s p a c e o f f r e q u e n c i e s to and d i r e c t i o n s 0, u s i n g t h e " ^ ' ^ t t ' t d i s p e r s i o n E q u a t i o n 3 . 1 , b u t t h e s e e q u a t i o n s a r e n o t r e p r o d u c e d h e r e . I n t h e n e a r s h o r e z o n e , t h e d o m i n a n t c o n t r i b u t i o n t o t h e s o u r c e t e r m S i s due t o wave b r e a k i n g . A l t h o u g h t h e o v e r a l l e n e r g y d i s s i p a t i o n r a t e a s s o c i a t e d w i t h random-wave b r e a k i n g i n s h a l l o w - w a t e r c a n be c a l c u l a t e d r e a l i s t i c a l l y ( B a t t j e s and J a n s s e n ( 1 9 ) , T h o r n t o n and Guza ( 2 0 ) , B a t t j e s and S t i v e ( 2 1 ) ) ,
i t s s p e c t r a l d i s t r i b u t i o n i s n o t known. Y a m a g u c h i ( 2 2 ) , who u t i l i z e s a t w o - d i m e n s i o n a l s p e c t r a l a c t i o n d e n s i t y b a l a n c e i n (a>,0), a p p r o a c h e s t h e p r o b l e m o f wave b r e a k i n g t h r o u g h t h e u s e a s a t u r a t i o n l e v e l f o r t h e e q u i l i b r i u m r a n g e g i v e n by K i t a i g o r o d s k i i e t a l ( 2 3 ) . The r e s u l t s p r e s e n t e d by Y a m a g u c h i a r e r e a l i s t i c f o r t h e wave f i e l d as w e l l as f o r t h e i n d u c e d c u r r e n t s . N e v e r t h e l e s s , some r e s e r v a t i o n i s a p p r o p r i a t e . The s p e c t r a l s a t u r a t i o n m o d e l g i v e n b y K i t a i g o r o d s k i i e t a l a p p l i e s t o an a c t i v e l y w i n d - d r i v e n wave f i e l d w h e r e t h e h i g h - f r e q u e n c y s p e c t r a l t a i l i s i n e q u i l i b r i u m b e t w e e n w i n d i n p u t , n o n l i n e a r t r a n s f e r and d i s s i p a t i o n ; t h i s d i s s i p a t i o n i s m a i n l y due t o w h i t e c a p p i n g . The sea s t a t e i s s u p p o s e d t o be s p a t i a l l y h o m o g e n e o u s , o r a t m o s t v a r y i n g so s l o w l y t h a t i t c a n be r e g a r d e d as q u a s i - h o m o g e n e o u s . T h i s c o n t r a s t s s t r o n g l y w i t h t h e s i t u a t i o n
i n t h e n e a r s h o r e z o n e , w h e r e d e p t h g r a d i e n t s d o m i n a t e t h e wave e v o l u t i o n . A l s o , s h a l l o w - w a t e r wave b r e a k i n g on a s l o p i n g b o t t o m i s r a t h e r d i f f e r e n t f r o m w h i t e c a p p i n g i n a w i n d - d r i v e n , homogeneous s e a s t a t e . A l t o g e t h e r , t h e r e l e v a n c e o f t h i s a p p r o a c h t o t h e n e a r s h o r e z o n e i s q u e s t i o n a b l e a t b e s t f o r w i n d - d r i v e n w a v e s . F o r s w e l l , t h i s a p p r o a c h d o e s n o t a p p l y a t a l l . Narrow Band A p p r o x i m a t i o n s . A p r a c t i c a l d r a w b a c k o f a f u l l y t w o - d i m e n s i o n a l s p e c t r a l f o r m u l a t i o n i s t h e c o n s i d e r a b l e c o m p u t a t i o n a l e f f o r t r e q u i r e d . An a p p r o x i m a t i o n , w h i c h i n many c a s e s i s c a p a b l e o f y i e l d i n g r e a l i s t i c r e s u l t s , i s t o assume a n a r r o w s p e c t r a l d i s t r i b u t i o n o f wave a c t i o n o v e r t h e f r e q u e n c i e s , s o t h a t t h e f r e q u e n c y - v a r i a t i o n o f p a r a m e t e r s i n t h e wave p r o p a g a t i o n m o d e l s u c h a s wave number a n d g r o u p v e l o c i t y c a n be n e g l e c t e d . The e f f e c t s o f a s m a l l b u t n o n z e r o f r e q u e n c y b a n d w i d t h a r e t h e n t a k e n i n t o a c c o u n t a n a l y t i c a l l y t h r o u g h t h e t h e o r e t i c a l s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e wave f i e l d i n t i m e ( t o l o w e s t o r d e r G a u s s i a n i n s t a n t a n e o u s v a l u e s and R a y l e i g h a m p l i t u d e s a n d wave h e i g h t s ) . T h i s l u m p i n g i n f r e q u e n c y t h e r e f o r e r e d u c e s t h e c o m p u t a t i o n e f f o r t w i t h o u t o v e r s i m p l i f y i n g t o a m o n o c h r o m a t i c f o r m u l a t i o n . H o w e v e r , a s i m i l a r r e d u c t i o n i n t h e d i r e c t i o n s ( t o a u n i d i r e c t i o n a l s y s t e m ) i s n o t f e a s i b l e i n g e n e r a l b e c a u s e , i n c o n t r a s t w i t h t h e l u m p i n g i n f r e q u e n c y , r e s u l t s o f a c o m p u t a t i o n f o r a s i n g l e i n c i d e n t d i r e c t i o n c a n n o t b e g e n e r a l i z e d a n a l y t i c a l l y so as t o r e p r e s e n t t h e e f f e c t s óf a s m a l l b u t f i n i t e a n g u l a r b a n d w i d t h , s i n c e t h e s e d e p e j i d o n t h e d e p t h ( a n d c u r r e n t ) f i e l d i n t h e p r o b l e m a t h a n d . , M o r e o v e r , i n c a s e o f i r r e g u l a r b o t t o m t o p o g r a p h y , u n i d i r e c t i o n a l wave r e s u l t s s o o n l e a d t o s p a t i a l d i s t r i b u t i o n s w i t h u n r e a l i s t i c a l l y r a p i d v a r i a t i o n s , a t l e a s t w i t h i n t h e r e f r a c t i o n a p p r o x i m a t i o n ( n e g l e c t i n g d i f f r a c t i o n ) . T h i s i s b e c a u s e t h e l a t e r a l a m p l i t u d e g r a d i e n t i n a wave f i e l d p r o p a g a t i n g o v e r i r r e g u l a r b o t t o m t o p o g r a p h y i s much s t r o n g e r t h a n t h e l o n g i t u d i n a l o n e . A s l i g h t v a r i a t i o n i n a n g l e o f i n c i d e n c e c a n t h e n l e a d t o s i g n i f i c a n t l o c a l a m p l i t u d e v a r i a t i o n s . 9
