MMF – ćwiczenia nr 1
-
Równania różnicowe
1. Rozwiązać równania różnicowe pierwszego rzędu: (a) yn+1 – yn = 1 , y1 = 1
(b) yn+1 – nyn = n! , y1 = 1 Wsk. Podzielić równanie przez n! i podstawić zn = yn/(n−1)!
2. Rozwiązać równania różnicowe drugiego rzędu: (a) xn+2−5xn+1+6xn =0, x0 =1, x1=2 (b) Fn+2 =Fn+1+Fn, F0 =0, F1=1 (ciąg Fibonacciego). (c) 2 1 1 + − = n n n y y y , y0 =4, y1=1
Wsk. Zlogarytmować równanie i potem podstawić z=lny.
3. Rozwiązać równanie: y n y n+n = 2 )
( , y(1) = 3. Wsk.Podstawić n = 2k, po czym rozwiązać równanie na yk.
4. Obliczyć wyznacznik Dnzdefiniowany jako: |4 1 0 . . . . | |1 4 1 0 . . . . | |0 1 4 1 0 . . . | |0 0 1 4 1 0 . . | | . . . | | 1 4 | nxn
MMF – ćwiczenia nr 2
Funkcje zespolone
1. Znaleźć graficznie liczby: z3, 3 z,lnz dla (a) z=(−4,0) oraz (b) z=(1, 3) .
2. Rozwiązać równania na x: eix=1, eix =−1, eix =i .
3. Wyrazić przez „zwykłe” funkcje trygonometryczne/hiperboliczne następujące wyrażenia: sin(ix), cos(ix), tg(ix), sh(ix), ch(ix), th(ix).
4. Oszacować wartość wyrażenia W = | sin(i+π/4) |.
5. Znaleźć obraz odcinka L przy odwzorowaniu F(z) , jeśli:
(a) F(z) = ez , L – odcinek AB o końcach A=(1,0), B = (1, π) lub L – prosta o równaniu y = π/2 .
(b) F(z) = eiz , L – odcinek AB o końcach A=(π,0), B = (π, 1). (c) F(z) = iz , L – oś Oy .
6. Stosując metodę funkcji zespolonych rozwiązać równanie: x′′′+2γx′+βx=Fcosωt .
Wsk. Dokonać zamiany: x na z=x+iy oraz cos
ω
t na eiωt.7. Obliczyć całki: I1 =
∫
+ π ϕ ϕ 2 02 sin d , I2 =∫
∞ ∞ − + 4 cos 2 x dx x , I3 =∫
e x i dx ∞ ∞ − + −( )2 .MMF – ćwiczenia nr 3 Funkcje Eulera
Wyrazić przez funkcje Eulera, a następnie uprościć, całki:
1.
∫
∞ ∞ − − dx e xn x2 , 2.∫
∞ − 0 2 dx e xn x , 3.∫
− 1 0 2 / 3 ) ln ( t dt , 4.∫
2 / 0 3 / 1 ) (tan π dt t , 5. t 1/3dt 1 0 ) 1 (∫
− , 6.∫
− − + − 1 1 2 / 1 3 / 1 ) 1 ( ) 1 ( t t dt7. Wyprowadzić zwarty wzór na „silnię” Γ(-n + ½). 8. Obliczyć x, dla którego wyrażenie ln
x N osiąga maksimum.
MMF – ćwiczenia nr 4
Transformacja Laplace’a
1. Obliczyć transformaty Laplace’a funkcji: f(t)=tsinωt, g(t)=sinhωt h(t)=coshωt
2. Znaleźć funkcję f(t), dla której transformata Laplace’a wynosi;
s s s s f 2 1 ) ( ~ 2+ + = , 2 2 3 ) 1 ( 2 ) ( ~ + + = s s s s f , 13 4 ) ( ~ 2 + + = s s s s f .
3. Metodą transformat Laplace’a rozwiązać równania: (a) f ′′+ f′=t2+2t, f(0)=4, f′(0)=−2 , (b) f ′′− f′−6f =2, f(0)=1, f′(0)=0 , (c) f ′′+ f =t f(0)=1, f′(0)=2 . 4. Podobną metodą rozwiązać układ równań:
4 2 3 2 = − ′ = + ′ f g t g f f(0)=2, g(0)=3 .
5. Określić przebieg natężenia prądu elektrycznego I(t) w obwodzie RC , podłączonym do stałego napięcia U0. Przyjąć, że początkowo kondensator nie był naładowany: Q(0) = 0.
6. Określić przebieg natężenia prądu elektrycznego I(t) w obwodzie RL , podłączonym do zmiennego napięcia U (t) = U0 sin
ω
t. Przyjąć, że I(0) = 0.MMF – ćwiczenia nr 5 – 6
Wielomiany ortogonalne
1. Zortogonalizować wielomiany: 1 ; x ; x2 dla x ∈〈−1,1〉.
2. Napisać równania różniczkowe dla wielomianów Laguerre’a i Czebyszewa. 3. Podać rozwiązanie równania: (1−x2)f ′′−2xf′+12f =0, f(0)=0, x ∈〈−1,1〉.
