Zależności między opisami matematycznymi obiektów dynamicznych wielowymiarowych dyskretnych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 93

_______ 1989 Nr kol. 969

Piotr ZGORZELSKI

ZALEŻNOŚCI MIĘDZY OPISAMI MATEMATYCZNYMI

OBIEKTÓW DYNAMICZNYCH WIELOWYMIAROWYCH DYSKRETNYCH

Streszczenie. Podano sposób obliczania parametrów opisu dynamicz- nych obiektów wielowymiarowych dyskretnych za pomocą macierzowych rów­

nań różnicowych, wychodząc z opisu tych obiektów za pomocą macierzy transmitancji lub równań stanu.

1. Wstęp

Pojawienie się regulatora minimalnowariancyjnego wielowymiarowego, zapro­

ponowanego przez Borissona, wykorzystującego opis wielowymiarowych dynamicz­

nych obiektów dyskretnych za pomocą macierzowych równań różnicowych (opis typu ARMAX) pociągnęło za sobą powstanie wielu algorytmów regulatorów bazu­

jących na tym samym opisie dyskretnych obiektów dynamicznych. Większość au­

tomatyków przyzwyczajona jest jednak do opisu obiektów dynamicznych za pomo­

cą macierzy transmitancji lub przestrzeni stanu i te opisy są dla nich ła­

twe w interpretacji. Okazuje się, że przeliczenie parametrów obiektów wystę­

pujących w tych dwu opisach na opis za pomocą macierzowych równań różnico­

wych nie jest sprawą całkiem prostą. Celem artykułu jest zebranie różnych algorytmów w jeden służący do dokonywania tych przeliczeń.

2. Założenia dotyczące obiektu

Rozpatrywany będzie obiekt liniowy dynamiczny o p-wyjściach i q-wejściacn oraz n-współrzędnych stanu, którego część sterowalną i obserwowalną (tzw.

realizację minimalną) opisać można równaniami stanu i wyjścia:

x(t + 1) = P x(t) + Q u(t) (1)

X(t) = C x(tj + D u(t) (2)

g d z i e :

t - czas dyskretny, odpowiadający chwilom próbkowania obiektu z okresem

Q = Q, I Q i, D = Td ! D ]

j -z|' - [_-s I -zj 13)

x(t) 6 Rn , y(t) £ Rp , u(t) 6Rq przy czym u(t)

gdzie:

us (t) e (t)

(4)

ę(t) e Rr , ug (t) e Rq_r. (5)

Wektor e(t) jest r-wymiarowym białym szumem, a wektor i*s (t) jest wek­

torem wejść wielkości sterujących obiektu. Obiekt jest wiec zakłócany dy­

skretnym szumem kolorowym.

Opisowi obiektu w postaci (1) - (5) odpowiada następujący opis w posta­

ci macierzy transmitancji:

-1.

£(t) = K (z ) u(t) (6)

gdzie:

K(z 1) = £K (z ^{- 1} ) l^I K (z

S | — z (7)

Kg (z 1) - macierz transmitancji części deterministycznej obiektu związa­

na z wektorem us (t),

Kz <z ) - macierz transmitancji części stochastycznej obiektu związana z wektorem szumu białego e(t).

3. Schemat zależności między sposobami opisu dyskretnych obiektów wielowymiarowych

Zależności miedzy sposobami opisu dyskretnych obiektów wielowymiarowych przedstawiono na rys. 1. Węzłom tego schematu przyporządkowane są poszcze­

gólne typy opisu, a gałęziom możliwości przejścia między dwoma typami opisu Opis za pomocą macierzy transmitancji (6) odpowiada węzłowi 1). Przejś­

cie od macierzy transmitancji K(z ) do K(z) polega na pomnożeniu dla każdego elementu K..(z 1) (i = 1,...,p, j = 1,...,q) macierzy K(z-1) je-

h ™*

go licznika i mianownika przez z , gdzie h jest najwyższą potęgą czynni­

ka z 1 występującą w danym elemencie macierzy transmitancji. Przejście z K(z) do K(z ^) polega na czynności odwrotnej, czyli na pomnożeniu przez z ^ licznika i mianownika elementu macierzy transmitancji K(z). W trans- mitancjach K(z) i K(z 1) występują więc te same wartości liczbowe wszy­

stkich współczynników.

