Jerzy ZA JĄ C , A dam Ł U SZ C ZE K Politechnika K rakow ska
KRYTERIA ZG ODNOŚCI W PROCESIE GENEROWANIA W ZORÓW ROZKROJU ELEM ENTÓW PŁASKICH
Streszczenie: W referacie om ów iono m etody rozw iązyw ania problem ów rozkroju z elem entam i nieregularnymi. Skoncentrow ano się na problem ie łączenia elem entów w procesie generow ania w zorów rozkroju. W celu w eryfikacji popraw ności uzyskiw anych rozw iązań zaproponow ano kryteria zgodności służące do oceny jak o ści łączenia dw óch elem entów . Przedstaw iono przykłady uzasadniające przyjęcie zaproponow anych kryteriów.
OPTIM ALITY CRITERIA IN PROCESS OF PLANE FIGURES CLUSTERING
Sum m ary: T he paper deals with an optim al clustering o f tw o-dim ensional shapes.
T o find a solution o f each practical nesting problem, a lot o f tw o-pieces clustering problem s have to be solved. T he objective is to cluster tw o plane figures according optim ization criteria. A set o f hierarchical optimality criteria is proposed. E xam ples describing the role o f th e criteria are presented.
ÜBEREINSTIM M UNGSKRITERIEN IM PROZESS DER
AUSCHNEIDEM USTER-G ENERIERUNG VON FLACHELEMENTEN
Zusam m enfassung: Im Artikel w urden die M ethoden d er L ösung von A uschneideproblem en der unregelm äßigen Elem enten besprochen. Das H auptproblem ist die V erbindung von Elem enten im Prozess der A uschneidem uster- G enerierung. Es w urden die zur B eurteilung der V erbindungsgüte von E lem enten dienenden Ü bereinstim m ungskriterien vorgeschlagen. Es w urden die B eispiele dargestellt, die vorgeschlagene K riterien begründen.
148 J.Zaiac. A .Łuszczek
1. W p ro w a d z e n ie
Problem efektyw nego rozm ieszczania elem entów nieregularnych w przestrzeni dw uw ym iarow ej stanow i przedm iot intensyw nego zainteresow ania badaczy pracujących w różnych dziedzinach nauki, takich jak: m atem atyka, inform atyka, zarządzanie czy technologia.
P race om aw iające to zagadnienie spotkać m ożna w periodykach i m ateriałach konferencyjnych dotyczących wielu dziedzin wiedzy, jed n ak ż e dom inującą rolę odgryw a interdyscyplinarne podejście stanow iące obszar zainteresow ań badań operacyjnych. W ielość m ożliw ych zastosow ań o raz potencjalne korzyści w ynikające z w łaściw ie realizow anego procesu rozkroju p o w o d u ją duże zainteresow anie tą tem atyką. Zestaw ienie literatury z tego zakresu znaleźć m ożna w pracach przeglądow ych [3][5][6][8][14], W śród w ielu ciekaw ych problem ów pojaw iających się przy autom atyzacji projektow ania p rocesów rozkroju m ateriałów , jednym z najw ażniejszych i jednocześnie najciekaw szych zagadnień jest rozkrój płaskich elem entów nieregularnych. K luczow ym elem entem algorytm ów optym alizacji rozkroju je st problem autom atycznej generacji w zorów rozkroju. W zó r rozkroju je st to p rzyporządkow anie elem entów w ynikow ych (które chcem y w yciąć) do elem entu stanow iącego przedm iot rozkroju. P roces przyporządkow ania realizow any je st w taki sposób, by uzyskać optim um przyjętych kryteriów oceny. Najczęściej w ykorzystyw anym , choć nie w e w szystkich przypadkach najlepszym kryterium optym alizacji, je st w ielkość odpadu pow stającego w procesie rozkroju. D la opracow yw ania algorytm ów generacji w zorów rozkroju niezbędne je st w cześniejsze zdefiniow anie lokalnych kryteriów zgodności, służących do "bieżącej" oceny popraw ności łączenia elem entów . Problem określenia kryteriów zgodności w procesie g enerow ania w zo ró w rozkroju elem entów płaskich stanow i przedm iot zainteresow ania au to ró w referatu.