4. Korzystając ze wzoru Rodriguesa obliczyć współczynniki ani bnprzy pierwszych dwóch najwyższych potęgach wielomianów Legendre’a Pn i Laguerra Lmn (m = 0, 1, 2, . . .) . 5. Obliczyć wartość wielomianu m
n
L (m = 0, 1, 2, . . .) dla x = 0.
6. Obliczyć kwadraty norm wielomianów Laguerre’a i Czebyszewa: m 2 n
L oraz Pn 2 .
7. Napisać związki rekurencyjne dla wielomianów Laguerre’a i Czebyszewa. 8. Korzystając ze związków rekurencyjnych dla wielomianów obliczyć całki:
(a)
∫
e x2x2H1(x)H3(x)dx ∞ ∞ − − , (b) e xx L x L x dx ) ( ) ( 13 1 2 2 0∫
∞ − .9. Korzystając z odpowiednich funkcji tworzących obliczyć Pn(±1); Hn(0) ; (0) 0
n
L ; L1n(0).
10. Korzystając z równania rekurencyjnego dla wielomianów Czebyszewa sprawdzić wzór:
T x n x n n n cos( arccos ), 2 1 ) ( 1 − = > 1, T0(x) = 1.
11. Określić wszystkie miejsca zerowe wielomianu T5(x) , x ∈〈−1,1〉.
12. Sprawdzić rozwinięcie dla funkcji tworzącej dla wielomianów Czebyszewa:
∑
∞ = = + − − 0 2 2 ) ( 4 4 n n n x T w w wx w .Wsk. Pomnożyć całe równanie przez mianownik lewej strony, a następnie
przyrównywać współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej w po obu stronach otrzymanej równości. Porównac wyniki z równaniem rekurencyjnym dla tych wielomianów.
MMF – ćwiczenia nr 7
-
Funkcje sferyczne
1. Napisać jawne wzory na wszystkie funkcje sferyczne Ylm(
θ
,ϕ
) wywodzące się z wielomianu Legendre’a P2(t), gdzie t = cosθ
.2. Obliczyć normę Y2,1 .
3. Wyrazić wielomian Pl(t) przez funkcje sferyczne Ylm(t,
ϕ
). 4. Wyrazić funkcję f(x,y,z) = xy przez funkcje sferyczne Ylm(θ
,ϕ
). 5. Na sferze jednostkowej zaznaczyć punkty, gdzie Y2,1(θ
,ϕ
) = 0.6. Sprawdzić, że równanie Laplace’a jest spełnione również przez funkcję ( , , ) , ( , ) 1 θ ϕ ϕ θ lm l Y r r f = −− [niezależnie od funkcji ( ,θ,ϕ) l,m(θ,ϕ) lY r r f = ].
7. Wykazać, że funkcje sferyczne są funkcjami własnymi operatora trzeciej składowej L3momentu pędu, tzn. że L3Yl,m=mhYl,m (h - stała Plancka podzielona przez 2π), gdzie L3 =
ϕ ∂
∂ − hi .
8. Sprawdzić, że funkcja f(x,y,z) =
∫
+ +π 2 0 ) sin cos
(z ix u iy u leimu du speełnia równanie
Laplace’a. Na tej podstawie podać – z dokładnością do stałej - całkowe przedstawienie funkcji sferycznych.
MMF – ćwiczenia nr 8 – 9
-
Funkcje Bessela
1. Wykazać, że J−n(x)=(−1)nJn(x) (n – liczba naturalna).
2. Podać (nieosobliwe) rozwiązanie równania: x2f ′′+xf′+(4x2 −9)f =0.
3. Podać szereb Bessela dla równania: x2f ′′+xf′−(x2+v2)f =0 .
4. Wyrazić funkcje sin x oraz cos x przez funkcje Bessela (we wzorze na funkcję tworzącą podstawić w = i ). 5. Wykazać, że
∑
∞ −∞ = − = + k k k n n x y J x J y J ( ) ( ) ( ). (Wsk. Funkcje tworzące).6. Zapisać w postaci szeregu liczbowego całkę I =
∫
−π ϕ ϕ ϕ 2 0 ) 3 sin 2 cos( d .
7. Wykazać, że transformata Laplace’a funkcji Bessela J0(t) wynosi J~0(s)=1/ s2 +1, zaś
funkcji J0(2 t) wynosi s e s / 1 1
8. Wyrazić przez funkcje elementarne funkcję J−3/2(x).
9. Znaleźć dwa związki między funkcjami J0 oraz J1 . (Wsk. Wzory rekurencyjne dla funkcji Bessela). 10. Udowodnić, że v v Jv x v J J +1+ −1 = 2 .