A s p e c t r a l wave a c t i o n f o r m u l a t i o n f o r waves i n s h a l l o w w a t e r , w h i c h i s l u m p e d i n f r e q u e n c y b u t n o t i n t h e d i r e c t i o n s , i s g i v e n b y H o l t h u i j s e n a n d B o o i j ( 2 4 ) ( s e e H o l t h u i j s e n e t a l (25) f o r a m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n ) . The b r e a k i n g - w a v e e n e r g y d i s s i p a t i o n o f B a t t j e s a n d J a n s s e n ( 1 9 ) h a s b e e n i n c o r p o r a t e d i n t h e m o d e l , u s i n g some a d h o c h y p o t h e s e s a b o u t i t s s p e c t r a l d i s t r i b u t i o n . The m o d e l h a s b e e n v e r i f i e d u s i n g l a b o r a t o r y d a t a ( D i n g e m a n s e t a l ( 2 6 ) ) w i t h g o o d r e s u l t s a s f a r a s t h e p r e d i c t i o n o f t h e wave e n e r g y i s c o n c e r n e d ; -• t h e wave f r e q u e n c i e s a r e n o t as w e l l p r e d i c t e d . The m o d e l i s i n o p e r a t i o n a l u s e f o r s t u d i e s o f n e a r s h o r e c i r c u l a t i o n a n d c o a s t a l m o r p h o l o g y ( d e V r i e n d a n d R i b b e r i n k ( 2 7 ) ) . A f u r t h e r s i m p l i f i c a t i o n i s o b t a i n e d i f t h e n a r r o w - b a n d e d i n c i d e n t wave a c t i o n a n d energy a r e n o t o n l y l u m p e d i n t o a s i n g l e f r e q u e n c y ( e . g . t h e p e a k f r e q u e n c y cu,) b u t a l s o i n t o a s i n g l e d i r e c t i o n . T h i s a p p r o a c h i s f e a s i b l e p r o v i d e d t h e b o t t o m t o p o g r a p h y i n t h e s t u d y a r e a i s n o t t o o i r r e g u l a r ( s e e t h e d i s c u s s i o n a b o v e ) . I t i s c o n s i s t e n t w i t h t h e u s e o f a l u m p e d , n o n - s p e c t r a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d i s s i p a t i o n d u e t o random-wave b r e a k i n g . The a c t i o n b a l a n c e e q u a t i o n f o r t h i s c a s e , a s s u m i n g s t a t i o n a r y c o n d i t i o n s , r e d u c e s t o ( 3 . 6 ) i n w h i c h E''' i s t h e wave e n e r g y a n d D i s t h e a v e r a g e r a t e o f wave e n e r g y d i s s i p a t i o n , b o t h p e r u n i t h o r i z o n t a l a r e a . B a t t j e s a n d J a n s s e n ( 1 9 ) p r e s e n t t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r D, b a s e d o n a b o r e m o d e l • f o r a s h a l l o w - w a t e r b r e a k i n g wave: D = ~^Q,pgö^Hl ( 3 . 7 ) The c o e f f i c i e n t a i s o f o r d e r o n e ; a^ i s t h e p e a k i n t r i n s i c f r e q u e n c y ; Qj-, i s t h e l o c a l f r a c t i o n o f b r e a k i n g w a v e s , w h i c h i s c a l c u l a t e d i n t h e m o d e l a s a f u n c t i o n o f t h e r a t i o o f t h e ( u n k n o w n ) rms wave h e i g h t t o B.^, w h i c h r e p r e s e n t s a l o c a l
d e p t h - l i m i t e d maximum wave h e i g h t f o r n o n - b r e a k i n g w a v e s . I n t h i s f o r m u l a t i o n , t h e d i s s i p a t i o n r a t e d e p e n d s o n t h e l o c a l rms wave h e i g h t t h r o u g h Qfo. The d i s s i p a t i o n m o d e l r e p r e s e n t e d b y E q u a t i o n 3.7 h a s b e e n e x t e n s i v e l y c a l i b r a t e d ( w i t h r e s p e c t t o a n e m p i r i c a l c o e f f i c i e n t i n H^, a s s u m i n g a = i ) a n d v e r i f i e d w i t h l a b o r a t o r y d a t a a n d f i e l d d a t a b y B a t t j e s a n d S t i v e ( 2 1 ) . I t a p p e a r s t o g i v e r e a l i s t i c p r e d i c t i o n s o f t h e rms wave h e i g h t d e c a y i n r a n d o m b r e a k i n g waves, w i t h r e l a t i v e e r r o r s t y p i c a l l y l e s s t h a n 1 0 % . The same a p p l i e s t o t h e f o r m u l a t i o n p r e s e n t e d b y T h o r n t o n a n d Guza ( 2 0 ) , w h i c h i s b a s e d o n t h e same p r i n c i p l e s . T h e s e v e r i f i c a t i o n s w e r e f o r c o n d i t i o n s o f e s s e n t i a l l y o n e d i m e n s i o n a l p r o p a g a t i o n . H o w e v e r , t h e f o r m u -l a t i o n i s n o t r e s t r i c t e d t h e r e t o . I t s i m p -l e m e n t a t i o n i n t w o - d i m e n s i o n a l m o d e l s h a s l i k e w i s e g i v e n g o o d p r e d i c t i o n o f t h e rms wave h e i g h t s , as n o t e d a b o v e ( D i n g e m a n s e t a l ( 2 6 ) ) . A m p l i t u d e Domain Models. Goda ( 9 ) a n d D a l l y a n d Dean ( 1 0 ) p r e s e n t m o d e l s f o r t h e c a l c u l a t i o n o f randomwave t r a n s f o r m a -t i o n i n -t h e c o a s -t a l z o n e u -t i l i z i n g -t h e p r o b a b i l i -t y d e n s i -t y f u n c t i o n ( p d f ) o f i n d i v i d u a l ( " z e r o - c r o s s i n g " ) wave h e i g h t s p ( H ) (Goda) o r t h e j o i n t p d f o f wave h e i g h t a n d p e r i o d p ( H , T ) ( D a l l y a n d D e a n ) . I n t h e s e m o d e l s , t h e i n c i d e n t - w a v e p d f i s d i s c r e t i z e d a n d e a c h e l e m e n t i s t r a n s f o r m e d , i n c l u d i n g s h o a l i n g , b r e a k i n g a n d p o s t - b r e a k i n g d e c a y , a s i f i t r e p r e s e n t e d a p e r i o d i c wave t r a i n . The r e s u l t s a r e r e c o m b i n e d a t e a c h p o i n t o f p r e d i c t i o n s o a s t o o b t a i n a t r a n s f o r m e d p d f . These i n d i v i d u a l - w a v e appiróaches a l l o w i n p r i n c i p l e t h e i n c l u s i o n o f c e r t a i n n o n l i n e a r e f f e c t s , e.g. i n t h e s h o a l i n g ( G o d a ) , w h i c h a r e n o t i n c l u a 2d i n t h e s p e c t r a l f c . m u l a t i o n s p r e s e n t e d a b o v e . The f o r m u l a t i o n s a s o r i g i n a l l y p r e s e n t e d a r e f o r o n e - d i m e n s i o n a l ( s h o r e - n o r m a l ) p r o p a g a t i o n o n l y . I t seems p o s s i b l e i n p r i n c i p l e t o g e n e r a l i z e t h e m t o t w o - d i m e n s i o n a l p r o p a g a t i o n . T h i s w i l l r e q u i r e a p p l i c a t i o n o f t h e p d f o f d i r e c t i o n s e o f i n d i v i d u a l w a v e s . I s o b e ( 2 8 ) g i v e s r e s u l t s f o r p(H,o) , t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f h e i g h t a n d d i r e c t i o n ; no 1 1
