Zagadanienie systematyzacji matematyki

Mieczysław Lubański

Zagadanienie systematyzacji

matematyki

Studia Philosophiae Christianae 9/1, 219-234

1973

S tu d ia P hilosophiae C h ristian a e A TK

9/1973/1

M IECZYSŁAW LUBA Ń SKI

ZAGADNIENIE SYSTEMATYZACJI MATEMATYKI

1. W prow adzenie. 2. S tru k tu ry . 2.1. M etoda aksjom atyczna. 2.2. S tru k tu ry proste. 2.3. S tru k tu ry złożone. 3. K ategorie. 3.1. O kreślenie kategorii. 3.2. P rz y k ład y k ategorii. 4. System y algebraiczne. 4.1. O znaczenia pom ocni­ cze. 4.2. O kreślenie system u algebraicznego. 4.3. A lgebry i m odele. 4.4.

Zastosow anie d o alg eb ry ab stra k cy jn ej. 5. Podsum ow anie.

1. Wprowadzenie

Z agadnienie system atyzacji w iedzy ludzkiej jest jedn ym z w ażniejszych zagadnień filozofii nauki. Wobec w zrastającej d y ferencjacji n a u k oraz ogrom nego pow iększania się ilości in­ form acji naukow ej poszukiw anie schem atów unifiku jących wiedzę ludzką w ydaje się być ty m bardziej ważne. W szczegól­ ności chodzić może o system atyzację in teresującej nas jednej nauki. H istoria m yśli ludzkiej w skazuje, że poszczególne nau k i p ow stają jako odpowiedź n a p y tan ia staw iane bądź przez po­ trzeb y życia codziennego, bądź przez istniejące już w cześniejsze nauki. Z tego też w zględu dokonuje się zabiegu system atyzacji nauk i już istniejącej. K ażda sy stem atyzacja jest, z reguły, ty m ­ czasowa, poniew aż dalszy rozw ój danej gałęzi w iedzy może ujaw nić takie cechy, k tó re okażą się w ażne dla zagadnienia sy­ stem atyzacji. Dzięki sy stem atyzacji danej nauk i uzyskuje się zrozum ienie jej istotnego sensu, a także ujrzenie p erspek tyw jej rozw oju 1.

1 Por. D. G ierulanka, Z agadnienie sw oistości poznania m a te m a ty c z­ nego, W arszaw a 1962, 153—155.

M atem atyka jest n a u k ą o k ilk u ch arak tery sty czny ch cechach. Po pierw sze posiada c h a ra k te r kum ulacyjny. P rzejaw ia się on w tym , że m atem aty k a nie traci nigdy nic ze swego sta n u po­ siadania. Je j granice ustaw icznie się p o w ię k sza ją 2. Po drugie, m atem aty k a jest uniw ersalna. Nie m a tak iej rzeczy, k tó ra by ­ łaby jej obca. M atem atyka może być ro zp atry w an a jako n au k a o rzeczy w isto ści3. Po trzecie, m atem aty k a u trzy m u je n ieprze­ rw a n y k o n tak t z em pirią, zaś jej najogólniejsze n aw et kon­ stru k c je stanow ią niezw ykle użyteczne narzędzie do pogłębio­ nego poznaw ania p r z y r o d y 4. A b strak cyjn e uogólnienia m uszą się zaczynać i kończyć na tym , co k o n kretn e oraz szczegółowe 5. Po czw arte, m atem aty k a jest bardzo bogata w idee. W jej h i­ sto rii p rzew ijają się najw spanialsze m yśli niezliczonych po­ koleń 6. ,

Toteż, nic dziwnego, że zagadnienie system atyzacji m atem a­ tyk i jest problem em złożonym i tru d n y m . H istoria m atem atyk i n o tu je różne zabiegi system aty zacy jn e odnoszące się do niej całej, w zględnie do niek tóry ch tylko jej działów. W ym ienić tu m ożna przykładow o: system atyzację geom etrii w edług tzw. pro gram u z Erlangen F. K leina, propozycję M. Geigera, próbę konw encjonalistyczno-form alistyczną i t p . 7

W a rty k u le dokonuje się przeglądu trz e ch w spółczesnych koncepcji, które mogą służyć jako podstaw y do system atyzacji m atem atyki, jeżeli nie całej, to przy n ajm n iej w ażnych jej frag ­ m entów . K oncepcjam i ty m i są: pojęcie s tr u k tu ry w sensie B our- bakiego, pojęcie kategorii oraz pojęcie system u algebraicznego. K oncepcje te nie m ogą być uw ażane za ostateczne. Rozwój m a­ tem aty k i jest olbrzym i. W szystko w y d aje się w skazyw ać na to,

2 Zob. A. Aaboe, M a tem a ty ka w starożytności, W arszaw a 1968, 6.

3 H. S teinhaus, K alejdoskop m a tem a ty czn y, W arszaw a 1956, 6.

* L. G eym onat, Filozofia a filo zo fia nauki, W arszaw a 1966, 210.

5 R. C ourant, M a tem a ty ka w św iecie w spółczesnym , w : M a tem a ty ka

w św iecie w spółczesnym , W arszaw a 1966, 13.