11. To samo dla sferycznych funkcji Bessela: l l jl x l j j+1+ −1=2 +1 . 12. Rozwiązać równanie: 2 ( 1) 0 2 2 = + − + ′ + ′′ ′ R r l l k R r R R = R(r) .
Wsk. Dokonać zamiany zmiennych: r
→
y = kr, R→
S = yR , czyli R y Sk y
r= , = −1/2 .
MMF – ćwiczenia nr 10 - 11
-
Dystrybucje
1. Sporządzić wykresy funkcji: θ(−x), θ(x2−a2), θ(a2 −x2), θ(−x2+4x−3) , gdzie
θ
(x) – funkcja schodkowa Heaviside’a.2. Obliczyć sploty dwóch ciągów (an) i (bn) : a∗a oraz a∗b , gdzie an =δ1,n +δ2,n , bn = δ1,n+2δ2,n −δ3,n , n – liczba całkowita.
3. Obliczyć sploty funkcyjne f ∗g dla:
(a) f(x)=θ(1−x2), g(x)=θ(x) (b) f(x)=x2θ(1−x2), g(x)=xθ(x),
(c) f(x)=Gα(x), g(x)=Gβ(x), G – funkcja Gaussa równa 2/2 2 2 1 ) ( γ γ γ π x e x G = − .
Na podstawie otrzymanego wyniku napisać zwarty wzór na n – krotny splot:
α α
α G G
G ∗ ∗...∗ .
4. Obliczyć wartości główne całek: (a) I = P
∫
− 4 0 x 1 dx , (b) I = P∫
∞ ∞ − x2+1 dx x . Porównaj z całką:∫
− ∞ → + A A A x dx x 2 2 1 lim .5. Znaleźć granice ciągów przy n →
∞
: (a) Px nx cos (b) P x n x/ ) ( cos .
6. Znaleźć granice ciągów dystrybucyjnych: (a) | 1| ) ( = −n x− n x ne f , (b) | 1|| ) ( = −nx− n x ne f .
7. Napisać ciąg δ-podobny (δε ) startując z funkcji (-fF′(x)) , gdzie funkcja Fermiego 1 1 ) ( + = x F e x f .
8. Uprościć iloczyny: A =xδ(3−2x), B = xδ(x2−4), C = sin(πx)δ(x2−4)
9. Uprościć sploty: A =x∗δ(3−2x), B = x∗δ(x2−4), C = sin(πx)∗δ(x2 −4)
10. Naszkicować wykresy pierwszej i drugiej pochodnej dystrybucyjnej dla funkcji:
(a) ||
) (x e x
f = − , (b) f(x)=θ(π2−x2)sinx . 11. Obliczyć pochodną dystrybucyjną funkcji f (x) = ln( | x |) .
12. Uprościć wyrażenia: A = xδ′′(x) , B = x2δ′′(x) C =x3δ′′(x).
13. Rozwiązać równanie: ∆f(rr)±k2f(rr)=−δ(r)
(Wsk. Skorzystać ze wzoru na laplasjan funkcji r
o e
r r
MMF – ćwiczenia nr 12
-
Transformacja Fouriera
1. Obliczyć transformaty Fouriera dla funkcji: (a) | | ) (x e x f = − , (b) 1 1 ) ( 2 + = x x f , (c) 1 ) ( 2+ = x x x f , (d) 1 cos ) ( 2+ = x x x f .
2. Obliczyć dwuwymiarowe transformaty Fouriera dla funkcji:
(a) f(x,y)=θ(R−r), r= x2+y2 , (b) r e r y x f( , )=1 −α .
W zadaniu (b) przyjąć następującą definicję transformaty:
∫∫
− = 2 2 2 ( ) ) ( ˆ R r q i f r d r e q f r r r r o r π .3. Obliczyć trówymiarowe transformaty Fouriera dla funkcji:
(a) f(x,y,z)=θ(R−r), r= x2+ y2+z2 , (b) r e r z y x f( , , )=1 −α .
4. Obliczyć dystrybucyjne transformaty Fouriera dla funkcji:
(a) 1 ) ( 2 3 + = x x x f , (b) f(x)=cos2x , (c) f(x)=xsinx , (d) x P x f( )= 1 .
5. Znaleźć szczególne rozwiązania równania:
(a) f ′′(x)−4f(x)=δ(x) , (b) f ′′(x)+ f′(x)+ f(x)=δ(x) .
MMF – ćwiczenia nr 13
-
Szeregi Fouriera
1. Napisać wykładniczy i trygonometryczny szereg Fouriera dla funkcji okresowych:
(a) f( x)=sin3x ,
(b) f(x)=1 (dla x∈〈0, 1) ) oraz f(x) = 0 (dla x∈〈1, 2) ).
Okres periodyczności L = 2. (c) f(x) = x2 , dla x∈〈-1, 1), L = 2.
2. Rozwinąć w (wykładniczy i trygonometryczny) szereg Fouriera dystrybucje:
(a)