Zależności między opisami. 285

R S U

-

,

O RM ~ O trzym a n ie Realizacji H im m a ln ycn składników unipolarnych.

Rys. 1. Schemat zależności między poszczególnymi sposobami opisu dyskret­

nych obiektów wielowymiarowych

Fig. 1. Dependencies scheme for different forms of multidimensional discre­

te plants description

Opis obiektu za pomocą równań stanu i równań wyjść (1) - (5) reprezentu­

je węzeł 3) na rys. 1. Przejście z opisu 2) na 3) zostało oznaczone skró­

tem RSU+ORM, który oznacza dwie czynności:

a) rozkład transmitancji na składniki unipolarne, b) otrzymanie ich realizacji minimalnych.

Rozkład transmitancji na składniki unipolarne jest prostą czynnością ma­

tematyczną opisaną np. w: Niederliński (1974), Kaczorek (1983). Otrzymanie realizacji minimalnych dla poszczególnych składników unipolarnych dokonuje się metodą Gilberta, jeśli składniki unipolarne posiadają pojedyncze biegu­

ny (Niederliński (1974) Kaczorek (1983)) lub zmodyfikowaną metodą Gilberta (Kaczorek (1983)) - przy biegunach wielokrotnych.

Węzeł 4) grafu z rys. 1 oznacza opis obiektu wielowymiarowego za pomocą równań stanu i równań wyjść w postaci kanonicznej obserwowalnej, a węzły 5) i 6) odpowiadają opisowi za pomocą macierzowych równań różnicowych.

Różnica między opisem 5) a 6) jest tej samej natury, co między 1) i 2).

4. Opis za pomocą postaci kanonicznej obserwowalnej równali stanu

Opis obiektu wielowymiarowego za pomocą postaci kanonicznej obserwowal­

nej równali stanu jest następujący (Niederliriski (1979)):

x(t + 1) = Ak x(t) + Bk u (t )

£(t)' = Ck x(t) + £ k u(t)

(8⁾

(

9

gdzie: wektory x(t), u(t) mają takie same wymiary, co wektory (4), a ma­

cierze Ak , Bk , £ k i £ k mają następujące struktury:

¿k =

A, A,

11 12

K

2 1 2 2

A, A.

— k . — k „ p1 p2

h.

¿k

¿k

ip

2p

"PP J

(1 0)

gdzie:

Ą kii -nr 1 T

¿ii

¿k ij

T

¿ij

dla i,j=1,2...,n (11) i «

nix nj przy czym

¿ii [aii1 aii2 aiin .1 ' ¿ij = [aij1 ai j 2 ••• aijn. . 0 ■'* °1

L 11 J (12)

_1_n - macierz jednostkowa o wymiarach (n^-1) x (n^— 1) ,

a wielkości n^ są indeksami Kroneckera (patrz dodatek) spełniającymi za­

leżność:

Zależności między opisami. 287

dla 1=3

n. . =

\

13 1 i 3

[mintn^/n^.) dla i<j

(14)

£k =

T

£ k

I o o o o o o

__

k 1

c ,T

_

2

T o o o o o o

L —k P_ L t t J

' 1 "

kolumna kolumna

+V i +1>

(15)

S k =

’ ¿I

■

S 2 / gdzie

Si =

.

dla i = 1,2, . .. ,p (16)

Sk

a?

£

L -p.dT

(17)

Opis za pomocą postaci kanonicznej obserwowalnej równań stanu jest wyjś­

ciową postacią do przejścia na opis za pomocą różnicowych równań macierzo­

wych, a otrzymuje się go z dowolnego opisu równaniami stanu za pomocą zależ­

ności podanych na rys. 1 w gałęzi między węzłami 3) i 4).