2. M e to d y ro z w ią z y w a n ia p ro b le m u g e n e ro w a n ia w zo ró w r o z k r o ju z e le m e n ta m i n ie r e g u la r n y m i
Problem efektyw nego generow ania w zo ró w rozkroju rozw iązuje się g łó w n ie z a p o m o c ą m etod heurystycznych. L iteratura z tego zakresu jest stosunkow o nieliczna,co w ynika z jednej strony ze złożoności sam ego zagadnienia, a zdrugiej strony z dużego znaczenia kom ercyjnego efektyw nych algorytm ów . W podejściu heurystycznym do rozw iązania problem u g en ero w an ia
w z o ró w rozkroju z elem entam i nieregularnym i dom inują dw ie strategie. Pierw sza, częściej opisyw ana w literaturze [1][7][9][15][17], bazuje na hierarchicznym dw uetapow ym podejściu.
W etapie pierw szym nieregularne elem enty "w pasow ywane" są pojedynczo lub grupam i w prostokąty, tak by stosunek pola zajętego przez elem enty do pola prostokąta był m aksym alny [I][1 0 ], W etapie drugim rozw iązuje się problem z elem entam i regularnym i (prostokątam i zaw ierającym i elem enty nieregularne) stosując podejście determ inistyczne lub heurystyczne.
O trzym yw ane rozw iązania, ze w zględu na zastosow aną specyfikę podejścia, są korygow ane autom atycznie lub za p o m o cą specjalnych program ów um ożliw iających "ręczne"
m anipulow anie elem entam i. D ruga strategia polega na bezpośrednim pakow aniu elem entów nieregularnych [9][ 13], Stosuje się tu m etody heurystycznego przeszukiw ania [2], losow e [ I I ] , a dla szczególnych przypadków naw et m etody determ inistyczne [4][ 12].
P odstaw ow e znaczenie w procesie projektow ania w zorów rozkroju m ają kryteria służące do oceny uzyskiw anych rozw iązań. Najbardziej "popularnym " kryterium oceny w zo ró w rozkroju je st w ielkość odpadu lub zw iązana z nim w ydajność procesu rozkroju. Z naczna w iększość publikacji dotyczących problem atyki rozkroju w ykorzystuje w łaśnie m inim alizację odpadu ja k o funkcję celu. K ryterium to, pom im o dużego znaczenia praktycznego,posiada w iele w ad.
Z jednej strony bow iem odpad m oże stanow ić je d n ą w iększą całość lub składać się z wielu m ałych części, a z drugiej strony trudno jednoznacznie stw ierdzić,co ju ż je st o d p a d e m ,a co m oże być jesz c z e w ykorzystane.
3. K r y te r ia zg o d n o śc i w p ro cesie łącz en ia elem entów
R ozw iązanie każdego praktycznego problem u rozkroju m ateriałów , o p ró cz określenia strategii w yboru elem entów o raz sposobu ich rozm ieszczania, w ym aga rów nież przygotow ania narzędzi um ożliw iających bezkolizyjne dosuw anie elem entów o raz przyjęcia kryteriów pozw alających na ocenę jakości otrzym yw anych rozw iązań. W procesie łączenia elem entów uw zględnić należy w ym agania technologiczne staw iane przez urządzenie w ykorzystyw ane do realizacji procesu cięcia. W szystkie stosow ane obecnie technologie realizacji procesu cięcia (cięcie laserow e, cięcie plazm ow e, w ypalanie gazow e, frezow anie, w ycinanie na prasach) staw iają w arunek, by w e w zorze rozkroju uw zględnić fakt, że n arzędzie (zw ykle przypisuje m u się kształt kola) m oże sw obodnie przem ieszczać się pom iędzy elem entam i. N ajprostszym sposobem zapew nienia miejsca dla narzędzia, z a p o m o cą
150 J.Zaiac. A.Łuszczek
którego realizujem y p roces rozkroju, jest zm odyfikow anie kształtu elem entów podstaw ow ych p o p rzez u tw o rzen ie ekw idystanty odległej od bazow ego kształtu elem entu o w ielkość prom ienia narzędzia. AJgorytm generow ania ekw idystanty dla elem entów płaskich przedstaw iono w pracy [16]. Pojęcie "element" w dalszych rozw ażaniach trak to w an e będzie ja k o ekw idystanta "elem entu bazow ego".
