Plastyczne zginanie płaskie belek z materiałów o niesymetrycznej wytrzymałości

f

Z ESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

N r 18 Górnictwo z. 2 1959

WA L E RY SZUŚCIK

PLASTYCZNE ZGINANIE PŁASKIE BEL E K Z MATERIAŁÓW O NIESYMETRYCZNEJ WYTRZYMAŁOŚCI

S t r e s z c z e n i e ; Treścią pracy jest plastyczne zg&y nanie belek momentem działającym w płaszczyźnie przechodzącej przez oś symetrii przekroju, wykona­

nych z materiałów o niesymetrycznej wytrzymałości, to jest materiałów, których granice plastyczności przy rozciąganiu i ściskaniu są różne. Wyprowadzo­

no wzor y na położenie osi obojętnej or&z na wartość granicznego momentu gnącego. Porównano graniczne momenty gnące dla belek, wykonanych z materiałów o niesymetrycznej i symetrycznej wytrzymałości. Po«

dano przykłady zastosowania.

Plastycznym zginaniem płaskim, w rozumieniu tej pracy jest zginanie beleK momentem działającym w płaszczyźnie przechodzącej przez oś symetrii przekroju.

Materiałem o niesymetrycznej wytrzymałości będzie ma­

teriał, w k t ó r y m granice plastyczności przy rozciąganiu i ściskaniu są różne.

Jednym z materiałów o niesymetrycznej wytrzymałości jest żeliwo sferoidalne ferrytyczne.

Nazwijmy stosunek granicy plastyczności przy ściska­

niu R p i c i rozciąganiu R p ir współczynnikiem niesyme' - trii wytrzymałości m wówczas

1. Wstęp

/ ¹ /

58 W a l e r y Szuścik

W niniejszej pracy rozpatrzymy wypadek, gdy m >1. W y p a ­ dek ten obejmuje w szczególności także snaną teorię zgi­

nania belek, w których wartości granicy plastyczności przy ściskaniu i rozciąganiu są równe. Wtedy:

m = = 1. /2/

p lr

W wypadku, gdy m < 1 , można stosować wyprowadzonej niżej wzory po zamianie ról granic plastyczności przy rozciąga­

niu i ściskaniu.

Przy projektowaniu belek zginanych na dopuszczalny u dźwig oblicza się graniczny moment gnący.

2. Obliczenie granicznego momentu gnącego

Rozpatrzmy belkę jak na rysunku 1. Oś z jest osią syme­

trii przekroju.

Rys. 1

Obciążmy belkę momentem gnącym, którego płaszczyzna dzia­

łania pokrywa się z osią symetrii przekroju z. Włókna ściskane znajdują się w górnej części przekroju; nazwijmy ją Pi /rys.2/. Włókna rozciągane znajdują się w dolnej części przekroju; nazwijmy ją F . Wykres naprężeń w sta­

nie plastycznym belki będzie kształtował jak na rysunku 2.

* J

Plastyczne zginanie p ł a s k i e belek..«_________59

R y s . 2

Oś obojętna jest oddalona od osi y o ip» Całkowita wyso kość przekroju wynosi h.

Wykres naprężeń w stanie plastycznym można zmienić przez dodanie i odjęcie naprężenia Rpir w części ści­

skanej przekroju Fi /rys.3/.

Rys*3

60 W a l e r y Szuśctk

Ha skutek tej zniany m o ż e m y uważać, fce cały przekrój jest rozciągany n a p r ężenie® R~nr , a część f-j przekroju ści­

skana naprężanieia Rp]_c * ®plr*

Suma ostatnich dwóch naprężeń, zgodnie z wzo r e a / 1 / # wy­

nosi:

R . + R . - m«R - + R . = R , ( m + 1 ) /3/

pic p l r p l r p l r plr v

’

Napiszmy warunki równowagi /ry s . 4/.