6 D. J. S tru ik , K r ó tk i zarys h istorii m a te m a ty k i do końca X I X w iek u , W arszaw a 19632, 9.

Z A G A D N IE N IE S Y S T E M A T Y Z A C JI M A TE M A T Y K I ₂₂₁

że m atem aty k a nie da się zam knąć w pew nych, z góry przy ję­ tych, koncepcjach. W m atem atyce bowiem dedukcja w inn a być uzupełniana intuicją, zaś pęd k u postępującym uogólnieniom m usi być ham ow any oraz rów now ażony um iłow aniem i posza­ now aniem barw nych szczegółów 8. To zw iązane jest, z jednej stro n y z rozw ażaniem zagadnień szczegółowych, z drugiej zaś — z pow iązaniem z elem entem em pirycznym , który, ja k dobrze wiadomo, stanow i obfite i niew yczerpane źródło dla istotnie no­ w y ch idei, myśli.

2. S tru k tu ry

Pojęcie s tru k tu ry zostało w prow adzone przez Bourbakiego. J e s t ono pow iązane z m etodą aksjom atyczną, k tó ra sam a przez się prow adzi, w pew nym przy n ajm niej znaczeniu, do u n ifik a­ cji m atem atyki. Z tego w zględu zw rócim y n ajp ierw uw agę na istotne, z interesującego nas p u n k tu widzenia, asp ek ty m etody aksjom atycznej.

2.1. M etoda aksjom atyczna.

T eoria zbudow ana aksjom atycznie, z reguły, posiada w iele in te rp re ta c ji. Dzięki tem u zw iększa się możliwość stosow ania m atem aty k i w innych naukach, zwłaszcza w fizyce. Zarazem daje to oszczędność czasu i oznaczeń. M etoda aksjom atyczna pozw ala badać całe rodziny tw orów pozostających m iędzy sobą w pew nym związku. O trzym uje się wówczas znacznie bardziej ogólne tw ierdzenia. Także znajom ość poszczególnych tw orów staje się lepsza. Na p rzykład w analizie funkcjonalnej ro zp atru ­ je się w ogólny sposób zbiory elem entów z postulow anym i dla nich pew nym i w łasnościam i. Na tej podstaw ie w yprow adza się tw ierdzenia. A następnie w ykazuje, że zachodzą one w różnych działach m atem atyki. Zam iast więc pow tarzać, w zasadzie to sam o rozum ow anie, kilka razy w różnych gałęziach m atem a­

tyki, przeprow adza się je jed en raz, a potem jedynie pow ołuje się n a nie odpow iednią ilość razy. M etoda aksjom atyczna um oż­ liw ia ścisłe ujęcie teo rii m atem atycznych. Dzięki aksjom atyce rac h u n e k praw dopodobieństw a uzyskał m ocne p odstaw y oraz jednolitość. Z pow iedzianego w idać, że m atem aty k a współcze­ sna może być nazw ana „re lac y jn a ”. Ta własność pociąga za so­ bą w ew nętrzny dynam izm m atem aty k i. J e s t to szczególnie cen­ ne z rac ji n a aplikację m atem aty k i do fizyki. D ośw iadczenie fizyczne bowiem w y jaw ia jedynie n a tu rę związku, k tó ry zacho­ dzi m iędzy św iatem rzeczyw istym a p rzyrządem pom iarow ym . N ależy pam iętać, że sam fa k t posiadania przez teo rię aksjo- m atyczn ą n aw et bardzo w ielu m odeli, nie stanow i autom atycz­ nie o jej naukow ej użyteczności. Może bow iem ona rzucać zbyt słabe św iatło na te modele. O gólna teoria w ted y znajdzie dla siebie uzasadnienie, kiedy np. o dkryje nieoczekiw ane oraz otw ierające now e p ersp ek ty w y zw iązki m iędzy teoriam i u w a­ żanym i do tej pory za odległe od siebie, w zględnie gdy p rzy ­ czyni się do rozw iązania jakiegoś ciekawego, a zarazem tru d ­ nego, problem u.

M etoda aksjom atyczna pozw ala także n a przezw yciężanie pew nych trudności o ch arak terze m etafizycznym . Sens pow ie­ dzianego m ożna dobrze zilustrow ać i w yjaśnić n a przykładzie zbioru liczb zespolonych. Liczby te u tra c iły całkow icie swój „u ro jo n y ” c h a ra k te r z chwilą, k ied y okazało się, że są one p u n ­ k tam i płaszczyzny, czyli elem entam i p ro d u k tu prostej rzeczy­ w istej przez siebie, z pew nym i dw om a p rostym i o p e ra c ja m i9.

2.2. S tru k tu ry proste.

W yróżnić się d ają cztery zasadnicze ty p y s tru k tu r prostych. P o w sta ją one przez przyjęcie za podstaw ę dla ich określenia pew nego rodzaju relacji. Może n ią być, odpowiednio, relacja

9 O dnośnie do ro zw ażań obecnego p a ra g ra fu por. G. Choquet, A n a ­

liza i B ourbaki, „W iadom ości M atem atyczne” 7 (1963), 101—105 oraz S.