t h e o r e t i c a l r e s u l t s seem t o b e a v a i l a b l e f o r p ( H , T , e ) , t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f h e i g h t , p e r i o d a n d d i r e c t i o n s o f i n d i v i d u a l w a v e s . The i n d i v i d u a l - w a v e m e t h o d s a l l o w t h e e s t i m a t i o n o f t h e l o c a l wave h e i g h t p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n , r a t h e r t h a n m e r e l y t h e r m s h e i g h t o r t h e mean wave e n e r g y . H o w e v e r , f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e w a v e - i n d u c e d n e a r s h o r e c i r c u l a t i o n , t h e mean wave e n e r g y d i s s i p a t i o n r a t e i s t h e p r i m a r y w a v e - f i e l d p r o p e r t y w h i c h i s r e q u i r e d ( s e e s e c t i o n 5) . I t a p p e a r s t h a t t h i s i n f o r m a t i o n c a n b e o b t a i n e d w i t h s u f f i c i e n t a c c u r a c y f r o m t h e s e m i - l u m p e d s p e c t r a l m o d e l s o r e v e n t h e f u l l y l u m p e d m o d e l s s u c h a s d e s c r i b e d a b o v e , w h i c h r e q u i r e f a r l e s s c o m p u t a t i o n a l e f f o r t . 4. VERTICAL CIRCULATION P r o g r e s s i v e waves c a r r y a s m a l l mass t r a n s p o r t o f o r d e r E"/C t o w a r d s t h e b e a c h , w h e r e C=ö/k i s t h e p h a s e s p e e d o f t h e wave. From a n E u l e r i , a n v i e w p o i n t , t h i s mass t r a n s p o r t i s c o n c e n t r a t e d b e t w e e n t h e t r o u g h a n d c r e s t e l e v a t i o n s . T h e r e c a n b e n o n e t mass f l u x t h r o u g h t h e b e a c h a n d t h e w a v e - i n d u c e d mass t r a n s p o r t a b o v e t h e t r o u g h i s l a r g e l y b a l a n c e d b y a r e v e r s e f l o w o r u n d e r t o w b e l o w t h e t r o u g h . A s i m i l a r v e r t i c a l s t r u c t u r e i s p r e s e n t i n t h e l o c a l o n - o f f s h o r e momentum b a l a n c e , w h e r e t h e d o m i n a n t t e r m s a r e t h e v e r t i c a l l y u n i f o r m h y d r o s t a t i c p r e s s u r e g r a d i e n t a r i s i n g f r o m t h e s e t u p n o f t h e MWL f r o m t h e g l o b a l SWL, a n d t h e v e r t i c a l l y n o n u n i f o r m w a v e - i n d u c e d momentum f l u x , t h e i p a j o r p a r t o f w h i c h i s c o n c e n t r a t e d i n t h e t r o u g h - c r e s t r e g i o n . A n a l y s i s o f t h e v e r t i c a l c i r c u l a t i o n h a s b e e n b a s e d o n t h e c l a s s i c a l R e y n o l d s e q u a t i o n s , g e n e r a l i z e d t o i n c l u d e s e p a r a t e wave a n d t u r b u l e n t f l u c t u a t i o n s . U n d e r s t a t i o n a r y c o n d i t i o n s and l o n g s h o r e u n i f o r m i t y , t h e mass c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n i s
and t h e x-momentum e q u a t i o n i s pdx pdx pa 1 d ( 4 . 2 ) pdz The zmomentum e q u a t i o n a d d i t i o n a l l y i n c l u d e s t h e g r a v i t a t i o n -a l -a c c e l e r -a t i o n . The n a t u r a l l e n g t h s c a l e s i n t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l d i r e c t i o n s a r e 1/k a n d h r e s p e c t i v e l y . As kh i s g e n e r a l l y s m a l l i n t h e n e a r s h o r e z o n e , b o u n d a r y l a y e r a r g u m e n t s a r e commonly u t i l i z e d . T h i s i n v o l v e s a n u n d e r s t a n d i n g t h a t t h e f l o w p a t t e r n i s s l o w l y v a r y i n g i n t h e h o r i z o n t a l b u t p o t e n t i a l l y r a p i d l y v a r y i n g i n t h e v e r t i c a l . F u r t h e r , d i s t i n c t l y d i f f e r e n t p h y s i c a l p r o c e s s e s a r e o b s e r v e d t o b e a c t i v e a t t h e b e d ( a n o s c i l l a t o r y b o u n d a r y l a y e r o v e r a m o b i l e bed) a n d a t t h e f r e e s u r f a c e ( w a v e - i n d u c e d mass t r a n s p o r t a n d wave b r e a k i n g ) . I t i s a c c o r d i n g l y c o n v e n i e n t t o e n v i s a g e a t h r e e l a y e r s t r u c t u r e i n t h e v e r t i c a l , a n a r r o w b o t t o m b o u n d a r y l a y e r , a w i d e r m i d d l e l a y e r e x t e n d i n g t o t h e wave t r o u g h l e v e l a n d a n u p p e r l a y e r e x t e n d i n g f r o m t h e t r o u g h t o t h e c r e s t . T h e s e l a y e r s a r e c o u p l e d b y mass a n d momentum t r a n s f e r a c r o s s t h e i n t e r f a c e s , ' t h e e l e v a t i o n s o f w h i c h a r e s l o w l y - v a r y i n g w i t h h o r i z o n t a l p o s i t i o n . I n p r i n c i p l e , e a c h o f t h e s e l a y e r s c a n b e c o n s i d e r e d i n d e p e n d e n t l y p r o v i d e d t h a t t h e a p p r o p r i a t e i n t e r f a c i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s c a n be s p e c i f i e d . A n a l y s e s o f t h e m i d d l e a n d b o t t o m l a y e r s i n t h e n e a r s h o r e z o n e ( S v e n d s e n ( 2 9 ) , D a l l y a n d Dean ( 3 0 ) , S t i v e a n d W i n d ( 3 1 ) , S t i v e a n d d e V r i e n d ( 3 2 ) , S v e n d s e n e t a l ( 3 3 ) ) h a v e much i n
common w i t h a n a l y s e s o f v i s c o u s e f f e c t s o n n o n - b r e a k i n g wave p r o p a g a t i o n ( L o n g u e t - H i g g i n s ( 3 4 ) , C r a i k ( 3 5 ) ) . The b a s i s i s f r e q u e n t l y a r e d u c e d f o r m o f t h e x-momentum e q u a t i o n , n a m e l y 0 = + X pdx da\ 1 d H dzJ pdz 77 ) ( 4 - 3 ) The o m i s s i o n o f t h e c o n v e c t i v e a c c e l e r a t i o n a n d v i s c o u s s h e a r t e r m s f o l l o w s f r o m t h e t u r b u l e n t b o u n d a r y l a y e r a n a l o g y ; t h e s e t e r m s a r e g e n e r a l l y s m a l l a n d a r e r a r e l y s i g n i f i c a n t . The t u r b u l e n t n o r m a l s t r e s s -pü" i s z e r o f o r n o n - b r e a k i n g w a v e s . The m a j o r a s s u m p t i o n i n E q u a t i o n 4.3 i s t h e R e y n o l d s s t r e s s c l o s u r e h y p o t h e s i s f o r t h e t u r b u l e n t s h e a r s t r e s s -pu'w'. I n common w i t h o t h e r t u r b u l e n t s h e a r f l o w s , t h e t u r b u l e n t s h e a r s t r e s s i s r e l a t e d d i r e c t l y t o t h e mean f l o w t h r o u g h t h e eddy v i s c o s i t y a p p r o a c h . The n a t u r e o f t h e p r e s e n t f l o w h o w e v e r i s r a t h e r d i f f e r e n t f r o m c l a s s i c a l t u r b u l e n t s h e a r f l o w s , w h e r e t h e t u r b u l e n t eddy v i s c o s i t y v, w o u l d b e d e f i n e d b y e s t a b l i s h e d z e r o , o n e o r t w o e q u a t i o n t u r b u l e n c e m o d e l s ( R o d i ( 3 6 ) ) . F i r s t l y . ; t h e mean. f l o w i s t y p i c a l l y a n o r d e r o f m a g n i t u d e