Rys*4

Wa r u n e k rzutów na oś x:

V h f*

J RD l r * y • dZ “ i Rt>lr* C® + 1)- y • dz * 0

' /4/

Wa r u ne k momentów w z g l ęd e m osi y:

J R l r .y.z .d z ~ J R , (a+1)y.s.dz • K * 0. / 5 /

Pozostałe warunki równowagi przy spełnieniu sałożenie9że oś z jest osią symetrii, dają tożsamość*

Będzie to więc wypadek zginania płaskiego*

Równanie /4/ nożna uprościć przez R ^ *

Plastyczne zginanie płaskie belek«,.. 61

Pi e rwsza całka przedstawia wtedyg ,h

f yodz = F / 6 /

y pole całego przekroju belkio

Po podstawieniu wartości wzo r u /6/ do równania /4/ otrzy­

m amy równanie:

F - (m + 1) / y « dz = 0,

r v

z którego można dla danego przekroju wyznaczyć położenie osi obojętnej /wartość 7 / oraz współczynnik położenia osi obojętnejcC^:

/7a/

W s p ó ł czynnik ten pozwala wyznaczyć 7 • gdy dla pokrewnych przekrojów znamy d y

Wyrażenie całkowe we wzorze /7/ jest V

f y. dz = F 1, /8/

u 1

częścią ściskaną przekroju.

Po podstawieniu wartości wzoru /8/ do równania /7/

otrzymamy równanie:

*

P - ( m + 1) F 1 - 0, /9/

V

z którego wynika, że P.. jest (m + 1) razy mniejsze od F. Pierwsze wyrażenie całkowe w porównaniu /5/

/»h

J y , z 0 dz * S = F o e, /10/

0 y

jest momentem statycznym c a ł e g o przekroju wzglę d e m osi y e Eoment ten jest równy iloczynowi powierzchni F i odle­

głości e 1 środka ciężkości S przekroju od oei y /rys. 5/.

-4

62

3f

Walery Szuścik

Drugie wyrażenie cał­

kowe w równaniu /5/:

y ^J y « z 0dz = S 1y= F

/

/

jest m o m entem statycznym części ściskanej przekro ju F^ względem osi y.

z

Moment ten jest równy iloczynowi powierzchni F^ i odległości e ^

Rys. 5 środka ciężkości

/pola F^/ od osi y.

Po podstawieniu wzorów /10/ i /11/ do równania /5/

otrzymamy:

Po wprowadzeniu równania /9/ do równania /12/ otrzymamy wzór:

Graniczny moment gnący M jest równy iloczynowi granicy plastyczności przy rozciąganiu, powierzchni przekroju i odległości środka ciężkości przekroju od środka ciężkości części ściskanej przekroju.

Iloczyn granicy plastyczności przy rozciąganiu i po~

wierzchni przekroju F jest równy sile na granicy pla­

styczności przy rozciąganiu P 1 pręta o przekroju F.

Po podstawieniu"flo wzoru /13/ równania /14/ otrzymamy wzór:

R plr [p *e 1 " (m + 1) p r e n ] " / 12/

/13/

H = Ppl (e, - ei1). /15/

Plastyczne zginanie płaskie b e l e k . . » 63

Wo b e c powyższego, graniczny moment gnący może być rów­

n i e ż zdefiniowany jako iloczyn siły na granicy plastycz noś c i p rzy rozciąganiu pręta i odległości środka ciężko ści przekroju od środka ciężkości części ściskanej prze- krojuo

3® Porównanie granicznego momentu gnącego belek wykona­

n y c h z materiału o niesymetrycznej wytrzymałości (-n+"0 z belkami o symetrycznej wytrzymałości (m='’) Dla porównania momentów granicznych wprowadzimy współ­

czynnik wart'Óści momentu granicznego:

“ m -

W _{0 = 1 ;}

gdzie: M - moment graniczny dla belki z materiałów o współczynniku niesymetrii wytrzymałości m ^ 1 M / m _1/“ moment graniczny dla belki z materiału

o współczynniku niesymetrii wytrzymałości m = 1 e

Po podstawieniu do wzoru /14/ wzoru /13/ otrzymamy:

R olr* p'(®1 “ e 11*)

/ 1 7 / g d z i e : 1 e^* odległość środka ciężkości części

’(m=1) ściskanej przekroju od osi y dla materiału o m = 1,

R , - granica plastyczności przy rozciąganiu p materiału o m#1,

R . - granica plastyczności dla materiału p (m=l) o m s= 1«

Y/prowadźmy współczynnik materiałowy:

64 W a l e r y Szuścik

oraz współczynnik kształtu przekroju:

Pr

e 1 ‘ e 11

/ 1 9 / ( n - 0

Po podstawieniu wzorów /16/ i /17/ do wzo r u /15/ otrzy­

mamy:

ccK

/

/

Współczynnik wartości momentu granicznego jest więc ilo­

czynem współczynnika materiału fi i współczynnika kształ­

tu /3p. Współczynnik kształtu wsttazuje nam, jaKie' Korzyści w ynikają ze stosowania materiałów o niesymetrycznej wy­

trzymałości w porównaniu z materiałami o symetrycznej wy­

trzymałości i tych samych wartościach granicy plastycz­

ności przy rozciąganiu.