P rzed przystąpieniem do analizy procesu dosuw ania elem entów należy zastanow ić się, w jaki sposób m odelow any je s t kształt elem entów będących przedm iotem rozkroju. N ajczęściej w ykorzystyw anym i sposobam i są:
• zastosow anie w ieloboku, czyli zam kniętego łańcucha połączonych ze so b ą odcinków . U w zględniając m ożliw ość w ystąpienia łuków , kształt każdego elem entu m oże być m odelow any za p o m o c ą zam kniętego łańcucha w zajem nie połączonych o dcinków i łuków ,
• zastosow anie w zajem nie prostopadłych odcinków - "schodków ".
: - powierzchnia figury J - powierzchnia "schodków"
Rys. 1. Przykład "schodkow ej" dyskretyzacji elem entów nieregularnych Fig. 1. An exam ple o f "stairs like" discretization
W niniejszej pracy zastosow ano m odelow anie "schodkow e". W ybór teg o sposobu, m odelow ania m o żn a uzasasadnić:
• m ożliw ością zapisu w półrzędnych w ęzłow ych elem entów za p o m o cą liczb całkow itych,
• łatw o ścią m ierzenia odległości pom iędzy poszczególnym i elem entam i (ró żn ica w artości całkow itoliczbow ych),
• łatw o ścią zm iany dokładności dyskretyzacji elem entów (rys. 1.) pozw alającą na zw iększenie lub zm niejszenie dokładności przybliżania elem entów bez zm iany algorytm u użytego d o łącz en ia ( dosuw ania ) elem entów ,
• faktem , że zn aczn a liczba elem entów będących przedm iotem rozkroju w przem yśle m etalow ym m a kształt, który zam odelow ać m ożna za p o m o c ą je d n e g o lub kilku połączonych ze so b ą prostokątów .
D o p rzep ro w ad zen ia analizy w pływ u kryteriów zgodności elem entów na ja k o ść ich połączenia niezbędne je st w cześniejsze opracow anie algorytm u um ożliw iającego au to m aty czn ą "schodkow ą" dyskretyzację.
O kreślenie w łaściw ych lokalnych (stosow anych przy łączeniu dw óch elem entów ) kryteriów zgodności, k tó re p o zw o lą na spełnienie kryteriów globalnych, nie je s t zagadnieniem prostym . R ozw iązanie lokalnie optym alne, z punktu w idzenia przyjętych kryteriów zgodności, nie będzie p row adziło bow iem do rozw iązań globalnie optym alnych dla znacznej w iększości przypadków . Jest to sp o w o d o w an e faktem , że na rozw iązanie globalne w pływ m ają rów nież inne c z y n n ik i, ja k : rodzaj elem entów w ybranych do łączenia czy też ich m iejsce na rozkraw anej płycie. Jakąkolw iek jed n ak strategię generow ania w zo ru rozkroju chcielibyśm y przyjąć, m usim y w cześniej określić kryteria lokalne, które należy zastosow ać przy łączeniu d w óch elem entów . Z e w zględu na N P-zupełny charakter problem u globalnego, analiza w szystkich m ożliw ych jeg o rozw iązań nie jest możliwa.
W niniejszej pracy z a p ro p o n o w an o cztery następujące kryteria lokalnej zgodności łączonych elem entów :
• pole pow ierzchni pro sto k ąta ( o minimalnej pow ierzchni ) opisanego na łączonych elem entach - K I,
• pole pow ierzchni odciętej ( z a m k n ię te j) przez łączone elem enty - K2,
• iloraz w ym iarów p ro sto k ąta opisanego na łączonych elem entach - K3,
• od leg ło ść śro d k ó w ciężkości elem entów - K4.
