"Matematyka nie posiada symboli na mętne myśli." H. Poincare

"Matematyka nie posiada symboli na mętne myśli."

H. Poincare

Dana jest krzywa K na płaszczyźnie ² (z układem współrzędnych Oxy)

Def. Opisem parametrycznym krzywej K nazywamy funkcję k: *,] ² taką, że

∀𝑡 ∈ 𝛼, 𝛽 : 𝑘 𝑡 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ) ∈ 𝐾 Opisem funkcyjnym krzywej K nazywamy funkcję f:*a,b+ taką, że

∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : (𝑥, 𝑓 𝑥 ) ∈ 𝐾

Opisem biegunowym krzywej K nazywamy funkcję r: [,][0,) taką, że

∀𝑡 ∈ 𝛼, 𝛽 : (𝑟 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑟 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡) ∈ 𝐾 K K (x,f(x)) K

(x(t),y(t)) (r(t)cost,r(t)sint)

r(t) t

a x b

 t   t 

Def. Mówimy, że krzywa K jest gładka (regularna)  istnieją ciągłe pochodne funkcji x(t), y(t) dla t ∈ α, β ( f(x) dla x∈ a, b albo r(t) dla t ∈ α, β w zależności od opisu ).

Mówimy, że krzywa K jest zwyczajna  funkcja k(t)=(x(t), y(t)) jest różnowartościowa w (,) ( f(x) w (a,b) lub r(t) w (,) w zależności od opisu).

Mówimy, że krzywa K jest zamknięta  k()=k() (lub (r()cos,r()sin)= (r()cos,r()sin))

Def. Mówimy, że krzywa K jest krzywą Jordana  K jest kawałkami gładka, tzn: K = 𝐾₁ ∪ 𝐾₂ ∪ ⋯ ∪ 𝐾_𝑛, gdzie 𝐾_𝑖 są krzywymi gładkimi (i=1,2, …,n)

Def. Podziałem krzywej K nazywamy zbiór punktów 𝑃_𝑛={X₀,X₁,...,X_n} taki, że X_iK dla i=0,...,n oraz istnieją punkty t_o, … ,t_n  [,] takie, że X_i=(x(t_i), y(t_i)) oraz =t₀<t₁<t₂< … <t_n=_.

Średnicą podziału 𝑃_𝑛 nazywamy liczbę δ(𝑃_𝑛)=max{|X_i-X_i-1|: i=1,…n}, gdzie

𝑋_𝑖 − 𝑋_𝑖−1 = 𝑥(𝑡_𝑖 − 𝑥(𝑡_𝑖−1))² + 𝑦(𝑡_𝑖 − 𝑦(𝑡_𝑖−1))².

Def.

Mówimy, że krzywa K jest prostowalna (ma długośd)

 istnieje granica długości łamanych X₀X₁ … X_n przy średnicy δ(𝑃_𝑛) zmierzającej do zera,

niezależna od wyboru podziału 𝑃_𝑛={X₀,X₁, … ,X_n} Piszemy 𝐾 = lim

δ(^𝑃𝑛)^{→0 𝑛}_𝑖=1 𝑋_𝑖 − 𝑋_𝑖−1 Tw.

Jeżeli krzywa K będzie krzywą gładką opisaną parametryzacją k(t)=(x(t),y(t)) dla t [,], to

|𝐾| = 𝑥′(𝑡) ² + 𝑦′(𝑡) ²

𝛽

𝛼

𝑑𝑡 Wniosek:

1. Dla krzywej w opisie funkcyjnym y=f(x), x[a,b] : 𝐾 = = _𝛼^𝛽 1 + 𝑓′(𝑥) ² 𝑑x 2. Dla krzywej w opisie biegunowym r=r(t), t[,] : |𝐾| = _𝛼^𝛽 𝑟′(𝑡) ² + 𝑟(𝑡) ²𝑑𝑡

K

  

Np.

