1
FA. 6 Badanie kwantowego charakteru przewodnictwa elektrycznego w nanodrutach.
Opracowanie: Anna Piekara, Jacek Gatlik
I. Cel ćwiczenia:
1. Wyznaczenie podstawowego kwantu przewodnictwa dla badanego układu
II. Wymagania do kolokwium:
1. Transport balistyczny, 2. Przewodnictwo elektryczne
III. Literatura zalecana:
[1] C. Kittel „Wstęp do fizyki ciała stałego”
[2] W. Nawrocki, M. Wawrzyniak „Kwantowanie rezystancji elektrycznej i przewodności elektrycznej”
IV. Wstęp teoretyczny:
Współcześnie rozwój technologii prowadzi do coraz większego wzrostu znaczenia miniaturyzacji urządzeń elektronicznych. Silna potrzeba zmniejszania układów, jak również wytwarzania i aplikowania ich w skali nano, zapoczątkowałainterdyscyplinarne badania oparte o nanotechnologię. Dzięki rozwojowi tej dziedziny jesteśmy w stanie tworzyć oraz badać własności fizykochemiczne nanoobiektów niewidocznych dla ludzkiego oka. Badania te są szczególnie ważne, ponieważ dla tych obiektów możemy zaobserwować zupełnie odmienne właściwości niż dla ich odpowiedników w skali makroskopowej.
Jednym ze szczególnie interesujących przykładów wspomnianych wcześniej struktur są nanodruty (ang. nanowires), będące podłużnymi układami atomów o niewielkiej (rzędu kilku atomów) średnicy. Mają one bardzo szerokie spektrum zastosowania, zarówno jako przewody łączące, ale także jako bloki konstrukcyjne w nanoukładach i nanoelektronice.
Jednak to co stanowi o ich unikalności, a więc ich osobliwe właściwości elektryczne, stanowi też duże wyzwanie dla badaczy tych materiałów oraz inżynierów.
Model Drudego-Lorentza
W 1897 roku J. J. Thomson dokonał odkrycia elektronu co zapoczątkowało pracę nad teorią opisującą przewodnictwo elektryczne w metalach. Trzy lata później pojawiła się pierwsza uznana praca niemieckiego fizyka P.Drude. Swoją teorię oparł on na dwóch założeniach. Pierwsze z nich głosi, że kryształ metalu składa się elektronów, które mogą swobodnie poruszać się pomiędzy dodatnimi jonami metalicznymi. Ze względu na analogię
2 do ruchu w gazie zbór tych elektronów został nazwany gazem elektronowym. Drude założył również w swoim modelu, że elektrony podlegają tylko prawom mechaniki klasycznej podczas całego swojego ruchu w krysztale. Model ten został następnie rozszerzony przez H.
Lorentza poprzez zastosowanie kinetycznej teorii gazów w opisie ruchu elektronów. Tym samym opis tego ruchu opierał się na statystyce Maxwella-Boltzmanna.
Korzystając z powyższego modelu możemy obliczyć przewodność elektryczną właściwą (ang. specific electrical resistance). Na początku należy zauważyć, że elektrony swobodne, które opisujemy, mogą poruszać się w metalu we wszystkich kierunkach chaotycznym ruchem cieplnym. Jeśli natomiast metal zostanie umieszczony w polu elektrycznym na elektrony działa siła pochodząca od zewnętrznego pola, która wyraża się wzorem:
𝐹⃗ = −𝑒𝐸⃗⃗ (2.1)
gdzie 𝑒 jest ładunkiem elementarnym, a wektor 𝐸⃗⃗ opisuje natężenie pola elektrycznego.
Pole elektryczne indukuje tutaj powstanie nowej składowej prędkości w kierunku pola.
Prędkość ta, mimo iż bardzo mała w stosunku do prędkości ruchu cieplnego, sprawia, że przez jednostkę powierzchni prostopadłą do pola płynie prąd o gęstości:
𝑗⃗ = −𝑛𝑒𝑣⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑 (2.2)
gdzie wektor 𝑣⃗⃗⃗⃗⃗ opisuje średnią prędkość dryfu, natomiast 𝑛 jest liczbą nośników ładunku w 𝑑 jednostce objętości.
