Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska

Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI

Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem metody dekompozycji Dantziga-Wolfe’a

Materiał pomocniczy 2 – część 2:

Metoda dekompozycji Dantziga-Wolfe’a

Opracowanie:

Piotr Hirsch, mgr inż.

Gdańsk, listopad 2016

Materiał pomocniczy pokazujący krok po korku przykład rozwiązywania zagadnienia z wykorzystaniem metody dekompozycyjnej Dantzig’a-Wolfe’a.

1. Sformułowanie problemu zagadnienia programowania liniowego i dokonanie dekompozycji

Należy zminimalizować funkcję celu Z:

𝑍 = −𝑥₁₁+ 𝑥₁₂− 3𝑥₂₁− 2𝑥₂₂ Przy ograniczeniach:

Zagadnienie główne zostało podzielone na dwa podsystemy. Przepisując ograniczenia ze zmiennymi osłabiającymi (kolor niebieski) wyodrębniamy macierze:

2. Przygotowanie

Przed rozpoczęciem właściwego algorytmu należy wykonać kilka czynności:

 Dostosować postaci zadania do standardowej wykorzystywanej w MATLAB – dostosowanie znaku funkcji celu: min 𝑥 = −max −𝑥

 Sprawdzić, czy w zagadnieniu występuje macierz A0

 Przygotować parametry optymalizacji (dla linproga i DW)

 Znaleźć pierwsze rozwiązanie dopuszczalne kolejnych podzagadnień (z wykorzystaniem linproga):

𝑋₀₁₌ 𝑋₀₂₌

 Utworzyć pierwsze zagadnienie ekstremalne (kolumny naturalne, ekstremalne, koszty):

Tworzymy 2 kolumny naturalne (tyle ile jest kolumn macierzy A0), wg schematu: (𝐴_0𝑗 0 )

𝐾_𝑛1 = 𝐾_𝑛2=

Tworzymy 2 kolumny ekstremalne (tyle ile jest podzagadnień), wg schematu (𝑃_𝑝𝑗

𝑒_𝑝), gdzie 𝑒_𝑝 to wektor jednostkowy odpowiedni dla danego zagadnienia

𝐾_𝑒1 = 𝐾_𝑒2 =

W fazie I wektory cen i kosztów są równe 0. Jednak i tak wyznaczamy rzeczywiste ceny i koszty𝑓₁₀^(𝐼) = −4; 𝑓₂₀^(𝐼) = −14,4 . Wykorzystamy je jeśli dojdzie do zmiany fazy na II.

 W oparciu o metodę sztucznej bazy rozszerzamy zagadnienie ekstremalne o m0 sztucznych zmiennych, dzięki czemu gwarantujemy dopuszczalność początkowego rozwiązania ekstremalnego w każdej sytuacji, kolumny sztuczne tworzymy wg schematu (𝐾_𝑈𝑗

0 ):

𝐾_𝑈1 = 𝐾_𝑈2=

3. Iteracja 1, faza I

W tym momencie posiadamy ograniczone zagadnienie ekstremalne postaci:

𝑊 =

𝐵 =

𝑏 =

gdzie: W – funkcja celu; B – baza; b – prawa strona ograniczeń. Dwa pierwsze wiersze bazy to wiersze przerzutów, dwa kolejne to wiersze wypukłości. Dwie pierwsze kolumny to kolumny naturalne (zmienne x01 i x02), dwie kolejne to kolumny ekstremalne (zmienne 𝜆₁₀ i 𝜆₂₀), a ostatnie dwie to kolumny sztuczne (zmienne 𝜖₁ i 𝜖₂).

Ograniczone zagadnienie ekstremalne rozwiązujemy korzystając z linproga, otrzymując następujące wyniki:

𝑍𝑊₁ = −3,2

𝑋_𝐸1 =

Π =

Obliczamy wartości form celu, pamietając o zerowej wartości wektra kosztów w fazie I:

𝜸_𝟏 = 𝜸_𝟐 =

Przy pomocy linproga rozwiązujemy kolejne podzagadnienia:

min𝑋_𝑝 𝜸_𝒑𝑿_𝒑 𝐵_𝑝𝑋_𝑝 = 𝑏_𝑝

𝑋_𝑝 ≥ 0 Otrzymując:

𝑿₁₁⁽¹⁾= 𝑿₂₁⁽¹⁾ =

𝑤₁₁= 𝑍₁₁− 𝜋⁽²⁾₁= 0 𝑤₂₁= 𝑍₂₁− 𝜋⁽²⁾₂= −11,2

Wybieramy wszystkie kolumny, których w jest mniejsze od zera (z zakładaną dokładnością).