W tym celu trzeba jednak utworzyć macierz przekształceń TQ , która ma na­

stępującą postać:

T—o T Si T Si i

T Dnr1

Si

i

T

— 2

— 2

Ł

cT

“P n2-1

n -1

- p -c P

(18)

T T T

gdzie wektory wierszowe £ 1 , £ 2 , c są kolejnymi wierszami macierzy C (2) :

T S i

c =

cT

- P

5. Opis za pomocą macierzowych równań różnicowych

Obiekt dyskretny wielowymiarowy można opisać w dwojaki sposób za pomocą macierzowych równarf różnicowych w zależności od przyjętego operatora prze­

sunięcia czasowego:

a) użycie operatora przesunięcia czasowego w przód "z":

A(z)^(t) = B (z ) u (t) (20)

gdzie:

A (z) = Iz M + A, z M_1 + A-z M-2 + ... + A (21)

i 2 nM

Zależności miedzy opisami. 289

B (z ) = Bq z M + B 1 z M_1 + B 2z M+ 2 + . . . + B n ( 2 2 )

M

b) użycie operatora opóźnienia czasowego "z 1":

A(z~1) £(t) = B(z-1) u(t) (23)

gdzie:

A ( z ~ 1 ) = J_ + A 1 z " 1 + A z - 2 + . . . + A z M ( 2 4 )

nM

B(z~1) = B + B.z"1 + B.z"2 + ... + B„ z M (25)

-0 -1 -2 — nM

przy czym w obu opisach

nM = max(n1,n2 ,...,np ) (26)

czyli nM jest największym spośród indeksów Kroneckera, a każdą macierz można przedstawić jako:

5i = [SsilSzi] i ■ °'1 "M <27>

gdzie:

- związane są z wektorem sterować jas (t ) ,

— zi ~ zwz3zane z wektorem szumu białego e(t) .

Opis typu a) odpowiada węzłowi 5) na grafie z rys. 1, a opis typu b) węzłowi 6). Aby przejść od opisu a) do b) trzeba pomnożyć obie strony za­

leżności (19) przez z M , a aby przejść z b) na a) - pomnożyć obie stro- ny (22) przez znM

6. Przejście od postaci kanonicznej obserwowalnej do postaci macierzowych równać różnicowych

Rozwijając metode podaną przez Shrikhada (1980) można sformułować nastę­

pujący algorytm przejścia od opisu w postać kanonicznej obserwowalnej równać stanu do opisu w postaci macierzowych równać różnicowych:

1. Należy utworzyć dwie następujące macierze:

a) z wierszy macierzy £ ^ 0 7 ) i £^(16):

¿ii

¿ 1 2

-In,

k t

¿21

¿2n2

-pnb

(28)

b) z elementów macierzy A,, (12):

M =

¿11 S , , - M 1p

M M » M

-21 — 22 *•' — 2p

¿pi ¿p2 . M -pp

(29)

gdzie:

¿ii "

iii

ii3

-a. . 1 n n_i

.

(n^+1)X(ni+1]

Zależności miedzy opisami. 291

M. . = -i 3

'aij1 _aij2 •••

i, . _ - a . . -n . • .

1 3 2 1 3 3

i3nij

-a. . i j

i,j=1,2,...,p

n . .xn .

*3 3

(31)

2. Obliczyć macierz F z zależności:

F = M R (32)

przy czym macierz ta ma następującą strukturę:

¿10fT

¿ 1fT 1

- m - )

-20fT

— 2n_

-pO

-pnfT PJ

(33)

3. Należy wypełnić macierze współczynników wielomianów A(z) i B(z):

a) dla wielomianu A(z) w poszczególne macierze współczynników wpisuje się kolejne elementy z pierwszych wierszy macierzy (30) i (31) w ten sposób, że do współczynnika A wpisuje się elementy: -a. .