B anach, S u r les opérations dans les ensem bles abstraits e t leur applica­

[б] Z A G A D N IE N IE S Y S T E M A T Y Z A C JI M A TE M A T Y K I 223 równoważności, relacja ty p u algebraicznego, relacja porządku oraz relacja ty p u topologicznego. Dzięki tem u o trzy m uje się s tru k tu rę relacji równoważności, s tru k tu rę algebraiczną, s tru k ­ tu rę p o rząd k u oraz s tru k tu rę topologiczną. Znaczenie w spom ­ niany ch s tru k tu r jest duże z tej racji, że spotyka się je we w szystkich praw ie teoriach m atem atycznych 10.

S tru k tu ra relacji rów now ażności jest pow szechnie stosow ana nie tylko w m atem atyce, lecz także w różnych n auk ach oraz w życiu codziennym . Przecież takie pojęcia jak np. barw a, tem ­ p e ra tu ra , długość, ciężar itd. pow stają przez odniesienie się do odpow iednich k o n k retn y ch relacji rów now ażności i utw orze­ nie dla nich klas obiektów rów now ażnych. W w ym ienionych przed chw ilą p rzykładach będą to relacje bycia jednakow ej barw y, jednakow o ciepły, jednakow o długi, jednakow o ciężki itd. W arto przypom nieć, że zagadnienie to wiąże się w isto tny sposób z problem em tw orzenia pojęć p rzy pom ocy ab strak cji n .

S tru k tu ry algebraiczne, porządkow e oraz topologiczne różni­ cują się z p u n k tu w idzenia ich w ew nętrznego bogactw a. Np. s tru k tu ra topologiczna p rzestrzen i T x jest bogatsza od stru k ­ tu ry przestrzen i T 0, podobnie s tru k tu ra przestrzeni T 2 jest bo­ gatsza od stru k tu ry przestrzen i T j itd. M ożna więc, p rzy stru k ­ tu ra c h danego typu, m ówić o pew nej h ierarch ii s tru k tu r, o ich stopniow aniu od s tru k tu r prostszych i ogólniejszych do stru k ­ tu r bardziej szczegółowych i skom plikow anych 12.

Z m etodologicznego p u n k tu w idzenia w ydaje się być in te re ­ sujące w yróżnienie w ym ienionych typów s tru k tu r prostych, k tó re są zarazem podstaw ow ym i stru k tu ra m i współczesnej m a­ tem atyki. Dzięki tem u uzyskuje się rozróżnienie oraz uszerego­ w anie niezależnych od siebie elem entów , a także podstaw ę dla system atyzacji treści teo rii m atem aty czn ej 13.

10 Por. G. C hoquet, a rt. cyt., 100.

11 Por. K. M aurin, A naliza, Cz. I : E lem en ty, W arszaw a 1971, 18—19. 12 P or. D. G ierulanka, dz. cyt., 184.

2.3. S tru k tu ry złożone.

Połączenie k ilku s tru k tu r pro sty ch daje s tru k tu rę złożoną. Im w ięcej s tru k tu r prostych składa się na całość danej teo rii m ate­ m atycznej, ty m jest ona bogatsza. Jeśli m am y do czynienia z bardzo dużą liczbą s tru k tu r prostych, to mówi się wówczas o stru k tu ra c h rozgałęzionych.

Np. zbiór liczb rzeczyw istych stanow i bogatą s tru k tu rę zło­ żoną. W jej skład w chodzą: s tru k tu ra porządku, s tru k tu ra g ru ­ py, s tru k tu ra ciała, s tru k tu ra przestrzen i topologicznej, stru k ­ tu ra przestrzen i w ektorow ej itd. P rzykładem stru k tu ry rozga­ łęzionej może służyć teoria p o ten cjału 14.

Po opisow ym przedstaw ien iu s tru k tu r prostych i złożonych, przypom nijm y jeszcze precy zy jn e określenie stru k tu ry w sen­ sie Bourbakiego.

P rzypuśćm y, że dane m am y dw a skończone ciągi zbiorów E b ..., E n (n jest większe, lu b rów ne, jeden) oraz A j, ..., A m (m jest nieujem ne). P rzypuśćm y dalej, że S jest pew nym zbiorem po­ w stałym z pow yższych zbiorów p rzy pom ocy superpozycji skończonej liczby działań, z k tó ry ch każde jest bądź przejściem od pew nego uprzednio określonego zbioru F do zbioru w szyst­ kich jego podzbiorów, bądź je s t produktow aniem pew nych w cześniej już o trzym anych zbiorów. W ówczas dow olny elem ent H każdego takiego zbioru S nazyw a się s tru k tu rą na układzie Ei, ..., E n o bazie pomocniczej A b ..., A m, lu b też krótko po pro­ stu s tru k tu rą n a układzie E b ..., E n. Mówi się także, że zbiory uk ład u E b ..., E n są zaopatrzone w stru k tu rę H . 15

