Klasa ………… Nazwisko i imię ………...………………………… PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

(1)

Klasa …………

Nazwisko i imię ………...………

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut

Instrukcja dla zdającego

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1–15).

Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym.

3. Odpowiedzi do zadań zamkniętych (1–4) przenieś do tabelki odpowiedzi, a w zadaniu 5 zakoduj odpowiedź zgodnie z instrukcją zapisaną w treści zadania.

4. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego (6–15) może spowodować, że za to rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów.

5. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem.

6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.

7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.

8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego.

Życzymy powodzenia!

Prawa autorskie posiada SODMIDN w Kielcach

Kopiowanie w całości lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione

MARZEC ROK 2020

Za rozwiązanie wszystkich zadań

można otrzymać

łącznie

50 punktów

(2)

ZADANIA ZAMKNIĘTE

W zadaniach od 1. do 4. wybierz i wpisz w tabelce poprawną odpowiedź.

Nr zadania 1 2 3 4

Zaznaczona odpowiedź

Zadanie 1. (0-1)

Okrąg o równaniu jest styczny wewnętrznie do okręgu o środku i promieniu , zatem

A. B. C. D.

Zadanie 2. (0-1)

Liczba jest równa

A. B. C. D.

Zadanie 3. (0-1)

Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian jest równa , zatem

A. B. C. D.

Zadanie 4. (0-1)

Równanie w przedziale A. nie ma rozwiązań rzeczywistych

B. ma dokładnie cztery rozwiązania rzeczywiste C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste

Zadanie 5. (0-2)

Dane są zdarzenia losowe takie, że i . Oblicz , gdzie zdarzenie oznacza różnicę zdarzeń i . Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

(3)

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

(4)

Zadanie 6. (0-3)

W trójkącie długości boków spełniają warunki: , oraz miara kąta wewnętrznego jest równa . Oblicz obwód tego trójkąta.

Odpowiedź: ………

Wypełnia egzaminator

Nr zadania 6.

Maks. liczba pkt. 3 Uzyskana liczba pkt.

(5)

Zadanie 7. (0-3)

Rozwiąż równanie w przedziale .

Nr zadania 7.

(6)

Zadanie 8. (0-3)

Na boku trójkąta obrano punkt w ten sposób, że

. Na odcinku obrano taki punkt , że

(popatrz na rysunek). Przez punkty i poprowadzono prostą, która przecięła bok w punkcie . Uzasadnij, że stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy .

Nr zadania 8.

(7)

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

(8)

Zadanie 9. (0-4)

W kopercie znajduje się kartek oznaczonych cyframi . Losujemy trzykrotnie kartkę za każdym razem zwracając ją do koperty. W ten sposób otrzymujemy trzy kolejno wylosowane liczby.

Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich liczb, aby ich iloczyn był podzielny przez 6.

Nr zadania 9.

(9)

Zadanie 10. (0-3)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych , prawdziwa jest nierówność

Nr zadania 10.

(10)

Zadanie 11. (0-5)

Przez punkt poprowadzono dwie proste będące stycznymi do wykresu funkcji . Wyznacz równania tych stycznych oraz współrzędne punktów styczności.

Nr zadania 11.

(11)

Zadanie 12. (0-5)

W trójkącie prostokątnym równoramiennym miara jest równa . Przyprostokątna tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu . Wierzchołek . Wyznacz współrzędne wierzchołków oraz .

Nr zadania 12.

(12)

Zadanie 13. (0-5)

Rozwiąż nierówność .

Nr zadania 13.

(13)

Zadanie 14. (0-6)

Dany jest trójmian kwadratowy określony wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których suma kwadratów dwóch różnych miejsc zerowych trójmianu jest większa lub równa .

(14)

Nr zadania 14.

(15)

Zadanie 15. (0-7)

W ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy i wysokości wpisano graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy tak, że jego podstawa zawiera się w podstawie ostrosłupa, a wierzchołki drugiej podstawy należą do krawędzi bocznych tego ostrosłupa. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego z rozpatrywanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

(16)

Nr zadania 15.