P rzed staw io n e pow yżej zestaw ienie kryteriów zgodności pow stało na podstaw ie badań realizow anych za p o m o c ą opracow anego program u kom puterow ego. D om inującą rolę spełnia kryterium pierw sze. P o zo stałe kryteria są jedynie kryteriam i uzupełniającym i, a ich znaczenie zostanie przed staw io n e na przykładach praktycznych. K ryterium o parte na polu pow ierzchni p ro sto k ąta opisanego na łączonych elem entach jest kryterium "oczyw istym ". Jego
152 J.Zaiac. A .Luszczek
m inim alizacja prow adzi bow iem w prost do zw iększania w spółczynnika w ykorzystania m ateriału, co je s t całkow icie zgodne z działaniem głów nego kryterium globalnego, czyli m inim alizacją odpadu. A lgorytm y autom atycznego g enerow ania w zo ró w rozkroju zapew nić p ow inny otrzym yw anie optym alnych rozw iązań w różnych praktycznych sytuacjach. N a rys. 2. przedstaw iono p rzykładow e połączenia dw óch elem entów w kształcie litery C.
a ) b )
a 4a a
2 ,5 a
l,5 a
K I ; K2 ; K3 : K4 ‘
2 0 a 2 2 a 2
1,25 2,9a
K I = 2 0 a 2 K2 = 0 K3 = 1,25 K4 = 2 , la
l l l l l l l l - powierzchnia odcięta
— —- — - zarys prostokąta o minimalnej powierzchni opisanego na łączonych e le m e n ta c h
Rys. 2. Z asad a w yboru rozw iązania optym alnego za p om ocą kryterium pola odciętego Fig. 2. T h e role o f unusable area in selecting optim al solution
W ielkości K I , K 2, K3 i K 4 przedstaw iają w artości kryteriów optym alizacji dla przyjętych w ym iarów geom etrycznych. Jak w idać, obydw a rozw iązania charakteryzują się tą sam ą w arto ścią pierw szego kryterium oceny. N a bazie jedynie tego kryterium algorytm nie będzie w stanie w ybrać jed n o zn a czn ie w łaściw ego rozw iązania. Jest oczyw iste, że rozw iązanie przedstaw ione na rys. 2b je s t rozw iązaniem lepszym, gdyż um ożliw ia "przyszłe" potencjalne w ykorzystanie pola pow ierzchni, co je st w ykluczone w sytuacji w idocznej na rys. 2a. W przypadku g dy na bazie pierw szego kryterium uzyskujem y w ięcej niż je d n o rozw iązanie, korzystne je st w ięc uw zględnienie drugiego kryterium , czyli pola pow ierzchni odciętej (zam kniętej) przez łącz o n e elem enty. K ryterium to podlegać będzie minimalizacji.
K ryteria trzecie i czw arte nie są tak oczyw iste, ja k pierw sze i drugie. Ich przedstaw ienie tutaj w ynika je d n a k z faktu, że m ają zastosow anie do znacznej w iększości przy p ad k ó w praktycznych. W ynikają o n e bow iem z zasady, że w sytuacji, gdy odpad musi
w ystąpić, lepiej by był um iejscow iony w jednym miejscu - tak by potencjalnie m o żn a g o było najefektyw niej w ykorzystać. S ą to w ięc kryteria o charakterze heurystycznym ale bazujące na logicznie uzasadnionych przesłankach. Z astosow ać je m ożna w sytuacji, gdy na bazie dw óch p o przednio przedstaw ionych kryteriów nie m ożna w ybrać jed n eg o rozw iązania.
a)
b )K I = 12a2 K 2 = 0 K 3 = 1,33 K4 = l,8 0 a
2a a
■ l i i
a
iiiiiiiiiiiii®
K I = 12a2 K2 = 0 K3 = 1,33 K4 = l,5 0 a
Rys. 3. P rzykład przedstaw iający rolę kryteriów K3 i K4 Fig. 3. A n exam ple describing the role o f K3 and K 4 criteria
N a rys. 3 przedstaw iono ta k ą sytuację. Przykład prezentuje różne w arianty połączenia dw óch elem entów : k w ad ratu o w ym iarach 2a*2a i prostokąta o w ym iarach 4 a * la . W ybrano elem enty regularne, aby zw iększyć czytelność przykładu. W szystkie cztery zap rezen to w an e na rys. 3 przypadki charakteryzują się tymi samymi w artościam i kryterium pierw szego i drugiego.