s m a l l e r t h a n t h e a m p l i t u d e o f t h e f l u c t u a t i n g wave m o t i o n . S e c o n d l y , t u r b u l e n t v o r t i c i t y i s p r i m a r i l y g e n e r a t e d b y g r a v i t a t i o n a l i n s t a b i l i t y a t t h e f r e e s u r f a c e r a t h e r t h a n b y v i s c o u s s h e a r a t t h e b e d . Z e r o e q u a t i o n t u r b u l e n c e m o d e l s , i n w h i c h t h e a d o p t e d v e l o c i t y a n d l e n g t h s c a l e s o f t h e t u r b u l e n c e a r e r e l a t e d t o t h e wave m o t i o n ( S t i v e a n d W i n d ( 3 1 ) , S v e n d s e n e t a l ( 3 3 ) ) h a v e f o u n d m o s t f a v o r i n t h e p r e s e n t c o n t e x t . . The t i m e - a v e r a g e d p r e s s u r e p i s a v a i l a b l e f r o m i n t e g r a t i o n o f t h e z-momentum e q u a t i o n f r o m e l e v a t i o n z t o t h e c r e s t . I n a manner c o n s i s t e n t w i t h t h e b o u n d a r y l a y e r a n a l o g y , t h e l e a d i n g t e r m s i n t h e v e r t i c a l p r e s s u r e p r o f i l e a r e p{z',x) = pgiri-z)-p~üP-pu> ( 4 . 4 )
w h e r e x v a r i a t i o n i s i m p l i c i t i n a l l t e r m s . The g r a v i t a t i o n a l t e r m i s h y d r o s t a t i c , pg(n-z), b e l o w t h e t r o u g h , s u c h t h a t t h e x-momentum e q u a t i o n f o r t h e m i d d l e a n d b o t t o m l a y e r s becomes 0 = -9~--fi-plI^-pl^-p^-p^]^-^(v,^^y^^^^ ( 4 . 5 ) B o t h t e r m s i n v o l v i n g h o r i z o n t a l g r a d i e n t s h a v e l i t t l e s i g n i f i c a n t v e r t i c a l s t r u c t u r e i n t h e m i d d l e l a y e r . The s e t u p t e r m h a s none b y d e f i n i t i o n a n d s t e a d y wave t h e o r y p r e d i c t s a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n f o r t h e t o t a l w a v e - i n d u c e d a p p a r e n t n o r m a l s t r e s s t e r m -p{ir^-lP^) b e l o w t h e t r o u g h . M e a s u r e m e n t s o f t u r b u l e n t a p p a r e n t ( i . e . R e y n o l d s ) n o r m a l s t r e s s e s i n t h e n e a r s h o r e zone ( e . g . Nadaoka a n d Kondoh ( 3 7 ) ) do show some v a r i a t i o n w i t h d e p t h b u t t h e y a r e a n o r d e r o f m a g n i t u d e s m a l l e r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g w a v e - i n d u c e d a p p a r e n t s t r e s s e s (Sobey a n d T h i e k e ( 3 8 ) ) . The f i n a l t e r m i n E q u a t i o n 4.5, t h e w a v e - i n d u c e d a n a l o g u e o f t h e t u r b u l e n t s h e a r s t r e s s t e r m , i s c e r t a i n l y s i g n i f i c a n t i n t h e b o t t o m b o u n d a r y l a y e r b u t i t i s assumed n o t t o b e i n f l u e n t i a l i n t h e m i d d l e l a y e r . S t e a d y wave t h e o r y i n f a c t p r e d i c t s t h a t -plTW i s z e r o i n t h e m i d d l e l a y e r . T h e s e a s s u m p t i o n s r e d u c e E q u a t i o n 4.5 f o r t h e m i d d l e l a y e r t o a n e q u a t i o n o f t h e f o r m a f du\ 0 = F ( x ) +
—
V — ( 4 . 6 ) dz\ dz J w h e r e t h e r e i s z v a r i a t i o n o n l y i n t h e t u r b u l e n t s h e a r s t r e s s t e r m . F o r f i x e d x , t h i s i s a s e c o n d o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i n w h i c h may b e s o l v e d b y c l a s s i c a l a n a l y t i c a l o r n u m e r i c a l means, d e p e n d i n g o n t h e z v a r i a t i o n o f t h e e d d y v i s c o s i t y a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . M a t h e m a t i c a l s o l u t i o n s o f t h e r e d u c e d e q u a t i o n s f o r t h e m i d d l e l a y e r ( S v e n d s e n ( 2 9 ) , D a l l y a n d Dean ( 3 0 ) , S t i v e a n d W i n d ( 3 1 ) ) f o l l o w d i r e c t l y f r o m s p e c i f i c a t i o n o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d t h e s o l u t i o n i s s e e n t o be c r u c i a l l y d e p e n d e n t o n t h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e r e i s a s t r o n g e m p i r i c a l e l e m e n t i n 15p r e s e n t l y a v a i l a b l e e s t i m a t e s o f t h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d t h e v a l u e o f p o s s i b l e s o l u t i o n s f o r t h e m i d d l e l a y e r m u s t b e s i m i l a r l y j u d g e d . I t i s a p p r o p r i a t e a t t h i s s t a g e t o r e f l e c t o n t h e m a t h e m a t i c a l c h a r a c t e r o f t h e p r o b l e m as p r e s e n t l y p o s e d . I t i s assumed t h a t t h e l o c a l wave f i e l d i s g i v e n , s o t h a t t h e w a v e - i n d u c e d a p p a r e n t s t r e s s e s a n d t h e t r o u g h e l e v a t i o n a r e known. I t i s f u r t h e r assumed t h a t t h e b o t t o m b o u n d a r y l a y e r i s t h i n a n d t h a t t h e l o w e r i n t e r f a c i a l e l e v a t i o n c a n b e t a k e n as t h e b e d e l e v a t i o n . G i v e n a n a p p r o p r i a L e t u r b u l e n c e c l o s u r e m o d e l t o d e f i n e t h e e d d y v i s c o s i t y , t h e r e r e m a i n t h r e e u n k n o w n s , n a m e l y t h e h o r i z o n t a l v e l o c i t y ü{z:x), t h e v e r t i c a l v e l o c i t y w(z:x) a n d t h e l o c a l MWL ?7(x). T h e r e a r e t w o e q u a t i o n s . E q u a t i o n s 4.1 a n d 4.5 ( o r 4 . 