M ^

(przy czym indeksy i oraz j wskazują miejsce elementu w macierzy A ), do A elementy: - a . i t d . , aż do macierzy A , której

nM “"m-I 3 nM

nie ma w (21), a która zastępuje macierz jednostkową przy z

Opisany sposób wypełnienia macierzy A^(i=0,1,...,nM ) można sformali zować zależnością:

A

~ n„-i

111 21 i

P U

1 2i

221

P2i

1pi 2pi

ppi

Wpisanie do odpowiednich A^ podlegają również jedynki i zera wystę­

pujące w pierwszych wierszach macierzy M

w danym wierszu jest mniejsza od ij' Jeżeli liczba elementów 'V należy go uzupełnić zerami.

Można zauważyć, że jeśli przynajmniej jeden indeks Kroneckera bę­

dzie mniejszy od

V macierz AQ może nie być macierzą jednostkową.

b) dla wielomianu B(z) korzysta się z wierszy macierzy nie z następującym przyporządkowaniem:

F (33) zgod-

— n„B

-li -2fT

i

-pifT .

dla i=0,1,...,n (35)

przy czym w miejsce wierszy, które nie występowały w macierzy leży wstawić wartości zerowe.

F, na-

W przypadku gdy macierz AQ przy z *M'* w wielomianie A(z) macierzą jednostkową, należy wykonać następujące czynności:

nie jest

a) jeżeli w i-tym wierszu macierzy A^ brakuje jedynki, a występuje ona dopiero w macierzy A_. , należy i-ty wiersz z macierzy A.. przepisać do macierzy A Q , z macierzy Aj + -j do macierzy A 1 itd., aż z ma­

cierzy A do macierzy A . Po dokonaniu przesunięć w odpowied-

M nM-1

nich wierszach macierzy A^ otrzymuje się macierz A^, która nie jest, co prawda, macierzą jednostkową, ale na przekątnej głównej ma same jedynki. Identyczne przesunięcia należy wykonać dla odpowiednich wierszy w macierzach B^ wielomianu B(z). Opisane czynności są po prostu przesunięciem czasu w i-tym równaniu różnicowym w zapisie ma­

cierzowym o j okresów próbkowania w przód.

b) należy pomnożyć obie strony otrzymanego w opisany sposób równania (20) lewostronnie przez A . Otrzyma się wtedy:

(36)

oraz żądaną postać macierzowych równań różnicowych.

Zależności między opisami. 293

Punkt 4 podanego algorytmu będzie zilustrowany przykładem. Na podstawie czynności z punktu 3 algorytmu dla obiektu o parametrach:

p = 2, q = 2, r = 0, n = 3, n. = 2, n = 1, nu = 2 otrzymano:

1 0 0 0

£(t + 2) + ¹¹² 212

X<t + 1) + 111

*211 1 2 1

2 2 1

X<t) =

f112 f123

u(t+2) + _f 112 f122u(t+1) +'f111 f 121 0 0

f 112 f222 > f221

U (t) (37)

Po wykonaniu czynności z punktu 4a to równanie różnicowe ma postać:

0 0 - a , .- 0

^(t+2> + 112 X(t+D + 111 121

_~a2 1 2 1_ __a21 1 "a221_ 0 0

f ff f ”f f.

= 113 123

u (t+2) + 112 122

u(t+1) + 111 121

f212 f222 f 21 1 f 221_ 0 0

u(t) (38)

łby otrzymać ostateczną postać macierzowego równania różnicowego, zgodnie z punktem 4b algorytmu należy pomnożyć lewostronnie obie strony zależności 138) przez:

2 1 2

•1

(39)

¡1 zależności (28) f (35) można wysnuć wniosek, że mając obiekt opisany za tmocą macierzowych równań stanu, przy znajomości indeksów Kroneckera, da Uę utworzyć macierze M oraz F i obliczyć macierz R z zależności:

R = M-1 F (40)

więc da się przejść do opisu tego obiektu za pomocą postaci kanonicznej bserwowalnej równań stanu.

7. Przypadek obiektu z czasem martwym

Jeżeli dla wszystkich sygnałów wejściowych występujących w wektorze u(t) 4) istnieje wspólny dyskretny czas martwy równy k-impulsów próbkowania,

poszczególne opisy wielowymiarowych obiektów dyskretnych przyjmą następują­

cą postaó:

1. Opis za pomocą równań stanu i wyjść (1) - (2):

Podobnie zmienia się postać z operatorem przesunięcia czasowego w przód.