Istnieją d w a m ożliw e podejścia. D ążenie do połączenia elem entów w ten sposób, by
d)
K I = 12a2 K2 = 0 K3 = 3 K4 = 3,00a
154 J.Zaiac. A .Łuszczek
elem ent w ynikow y charakteryzow ał się bardziej rów nom iernym i proporcjam i w ym iarow ym i, w ym aga zasto so w an ia kryterium trzeciego. Przyjęcie ja k o kryterium w yboru stosunku w ym iarów w iększego do m niejszego (prostokąta opisanego na łączonych elem entach) i dążenie do je g o m inim alizacji spow oduje uzyskanie rozw iązania przedstaw ionego n a rys. 3a.
W tym przypadku niezbędne będzie jeszcze użycie ja k o finalnego - kryterium czw artego.
M aksym alizacja czw arteg o kryterium , czyli odległości środków ciężkości, bez w cześniejszego użycia kryterium trzeciego, prow adzić będzie natom iast do rozw iązań "sm ukłych", tak jak przedstaw iono to na rys. 3d.
W przypadku gdy je d e n elem ent całkow icie mieści się w prostokącie o m inim alnej pow ierzchni opisującym drugi elem ent, konieczne je st zastosow anie m inim alizacji czw artego kryterium .
W praktyce przem ysłow ej, gdy m am y do czynienia z elem entam i nieregularnym i, rzadko zd arza się taka sytuacja, by istniały rozw iązania o dokładnie takiej samej w artości kryteriów oceny. W tym przypadku należy w ięc narzucić pew ną tolerancję przy porów nyw aniu w artości kryteriów , tak aby istniała m ożliw ość uw zględnienia innych kryteriów oceny.
4. U w agi k o ń co w e
Z a p ro p o n o w a n e w referacie kryteria zgodności stanow ią narzędzie do rozw iązyw ania problem u łączenia dw óch elem entów . Ich hierarchiczne zdefiniow anie pozw ala na proste opisanie algorytm u łączenia elem entów . W stępne badania ko m p u tero w e potw ierdziły skuteczność zapro p o n o w an y ch kryteriów . K onieczne jest jed n ak w ykonanie dalszych badań, szczególnie nad w pływ em otrzym yw anych połączeń na proces generacji w zo ró w rozkroju.
L IT E R A T U R A
[1] A dam ow icz M ., A lbano A.: N esting tw o-dim ensional shapes in rectangular m odules.
C o m p u ter A ided D esign 8/1, 1976, pp.27-33.
[2] A lbano A., S apuppo G.: O ptim al allocation o f tw o-dim ensional irregular shapes using heuristic search m ethods, IE E E T ransactions on Systems, M an and C ybernetics 10, 1980, p p .242-248.
[3] B łażew icz J., D rozdow ski M ., Soniew ski B., W alkow iak R.: T w o-dim ensional cutting stock problem basic com plexity results and algorithm s fo r irregular shapes. F o u n d atio n od C ontrol E ngineering 14, nr 4, 1989, p p .137-160.
[4] C unningham e-G reen R .A .: An Industrial C utting Problem . Zeszyty N au k o w e P olitech
niki Śląskiej, s.A utom atyka z. 103, 1991, pp.27-38.
[5] D yckhofF H ., K ruse H .-J., Abel D., Gal T.: Trim loss and related problem s, O m ega 13/1, 1985, pp.59-72.
[6] D yckhofF H .: A typology o f cutting and packing problem s, E uro p ean Journal o f O perational R esearch 44, N um ber 2, 1990, pp. 145-159.