P rz y ję ło się w yróżniać s tr u k tu ry izom orficzne oraz tzw. ro ­ dzaj stru k tu ry . N ie będziem y jed n a k bliżej wchodzić w te za­ gadnienia. Z auw ażm y tylko, że dzięki odkryciu w spólnych stru k tu r dla różnych teo rii m atem atycznych, uzyskuje się zbli­ żenie pozornie obcych sobie teo rii oraz odsłania się ich, głębo­

14 Por. G. Choquet, art. cyt., 101.

15 Zob. Z. Sem adeni, S tr u k tu r y w sensie B ourbakiego i kategorie, „P rac e M atem atyczne” 10 (1966), 39.

U] Z A G A D N IE N IE S Y S T E M A T Y Z A C JI M A TE M A T Y K I 225

kie nieraz, pokrew ieństw o. Pojęcie stru k tu ry pozw ala na zgru­ pow anie pojęć m atem atycznych w okół niew ielkiej liczby ogól­ n ych pojęć. N adto pojęcie to staje się spraw ny m narzędziem w pracy badaw czej w m atem atyce. Jeśli bow iem w ro zp a try ­ w anej teorii dostrzeże się w ystępow anie s tru k tu ry pew nego rodzaju, to tym sam ym odsłaniają się now e h oryzonty badaw ­ cze, a jednocześnie możliwość przeniesienia do teorii tw ierdzeń, które w y n ik ają z aksjom atów , zachodzących w danej s tru k tu ­ rze. Taki stan rzeczy prow adzi, z kolei, do zm iany roli m etody aksjom atycznej w m atem atyce. M etoda ta, z dydaktycznej czy też techniczno-redakcyjnej, staje się do pew nego stopnia m e­ todą tw órczej, odkryw czej pracy w w ielu dziedzinach m atem a­ tyki. W ypracow any schem at: s tru k tu ry proste oraz ich h ie ra r­ chia i w zajem ne pow iązania, nie jest trak to w an y jako ostatecz­ ny i zam knięty. W m iarę rzow oju m atem aty ki potrzebna będzie· jego nie tylko rozbudow a, ale i przebudow a. J e st to ty m b a r­ dziej widoczne, że już dziś po jaw iają się now e w yniki badaw ­ cze, któ re nie zn ajd u ją w nim dla siebie m iejsca 16.

3. Kategorie

W m atem atyce rozw aża się różnego rodzaju obiekty, jak np. zbiory, grupy, przestrzenie topologiczne, ciała itd. M iędzy obie­ ktam i tego samego rodzaju określa się odpow iedni ty p odwzo­ row ań. Okazuje się, że pew ne form alne własności w spom nia­ nych odw zorow ań są w spólne dla nich w szystkich. T en fak t su­ geruje w prow adzenie pew nego ogólnego pojęcia, któ re obej­ m ow ałoby poszczególne klasy obiektów z odpow iadającym i im ty p am i odwzorowań. W te n sposób dochodzi się do pojęcia ka­ tegorii, będącego jed n y m z najw ażniejszych narzędzi m atem a­ tyki współczesnej 17.

16 Por. D. G ierulanka, dz. cyt., 184—185.

17 Por. S. Lang, A lgebra, M oskw a 1968, 39 oraz G. Choquet, art. cyt., 107.

3.1. O kreślenie kategorii

N iech dana będzie klasa pew nych obiektów, k tó rą oznaczać będziem y przez Ob(K). Przypuśćm y, że każdym dw om obiek­ tom A oraz B, z rozw ażanej klasy Ob(K), został przyporządko­ w an y pew ien zbiór m orfizm ów obiektu A w obiekt B. Ten zbiór m orfizm ów oznaczać będziem y przez Mor(A,B). P rzy ­ puśćm y dalej, że każdej trójce obiektów A, B, C, należących do klasy Ob(K), zostało przyporządkow ane praw o kom pozycji m orfizm ów , tzn. m orfizm ow i z A w В oraz m orfizm ow i z В w С został przyporządkow any m orfizm z A w C.

P rzypuśćm y dalej, że w spom niane przyporządkow ania speł­ n ia ją n astęp u jące w aru n k i (aksjom aty) :

1° Zbiory m orfizm ów Mor(A,B) oraz Mor(C,D) są rozłączne z w y ją tk ie m p rzypadku, gdy A = С oraz В = D. W ówczas zbiory te są identyczne.

2° Dla każdego obiektu A należącego do Ob(K) istn ieje m or­ fizm tożsam ościowy tegoż obiektu, k tó ry jest elem entem neu­ traln y m , ze w zględu na praw o kom pozycji, w stosunku do ele­ m entów zbioru m orfizm ów Mor(A,B) oraz Mor(B,A).

3° P raw o kom pozycji m orfizm ów jest łączne.

W ówczas daną klasę obiektów zwie się kategorią. Oznacza się ją kró tko przez K.

K ategoria К jest na ogół klasą. Jeżeli k atego ria К jest zbio­ rem , to zw ie się ją m ałą.