8. Przykłady obliczeń

Podane przykłady dotyczą obiektów o dwu wejściach (q=2, r=0) i dwu wyjściach (p=2), ponieważ spośród wszystkich obiektów wielowymiarowych są one najprostsze do interpretacji.

1. Obiekt rzędu n=4:

Transmitancj i

x(t+1) = P x(t) + Q u(t-k) (41)

^(t) = C x(t) + D u(t-k) ( 4 2 )

Podobnie zmienia się postać kanoniczna obserwowalna (8) - (9).

2. Opis za pomocą transmitancji operatorowych (6):

yjt) = z k K (z 1) u(t) (43)

Podobnie zmienia się opis za pomocą transmitancji K(z).

3. Opis za pomocą macierzowych równań różnicowych:

A (z 1) £(t) = z k B (z 1) u(t) (44)

0.14z~1 0.07z~1 1-0.86z_1 1-0.74Z-1

(45) 0.13z~1 0.28z~1

,1-0.74z_1 1-0.86z"1

odpowiada transmitancja obiektu ciągłego próbkowanego z okresem T ^ = 1 . 5 [ s j :

1 0.25 1+slO 1+s5

K(s) (46)

0.5 2

1 +s5 1 +s 1 0 .

Zależności między opisami. 295

Dla transmitancji (45) uzyskano opis za pomocą macierzowych równah róż­

nicowych:

£(t)

- 1 . 6 0 "o. 6364 0

+ £<t -1) + X<t-1) =

0 -1 .6_ 0 0 . 6 3 6 4

*0.14 0. 07 - 0 . 1 0 3 6 - 0 . 0 6 0 2

= u ( t - 1 ) + u ( t - 2 )

0 . 1 3 0 . 2 8 - 0 . 1 1 1 8 - 0 . 2 0 7 2

(47)

przy następujących parametrach: n,,=2 oraz n„=2, n =2.

M 1 2

2. Obiekt rządu n=3 z czasem martwym równym tylko w dwu torach:

0 . 1 4 z _ 1

1

1NCO<N

O1C i 1 2 e - s T P 1

i

1 - 0 . 8 6 z _ 1

C' 1 o oo Oh N 1

T p = 1 • 5 [s]

1 + s 1 0 1 + s l O

) = --- K ( S ) =

0.13z-1 -1 0 . 0 7 z ” 1 0.5 0.25e_sTp

1-0.7 4 z - 1 -1

1 - 0 . 7 4 z 1+s5 1+s5

(48) Otrzymano:

x<t>

okOOD

01

* 0 . 1 4 0 ’0 0 . 2 8

+ i ( t - 1 ) = u ( t - 1 ) +

0 - 0 . 7 4 0 . 1 3 0 0 0 . 0 7

u (t-2) (49)

przy nM =2,

n^

,

3. Obiekt rzędu n=2 ale ze wspólnym czasem martwym równym T^:

K(z ') = z

0.14z-1 0.07z-1

T =1.5fs] p L J

V sTp 0.25e‘sTp"

1-0.86z-1 1-0.74z-1

0.28z_ ' 0.13Z"1

1+slO 1+s5

2e-sTp 0.5e“sTp

< — =^=K(s) =

1-0.86z-1 1-0.74z-1 1+s10 1+s5

(50)

Otrzymano:

£(t)

<NCO

O - 0 . 8 4 ' ‘ 0 . 1 4 0 . 0 7

+ Y . t t - 1 ) =

3 . 1 2 - 2 . 4 2 0 . 2 8 0 . 1 3

u (t-2) (51)

przy nM=1, n ^ l , n„ = 1.