1. Oblicz długośd okręgu o środku w (0,0) i promieniu 2.

Opis biegunowy r(t)=2, t[0,2]

𝐾 = ^2𝜋 0 ² + 2 ²

0

𝑑𝑡 = 2 𝑑𝑡 = 4𝜋^2𝜋

0

2. Oblicz długośd krzywej opisanej parametrycznie:

   

a a

a

dt t a

dt t t

t a

dt t a t

a K

t t a

y

t t

a x

8 2 2 2 2

2 2

cos 1

2 sin

cos cos

2 1 sin

) cos 1

(

2 , 0 ),

cos 1

(

) sin (

2

0

2

0

2

0 2

2 2 2

































 



















2 0

0 2

0 0 0 2

1 cos sin 1 cos 2 2

1 cos 2 2 2

sin 2

1 cos 1 cos

t t t u u du

tdt dt dt u

t dt u du

t t u



  

   

            

2 2 2

2 0 0

2 2

1 cos

1 cos sin 2 2 2

sin 2

1 cos

t u u du

tdt t dt u

t dt u du u

t

 

 

 

         

  

3. Oblicz długośd krzywej w opisie biegunowym

𝑟 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1, 𝑡 ∈ ,0,𝜋 2-

𝐾 = ₀^𝜋2 −𝑠𝑖𝑛𝑡 ² + 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1 ² 𝑑𝑡 = 2 ₀^𝜋2 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 = 2 ₀^{𝜋2 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡}_{1−𝑐𝑜𝑠𝑡} =

= 2 2 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 ₀

𝜋

2 = 2 2

4. Oblicz długośd krzywej opisanej funkcją 𝑦 = 𝑥, 𝑥 ∈ 1,2

𝐾 = ₁² 1 + _4𝑥¹ 𝑑x = ¹_{2 1}^{2 4𝑥+1}_𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡² = ^4𝑥+1_𝑥  𝑥 = _𝑡2¹₋₄

2𝑡𝑑𝑡 = −_𝑥¹₂𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = _(𝑡^{−2𝑡𝑑𝑡}₂₋₄₎₂ =

= _(𝑡^−𝑡₂₋₄₎^2𝑑𝑡₂

3 2

5 = 𝑓 = −₂^𝑡 𝑓^′ = −¹₂

𝑔^′ = _(𝑡2^2𝑡₋₄₎₂ 𝑔 = −_𝑡2¹₋₄ = _2(𝑡2^𝑡₋₄₎

5

3

2 − ¹_{2 𝑡2}^𝑑𝑡₋₄

3 2

5 =…

𝑑𝑡 𝑡² − 4

3 2 5

= 𝐴

𝑡 − 2𝑑𝑡

3 2 5

+ 𝐵

𝑡 + 2𝑑𝑡

3 2 5

= 1

4𝑙𝑛 𝑡 − 2 𝑡 + 2 ₅

3 2

= 1

4𝑙𝑛 3 − 2 2

3 + 2 2 − 1

4𝑙𝑛 5 − 2 5 + 2 1 = 𝐴 𝑡 + 2 + 𝐵 𝑡 − 2  𝐴 = 1

4  𝐵 = −1 4

…= ³₂ − ¹₂ − ¹₈𝑙𝑛 ^{3−2 2}_{3+2 2} + ¹₈𝑙𝑛 ⁵⁻²₅₊₂

Dana jest ograniczona figura D[a,b][c,d] na płaszczyźnie ². Def. Podziałem figury D nazywamy zbiór prostokątów

𝑃_𝑛𝑚 = 𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖  𝑦_𝑗−1, 𝑦_𝑗 : i = 1, … , n, j = 1, … , m , gdzie 𝑅_𝑛 = 𝑥₀, 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛 jest podziałem *a,b] oraz 𝑇_𝑚 = 𝑦₀, 𝑦₁, … , 𝑦_𝑚 jest podziałem *c,d]

Średnicą podziału 𝑃_𝑛𝑚 nazywamy liczbę

𝛿 𝑃_𝑛𝑚 = max * ∆𝑥_𝑖 ² + ∆𝑦_𝑗 ²: 𝑖 = 1, … , 𝑛, 𝑗 = 1, … , 𝑚+

𝛿 𝑃_𝑛𝑚 → 0  𝛿 𝑅_𝑛 → 0  𝛿 𝑇_𝑚 → 0

Niech 𝑆_𝑛𝑚 będzie polem najmniejszej figury zawierającej całe D będącej sumą prostokątów podziału 𝑃_𝑛𝑚,

a 𝑠_𝑛𝑚 polem największej figury zawartej w D będącej sumą prostokątów podziału 𝑃_𝑛𝑚