Przypuśćm y, że dane są dw ie kategorie К oraz L. P rzy pu ść­ m y dalej, że zostało określone przyporządkow anie F, któ re każ­ dem u obiektow i A kategorii К przyporządkow uje obiekt F(A) kategorii L oraz każdem u m orfizm ow i f (działającem u w ka­ tegorii K) m orfizm F(f) z k ategorii L. Jeżeli przyporządkow a­ nie F spełnia następu jące dw a w aru n k i:

1) Dla każdego obiektu A kategorii К obraz m orf izm u toż­ sam ościowego obiektu A przy p rzyporządkow aniu F je s t rów ny m orfizm ow i tożsam ościow em u obiektu F(A).

chodzi zależność: obraz (dany przez F) złożenia m orfizm ów f i g jest rów ny złożeniu obrazów f i g (danych przez F),

to wówczas zwie się ono fu n k to rem k o w ariantn ym z kategorii К w kategorię L.

W ychodząc z pojęcia kategorii oraz z pojęcia fu n k to ra daje się określić cała „alg eb ra”, k tó rej bogactw o w zrasta w m iarę specjalizacji k a te g o rii18. T eoria kategorii stanow i now y krok naprzód w dziedzinę a b s tr a k c ji19.

3.2. P rzy k ład y kategorii

1. K ategoria zbiorów. O biektam i tej k ategorii są zbiory, zaś m orfizm am i odw zorow ania zbiorów. Łatw o jest spraw dzić, że aksjom aty teo rii kategorii są spełnione.

2. K ategoria przestrzeni topologicznych. O biektam i są prze­ strzenie topologiczne, zaś m orfizm am i odw zorow ania ciągłe jed nej przestrzeni w drugą. Podobnie łatw o jest w ykazać, że trz y aksjom aty w yżej podane są spełnione.

3. K ategoria gru p ab strak cy jn y ch oraz hom om orfizm ów . 4. K ategoria zbiorów skończonych oraz ich odwzorowań. Rozw ażm y k o w arian tn y fu n k to r z kategorii przestrzeni topo­ logicznych i odw zorow ań ciągłych w kategorię zbiorów i od­ w zorow ań. F u n k to r ten przyp o rząd k o w u je danej p rzestrzen i to­ pologicznej zbiór złożony z jej punktów .

Teoria kategorii może być używ ana za przew odnika w b ad a­ niach. W ychodząc bow iem od pew nych k o n kretny ch kategorii, w k tó ry ch jest znane pew ne pojęcie, m ożem y uzyskać sugestie do określenia w m ożliwie ogólny sposób analogonu tego poję­ cia na ogólnej kategorii. K iedy zaś spotkam y się z k o n k retn ą kategorią, w k tó rej rozw ażanego pojęcia jeszcze nie było, w y­ starczy spraw dzić, czy ogólna d efinicja będzie m iała zastosow a­ nie i o trzy m u jem y gotow ą teorię, zw iązaną z danym poję­ ciem 20. W ydaje się, że teoria kategorii bardzo mocno św iadczy

18 G. Choquet, a rt. cyt., 108. 19 Tam że, 107.

о jedności m a te m a ty k i21. Dzięki tem u m am y do czynienia rów ­ nież z system atyzacją m atem atyki. Zauw ażm y, że na gruncie teo rii kategorii udało się rozw inąć teorię s tru k tu r 22.

J e s t godne uwagi, że w ielka ogólność teo rii kategorii nie po­ ciąga za sobą banalności. T eoria ta jest nieodłącznym elem en­ tem w ielkiego rozw oju m atem aty k i współczesnej. S taje się ona w coraz pow szechniejszym w ym iarze czynnikiem scalającym m atem aty kę. W now szych m onografiach teo ria kategorii jest zam ieszczana n a początku rozw ażań, stanow iąc elem ent sp aja­ jący m ateriał naukow y danej dziedziny m a te m a ty k i23. Nie zna­ czy to, oczywiście, by teo ria kategorii była uw ażana za n a j­ w yższy i nieprzekraczalny etap w unifik acji m atem atyki. N a­ leży raczej m niem ać, że m atem aty k a rozw inie się bardziej, an i­ żeli to nam może sugerow ać n ajb u jn iejsza n aw et fantazja. A wówczas okażą się potrzebne now e elem enty system atyzu­ jące całą m atem atykę.

Nie trzeb a specjalnie zaznaczać, że dzięki teorii kategorii uzysk u je się podobnego rod zaju czynniki un ifik ujące oraz um ożliw iające w gląd w zależności zachodzące m iędzy różnym i dziedzinam i m atem atyki, do ty ch czynników , z k tórym i m ie­ liśm y do czynienia w teo rii s tru k tu r.

4. System y algebraiczne

Z kolei zajm iem y się jed n y m jeszcze pojęciem o charakterze unifikującym , m ianow icie pojęciem system u algebraicznego. T eoria system ów algebraicznych zajm uje się badaniem zbiorów, na k tó ry ch są określone pew ne operacje oraz relacje. T eoria ta zn ajd u je się n a pograniczu logiki m atem atycznej oraz algebry. Stąd też płynie jej szczególne znaczenie dla interesującego nas problem u 24.