Jeśli w naszych rozważaniach założymy teraz, że każdy z opisywanych przez nas elektronów ma tę samą prędkość ruchu cieplnego oraz tę samą drogę swobodną jak również czas pomiędzy kolejnymi zderzeniami jest taki sam dla wszystkich elektronów i wynosi 𝜏, możemy zauważyć, że przyspieszenie jakie pole 𝐸⃗⃗ nadaje elektronom, wyraża się zależnością:
𝑎⃗ = −𝑒𝐸⃗⃗
𝑚
(2.3)
Tym samym łatwo można zaobserwować, że po przebyciu drogi swobodnej prędkość maksymalna, jaką mogą uzyskać elektrony wynosi:
𝑣𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑒𝐸⃗⃗
𝑚 𝜏 (2.4)
Po przebyciu drogi swobodnej następuje zderzenie, które sprawia, że prędkość dryfu spada do zera, aby zacząć liniowy wzrost z czasem. Dlatego też średnią prędkość ruchu można opisać jako:
𝑣̅ = −1 2
𝑒𝐸
𝑚 𝜏 (2.5)
Wprowadźmy teraz oznaczenie:
3 𝜎 = 𝑛𝑒2𝜏
2𝑚
(2.6)
oznaczający konduktywność (przewodność elektryczną właściwą). Korzystając z powyższego oznaczenia oraz podstawiając zależność (2.5) do wzoru (2.2) otrzymujemy prawo Ohma:
𝑗⃗ = 𝜎𝐸⃗⃗ (2.7)
Jest ono podstawowym prawem opisującym przewodnictwo w normalnych warunkach, to znaczy dla przestrzennego metalu w temperaturze pokojowej.
Reasumując, transport nośników ładunku zależy od zderzeń, w których biorą one udział.
Średnia droga, którą przebywają elektrony pomiędzy dwoma kolejnymi rozproszeniami nosi nazwę średniej drogi swobodnej (ang. mean free path). W omawiam przypadku droga swobodna dla elektronów jest znacznie większa od rozmiarów średnicy przewodnika. W nanostrukturach sytuacja wygląda jednak zgoła inaczej, ponieważ średnica nanodrutu jest mniejsza niż droga swobodnego przebiegu. W takim przypadku ruch nośników zachodzi bez rozpraszania i jest to tak zwany transport balistyczny.
Rys. 1. Porównanie transportu dyfuzyjnego i balistycznego
Transport balistyczny
W poprzednim punkcie rozpatrzyliśmy ruch elektronów w przewodniku, którego długość jest znacznie większa od długości drogi swobodnego przebiegu elektronów. Jednak w przypadku kiedy zależność ta nie jest spełniona elektrony mogą swobodnie przebyć drogę z jednego końca drutu do drugiego bez strat energii, podobnie jak ma to miejsce w przypadku naboju wystrzelonego z armaty. Taki swobodny, bezzderzeniowy ruch nośników nazywamy balistycznym. Teorię przewodnictwa w strukturach niskowymiarowych opisał amerykański fizyk Rolf Landauer, a opiera się ona na skwantowaniu przewodnictwa w nanodrucie.
Rozważmy teraz dwa metalowe kontakty o różnych potencjałach chemicznych połączone idealnym złączem jednowymiarowym. Kontakty te są rezerwuarem elektronów, załóżmy, że ich poziomy Fermiego (potencjały chemiczne) są równe odpowiednio 𝜇1 i 𝜇2. Sytuację taką zaprezentowano poniżej:
4 Rys. 2 Jednowymiarowa struktura umieszona pomiędzy metalowymi kontaktami
Pomiędzy kontaktami istnieje spadek potencjału chemicznego, dlatego możemy zapisać różnicę potencjałów chemicznych tych dwóch kontaktów jako:
𝜇1− 𝜇2 = 𝑒(𝑉1− 𝑉2) (3.1)
gdzie 𝑉1 oraz 𝑉2 są odpowiednio potencjałami elektrycznymi na metalowych kontaktach. Dla uproszczenia dalszych rozważań przyjmijmy, że elektrony spełniają model gazu elektronów swobodnych Fermiego, potencjały spełniają zależność 𝜇1 > 𝜇2, a temperatura jest równa 0𝐾.