Def. Mówimy, że figura D jest mierzalna (ma pole) w sensie Jordana  istnieją granice właściwe

𝛿(𝑃lim_𝑛𝑚)→0𝑆_𝑛𝑚 oraz lim

𝛿(𝑃_𝑛𝑚)→0𝑠_𝑛𝑚 niezależne od wybranych podziałów 𝑅_𝑛 i 𝑇_𝑚, które są sobie równe.

Piszemy 𝐷 = lim

𝛿(𝑃_𝑛𝑚)→0𝑆_𝑛𝑚 = lim

𝛿(𝑃_𝑛𝑚)→0𝑠_𝑛𝑚

Wniosek:

Jeżeli D jest figurą ograniczoną krzywą gładką , prostymi x=a, y=b oraz osią OX, to:

1. dla : y=f(x), x[a,b]

𝐷 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

2. dla : 𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦(𝑡), t[,]

y=y(t) 𝐷 = 𝑦 𝑡 ∙ 𝑥^′(𝑡) 𝑑𝑡

𝛽

𝛼

3. dla : 𝑟 = 𝑟 𝑡 , 𝑡 ∈ ,𝛼, 𝛽]

𝑥 𝑡 = 𝑟(𝑡) cos 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑟(𝑡) sin 𝑡

𝐷 = 𝑟 𝑡 sin 𝑡 ∙ (𝑟^′ 𝑡 cos 𝑡 − 𝑟(𝑡) sin 𝑡) 𝑑𝑡

𝛽

𝛼

D

𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ … 𝑥_𝑛 𝑡₀ 𝑡₁ 𝑡₂ … 𝑡_𝑛

Wniosek:

Jeżeli D jest figurą ograniczoną krzywą zamkniętą gładką 𝛾 to:

1. dla  = 𝛾₁ ∪ 𝛾₂, gdzie 𝛾₁: y=f(x), x[a,b] oraz 𝛾₂: y=g(x), x[a,b]

𝐷 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

2. dla 𝛾: r = r(t), t ∈ ,𝛼, 𝛽]

𝐷 = 1

2 𝑟² 𝑡 𝑑𝑡

𝛽

𝛼

3. dla 𝛾: 𝑥 = 𝑥 𝑡

𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑡 ∈ ,𝛼, 𝛽]

𝐷 = 1

2 |𝑥 𝑡 𝑦^′ 𝑡 − 𝑦 𝑡 𝑥^′ 𝑡 |

𝛽

𝛼

𝑑𝑡

y=f(x), x[a,b]

y=g(x), x[a,b]

=𝑡₀

=𝑡_𝑛

𝑡₁ 𝑡₂ 𝑡₃

r(t)

Np.

1. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji 𝑦 = _1+𝑥¹ ₂ i 𝑦 = 2𝑥².

1

1+𝑥² = 2𝑥²

2𝑥⁴ + 2𝑥² − 1 = 0, 𝑡 = 𝑥²

2𝑡² + 2𝑡 − 1 = 0 Δ = 12 Δ = 2 3 𝑡₁ = ^{−2−2 3}₄ < 0 𝑠𝑝𝑟𝑧𝑒𝑐𝑧𝑛𝑜ść 𝑡₂ = ^{−2+2 3}₄ = ³⁻¹₂ 𝑥 = ± ³⁻¹₂

𝐷 = _1+𝑥¹ ₂ − 2𝑥² 𝑑𝑥 = (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 −²₃𝑥³⁾|

3−1 2

− ³⁻¹₂

3−1 2

− ³⁻¹₂

= 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ³⁻¹₂ − ⁴₃ ³⁻¹₂

3

2. Oblicz pole figury ograniczonej krzywą 𝑥 = 𝑎 𝑡 − sin 𝑡

𝑦 = 𝑎 1 − cos 𝑡 𝑡 ∈ ,0; 2𝜋]

𝐷 = 𝑎 1 − cos 𝑡 𝑎 ∙ (1 − cos𝑡) 𝑑𝑡

2𝜋

0

=

= 𝑎² 1 − 2 cos 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠²𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎²

2𝜋

0

(3

2𝑡 − 2𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2𝑡 4 )

0

2𝜋 = 3𝑎²𝜋 3. Oblicz pole figury ograniczonej krzywą r=2t, t ∈ *0,2π+

3 2

0 3 2

0 2

3 16 3

4 2 2

1



 

  ^{t dt t}

D

Tw.