[7] H aim s M .J., Freem an H .: A m ultistage solution o f tem plate layout problem , IE E E T ransactions on System s Science and C ybernetics SSC -6/2, 1970, pp. 145-151.
[8] H inxm an A .I.: T he trim loss and assortm ent problems: A survey, E uro p ean Journal o f O perational R esearch 5, 1980, pp.8-18.
[9] N ee A .Y .C ., S eow K .W ., L o n g S.L.: D esign algorithm fo r nesting irregular shapes w ith and w ithout b oundary constraints. Annals o f th e CIRP 35/1, 1986, p p .107-110.
[10] N ee A .Y .C .: C o m p u ter aided layout o f metal stam ping blanks. P roc. Instn. M ech. Engrs.
V ol 198B, N o 10, 1984, pp. 187-194.
[11] S egenreich S. A., B raga L.M .: O ptim al nesting o f general plane figures: a M o n te Carlo heuristical approach, C om puters and G raphics, 10/3, 1986, pp.229-237.
[12] S egenreich S.A.: O ptim al nesting o f arbitrary plane translates, S econd International C onference on C om puter-A ided Production Engineering, E dinburgh 1987, p p .61-65.
[13] Q u W ., S anders J.L .: A nesting algorithm fo r irregular parts and factors affecting trim losses, International Journal o f Production Research 25/3, 1987, pp.381-397.
[14] Z ając J.:R o zk ró j m ateriałów : Problem y i m etody ich rozw iązyw ania. P race N au k o w e Instytutu T echnologii M aszyn i A utom atyzacji Politechniki W rocław skiej, n r 49, 1991, pp. 111-116.
[15] Z ając J.: P ew ien algorytm generow ania w zo ró w rozkroju elem entów płaskich. Zeszyty N au k o w e P olitechniki Śląskiej, s. A utom atyka, z.10, 1992, s . 169-177.
[16] Z ając J., M ałopolski W .: A lgorytm generow ania ekw idystanty dla celów autom atyzacji p rojektow ania w zo ró w rozkroju elem entów płaskich. M ateriały na konferencję n au k o w ą
"P odstaw y P rojektow ania P rocesów i System ów Produkcyjnych". M ono g rafia 150, P olitechnika K rakow ska, K raków 1993, s.275-280.
[17] Z ając J.: D w uetapow y algorytm generow ania w zo ró w rozkroju elem entów płaskich.
M ateriały na IX K onferencję "M etody i Środki P rojektow ania W spom aganego K om puterow o". P olitechnika W arszaw ska, W arszaw a 1993, s.615-622.
R ecenzent: Prof, d r hab. inż. Franciszek M arecki W płynęło do R edakcji do 30.04.1994 r.
A b s tr a c t
T h e problem o f determ ining h ow to cut irregularly-shaped pieces o u t o f a given stock sheet in an optim um m an n er is a problem o f g reat interest for many industries. T h e m ajor goal
156 J.Zaiac. A.Luszczek
fo r a g o o d nesting arrangem ent is to reduce quantity o f scrap. T o find a solution o f each practical nesting problem a lot o f tw o-pieces clustering problem s have to be solved. F o r that operation it is necessary to prepare tools fo r nonoverlaping clustering and define local optim ization criteria. In the paper a set o f hierarchical optim ality criteria is proposed. T he m ain criterion is an area o f th e m inim um -area rectangular enclosure o f various clusterings.
T he m inim ization o f this criterion corresponds directly w ith the m inim ization o f m ajor parts nesting criterion i.e. reduction o f the am ount o f scrap. In m any practical situations th ere are usually m o re than o n e acceptable solutions. It is necessary to select the p ro p er solution basing on a n o th er criterion. T h e second criterion used in this article is an unusable area i.e. p art o f the stock sheet th a t can n o t be allocated by pieces (see Fig.2a). T w o m ore criteria can be used w hen th ere is no possibility to find one acceptable solution. U sing a quotient o f dim ensions o f the m inim um -area rectangular enclosure and a distance betw een centers o f gravity o f allocated pieces, thin (see Fig. 3d) o r thick (see Fig 3a) solution can be selected.