Założenie takie oznacza, że poziomy energetyczne w kontaktach są całkowicie obsadzone przez elektrony do odpowiednich poziomów Fermiego to znaczy 𝐸𝐹1 = 𝜇1 oraz 𝐸𝐹2 = 𝜇2. W takim przypadku przepływ prądu elektrycznego przez drut jest możliwy wyłącznie dla elektronów z zakresu 𝜇2 < 𝐸 < 𝜇1 przy czym następuje on zgodnie z kierunkiem oznaczonym na rysunku 3.1. Aby określić wartość tego prądu warto zauważyć, że jeśli elektron będzie miał prędkość 𝑣 to jego wkład w prąd będzie równy 𝑒𝑣
𝑙. W ten sposób łatwo możemy znaleźć prąd całkowity sumując po wszystkich podpasmach 𝑛1𝑛2 wkłady do elektronów z energią spełniającą zależność 𝜇2 < 𝐸 < 𝜇1, można to zapisać jako:
𝐼 =𝑒
𝑙 ∑ ∫ 𝑣𝑛1𝑛2(𝐸) ∙ 𝜌𝑛1𝑛2(𝐸)𝑑𝐸
𝜇1
𝜇2 𝑛1−2
(3.2)
gdzie 𝑣𝑛1𝑛2 jest prędkością elektronu z podpasma 𝑛1𝑛2 w jednowymiarowym złączu, a 𝜌𝑛1𝑛2 jest gęstością stanów w podpasmach. Gęstość tę można opisać jako połowę całkowitej gęstości stanów. W nanozłączu energia ruchu elektronu jest skwantowana w dwóch kierunkach 𝑧 oraz 𝑦 prostopadłych do kierunku 𝑥, w którym elektrony poruszają się swobodnie. Całkowitą energię układu można zatem opisać jako:
𝐸 = 𝐸 𝑛1𝑛2+ 𝑝𝑥2
2𝑚 (3.3)
gdzie 𝑚 jest rozumiana jako masa efektywna elektronu. A więc tutaj:
𝐸 𝑛1𝑛2 = ℏ2𝜋2𝑛12
2𝑚𝑙𝑦2 +ℏ2𝜋2𝑛22
2𝑚𝑙𝑧2 (3.4)
5 jest to energia skwantowanego ruchu elektronów w kierunkach 𝑧 oraz 𝑦, a 𝑙𝑦 i 𝑙𝑧 są szerokościami barier ograniczających ruch w tych kierunkach. Zgodnie ze wzorem (3.3) minimalna energią jaką mogą mieć elektrony jest równa 𝐸11. Taką energię posiadają tylko elektrony znajdujące się na podpaśmie pierwszego poziomu 𝐸11, których pęd zawiera się w przedziale (−√2𝑚(𝐸 − 𝐸11) ; √2𝑚(𝐸 − 𝐸11) ). Aby wyznaczyć funkcję gęstości stanów można rozważyć zależność energii od pędu względem drogi swobodnego ruchu 𝐸(𝑝𝑥). W naszym przypadku na jeden stan elektronowy przypada odcinek o długości 𝑑𝑙𝑥 = ℎ
𝑙𝑥. W takim przypadku liczba stanów elektronowych przypadająca na jednostkową objętość drutu wynosi:
𝑑𝑛 = √2𝑚 𝜋ℏ𝑙𝑦𝑙𝑧
1
√𝐸 − 𝐸11𝑑𝐸 (3.5)
Korzystając z tej zależności funkcja gęstości ma postać:
𝜌(𝐸) = 𝑑𝑛
𝑑𝐸 = √2𝑚 𝜋ℏ𝑙𝑦𝑙𝑧
1
√𝐸 − 𝐸11 (3.6)