9. Podsumowanie

Algorytm przeliczania parametrów dyskretnego obiektu wielowymiarowego z postaci macierzy transmitancj i na postaó macierzowych równari różnicowych poprzez postaó równali stanu i równali wyjść, podany w artykule zilustrowany na rys.^1, nadaje się znakomicie do przeprowadzenia wszelkich analiz jakoś­

ciowych związanych z obiektami wielowymiarowymi oraz do przeliczeii ręcznych Należy zauważyć, że zaproponowane przejścia są jednoznaczne, co zawsze po­

zwala na dokonywanie sprawdzających przejść odwrotnych.

LITERATURA

1J Kaczórek T.: Teoria wielowymiarowych układów dynamicznych liniowych.

WNT, Warszawa 1983.

2J Luo Z.: Transformations between Canonical Forms for Multivariable Li­

near Constant Systems. IEEE Tran, on Automatic Control, vol. 22, no 252 1977 .

3J Niederlirfski A.: Układy wielowymiarowe automatyki, WNT, Warszawa 1974.

4l Niederlirtski A., Hajdasirfski A.: Multivariable System Identifikation - a Survey. Proc 5th IFAC Symp. Ident. and Syst. Param. Est., Darmstadt, R. Isermann, Ed. Pergamon Press, Oxford 1979.

5j Solak M.K.: Transformations between Canonical forms for Multovariable Linear Constant Systems. Int. J. Control vol. 40, no 1, 1984.

el Solak M.K.: Cycliaty in Multicompanion Canonical Matrices. Int. J. Con­

trol vol. 39, no 4, 1984.

7J Shrikhade V.L., Mital D.P., Ray L.M.: On Minimal Canonical Realisation from Input-output Data Sequences, IEEE Trans. Automat. Control, vol.

AC-25, No 2, 1980.

8J Wolovich A., Eliot H.: Discrete Models for Lineor Multivariable Systems Int. J. Control, vol. 38, no 2, 1983.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. Tadeusz Kaczorek

Wpłynęło do Redakcji 29.10.86 r.

Zależności między opisami. 297

D o d a t e k

OKREŚLENIE INDEKSÓW KRONECKERA.DLA OBIEKTÓW WIELOWYMIAROWYCH

$

Indeksy Kroneckera są niezależne od formy zapisu własności dynamicznych danego obiektu. Rozpatrzony zostanie przypadek wyznaczania ich na podstawie opisu obiektu w postaci równań stanu i równań wyjść (1) - (2).

Niech w macierzy C będą wyodrębnione wiersze, jak w (19). Jeżeli obiekt ma n współrzędnych stanu (jest rzędu n) indeksy Kroneckera n^ (i=1,2,..,p, gdzie p-ilość wyjść obiektu) spełniają zależność (13).

W celu wyznaczenia indeksów Kroneckera należy najpierw utworzyć ciąg wier szy:

T Si T

£2

T -P

T T n2

£i£

T

¿2* < £ 2

ć PT Tp2

należy wybrać z tego

(D.1)

igu n wierszy liniowo od siebie niezależ­

nych. Istnienie n liniowo niezależnych wierszy gwarantuje nam obserwowal- ność obiektu. Wiersze te można wybrać kierując się różnymi kryteriami. In­

deksy Kroneckera otrzyma się, jeżeli wiersze te będą wybierane według nastę­

pującego algorytmu:

1. Wybiera się pierwszy wiersz ciągu (D.1).

2. Dodaje się do wybranych wierszy kolejny wiersz ciągu (D.1).

3. Sprawdza się czy dodany wiersz jest liniowo zależny od wszystkich poprzed nio już wybranych:

a) jeżeli nie jest on liniowo zależny od poprzednio wybranych, zalicza się go do wierszy wybranych,

b) jeżeli jest on zależny liniowo, to:

. odrzuca się go,

.. jeżeli był to wiersz c.P , T i to do następnych sprawdzeń liniowej zależności opuszcza się dalej także pozostałe wiersze związane z cT, tzn. wiersze cT P^ + ^ (1=1,2,...),

otrzymuje się indeks Kroneckera dla i-tego wyjścia obiektu równy:

(D. 2) 4. Sprawdza się czy otrzymano już p indeksów Kroneckera (n1,n2,...,n ) i

jeżeli otrzymano ich dotychczas mniej wraca się do punktu 2 algorytmu.