Jeżeli krzywa : 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ ,𝑎, 𝑏+, to objętośd bryły obrotowej V, która powstaje przez obrót dookoła osi OX figury ograniczonej krzywą , prostymi

x=a i x=b oraz osią OX wynosi 𝑉 = 𝜋 𝑓_𝑎^{𝑏 2} 𝑥 𝑑𝑥

Wniosek:

Jeżeli V jest bryłą, która powstaje przez obrót dookoła osi OX figury ograniczonej krzywą , prostymi x=a i x=b oraz osią OX, to:

1. dla 𝛾: 𝑥 = 𝑥 𝑡

𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑡 ∈ ,𝛼, 𝛽]

𝑉 = 𝜋 𝑦² 𝑡 𝑥^′ 𝑡 𝑑𝑡

𝛽

𝛼

2. dla 𝛾: 𝑟 = 𝑟 𝑡 , 𝑡 ∈ ,𝛼, 𝛽-

𝑉 = 𝜋 𝑟² 𝑡 sin² 𝑡 𝑟^′ 𝑡 cos 𝑡 − 𝑟 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡

𝛽

𝛼

X Y

ϒ

a b

D

=𝑥0 𝑥1 𝑥2 … =𝑥𝑛

Np.

1. Oblicz objętośd elipsoidy obrotowej

𝑉 = 𝜋 (9 − 9 4

2

−2

𝑥²)𝑑𝑥 = 𝜋 9𝑥 − 9 4 ∙𝑥³

3

2

−2 =

= 9𝜋𝑥 − 3𝜋𝑥³ 4

2

−2 = 18𝜋 − 24𝜋

4 + 18𝜋 − 24𝜋

4 =

= 36𝜋 − 12𝜋 = 24𝜋

2. Oblicz objętośd bryły powstającej przez obrót dookoła osi OX

figury ograniczonej krzywą : i osią OX.

𝑉 = 𝜋 𝑎³ 1 − cos 𝑡 ² 1 − cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎³𝜋 1 − cos 𝑡 ³𝑑𝑡 =

2𝜋

0 2𝜋

0

= 𝑎³𝜋 ₀^2𝜋 1 − 3 cos 𝑡 + 3𝑐𝑜𝑠²𝑡 − 𝑐𝑜𝑠³𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎³𝜋𝑡 ^2𝜋₀ − 3𝑎³𝜋 sin 𝑡 ^2𝜋₀ + 3𝑎³𝜋 𝑐𝑜𝑠₀^{2𝜋 2}𝑡𝑑𝑡 − −𝑎³𝜋 𝑐𝑜𝑠₀^{2𝜋 3}𝑡𝑑𝑡 =𝑎³𝜋 ∙ 2𝜋 − 0 − 3𝑎³𝜋 sin 2𝜋 + 3𝑎³𝜋 sin 0 + 3𝑎³𝜋(¹₄sin 2𝑡 + ¹₂𝑡)|₀^2𝜋 −

−𝑎³𝜋(𝑠𝑖𝑛𝑡 − 1

3𝑠𝑖𝑛³𝑡 )

0

2𝜋 = 2𝑎³𝜋² + 3𝑎³𝜋 ∙ 𝜋 = 5𝑎³𝜋²

9 1 4

2

2  y 

x

2 3

] 2 , 0 [ ),

cos 1

(

) sin

(  











 t

t a

y

t t

a x

3. Oblicz objętośd bryły powstającej przez obrót dookoła osi OX figury ograniczonej krzywą r=1+cost a osią OX.

x(t)=r(t)cost

y(t)=r(t)sint  x(t)=(1+cost)cost y(t)=(1+cost)sint

(2𝑐𝑜𝑠³𝑡 + 5𝑐𝑜𝑠²𝑡 + 4𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1)𝑠𝑖𝑛³𝑡𝑑𝑡 = 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

−𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 =

= − (2𝑢³ + 5𝑢² + 4𝑢 + 1) 1 − 𝑢² 𝑑u = − (−2𝑢⁵ − 5𝑢⁴ − 2𝑢³ + 4𝑢² + 4𝑢 + 1)𝑑𝑢 =

= 2

6𝑢⁶ + 𝑢⁵ + 2

4𝑢⁴ − 4

3𝑢³ − 2𝑢² − 𝑢 + 𝐶 = 1

3𝑐𝑜𝑠⁶𝑡 + 𝑐𝑜𝑠⁵𝑡 + 1

2𝑐𝑜𝑠⁴𝑡 − 4

3𝑐𝑜𝑠³𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠²𝑡 −

−𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝐶

… = 4𝜋 ¹₃ ¹₂ ⁶ + −¹₂ ⁵ + ¹₂ ¹₂ ⁴ − ⁴₃ −¹₂ ³ − 2 ¹₂ ² + ¹₂ − 2𝜋 ¹₃ + 1 + ¹₂ − ⁴₃ − 2 − 1 −

−2𝜋 1

3− 1 + 1 2 + 4

3 − 2 + 1 ...

) 1 cos 2 ( sin ) cos 1

( )

1 cos 2 ( sin ) cos 1

(

) 1 cos 2 ( sin ) cos 1

( )

1 cos 2 ( sin ) cos 1

(

| 1 cos 2

|

| sin

| ) cos 1

(

sin cos

sin 2 sin

) cos 1

( sin

) cos 1

( cos sin sin

) cos 1

(

3 4

2

3 4

3 2 3

2 2

0

3 2

3 2 3

2

0

3 2 3

2

2

0

2 2 2

0

2 2

 

  









































































 























dt t

t t

dt t

t t

dt t

t t

dt t

t t

dt t

t t

dt t t

t t

t dt

t t t

t t

t V

a=𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ … b=𝑥_𝑛

=𝑡₀ 𝑡₁ 𝑡₂ … =𝑡_𝑛 𝑆_𝑖

Tw.

Jeżeli S jest powierzchnią powstającą przez obrót dookoła osi OX krzywej regularnej 𝛾: 𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦(𝑡) ≥ 0 , 𝑡 ∈ ,𝛼, 𝛽], to pole

Wniosek:

Jeżeli S jest powierzchnią powstającą przez obrót dookoła osi OX krzywej regularnej , to pole S jest równe:

1. dla

2. dla









 y t x t y t dt S | 2 ( ) ( '( ))² ( '( ))²

|

: y f x x( ), [ , ]a b

  

| | 2 | ( ) | 1 ( '( ))2 b

a

S  



, [ ), (

:

 



dt t

r t

r t

t r

S ^ 

^



 ( ) | sin | ( ' ( ))

( ( ))

2

|

|

Np.