6 ) , o f w h i c h t h e momentum e q u a t i o n i s s e c o n d o r d e r so t h a t t h r e e b o u n d a r y c o n d i t i o n s m u s t b e s p e c i f i e d t o u n i q u e l y d e f i n e t h e s o l u t i o n . A common i m p l i c i t a s s u m p t i o n ( S v e n d s e n ( 2 9 ) , D a l l y a n d Dean ( 3 0 ) , S t i v e a n d W i n d ( 3 1 ) , S v e n d s e n e t a l ( 3 3 ) ) h a s b e e n t h e c o n s i d e r a t i o n o f t h e s e t u p g r a d i e n t a s a g i v e n q u a n t i t y , p r i o r t o t h e s o l u t i o n o f t h e momentum e q u a t i o n . I n f a c t t h e s e t u p g r a d i e n t m u s t b e d e t e r m i n e d f r o m t h e d e p t h - a v e r a g e d momentum e q u a t i o n ( L o n g u e t H i g g i n s a n d S t e w a r t ( 3 9 ) ) o r f r o m s i m u l t a n e -ous s o l u t i o n o f c o u p l e d m i d d l e a n d u p p e r l a y e r s . T h e t h r e e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s , o f w h i c h t w o a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e momentum e q u a t i o n , m u s t b e d r a w n f r o m mass a n d momentum t r a n s f e r a c r o s s t h e l o w e r a n d u p p e r i n t e r f a c e s . I n t e r f a c i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t e n j i s o f t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t a c r o s s t h e i n t e r f a c e g„ t o g e t h e r w i t h t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t a l o n g t h e i n t e r f a c e q, a n d t h e s h e a r s t r e s s a l o n g t h e i n t e r f a c e t, a r e a p p r o p r i a t e . The b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e t r o u g h i n t e r f a c e a r e c l e a r l y c r u c i a l t o t h e a n a l y s i s as t h e y r e p r e s e n t t h e i n f l u e n c e o f t h e t r o u g h - c r e s t r e g i o n t h a t i s p r e d o m i n a n t l y r e s p o n s i b l e f o r d r i v i n g t h e v e r t i c a l c i r c u l a t i o n . T h e r e i s a s t r o n g v e l o c i t y s h e a r a c r o s s t h i s t r o u g h l e v e l s o t h a t
c o n d i t i o n s i n t e r m s o f i n t e r f a c i a l s h e a r s t r e s s a n d n o r m a l v e l o c i t y w o u l d seem m o s t a p p r o p r i a t e . T h e s e i n t e r f a c i a l c o n d i t i o n s p r o v i d e t h e c o u p l i n g w i t h t h e u p p e r l a y e r ; t h e y a p p e a r a s b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e l o c a l c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s a n d a s e x p l i c i t t e r m s i n t h e i n t e g r a l c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s f o r t h e b o t h l a y e r s . The i n t e g r a l mass c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n f o r t h e u p p e r l a y e r i s — f pEdz-pq^-O ( 4 - 7 ) dxJ The i n t e g r a l mass f l u x i n t h e u p p e r l a y e r f o r n o n - b r e a k i n g waves i s o f o r d e r E"/C b u t t h i s f l u x i s e n h a n c e d i n b r e a k i n g waves c o n d i t i o n s ( S v e n d s e n ( 4 0 ) ) b y t h e " s u r f a c e r o l l e r " , a v o l u m e o f w a t e r c a r r i e d f o r w a r d b y t h e b r e a k i n g wave a t t h e p h a s e s p e e d . T h i s l e a d s t o a n e s t i m a t e o f t h e mass f l u x a c r o s s t h e t r o u g h i n t e r f a c e o f t h e f o r m s v e n d s e n g i v e s a n e m p i r i c a l e s t i m a t e o f zi., t h e f r a c t i o n a l i n c r e a s e i n t h e t o t a l mass f l u x i n t h e t r o u g h - c r e s t r e g i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e s u r f a c e r o l l e r . S i m i l a r l a y e r i n t e g r a t i o n o f t h e x-momentum e q u a t i o n ( P h i l l i p s ( 1 5 ) ) l e a d s t o a n e s t i m a t e o f t h e i n t e r f a c i a l s h e a r s t r e s s o f t h e f o r m c w h e r e D i s a g a i n t h e t o t a l e n e r g y d i s s i p a t i o n r a t e i n t h e b r e a k i n g wave a n d t h e /J. f r a c t i o n a l i n c r e a s e o r d e c r e a s e r e p r e s e n t s t h a t p a r t o f t h e b r e a k i n g wave d i s s i p a t i o n t h a t i s l o c a t e d b e l o w t h e t r o u g h , t o g e t h e r w i t h a n y c o n t r i b u t i o n t h a t m i g h t b e a s s o c i a t e d w i t h t h e e n h a n c e d mass f l u x i n t h e 17
t r o u g h - c r e s t r e g i o n ( S t i v e a n d W i n d ( 3 1 ) ) a n d w i t h v i s c o u s a t t e n u a t i o n ( C r a i k ( 3 5 ) ) . F o r i r r o t a t i o n a l , n o n - b r e a k i n g w a v e s , b o t h q„ a n d t , a t t h e t r o u g h i n t e r f a c e a r e z e r o . S h e a r i s n o t s t r o n g b y d e f i n i t i o n a t t h e t o p o f t h e b o t t o m b o u n d a r y l a y e r a n d a q, c o n d i t i o n i s a p p r o p r i a t e t h e r e . I n t h e c l a s s i c a l b o u n d a r y l a y e r m a n n e r , an o u t e r i r r o t a t i o n a l f l o w i n t h e m i d d l e l a y e r w o u l d b e d e c o u p l e d f r o m t h e b o u n d a r y l a y e r f l o w a n d t h e r o t a t i o n a l f l o w i n t h e b o t t o m b o u n d a r y l a y e r w o u l d i n t u r n b e d r i v e n b y t h e o u t e r f l o w . T h i s i s n o t e n t i r e l y t h e c a s e i n t h e p r e s e n t s i t u a t i o n a s t h e o u t e r f l o w i s r o t a t i o n a l a n d i s n o t d e c o u p l e d f r o m t h e b o u n d a r y l a y e r f l o w . C l a s s i c a l b o u n d a r y l a y e r s o l u t i o n s h a v e n o n e t h e l e s s b e e n a p o p u l a r b a s i s f o r d e f i n i t i o n o f t h e b o t t o m b o u n d a r y c o n d i t i o n , i n p a r t i c u l a r t h e s o l u t i o n f o r t h e o s c i l l a t o r y l a m i n a r b o u n d a r y l a y e r o n a r i g i d h o r i z o n t a l b e d u n d e r p r o g r e s s i v e A i r y waves ( L o n g u e t - H i g g i n s (34) , H u n t a n d J o h n s ( 4 1 ) ) . T h i s s o l u t i o n p r e d i c t s t h a t t h e t h i c k n e s s o f t h e b o t t o m b o u n d a r y l a y e r i s i n d e e d n a r r o w . A t s e c o n d o r d e r i n t h e S t o k e s e x p a n s i o n , i t a l s o p r e d i c t s t h e e x i s t e n c e o f a f i n i t e mean f l o w v e l o c i t y a t t h e edge o f t h e b o u n d a r y l a y e r , w h i c h i s g i v e n b y ü ( z ^ - ^ ) = ^ ^ - ^ ^ ^ ( 4 . 1 0 ) ^ ' 4fc ( s i n h ' f c ^ ) T h i s i s t e r m e d t h e E u l e r i a n s t r e a m i n g o r i n d u c e d s t r e a m i n g v e l o c i t y . T h i s mean f l o w v e l o c i t y i s d i r e c t e d i n t h e d i r e c t i o n o f wave p r o p a g a t i o n ; i t i s c o n v e n i e n t l y i n d e p e n d e n t o f v i s c o s i t y a n d p r o v i d e s a n e q u a l l y c o n v e n i e n t b o t t o m b o u n d a r y c o n d i t i o n f o r . t h e f l o w i n t h e m i d d l e l a y e r . The c o n v e n i e n c e o f t h i s E u l e r i a n s t r e a m i n g a s a b o t t o m b o u n d a r y c o n d i t i o n h a s p e r h a p s b e e n a n i n d u c e m e n t t o o v e r l o o k t h e r e a l i t y o f t h e f l o w i n t h e b o t t o m b o u n d a r y l a y e r u n d e r p r o g r e s s i v e w a v e s a p p r o a c h i n g a b e a c h . F o r a t u r b u l e n t b o u n d a r y l a y e r u n d e r s e c o n d o r d e r S t o k e s w a v e s a n d S t o k e s f i r s t d e f i n i t i o n o f p h a s e s p e e d , t h e E u l e r i a n s t r e a m i n g i s