W tym wypadku do bazy proponować będziemy wektor ofertowy 2.

Jeśli żaden wektor ofertowy nie będzie poprawiał aktualnego wyniku i wszystkie sztuczne zmienne wynoszą zero (z założoną dokładnością), to oznacza to, że faza I algorytmu się zakończyła. Jeśli któraś ze sztucznych zmiennych wciąż jest niezerowa, to rozpatrywane zagadnienie nie posiada rozwiązań (jest sprzeczne).

W naszym wypadku faza I wciąż trwa. Tworzymy nowe kolumny ekstremalne (analogicznie do poprzedniego razu, również teraz obliczamy koszty przerzutu)

𝐾_𝑒3 = 𝑓₃₁^(𝐼)= −8

4. Iteracja 2, faza I

Tak jak w wcześniejszej iteracji, formułujemy ograniczone zagadnienie ekstremalne. Od poprzedniego razu zmieniła się tylko jedna kolumna – kandydatka do nowej bazy:

𝑊 =

𝐵 =

𝑏 =

Rozwiązujemy otrzymane zadanie:

𝑍𝑊₂ = 0

𝑋_𝐸2 =

Π =

Obliczamy wartości form celu, pamietając o zerowej wartości wektra kosztów w fazie I:

𝜸_𝟏 = 𝜸_𝟐 =

Rozwiązując podzagadnienia otrzymujemy:

𝑿₁₂⁽¹⁾= 𝑿₂₂⁽¹⁾ =

𝑤₁₂= 0 𝑤₂₂= 0

Obserwuemy, że żaden wektor ofertowy nie spełnia warunku, by stać się kandydatem do bazy.

Sprawdzamy wartości sztucznych zmiennych w wektorze 𝑋_𝐸2. Obie są równe zero, więc rozwiązanie bazowe dopuszczalne zostało odnalezione - przechodzimy do fazy II.

5. Iteracja 3, faza II

W fazie II nie występują już zmienne sztuczne, za to uwzględniamy docelową postać funkcji celu. Aktualizujemy więc ograniczone zagadnienie ekstremalne, przypisując kolumnom naturalnym rzeczywiste ceny (C0), a kolumnom ekstremalnym rzeczywiste koszty przerzutów 𝑓_𝑝𝑗^(𝑓):

𝑍 =

𝐵 =

𝑏 =

Rozwiązujemy otrzymane zadanie:

𝑍𝑍₃ = −16,57

𝑋_𝐸3 =

Π =

Obliczamy wartości form celu, tym razem korzystając z rzeczywistej wartości kosztów:

𝜸_𝟏 = 𝜸_𝟐 =

Rozwiązując podzagadnienia otrzymujemy:

𝑿₁₃^(𝐼𝐼)= 𝑿₂₃^(𝐼𝐼) =

𝑤₁₃= 0 𝑤₂₃= 0

Ponownie żaden z uzyskanych wierzchołków nie poprawi funkcji celu. Tym razem oznacza to, zakończenie optymalizacji i znalezienie optimum.

Wartość funkcji celu dla pierwszego podzagadnienia wyniosła: 𝑍₁ = −4, a wektor rozwiązań:

[𝑥₁₁ 𝑥₁₂] = [4 0

Wartość funkcji celu dla drugiego podzagadnienia wyniosła: 𝑍₂ = −12,57, a wektor rozwiązań: [𝑥₂₁ 𝑥₂₂] = [¹⁶₇ ²⁰₇].

1 2 3

-5 0 5 10 15 20

Przebieg procesu optymalizacji metodą D-W

Iteracja

Wartość funkcji celu [tys. zł]

Funkcja celu W fazy I Funkcja celu Z fazy II