1. Oblicz pole powierzchni figury powstającej przez obrót krzywej y=e^x, dookoła osi OX.

𝑆 = 2𝜋 𝑒^𝑥 1 + 𝑒^2𝑥𝑑𝑥 = 2𝜋 𝑒^𝑥 1 + 𝑒^2𝑥

1 + 𝑒^2𝑥 𝑑𝑥 =

1

0

…

1

𝑒^𝑥 1 + 𝑒^2𝑥 0

1 + 𝑒^2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡 = 𝑒^𝑥

𝑑𝑡 = 𝑒^𝑥𝑑𝑥 = 1 + 𝑡²

1 + 𝑡² 𝑑𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵 1 + 𝑡² + 𝜆 𝑑𝑡

1 + 𝑡² |( )^′ 1 + 𝑡²

1 + 𝑡² = 𝐴 1 + 𝑡² + 𝐴𝑡 + 𝐵 ∗ 2𝑡

2 1 + 𝑡² + 𝜆

1 + 𝑡² | ∙ 1 + 𝑡² 𝑡² + 1 = 𝐴 1 + 𝑡² + 𝐴𝑡 + 𝐵 𝑡 + 𝜆

1 = 2𝐴 0 = 𝐵

1 = 𝐴 + 𝜆 

𝐴 = ¹₂ 𝐵 = 0

𝜆 = ¹₂

𝑑𝑡

1 + 𝑡² =

𝑡² + 1 = 𝑢 − 𝑡 |( )² 𝑡² + 1 = 𝑢² − 2𝑢𝑡 + 𝑡² 𝑡 = 𝑢² − 1

2𝑢 = 1

2 𝑢 − 1

𝑢 , 𝑢 ≠ 0 𝑑𝑡 = 1

2 𝑢 + 1

𝑢² 𝑑𝑢 = 𝑢² + 1 2𝑢² 𝑑𝑢 𝑡² + 1 = 𝑢 − 𝑡 = 𝑢 − 𝑢² − 1

2𝑢 = 𝑢² + 1 2𝑢

=

𝑢² + 1 2𝑢² 𝑢² + 1

2𝑢

𝑑𝑢 =

= 𝑑𝑢

𝑢 = 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 = = 𝑙𝑛 𝑡 + 𝑡² + 1 + 𝐶 1 + 𝑡²

1 + 𝑡² 𝑑𝑡 =1

2𝑡 1 + 𝑡² + 1

2𝑙𝑛 𝑡 + 𝑡² + 1 + 𝐶 𝑒^𝑥 1 + 𝑒^2𝑥 𝑑𝑥 = 1

2𝑒^𝑥 1 + 𝑒^2𝑥 + 1

2𝑙𝑛 𝑒^𝑥 + 𝑒^2𝑥 + 1 + 𝐶

… = 2𝜋 1

2𝑒^𝑥 1 + 𝑒^2𝑥 + 1

2𝑙𝑛 𝑒^𝑥 + 𝑒^2𝑥 + 1 1 0 =

= 2𝜋(1

2𝑒 1 + 𝑒² + 1

2𝑙𝑛 𝑒 + 𝑒² + 1 − 1

2𝑒⁰ 1 + 𝑒^2∗0 − 1

2𝑙𝑛 𝑒⁰ + 𝑒^2∙0 + 1 ) =

= 𝜋𝑒 1 + 𝑒² + 𝜋𝑙𝑛 𝑒 + 𝑒² + 1 − 𝜋 2 − 𝜋𝑙𝑛 1 + 2

2. Oblicz pole powierzchni figury powstającej przez obrót krzywej , dookoła osi OX.

𝑆 = 2𝜋 3 sin 𝑡 2𝑠𝑖𝑛₀^{𝜋 2}𝑡 + 9𝑐𝑜𝑠²𝑡𝑑𝑡 = 2𝜋 3 sin 𝑡 4 + 5𝑐𝑜𝑠₀^{𝜋 2}𝑡𝑑𝑡 = 3 sin 𝑡 4 + 5𝑐𝑜𝑠²𝑡𝑑𝑡 = 𝑢 = cos 𝑡

𝑑𝑢 = − sin 𝑡 𝑑𝑡

−𝑑𝑢 = sin 𝑡 𝑑𝑡 = − 3 4 + 5𝑢²𝑑𝑢 = −3 4 + 5𝑢²𝑑𝑢 =

= −3 4 + 5𝑢²

4 + 5𝑢² 𝑑𝑢

] , 0 [ sin ,

3 cos

: 2 

 