g e n e r a l l y s m a l l e r i n m a g n i t u d e t h a n t h e a b o v e e s t i m a t e a n d f o l l o w s t h e d i r e c t i o n o f wave p r o p a g a t i o n o n l y i n d e e p w a t e r ; i t p a s s e s t h r o u g h z e r o a n d r e v e r s e s i n d i r e c t i o n i n s h a l l o w e r w a t e r ( T r o w b r i d g e e t a l ( 4 2 ) ) . When t h e a d d i t i o n a l c o m p l e x -i t -i e s o f a m o b -i l e s l o p -i n g b e d a n d a r e t u r n c u r r e n t a r e a l s o i n t r o d u c e d , i t i s e v i d e n t t h a t b o t h t h e m a g n i t u d e a n d t h e d i r e c t i o n o f t h e E u l e r i a n s t r e a m i n g v e l o c i t y i s f a r f r o m b e i n g r e s o l v e d , a n d t h a t i t s u s e a s a l o w e r b o u n d a r y c o n d i t i o n o n ü i n t h e m i d d l e l a y e r i s n o t j u s t i f i e d . C o u p l e d l a y e r m o d e l s ( e . g . S v e n d s e n e t a l ( 3 3 ) ) p r o v i d e a more r a t i o n a l b a s i s f o r d e f i n i t i o n o f t h e i n t e r f a c i a l v e l o c i t y . As a c l o s i n g comment, i t i s n o t e d t h a t t h e f l o w i n t h e m i d d l e l a y e r h a s r e c e i v e d f a r more a t t e n t i o n i n t h e l i t e r a t u r e t h a n t h e f l o w s i n t h e u p p e r a n d l o w e r l a y e r s . T h i s i s p e r h a p s c o u n t e r p r o d u c t i v e i n v i e w o f t h e f a c t t h a t m a j o r p h y s i c a l i n t e r e s t i n t h e v e r t i c a l c i r c u l a t i o n s h o u l d c e n t e r o n t h e s u r f a c e l a y e r ( w i t h r e g a r d t o mass t r a n s p o r t a n d wave b r e a k i n g ) a n d o n t h e b o t t o m l a y e r ( w i t h r e g a r d t o s e d i m e n t t r a n s p o r t a n d b o u n d a r y s h e a r ) . 5. HORIZONTAL CIRCULATION D i s c u s s i o n s o f h o r i z o n t a l c i r c u l a t i o n p a t t e r n s i n t h e c l a s s i c a l c o n t e x t o f t h e l o n g wave e q u a t i o n s ( a s t r o n o m i c a l t i d e s , s t o r m t i d e s , f r e s h w a t e r f l o o d w a v e s ) f o c u s e x t e n s i v e l y on d e p t h - a v e r a g e d f l o w v e l o c i t i e s a n d t h i s a p p r o a c h i s a g a i n u s e f u l f o r w a v e - i n d u c e d h q r i z o n t a l m o t i o n s i n t h e n e a r s h o r e z o n e . ( N o t e h o w e v e r t h a t t h e r e was l i t t l e v a l u e i n a d e p t h - a v e r a g e d a n a l y s i s o f t h e v e r t i c a l c i r c u l a t i o n w h e r e t h e d e p t h - a v e r a g e d f l o w i s z e r o . ) The d r i v i n g f o r c e f o r d e p t h - a v e r a g e d m o t i o n s i n t h e n e a r s h o r e z o n e i s p r o v i d e d b y s p a t i a l g r a d i e n t s i n t h e t i m e - a n d d e p t h - a v e r a g e d e x c e s s momentum f l u x a s s o c i a t e d w i t h t h e f l u c t u a t i n g m o t i o n ( w a v e s + t u r b u l e n c e ) . C r o s s - s h o r e g r a d i e n t s a r e l a r g e l y b a l a n c e d b y p r e s s u r e f o r c e s w h i c h r e s u l t i n s e t u p ( o r s e t down) o f t h e 19
MWL a n d no c u r r e n t . Such i s n o t t h e c a s e i n t h e l o n g s h o r e d i r e c t i o n w h e r e a n y e x c e s s momentum f l u x w i l l p o t e n t i a l l y d r i v e a c u r r e n t . C o n s e r v a t i o n E q u a t i o n s . The t i m e a n d d e p t h a v e r a g e d s t a t i o n -a r y c i r c u l -a t i o n i s d e s c r i b e d b y t h e t i m e -a n d d e p t h -a v e r -a g e d c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s ( P h i l l i p s ( 1 5 ) ) f o r mass ^ {c/a(h + n)) = 0 ( 5 . 1 ) dx f o r momentum -^il^.U,] = - g ^ ( 5 . 2 ) a n d f o r f l u c t u a t i n g e n e r g y ^ ( ^ / „ F + F j + 5 „ , ^ = - 6 + f/„r,„ ( 5 . 3 ) eps w h e r e t h e s^p a r e t h e e x c e s s momentum f l u x e s o r r a d i a t i o n s c r e s s e s a s s o c i a t e d w i t h t h e f l u c t u a t i n g m o t i o n , t h e a r e t h e v e c t o r c o m p o n e n t s o f t h e f l u c t u a t i n g e n e r g y f l u x a n d e i s t h e r a t e o f e n e r g y d i s s i p a t i o n p e r u n i t a r e a b y m o l e c u l a r v i s c o s i t y . The r e l a t i v e s i m p l i c i t y o f t h e s e c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s a n d t h e s i m i l a r i t y t o t h e l o n g , wave e q u a t i o n s i s a c h i e v e d t h r o u g h t h e d e f i n i t i o n o f t h e d e p t h - a v e r a g e d v e l o c i t y u^ i n t e r m s o f t h e t o t a l mass f l u x ' , ' s u c h t h a t
p(^h + T])Ua = P j Uadz^ j u^dz ( 5 . 4 )
-h -h
w h e r e r?(0 i s t h e i n s t a n t a n e o u s w a t e r l e v e l a n d rjc i s t h e c r e s t l e v e l . C u r r e n t , a s d i s t i n c t f r o m t h e d e p t h - a v e r a g e d v e l o c i t y Ua, i s i d e n t i f i e d w i t h t h e t i m e - a v e r a g e d f l o w v e l o c i t y ü„ b e l o w t h e t r o u g h l e v e l . B e t w e e n t h e t r o u g h a n d t h e c r e s t l e v e l