21 Tam że, 107.

22 C. E hresm ann, Catégories et structures, P aris 1965.

23 M ożna to zobaczyć np. w książce E. S panier, A lgebraiczeskaja topo-

łogija, M oskw a 1971.

4.1. O znaczenia pomocnicze

Niech a będzie daną liczbą porządkow ą. Przez P(a) oznaczać będziem y zbiór w szystkich ty ch liczb porządkow ych, k tó re są m niejsze od liczby a. A w ięc np. P(3) = (0,1,2).

P rzypuśćm y teraz, że m am y dane dwie liczby porządkow e a oraz b. N azw ijm y ty p em T rzędu (a,b) parę odwzorowań, od­ powiednio, zbiorów P(a) oraz P(b) w zbiór liczb n a tu ra ln y c h N = (0, 1, 2, ...). Typ T zapisyw ać będziem y w postaci

T = (m0, m 1( ..., m x n 0, n i, ... n y, ...), gdzie x ( a oraz y (b . Jeżeli, liczby a oraz b są skończone, to ty p T nazyw a się także skończony.

D w a ty p y T oraz T ’ nazyw a się rów nym i w tedy i tylko, gdy są one tego samego rzędu (a,b) i nadto m x = m ’x oraz n y = = n ’y dla w szystkich x ( a oraz y (b .

Niech A będzie danym zbiorem . O peracją n -arg u m en to w ą na zbiorze A zwie się każdą fu n k cję o n argum entach, okre­ śloną n a zbiorze A i o w artościach także ze zbioru A, a zatem funkcję, k tó ra n elem entom zbioru A p rzyporządkow uje pe­ w ien elem ent tegoż zbioru. P red y k atem n -arg um en tow y m na zbiorze A zwie się każdą fun k cję o n arg u m en tach określoną na zbiorze A o w artościach ze zbioru dw uelem entow ego (P,F), gdzie P sym bolizuje praw dę, zaś F — fałsz.

4.2. O kreślenie system u algebraicznego

In tu icy jn ie się w yrażając system em algebraicznym zwie się zbiór, w k tó ry m został określony pew ien zespół operacji oraz predykatów . Pojęcie to jest bardzo ogólne. Ciekawsze nau ko ­ wo system y otrzym uje się nakładając pew ne w arunki. Z ilu­ s tru ją to p rzykłady. N ajp ierw jed n ak podam y ścisłe określenie interesującego nas pojęcia.

S ystem em algebraicznym ty p u T nazyw a się obiekt, złożony z niepustego zbioru A, ze zbioru operacji F 0, F i, ..., F x, ..., określonych n a zbiorze A dla każdego x ( a oraz ze zbioru p re ­ d ykatów P 0, P b ..., P y, ..., określonych na zbiorze A dla

każ-dego y (b , p rzy czym żąda się, aby F x była o peracją m x-arg u - m ento w ą dla każdego x (a , zaś P y było p red y k atem n y-arg u - m entow ym dla każdego y (b . O kreślony system algebraiczny oznacza się krótko (A,F,P). F sym bolizuje tu cały zbiór ope­ racji, określonych n a d anym zbiorze A, n atom iast P — cały zbiór p red y k ató w działających rów nież na rozw ażanym zbio­ rze A 25.

S ystem algebraiczny (A,F,P) zwie się skończony, jeżeli zbiór A jest skończony. Zbiór A nosi nazw ę zbioru bazowego sy­ stem u.

S ystem algebraiczny ty p u skończonego zapisyw ać m ożna w postaci (A; F„,, ..., F r-i; P 0, ... P s- i bądź w postaci (A; F b ..., F r ; P,, ..., P s).

Podam y teraz proste p rzy k ład y system ów algebraicznych. N iech С oznacza zbiór liczb całkow itych, R — zbiór liczb w y ­ m iernych, zaś + — operację dodaw ania liczb, . — operację m nożenia l ic z b , operację odejm ow ania liczb i & — ope­ rację b ran ia n astęp n ika dla danej liczby n a tu ra ln e j. W ówczas u kład y (N, &, ·, O, 1), (C, + ) , (R, + , - , . ) (C, + , < ) , (C, są system am i algebraicznym i odpow iednio typów : (1, 2, 0, 0;

Ф),

Ф),

Przez odw zorow anie jednego system u algebraicznego w d ru ­ gi rozum ie się każde odw zorow anie zbioru bazowego pierw sze­ go sy stem u w zbiór bazow y drugiego system u. W prow adza się także pojęcie odw zorow ania hom om orficznego oraz izom orficz­ nego jednego system u w drugi. N ie będziem y tu bliżej precy­ zować w spom nianych pojęć. Z an o tu jem y jedynie, że spełnione są n astęp ujące zależności: superpozycja hom om orfizm ów jest hom om orfizm em , superpozycja izom orfizm ów jest izom orfiz- zmem.

4.3. A lgebry i modele.

N iech d any będzie system algebraiczny (A,F,P). Jeżeli zbiór pred y k ató w danego sy stem u jest zbiorem pustym , tj. jeżeli P = φ , to system zwie się algebrą. Jeżeli zbiór operacji danego system u jest zbiorem pustym , tj. jeżeli F = φ , to system zwie się m odelem 26.

