Iloczyn skalarny
1. Iloczynem skalarnym ~u · ~v, dwóch wektorów ~u, ~v nazywamy nazywamy iloczyn
dªugo±ci tych wektów przez cosinus k¡ta zawartego mi¦dzy nimi. Czyli ~
u· ~v = |~u| |~v| cos ] (~u, ~v) .
2. Je±li mno»one wektory s¡ równolegªe, to ~u · ~v = ± |~u| |~v|.
3. K¡t mi¦dzy niezerowymi wektorami mo»na obliczy¢ wedªug wzoru
cos ] (~u, ~v) = ~u· ~v |~u| |~v|.
Iloczyn skalarny podlega prawom:
1. prawu przemienno±ci
~u· ~v = ~v · ~u,
2. Prawu rozdzielno±ci wzgl¦dem dodawania:
~
w · (~u + ~v) = ~w · ~u + ~w · ~v,
3. Prawu ª¡czno±ci wzgl¦dem czynnika liczbowego
a (~u· ~v) = (a~u) · ~v = ~u · (a~v) , a ∈ R.
4. Na ogóª
~
w · (~u · ~v) 6= ( ~w· ~u) · ~v.
5. Wektory ~u oraz ~v s¡ prostopadªe, je±li ~u · ~v = 0.
6. Je±li wektor ~u = [x1, ..., xn], ~v = [y1, .., yn], to iloczyn skalarny
~
u· ~v = x1y1 + ... + x2y2.
Przykªad. Znale¹¢ warto±¢ liczbow¡ skalara 3 |~v| − 2~v · ~w + 4~w2, gdy |~v| = 1 3,
| ~w| = 6, ] (~v, ~w) = 600. Iloczyn wektorowy
Obok mno»enia wektorów daj¡cego w wyniku liczb¦, czyli skalar, rozwa»amy jeszcze jeden typ mno»enia wektorowego w wyniku którego, otrzymujemy wektor.
Iloczynem wektorowym, dwóch wektorów ~u i ~v nazywamy wektor ~w maj¡cy nast¦pu-j¡ce wªasno±ci:
1. Dªugo±¢ wektora ~w jest równa polu równolegªoboku zbudowanego na wektorach
~
u i ~v, czyli
| ~w| = |~u| |~v| sin ] (~u, ~v) .
2. Wektor ~w jest prostopadªy do pªaszczyzny tego równolegªoboku, jest wi¦c prostopadªy
do wektora ~u i wektora ~v. Zatem ~w · ~u = 0 i ~w · ~v = 0.
3. Wektory ~u, ~v, ~w wzi¦te we wskazanym porz¡dku tworz¡ ukªad prawoskr¦tny.
Iloczyn wektorowy wektorów ~u i ~v oznaczamy symbolem ~u × ~v. Iloczyn wektorowy:
1. Nie podlega prawu przemienno±ci. Jest antysymetryczny, tzn.
~u× ~v = −~v × ~u,
2. Jest rozdzielny wzgl¦dem sumy wektorów:
~u× (~v1 + ~v2) = ~u× ~v1 + ~u× ~v2,
3. Podlega prawu ª¡czno±ci wzgl¦dem czynnika liczbowego
a (~u× ~v) = (a~u) × ~v = ~u × (a~v) , a ∈ R.
Je±li iloczyn wektorowy dwóch wektorów ~u × ~v pomno»ymy skalarnie przez trzeci wektor ~w, to otrzymamy tak zwany iloczyn mieszany (~u × ~v) · ~w.
Iloczyn mieszany ma prosty sens geometryczny, a mianowicie warto±¢ bezwzgl¦dna iloczynu mieszanego jest równa obj¦to±ci rownolegªo±cianu zbudowanego na wektorach ~u, ~v, ~w.
Iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy gdy istniej¡ reprezentanty tych wektorów, które daj¡ si¦ umie±ci¢ na jednej pªaszczy¹nie.
Iloczyn mieszany ma t¦ wªasno±¢, »e nie zmienia si¦ przy cyklicznym przestawieniu czynników:
(~u× ~v) · ~w = (~v × ~w)· ~u = ( ~w × ~u) · ~v.