t h e c u r r e n t i n t e r a c t s w i t h t h e mass f l u x a s s o c i a t e d w i t h t h e wave i n a c o n t i n u o u s manner t o d e f i n e a mean f l o w ü„(2) p r o f i l e t h a t p e a k s n e a r t h e MWL. T h e r e may a c c o r d i n g l y be p o t e n t i a l v a l u e i n a t w o l a y e r a p p r o a c h w i t h a n i n t e r f a c e a t t h e t r o u g h l e v e l a n d l a y e r a v e r a g e d r a t h e r t h a n d e p t h a v e r a g e d c o n s e r v a -t i o n e q u a -t i o n s ( T h i e k e a n d Sobey ( 4 3 ) ) . The f o l l o w i n g d i s c u s s i o n w i l l n o n e t h e l e s s f o c u s o n t h e d e p t h - a v e r a g e d e q u a t i o n s , a l t h o u g h t h e g e n e r a l p r i n c i p l e s a r e e q u a l l y a p p l i c a b l e t o l a y e r - a v e r a g e d e q u a t i o n s . F o r t h e p u r p o s e s o f a d e t a i l e d c o n s i d e r a t i o n o f t h e c o m p l e t e c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s , i t i s n e c e s s a r y t o i d e n t i f y t h e s e p a r a t e t u r b u l e n t ( s i n g l e p r i m e s u p e r s c r i p t ) a n d wave ( d o u b l e p r i m e s u p e r s c r i p t ) c o m p o n e n t s o f a l l t e r m s a s s o c i a t e d w i t h t h e f l u c t u a t i n g m o t i o n . The mass c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n ( E q u a t i o n 5.1) r e m a i n s u n c h a n g e d , t h e momentum e q u a t i o n s become 1 ds' 1 ds" ( 5 . 5 ) a x p ' p{h + T])dxp p(h + rj)dxp p(h + r]) and t h e f l u c t u a t i n g e n e r g y e q u a t i o n becomes ~[U,E.U,E . f . . f J . 5 . , _ 1 . 5 . , ^ = - . . t / . T , . ( 5 . 6 ) I t i s c o n v e n i e n t f u r t h e r t o s e p a r a t e t h e wave a n d t u r b u l e n t c o m p o n e n t s o f t h e f l u c t u a t i n g e n e r g y e q u a t i o n , w h i c h r e q u i r e s t h e i n t r o d u c t i o n o f a w a v e - t u r b u l e n t i n t e r a c t i o n t e r m D r e p r e s e n t i n g d i s s i p a t i o n o f 'wave e n e r g y t o t u r b u l e n c e i n t h e b r e a k i n g p r o c e s s a n d s i m u l t a n e o u s l y ' ( B a t t j e s ( 4 4 ) ) p r o d u c t i o n o f t u r b u l e n t e n e r g y f r o m t h e same b r e a k i n g p r o c e s s . The t u r b u l e n t e n e r g y e q u a t i o n becomes and t h e wave e n e r g y e q u a t i o n 2 1
J^iU.I^ *''^-S^,J^^--D ( 5 . 8 ) I t i s c l e a r f r o m t h e a b o v e c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s t h a t w a v e - c u r r e n t i n t e r a c t i o n s , t u r b u l e n c e - c u r r e n t i n t e r a c t i o n s a n d w a v e - t u r b u l e n c e i n t e r a c t i o n s a l l h a v e p o t e n t i a l r e l e v a n c e t o t h e p r e d i c t i o n o f t h e h o r i z o n t a l c i r c u l a t i o n . As a c o n s e -q u e n c e o f t h e s e i n t e r a c t i o n s , t h e wave a n d c u r r e n t f i e l d s m u s t i n p r i n c i p l e be c o m p u t e d s i m u l t a n e o u s l y . F o r c l a r i t y o f p r e s e n t a t i o n , t h e e q u a t i o n s f o r t h e wave f i e l d i n c l u d i n g t h e i n f l u e n c e o f a c u r r e n t h a v e b e e n d e a l t w i t h s e p a r a t e l y i n s e c t i o n 3 o f t h i s c h a p t e r . (The wave a c t i o n E q u a t i o n 3.6 i s i n f a c t e q u i v a l e n t t o t h e wave e n e r g y E q u a t i o n 5.8 i f t h e k i n e m a t i c wave e q u a t i o n s a r e a l s o t a k e n i n t o a c c o u n t . ) L o n g s h o r e C u r r e n t s . The b r o a d f e a t u r e s o f t h e l o n g s h o r e c u r r e n t a r e p a r t i c u l a r l y s i m p l e i n t h e c a s e o f l o n g s h o r e u n i f o r m i t y (Bowen ( 4 5 ) , L o n g u e t - H i g g i n s ( 4 6 ) ) . The l o n g s h o r e (X2 o r y ) momentum b a l a n c e r e d u c e s t o 0 = - - ^ - ^ - r ( 5 . 9 ) dx dx ^ ^ The o n s h o r e g r a d i e n t o f t h e e x c e s s o n s h o r e f l u x o f l o n g s h o r e momentum i s s i g n i f i c a n t o n l y w i t h i n t h e s u r f z o n e . T h i s f o r c i n g i s b a l a n c e d b y t h e l o n g s h o r e c o m p o n e n t o f t h e b e d s h e a r . S i m p l e m o d e l s o f t h e f o r c i n g i n t e r m s o f b r e a k i n g wave d i s s i p a t i o n a n d o f t h e b e d s h e a r i n t e r m s o f t h e l o n g s h o r e v e l o c i t y l e a d t o p r e d i c t i v e , e q u a t i o n s f o r U2 ( x i ) o r V ( x ) t h a t i n c r e a s e f r o m z e r o a t t h e b e a c h t o a maximum v a l u e somewhere s h o r e w a r d o f t h e b r e a k e r l i n e , d e c r e a s i n g b a c k t o z e r o f u r t h e r s e a w a r d . T w o - D i m e n s i o n a l C i r c u l a t i o n . W h i l e t h e l o n g u n i f o r m b e a c h s c h e m a t i z a t i o n i s a u s e f u l a r t i f i c e t o i n t r o d u c e t h e b r o a d f e a t u r e s o f t h e l o n g s h o r e c u r r e n t , t h e g e n e r a l h o r i z o n t a l c i r c u l a t i o n r e q u i r e s c o n s i d e r a t i o n o f t h e c o m p l e t e c o n s e r v a -t i o n e q u a -t i o n s . A l l s p a -t i a l g r a d i e n -t s o f -t h e w a v e - i n d u c e d
e x c e s s momentum f l u x t e n s o r p o t e n t i a l l y c o n t r i b u t e t o f o r c i n g . H e a d l a n d s a n d c o a s t a l s t r u c t u r e s s u c h a s g r o y n e s a n d j e t t i e s a d d i t i o n a l l y i m p o s e n o - f l o w c o n s t r a i n t s a n d l o c a l l y t a n g e n t i a l f l o w a l o n g t h e s t r u c t u r e , i n e i t h e r t h e o n - o r o f f s h o r e d i r e c t i o n . I n t h i s g e n e r a l s i t u a t i o n , t h e r e q u i r e ¬ m e n t s o f mass c o n s e r v a t i o n w i l l l e a d t o n e a r s h o r e c e l l s o f h o r i z o n t a l c i r c u l a t i o n . V o r t e x s t r e t c h i n g b y i n c r e a s i n g d e p t h ( A r t h u r ( 8 ) ) g e n e r a l l y l e a d s t o a n a r r o w i n g a n d i n t e n s i f i c a -t i o n o f -t h e o f f s h o r e f l o w a n d -t h e r e v e r s e p a -t -t e r n f o r -t h e o n s h o r e f l o w . C i r c u l a t i o n c e l l s a r e a l s o a common f e a t u r e o f t h e n e a r s h o r e f l o w p a t t e r n o n a p p a r e n t l y l o n g s t r a i g h t b e a c h e s u n d e r n o r m a l o r n e a r - n o r m a l w r v e i n c i d e n c e (Sonu ( 4 7 ) ) . The b r o a d f e a t u r e s o f r i p c u r r e n t f o r m a t i o n a n d t h e a s s o c i a t e d c o u n t e r - r o t a t i n g g y r e s was i n i t i a l l y d e m o n s t r a t e d b y Bowen (48) . F o r a n o r m a l l y - i n c i d e n t wave f i e l d w i t h a s m a l l s p a t i a l l y - p e r i o d i c l o n g s h o r e v a r i a t i o n i n wave h e i g h t , l o n g s h o r e c u r r e n t s w e r e g e n e r a t e d w i t h i n t h e s u r f z o n e f r o m e a c h l o n g s h o r e maximum t o e a c h l o n g s h o r e minimum i n t h e wave h e i g h t . An o f f s h o r e ( r i p ) c u r r e n t was l o c a t e d a