 t

t y

t x

4 + 5𝑢²

4 + 5𝑢² 𝑑𝑢 = 𝐴𝑢 + 𝐵 4 + 5𝑢² + 𝜆 𝑑𝑢

4 + 5𝑢² |( )^′ 4 + 5𝑢²

4 + 5𝑢² = 𝐴 4 + 5𝑢² + 𝐴𝑢 + 𝐵 ∙ 10𝑢

2 4 + 5𝑢² + 𝜆

4 + 5𝑢² | ∙ 4 + 5𝑢² 5𝑢² + 4 = 4𝐴 + 5𝐴𝑢² + 5𝐴𝑢² + 5𝐵𝑢 + 𝜆

5 = 10𝐴 0 = 5𝐵

4 = 4𝐴 + 𝜆 

𝐴 = ¹₂ 𝐵 = 0 𝜆 = 4 − 2 = 2

_4+5𝑢^𝑑𝑢 ₂ = ¹_{5 4}^𝑑𝑢

5+𝑢² =

4

5 + 𝑢² = 𝑠 − 𝑢 |( )²

4

5 + 𝑢² = 𝑠² − 2𝑠𝑢 + 𝑢² 𝑢 = ^𝑠2−

4 5

2𝑠 = ¹₂ 𝑠 −

4 5

𝑠 , 𝑠 ≠ 0 𝑑𝑢 = ¹₂ 𝑠 +

4 5

𝑠² 𝑑𝑠 = ^𝑠2+

4 5

2𝑠² 𝑑𝑠 𝑢² + ⁴₅ = 𝑠 − 𝑢 = 𝑠 − ^𝑠2−

4 5

2𝑠 = ^𝑠2+

4 5

2𝑠

= ₅⁵

𝑠2+4 5 2𝑠2 𝑠2+4

2𝑠5

𝑑𝑠 = ₅^{5 𝑑𝑠}_𝑠 =

= ₅⁵𝑙𝑛 𝑢 + ⁴₅ + 𝑢² + 𝐶

4+5𝑢²

4+5𝑢²𝑑𝑢 =¹₂𝑢 4 + 5𝑢² + ^{2 5}₅ 𝑙𝑛 𝑢 + ⁴₅ + 𝑢² + 𝐶

3 sin 𝑡 4 + 5𝑐𝑜𝑠²𝑡𝑑𝑡 = −3

2cos 𝑡 4 + 5𝑐𝑜𝑠²𝑡 − 6 5

5 𝑙𝑛 cos 𝑡 + 4

5 + 𝑐𝑜𝑠²𝑡 + 𝐶

… = 2𝜋 −3

2cos 𝑡 4 + 5𝑐𝑜𝑠²𝑡 − 6 5

5 𝑙𝑛 cos 𝑡 + 4

5 + 𝑐𝑜𝑠²𝑡 𝜋 0 =

= 2𝜋 3

2 4 + 5 − 6 5

5 𝑙𝑛 −1 + 4

5 + 1 + 3

2 4 + 5 + 6 5

5 𝑙𝑛 1 + 4

5 + 1 =

= 2𝜋 9

2 − 6 5

5 𝑙𝑛 −1 + 9

5 + 9

2+ 6 5

5 𝑙𝑛 1 + 9

5 =

= 2𝜋 9 + 6 5 5 𝑙𝑛

3

5 + 1 3

5 − 1 = 18𝜋 + 12𝜋 5 5 𝑙𝑛

3 55 + 1 3 55 − 1

3. Oblicz pole powierzchni powstającej z obrotu dookoła osi OX krzywej y=x³ , 𝑥 ∈ 0,1 𝑆 = 2𝜋 𝑥³ 1 + 9𝑥⁴𝑑𝑥

1

0

=

t² = 1 + 9x⁴ 1

18𝑡𝑑𝑡 = x³dx 𝑥 = 0 → t = 1

= 1 → t = 10

= 2𝜋

18 𝑡²𝑑𝑡 = 𝜋 27

10

1

𝑡³

1

10 = 10𝜋 10 − 𝜋 27

4. Oblicz pole powierzchni figury powstającej z obrotu dookoła osi OX krzywej

5. Oblicz pole figury powstającej z obrotu dookoła osi OX krzywej

] , 0 [ , sin cos

2 2



 







 t

t y

t x

t t

y

t t

x

cos sin

2

) sin (

cos 2

 



 

2 2 2 4 2

2sin 4 4

2 sin 4

cos sin

2 4 cos

sin 2 4

sin cos sin

8 2 cos

sin 4 sin

cos 4 sin

2

2 2 4

0 4

2 3 2

0 3

0 2 0

2 2

2 2

2























 











































t tdt t

t tdt

t

dt t t t

dt t t

t t

t S

4] , 0 [ , sin

2 _



 t t r

2) 1 (4

4 )

2 2sin ( 1

2 8 1 sin

2 cos

4 sin

4 sin

2

2 ⁴

0 4

0 2 4

0

2 2

2      

 ^





 



t t

tdt dt

t t

t S