4* Przykłady

W poniższych przykładach podamy wartości na odległość osi obojętnej 7 , współczynnik położenia osi obojętnej wartośó momentu granicznego K oraz na wartośó współczyn nika kształtu przekroju 8 •

‘P

a/ Przekrój prostokątny / r y s «6^/

;1 ^{2 y = b} Ze wzo r u /8^/

1

J

wi e n iu do niego wzoru /8^/

m + 1 Ze wzory /11/

ę/y.zidz

Plastyczne zginanie płaskie belek»«» 65

Po podstawieniu wartości e ^ do wzo r u /13/ otrzymamy

„ b sh m

- pir n T T T ' Ze wzoru /19/

2 em ' p m + 1 *

b/ Przekrój dwuteowy bez środnika /h = 10,.a/ /ry s« 7/

«

Po przeprowadzeniu ana logicznych obliczeń jak w punkcie a, otrzymamy /dla m 5=1/:

. ¹

* 7 = 5 ( m + 1? »

p b„h“ 5»m + 4

= plr

50

10,m + 8

Rysc7

c/ £ r z e k r ó j ._dwuteowy_Vh « 10. aż b = 6«c/ r y s . 6/

W związku z nieciągłością w arto ś c i y w p u n k c i ey = a otrzymujemy różne wzory dla 2,3 3= m s*1

66

oraz dla m ^ 2 , 3

oC.

7 * 3('m"+ 1)

M = R _ .100a2 c TY plr 3( m ♦ 1;

л yi о З ш + 21

= 1»43 3(m + 1)*

Rys* 8

d/ Przekró.i trójkątny /ry s . 9/

Otrzymamy:

ot.

К = R

V = — --- — » + 1

bh2 )lm +~1 - 1 plr 3

У m + 1

„ ,. \[m + 1 - 1 R. = 3,44 — — .

P ♦ 1

Rys. 9

С

Plastyczne zginanie płaskie bel e k ...

67

e/ Przekró.i trd.ikatny /rys. 10/

Otrzymany:

\

ety = 1 ^{- m}

M a R bh~~ m

^>'Lr 3 \[m+1 (^fra+1+^m) m + 1

2

Al - 3.41 m

^ ^fn+1 ( \|n + 1 + \fn)

R y s . 10

f/ Przekró.i teowy /rys. 11/

Otrzymany:

3(m + 1)

R . 10a3 - * g — -1-

plr m + 1

a __2_ 4n - 1 / p “ 3 m + 1

R y s i 11

68 W a l e r y Szuścik

g/ Przekró.i teowy /rys. 12/

Otrzymamy:

= ~ m r

11 = R 10a3 - 1-:— 2°- plr 1 + m

A-

_2_

3

1 + 2 m 1 + m

R y s . 12

Na rysunkach 13 i 14 przedstawiono przebieg wartości współczynnika położenia osi obojętnej cCy oraz współczyn­

nika kształtu przekroju 8 dla podanych wyżej przekro­

jów. p

Rys. 13* W ykresy 05^

I

Plastyczne zginanie płaskie belek«««_________69

Rys. 14® W ykresy /3p

5/ Porównanie wartości granicznego m o mentu gnącego belek

" o jednej osi symetrii przy w ł a ś c i w y m i niewłaściwym położeniu przekroju

Belka o jednej osi symetrii jak na przykład na rysun­

ku 9 i 10 obciążona jest momentem jak na rysunku 1«

W obu położeniach przekroju belki /np. rys* 9 i 10/

otrzymujemy różne wartości granicznego momentu gnącego«

W ł a ś c i w y m położeniem przekroju najwijmy to p o ł o ż e n i ę Bktó­

re da n a m w i ększą wartośó granicznego momentu gnącego.

W y p i s z m y zgodnie ze wzo r e m /13/ wartości granicznego mo­

mentu gnącego w obu położeniach:

M 1 * R plr * P C®1 " e n ) »

M 2 = R plr * P (®2 " ®22')*

/

/

/22/

70________________ W a l e r y Szuścik

Stosunek tych momentów nazwijmy;

*>' _ - 6 1. e H

U e2 - e22 /23/

Jeżeli M-j jest większe od K2, to S^jj jest większe od jedności.-

Wartość ‘Pjj jest funkcją współczynnika niesymetrii wytrzy­

małości m. /e^-j i

^22

Dla m — ~ 0 0 ^wartości e . . i e „ 0— - 0, zaś 9^{o - — ■}

11 22 M e.