t e a c h wave h e i g h t m i n i m u m a n d e a c h g y r e was c o m p l e t e d b y a weak c o u n t e r - c u r r e n t o u t s i d e t h e s u r f z o n e a n d a b r o a d r e t u r n f l o w a t e a c h wave h e i g h t maximum. J u s t w h a t i n i t i a t e s t h e l o n g s h o r e s p a t i a l p e r i o d i c i t y i s u n c e r t a i n . P e r h a p s t h e r e i s some f u n d a m e n t a l i n s t a b i l i t y i n t h e n e a r s h o r e h y d r o d y n a m i c s o r e v e n m o r p h o d y n a m i c s ( B a t t j e s (49)') . Wave F o r c i n g . W h i l e a l l g r a d i e n t s o f s;, c o n t r i b u t e t o t h e f o r c i n g , i t f o l l o w s f r o m K e l v i n ' s ' c i r c u l a t i o n t h e o r e m t h a t o n l y t h e r o t a t i o n a l p a r t w i l l c o n t r i b u t e t o t h e ge. ^ . r a t i o n o f c u r r e n t s ( L o n g u e t - H i g g i n s ( 5 0 ) ) . The wave f i e l d b e y o n d t h e s u r f z o n e i s w e l l d e s c r i b e d b y i r r o t a t i o n a l f l o w t h e o r y w h e r e t h e c i r c u l a t i o n a n d h e n c e t h e c u r r e n t i s z e r o . D i s s i p a t i o n f r o m wave b r e a k i n g a n d b o t t o m f r i c t i o n w i l l l e a d t o v o r t i c i t y
g e n e r a t i o n , f i n i t e c i r c u l a t i o n a n d t o t h e g e n e r a t i o n o f c u r r e n t s . A u s e f u l d i s t i n c t i o n c a n a c c o r d i n g l y b e made b e t w e e n t h e r o t a t i o n a l a n d i r r o t a t i o n a l p a r t s o f t h e f o r c i n g : a x , ' - " a x j ' - ' ^^-'^^ The i r r o t a t i o n a l p a r t w i l l n o t d r i v e c u r r e n t s a n d m u s t b e b a l a n c e d b y t h e s e t - u p t e r m ( p r e s s u r e g r a d i e n t s ) i n t h e momentum e q u a t i o n , s u c h t h a t dn 1 a S /fl The r e s i d u a l momentum e q u a t i o n i s t h e n J^[U u 1 = ^ _ '^^"^ ^ _ ' ^ • ^ " ' ^ i - J h ^ C5 12) a x / " ^> pih + T])dx^ plih + T]) dx/"" Pih + T])
The s e t u p f i e l d w o u l d b e p r e d i c t e d f r o m t h e E q u a t i o n 5.11 a n d t h e h o r i z o n t a l c i r c u l a t i o n f r o m E q u a t i o n 5.12. The h y d r o s t a t -i c b a l a n c e -i n v o l v -i n g 4:he s e t u p t e r m -i s a s -i g n -i f -i c a n t p a r t o f t h e c o m p l e t e momentum b a l a n c e a n d i t s d e c o u p l i n g f r o m t h e o v e r a l l momentum b a l a n c e h a s c o n s i d e r a b l e n u m e r i c a l a d v a n t a g e f o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e c u r r e n t f i e l d . U n d e r a s s u m p t i o n s o f n o c u r r e n t , no d i f f r a c t i o n a n d A i r y wave t h e o r y ( L o n g u e t - H i g g i n s ( 5 0 ) , Dingemans e t a l ( 5 1 ) ) , t h e i r r o t a t i o n a l and r o t a t i o n a l p a r t s o f t h e f o r c i n g a r e r e s p e c t i v e l y Dingemans e t a l ( 5 1 ) show f u r t h e r t h a t d i f f r a c t i o n e f f e c t s h a v e l i t t l e i n f l u e n c e o n t h e v a l i d i t y o f E q u a t i o n s 5.13 a n d 5.14 b u t t h a t a m b i e n t c u r r e n t s may b e i n f l u e n t i a l . I n a
n o n l i n e a r a p p r o x i m a t i o n , a s i m i l a r s e p a r a t i o n i s p o s s i b l e i n p r i n c i p l e b u t t h e a p p r o p r i a t e q u a n t i t a t i v e e x p r e s s i o n s h a v e y e t t o b e d e t e r m i n e d . S i m u l t a n e o u s c o m p u t a t i o n o f b o t h t h e s e t u p a n d c u r r e n t f i e l d o f c o u r s e r e m a i n s a p o s s i b i l i t y b u t i t r e q u i r e s some c a r e i n d i s c r e t e n u m e r i c a l m o d e l s . The r a d i a t i o n s t r e s s e s s% S^^^ and h e n c e a^f^/ax^ may b e d e t e r m i n e d f r o m t h e c o m p u t e d wave \^*^ /^X^ f i e l d . The d i s c r e t e n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n may r e s u l t i n s p u r i o u s d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e f o r c i n g a n d h e n c e i n t h e c o m p u t e d r e s p o n s e . I n i t s p r e s e n t f o r m . E q u a t i o n 5.14 a v o i d s t h e n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n a n d p r o v i d e s a d i r e c t e s t i m a t e o f t h e r o t a t i o n a l p a r t o f t h e w a v e - i n d u c e d f o r c i n g . T u r b u l e n c e M o d e l i n g . The i n e v i t a b l e " R e y n o l d s s t r e s s c l o s u r e " p r o b l e m h e r e r e l a t e s s p e c i f i c a l l y t o t h e t u r b u l e n t momentum t r a n s p o r t t e r m s i n t h e momentum a n d f l u c t u a t i n g e n e r g y S r e q u a t i o n s a n d t o t h e b e d s h e a r s t r e s s r^a i n t h e momentum e q u a t i o n s . The r e l a t i v e s u c c e s s o f t u r b u l e n c e m o d e l i n g f o r t u r b u l e n t s h e a r f l o w s may e v e n t u a l l y t r a n s l a t e t o t h e n e a r s h o r e c i r c u l a t i o n ' a n d some p r o g r e s s h a s a l r e a d y b e e n made. M o d e l i n g f 5,, i n t h e momentum e q u a t i o n a n d i n l . i r t u r b u l e n t e n e r g y e q u a t i o n h a s g e n e r a l l y a d o p t e d t h e d e p t h - a v e r a g e d e d d y v i s c o s i t y a p p r o a c h ( R o d i ( 3 6 ) ) w h e r e _ (dJJ a dUA 1 / 1 , 1 , >?a/^ = PV,(h + /7) -T—^^ - o ^ ö „ , ( 5 . 1 5 ) U . A e l k t o g e t h e r w i t h z e r o , one o r ..two e q u a t i o n t u r b u l e n c e m o d e l s f o r t h e e d d y v i s c o s i t y v,. N o t e t h a t e d d y v i s c o s i t y h e r e r e l a t e s t o t h e h o r i z o n t a l t r a n s f e r o f h o r i z o n t a l momentum r a t h e r t h a n t h e v e r t i c a l t r a n s f e r o f h o r i z o n t a l momentum a s i t d o e s i n t h e s e c t i o n o n v e r t i c a l c i r c u l a t i o n . I n z e r o e q u a t i o n m o d e l s , v, i s r e l a t e d t o c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y a n d l e n g t h s c a l e s o f t h e t u r b u l e n c e . T u r b u l e n c e g e n e r a t e d i n t h e b o t t o m b o u n d a r y l a y e r i s r e p r e s e n t e d b y t h e •ita t e r m . H e r e we f o c u s o n t u r b u l e n c e g e n e r a t e d i n wave 25