3AJHCHM0CÎH aSMfiy MATEHATH'ffiCKHUH 4CBÎAMH OIIIICAHKH flHHAMIMBCKHX HHCKPETHilX MHOrOKOCP^HHATHliX OEBEKTOB

P e 3 10 u e

B e r a?be npeflCTaB^eHH 3aBacaHocTa uexR/ leiupj> uh cJjopnaMa onacaHaa AHHa-

M B H eC K H X C B O Ü C T B flH C K peTH bD C M H O rO K O O p A H H âT H H X O d b e K T O B . P e H b H ^ ë T T y T o o n H c a H H H n p a n o M c q a M a i p a i i n e p e A a T o a n u x ; 5 y j i K m i i i , n p a n o M o q a o S q e i i cJjopMH y p a B H eh h ü c o c t o h h i i h, n p a n o M o q a K a H O H a a e C K O ü $ o p M U y p a B H e H a ü c o o t o h h h h h n p a n o M o q a M a i p ah h h x p a 3 H 0 C T H H X y p a B H e H a ü . 3t h 3 a B H C H U 0 C T H H J iJ i f f lc i p a p y io T C f l o o o T e B T c T B y j o m e f t c x e M o ü . I lp e A A o x c e H H u e M e i o f l u n e p e x o A O B H 3 o a h o ü $ o p M u o n a c a - h h b b f l p y r y x j 0 A H 0 3 H a H H ti h n o 3 B O J ia K )T b H e K O T o p H X c j i y a a a x H a n p o H 3 B e f l e H H e o C p a i H o r o n p e o 6 p a 3 0 B a H H H . A B a H 3 s t h x n p e o 6 p a 3 0 B a H H Ü o n a c a H U n o A p o Ô H o : n p e - o 6 p a 3 0 B a H H e o n a c a H H o e n p H n o M o q a o ô m e ü cfopM H y p a B H e H H Î t c o o t o h h h h b o n a c a H a e n p a n o M o r ç a H a O a r o f la e M o S $ o p M u y p a B H e H a ü c o c t o h h h h a H 3 o t o ü $ o p M U b o n a c a a a e n p a n o M o m a M a T p a a H t i x p a 3 H o c i H N X y p a B H e H H Î t . 3 x a A s a n p e o C p a 3 o B a H a a H J i J i i o c i p a - p y i o r o H H H c a eH H H M H n p a M e p a u a . B A o n o j i H e H a a n p e f l c i a s j i e H c n o c o f i o n p e A e a e H a a H H a eK O O B K p o H e a e p a B 3 a œ 6 o ü $ o p M b i y p a B H e H a ü c o o T o a H a a . l i H A e x c H K p o H e a e p a a c n o a b 3 0 B a H b i b a i a x A B y x , n o A p o O H e e o n a c a n H u x a j i r o p a i M a x a n o 3 T o « y s i a a a - r o p a T M u A a » T 0 A H 0 3 H a a H u e p e 3 y a b T a i u .

DEPENDENCIES BETWEEN MATHEMATICAL DESCRIPTION FORM OF DYNAMIC DISCRETE MULTIDIMENSIONAL SYSTEMS

S u m m a r y

In the paper the dependencies between four description forms of dynamics properties for discrete multidimensional systems are presented. The involved descriptions are as follows the description by means of the transfer func­

tion matrix by means of'the general form of state equations, by means of the canonical observable form of state equations and by means of the diffe­

rence matrix equations. These dependencies are illustrated by an appropria­

te scheme. The proposed methods for conversion from one description form to another are unique and they enable, in some cases, to do the inverse conver­

sion. Two of these conversions are described in detail: the conversion from the description by means of the general form of state equations to the cano­

nical observable form of state equations, and from this form to the descrip­

tion by means of state equations, and from this form to the description by means of the difference matrix equations. These two conversions are illustra' ted by some numerical examples. In the appendix the method for calculation of the Kronecker indices using any form of state equation description is presented. The Kronecker indices are used in both algorithms describet in detail and therefore these algorithms produce unique results.