Dla przekroju trójkątnego / r y ś . 9 i 10/

f Vm + 1 + \ f n i . f \/m + 1 - i) 10

Dla przekroju teowego / r y s . 11 i 12/

<p _ — 4ia 1 II 2m + 1

obu tych przykładach, gdy ci— c » ; 99^{^}

=

.

Wartości jako funkcje m dla powyższych przykładów podano na wykresie na r y s .1 5^.

Rys. 15» Wykresy 90

Plastyczne zginanie płaskie belek«. 71

60 Przykłady zastosowania

Przykład 1» Dana belka jak na rysunku 16 obciążona jest siłą P. Belkę wykonano ze stali St5 / R p ir =

= 28 kG/mm^/. Ile razy może wzrosnąć obciążenie, jeżeli belkę wykonano by z materiału o niesymetrycznej wytrzyma­

łości» w k t ó r y m R = 30 kG/mm2 , a R = 120 kG/mm2.

a

10

Rys»l6

R o z w i ą z a n i e :

Kształt belki odpowiada rysunkowi 12.

Zgodnie ze w z o r e m /18/

J & Ł .

n pl ( m * 1^{.) 28}

1,07«

W s p ó ł c z y n n i k niesymetrii wytrzymałości w g wz o r u /1/

72 Walery Szuścik

Z wykresu / r y s . 14/ odczytuję /krzywa g/ wartość /3

0 p = 1.2.

W spółczynnik wartości momentu granicznego w g wzo r u /20/

wynosi:

= ^ m ' = 1 ’07 9 1 »2 * 1 ’2 5 °

Wartość momentu granicznego wzrosła więc o 29%. W naszym w y p a d k u obciążenie jest proporcjonalne dc maksymalnego

momentu granicznego.

W związku z tym obciążenie może wzrosnąć o 29%.

W powyższym przykładzie belka jest dla materiału o nie­

symetrycznej wytrzymałości zastosowana niewłaściwie.Je­

żeli ją odwrócimy, jak to pokazano na rysunku 17, to ob“

ciążenie może wzrosnąć zgodnie ze wzorem /23/ razy.

W artość 9^» dla zastosowanej tu belki teowej odczytamy z rysunku 15 /krzywa górna/

% - i.««.

Całkowity dozwolony wzrost obciąże­

nia, po odwróceniu belki i zastoso­

waniu podanego materiału o niesyme­

trycznej wytrzymałości wynosi:

s 1#29 e e 2 »14 razyji czyli

Rys„17

Przykład 2 . Zaprojektować przekrój ceowy belki /rys.1£^

wykonanej ze stali St5* zginanej momentem zginającym

= 100 k G m e

g ^

Dane: R plr = 28 kG/mm $ R p i c n i k bezpieczeństwa n = 6»

28 kG/mm $ Współczyn-

P l a styczne zginanie płaskie belek««« 73

R y s « 18

M, H

dop n P o podstawieniu wartości?

' ‘ dopw S kąd obliczone

R o z w i ą z a n i e : Zgodnie ze wzsarea /13/ graniczny monent gnący wynosi:

“ - p * W e i “ i i 1 ' W na s z y m wypadku:

• a — ■

'11 2 » ®1 " 2 a

P s 12 0 & o Moment dopuszczalnys

p • W * i - e it>

n

•12 9 a . R plr n

Po podstawieniu wartości:

K « n

d.°£ _

12 o R , plr

a - 1j,2 cm$ b = 4*8 cmj h * 7*2 cmo

74 W a l e r y Szuścik

РЕ ЗИЛЕ

П л а с т и ч е с к и й п л о с к и й изгиб балок из м а ­ т е р и а л а с н е с е м е т р и ч н о й в ы н о с л и в о с т ь ю

Ц е л ь ю р а б о т ы я в л я е т с я и с с л е д о в а н и е п л а с т и ч е с ­ кого и з г и б а б а л о к под в л и я н и е м м о м е н т а д е й с т в у ю ­ щего в п л о с к о с т и п р о х о д я щ е й ч е р е з ось с и м е т р и и с е ­ чения, в ы п о л н е н н ы х из материала, дл я к оторого соот=

н о ш е н и е п р е д е л а п л а с т и ч е с к о й д е ф о р м а ц и и при с ж а ­ тии ЯрХс к п р е д е л у п л а с т и ч е с к о й д е ф о р м а ц и и при р а с т я ж е н и и йр!Г и м е н у е т с я к о э ф ф и ц и е н т о м н е с и м е т - р и ч н о с т и в ы н о с л и в о с т и г

&р1с т = — ■с- •

^р1г

С ж и м а е м а я ч а с т ь с е ч е н и я балки выражается?