Posługując się w prow adzoną term inologią, m ożna pow ie­ dzieć, że pierw szy z system ów podanych w przykładzie w po­ przednim p arag rafie jest alg eb rą ty p u (1, 2, 0, 0), d ru g i — al­ g eb rą ty p u (2), trzeci — algebrą ty p u (2, 2, 2), p iąty — m ode­ lem ty p u (2).

J e st widoczne, że każda operacja k-arg u m en tow a F, określo­ na na zbiorze A, jest rów nocześnie (k + l)-arg u m en to w ą r e ­ lacją na zbiorze A. Dla danej operacji F oznaczm y przez P od­ pow iadający jej pred y k at, k tó ry spełnia n astęp u jącą rów no­ ważność :

P(zi, zk, V ) = F(zj zk) = V dla zb ..., zk, v£A. Zatem

operacji k-arg um en to w ej odpow iada w zajem nie jednoznacz­ nie predyikat (k + 1 [-argum entow y.

Zatem zam ieniając w system ie algebraicznym w szystkie operacje F x przez odpow iadające im p red y k a ty Р хц , otrzy­ m am y model, k tó ry zwie się m odelem reprezen tu jący m sy­ stem dany. Jeżeli system w yjściow y był ty p u T rzęd u (a, b), to m odel go rep rezen tu jący będzie posiadał ty p rzędu (a + b ) .

Przykład. W eźm y algebrę (C, + ) ty p u (2). W prow adźm y p red y k a t D(x,y,z) == x - j _ y = Zj odpow iadający operacji doda­ w ania. Wówczas otrzym am y m odel (C, D) ty p u (3) rep rezen ­ tu ją c y algebrę (C, + ) .

Zachodzi następ u jące pro ste tw ierdzenie:

O dw zorow anie f system u algebraicznego (A,F,P) w system algebraiczny (B,G,Q) jest hom om orfizm em pierw szego sy ste­ m u w drugi, gdy f jest hom om orfizm em m odelu re p re z e n tu ją ­ cego system (A,F,P) w m odel rep rezen tu jący system (B ,G ,Q ).27

26 Tam że, 47. 27 Tam że, 52.

4.4. Zastosow anie do alg ebry ab strakcyjn ej.

W skażem y teraz jak p rzy pom ocy pojęcia system u alge­ braicznego m ożna jednolicie ująć podstaw ow e tw ory algebry ab strak cy jn ej.

G rupoidem zwie się algebrę ty p u (2). Z atem grupoid może być przed staw io ny w postaci (G, ■ ), gdzie . oznacza operację dw uargum entow ą.

G rupoid (G, · ), w k tó ry m operacja dw uarg um en tow a jest łączna, tj. spełnia zależność (x · y) · z = x· (y · z) dla w szyst­ k ich x,y,z należących do zbioru G, zwie się półgrupą.

Półgrupa, w k tó rej został w yróżniony elem ent n e u tra ln y e dla danej operacji, tj. elem ent spełniający w aru n ek e · x = x dla każdego x należącego do G, zwie się monoidem.

G rupoid (G, · ) zwie się kw asigrupą, jeżeli każde z dw u rów n ań p x = q, yp = q posiada dokładnie jedno rozw iązanie.

A lgebra (G, ·, —1) ty p u (2,1) nazyw a się grupą, jeżeli speł­ nione są w a ru n k i: 1° operacja · jest łączna, 2° y -1 (yx) = x

= (xy)y-1·

G rup a nazyw a się abelow a lub przem ienna, jeżeli operacja grupow a · jest przem ienna, tzn. jeżeli x y = y x dla w szyst­ kich x,y należących do zbioru G.

P ierścieniem nazyw a się algebra ty p u (2,1,2), w której ope­ racje -j-, —, · sp ełn iają n astęp u jące cztery w aru n k i:

1) x + (y + z) = (x + y) + z, 2) x + y = y + x,

3) (—x) + (X + y) = y,

4) (x + y) · z = x-z + y-z, x · (y + z) = x · y + x· z.

Inaczej m ożna powiedzieć, że pierścieniem zwie się grupę abelow ą, w której, oprócz operacji + oraz — , jest określona jeszcze o peracja . spełniająca dw a p raw a rozdzielności w y­ m ienione w w a ru n k u 4).

Szczególnym przypadkiem pierścienia jest ciało.

W ym ienione przykład y ilu stru ją, w odniesieniu do m atem a­ tyki, sy stem aty zu jącą fu n k cję pełnioną przez system y

algę-braiczne. Można w tym m iejscu powtórzyć, m u tatis m u ta n ­ dis, ogólne uwagi, w ypow iedziane w yżej przy okazji rozw ażań zw iązanych z pojęciem stru k tu ry oraz pojęciem kategorii. Dla celu tej p racy w ażne w y d aje się być zw rócenie uw agi na fak t n astęp u jący : pojęcie m odelu w ystarcza do in teresu jącej nas unifikacji. W ychodząc z tego stan u rzeczy m ożna by m ate­ m atyk ę określić jako teo rię m odeli. N ależy jednakże mieć w pam ięci uw agi uczynione n a w stępie rozw ażań, k tó re m .in. orzekały, że w m atem atyce m am y do czynienia zarów no z w y­ soką abstrak cją, ja k i z konkretem , z d edukcją i z intuicją. O graniczanie się do niektó rych tylko z zaznaczonych zabiegów i dziedzin stanow i istotne zubożanie pełnej, rozw ijającej się m atem atyki.