р = — - — • 4 га + ]

П о л у ч е н а ф о р м у л а д л я р а с ч ё т а п р е д е л ь н о г о и з г и б а ю ­ щего момента:

при чем: - с и л а у п р е д е л а п л а с т и ч е с к о й д е ф о р ­ м а ц и и при р а с т я ж е н и и п р у т к а с е ч е н и е м р а в н ы м с е ­ ч е н и ю балкио

/е^ - е1(/ - р а с с т о я н и е ц е н т р а тяже с т и сжимаемой ч а с т и с е ч е н и я ^ от ц е н т р а тяжести п о в е р х н о с т и Г .

Г

С р а в н и л и в е л и ч и н у п р е д е л ь н о г о и з г и б а ю щ е г о м о м е н т а балок в ы п о л н е н н ы х из м а т е р и а л а с н е с и м е т р и ч н о й в ы ­ н о с л и в о с т ь ю / m

Ф \

в о с т ь ю / т = 1 / 0 С о о т н о ш е н и е эт и х в е л и ч и н принято на­

зывать к о э ф ф и ц и е н т о м в е л и ч и н ы и з г и б а ю щ е г о момента:

rf М _ е -| в Ц _ /Э /Э

а М - Ж / ^ J -

где:уЗт - к о э ф ф и ц и е н т материала, уЗ - к о э ф ф и ц и е н т кон ф и г у р а ц и и .

Н а п р и м е р е р а з н ы х п о в е р х н о с т е й с е ч е н и й балок р а с - ч и т а л и и п о с т р о и л и г р а ф и к и в е л и ч и н н е о б х о д и м ы х д л я проектирования^,

С р а в н и л и п р е д е л ь н ы е в е л и ч и н ы и з г и б а ю щ е г о м о ­ м е н т а при п о л о ж и т е л ь н о й и о т р и ц а т е л ь н о й в е л и ч и н а х и з г и б а ю щ е г о момента»

П р и в е д е н ы п р и м е р ы п р и менения»

____________Plastyczne zginanie płaskie belek..»________ 75

IC W a l e r y Szuscik

ZUSAMMENFASSUNG

Plastische P la c h verbiegung von Stäben aus Werkstoff mit unsymetrischer Festigkeit

Behandelt wurde die plastische Verbiegung der Stäbe mit einem in der die symmetrische Querschnittachse schnei­

denden Ebene wirkenden Moment. Die Stäbe sind aus einem Werkstoff, in dem das Verhältnis der Streckgrenze 6

a* r 5

zur Quetschgrenze 6 ^ als Unsymmetriekoeffizient der Festigkeit bezeichnet wird:

FS m “ “ 5fT

■Q

Der gedrückte Teil des Stabquerschnittes wir d berechnet:

F P 1 ’ m “ ' T '

Die erhaltene Formel für das Grenzmoment der Biegung ist:

K = ( e i * e 11) * wobei: P^ - Fliesslast

F

- e ^ 1 - der Ab s t a n d des Schwerpunktes des ge­

drückten Querschnittes F-j v o m Schwer­

punkt des ganzes Querschnittes F.

Verglichen wurde der Wert des Biegunggrenzmomentes der Stabe, die aus einem Werkstoff mit unsymetrischer Festig­

keit ( m ^ 1.) mit dem Wert von Stab aus Werkstoff mit sy- m etrischer Festigkeit ( m = 1/« Ihr Verhältnis w ird als Wertkoeffizient des Biegungsmomentes bezeichnet.

a = ! i J L ! a i •ß ß

M M/ e . e w " ^ m '

( m = 1 ) 1 11(m=1,; *

wobei: ß - Werkstoffkoeffizient,

-^m *

ß - Formkoeffizient . ' P

Plastyczne zginanie płaskie belek»»« 7 7

A n Beispielen der Stabquerschnitte wur de n Diagranunen be­

rechnet und darge3tellt. Die Grenzwerte des Biegungsiao- mentes bei dessen p o s i t i v e m und n e g a t i v e m Wert wurden Verglichen. Hinzugefügt wu r d e n Anwendungsbeispiele.