5. Podsumowanie.

W ym ieniliśm y trz y różne koncepcje, k tó re m ogą pełnić, przynajm n iej częściowo, fu n k cję system atyzacji m atem atyki. Zw racano już uw agę na to, że w spom niana fu nk cja u n ifik u ­ jąca jest zrelatyw izow ana do bieżącego stan u nauki. To w yd a­ w ać się może całkow icie zrozum iałe i niepotrzebne bliższej w zm ianki. T ak przecież m usi być zawsze. Jed nak że z m ate­ m aty k ą spraw a w ygląda tak, że niem al stale p o jaw iają się nowe, szersze p o ję c ia 28, k tó re nie zn ajd u ją dla siebie m iejsca w stary ch schem atach. Ten, w odniesieniu do m atem aty ki w spółczesnej, ponad w szelką w ątpliw ość stw ierdzany fakt, był także już sygnalizow any. P rzeto uw aga powyższa w inn a być rozum iana w ten sposób, że każda schem atyzacja i sy stem aty ­ zacja m atem atyki, u jm u jąc rzecz ściśle, odnosi się do jej stan u przeszłego, k tó ry przez o statnie b ad an ia został już przek ro ­ czony. M atem atyka żywa, rozw ijająca się, w najściślejszym tego słowa znaczeniu współczesna, jest odm ienna od tej, któ­

28 W c h a ra k te rz e p rzy k ła d u w ym ienić tu m ożna pojęcie półzbioru, którego te o ria zn a jd u je się in s ta tu nascendi. Zob. P. V opënka, The

theory of sem isets, „A ctes Congr. int. m a th ém aticie n s”, 1970; T. 1, P aris

rej obraz otrzy m u je się dzięki różnym koncepcjom un ifik u ­ jącym .

W n a tu ra ln y sposób pojaw ia się pytanie, co jest przyczy­ n ą opisanego sta n u rzeczy, inaczej mówiąc, jaki czynnik jest odpow iedzialny za ta k dynam iczny rozwój m atem atyki, pro­ w adzący do pow staw ania now ych jej form ? W ydaje się, że za in te resu jąc y nas tu czynnik, w spom iany już dw ukrotnie, na­ leży uznać pow iązanie elem en tu ab strakcyjnego z konkretnym , ustaw iczny zw iązek najbard ziej n aw et abstrak cy jn y ch teorii m atem atycznych z em pirią. C h arak ter tej zależności p rzy j­ m u je różne postaci w rozw oju poznania m atem atycznego. Jed n ak że istota pozostaje stale ta sam a: dialektyczne pow iąza­ nie ab strak cji i konkretu, em pirii.

W ty m także, w ydaje się, należy u p atry w ać istotę m atem a­ tyki. P rzedstaw ione w yżej rozum ow ania w skazują, że n a p y ­ tan ie : czym jest m atem aty k a? nie m ożna udzielić adekw atnej odpowiedzi. P odanie definicji m atem aty k i je s t niem ożliwe. J e d y n ie czynne dośw iadczenie, najlepiej o ch arak terze badaw ­ czym, w dziedzinie sam ej m atem aty k i może dać na nie od­ pow iedź 29.

Fragen zur System atisierung der Mathematik

Das S ystem atisierum gaproblem d e r W issenschaft ist m ethodologisch w ichtig. Insbesondere solches das P ro b le m d e r S ystem atisierung d e r M a th em atik ist. Im A ufsatz b e sp ric h t m an d re i K onzeptionen, w elche eine U nieren ro lle im B eziehung izu d e r M a th em atik g elten können. Diese sind: die V erb än d e th eo rie im S ense von B ourbaki, die K atego- rientheonie un d die T heorie d e r algebraischen System e, insbesondere d ie M odelltheorie. Je d e von diesen K onzeptionen gibt n u r eine te il­ w eise Lösung des P roblem s. Die M a th em atik en tw ick e lt sich doch se h r schnell, e n tste h en n e u e B egriffe, w elche sich n ic h t in a lte n S chem ata z u m ac h en können. Es scheint, dass dieser S ach v erh alt, ein e K onse­ quenz d e r W esenheit d e r M a th e m a tik ist, w elche als ein e dialek tisch e B eziehung zw ischen d e r A b strak tio n un d E m pirie gafasst w erd en kann. M an k a n n n ic h t eine ad ä q u a te D efinition d e r M a th em atik geben. Das V ersteh en w as d ie M a th em atik ist k a n n m a n n u r d u rc h eine ak tu elle A rb e it im B ereiche d e r M a th em atik erreichen.