Jeśli elektrony będą posiadać energię większą od 𝐸11 to mogą znajdować się w podpasmach wyższych od pierwszego podpasma. Każde z nich będzie dawało dodatkowy wkład w funkcję stanów 𝜌(𝐸), wkład ten ma postać:
√2𝑚 𝜋ℏ𝑙𝑦𝑙𝑧
1
√𝐸 − 𝐸𝑛1𝑛2
(3.7)
Korzystając z tej wartości możem określić wartość gęstości z równania (3.2) jako:
𝜌𝑛1𝑛2(𝐸) =
√𝑚 2 𝜋ℏ𝑙𝑦𝑙𝑧
1
√𝐸 − 𝐸𝑛1𝑛2
(3.8)
Wiedząc, że 𝑣𝑛1𝑛2(𝐸) = √2(𝐸−𝐸𝑚𝑛1𝑛2) oraz korzystając z zależności (3.8) możemy wyliczyć wartość całki z równania (3.2):
∫ 𝑣𝑛1𝑛2(𝐸) ∙ 𝜌𝑛1𝑛2(𝐸)𝑑𝐸
𝜇1
𝜇2
= 2
ℎ𝑆(𝜇1− 𝜇2) =2𝑒
ℎ𝑆𝑈 (3.9)
gdzie 𝑆 jest polem powierzchni przekroju drutu w kierunkach 𝑧 oraz 𝑦, a 𝑈 = 𝑉1− 𝑉2 jest spadkiem potencjału na długości drutu. Możemy teraz obliczyć prąd całkowity równy:
6 𝐼 =𝑒
𝑙 ∑ ∫ 𝑣𝑛1𝑛2(𝐸) ∙ 𝜌𝑛1𝑛2(𝐸)𝑑𝐸 =2𝑒2 ℎ𝑆𝑙𝑁𝑈
𝜇1
𝜇2 𝑛1−2
(3.10)
Oraz w konsekwencji podać zależność na przewodnictwo:
𝐺 = 𝐼
𝑈= 2𝑒2 ℎ
𝑁
𝑉 (3.11)
Wzór ten opisuje przewodniość idealnego jednowymiarowego przewodnika w reżimie balistycznym. W tym przypadku rozpatrywaliśmy przewód idealny, jednak w rzeczywistych przypadkach kanał przewodzący może nie być idealny, w takim przypadku należy uwzględnić rozpraszanie nośników ładunku. Możemy to zrobić dodając współczynnik 𝐷 określający zdolność kanału do swobodnego przepływu ładunków. W ten sposób dochodzimy do wzoru Landauera, który uwzględnia procesy rozpraszania:
𝜎 = 2𝑒2
ℎ 𝑁𝐷 (3.11)
Wprowadźmy oznaczenie 𝜎0 =2𝑒2
ℎ jest to podstawowy kwant przewodniości. W przypadku transportu balistycznego przewodność nie zależy ani od rodzaju przewodnika, ani od jego długości, a sama wartość liczbowa kwantu przewodniości wynosi 𝜎0 ≅ 1
12907Ω−1.
V. Wykonanie ćwiczenia:
Va. Tok postępowania:
Układ doświadczalny
Układ doświadczalny wykorzystywany w tym ćwiczeniu przedstawiono na zajęciu poniżej.
Składa się on z układu zasilającego (1), oscyloskopu (2), opornicy (3), multimetru (4) oraz układu igła-próbka (5).
Rys. 3 Układ pomiarowy
(1)
(1) (1)
(2)
(3)
(4) (5)
7 Układ igła-próbka składa się ze statywu umożliwiającego zmianę odległości pomiędzy igłą a piezoelementem poprzez ruchy śruba mikrometryczną. Podanie sygnału trójkątnego na piezoelement pozwala na ciągłą zmianę wzajemnego położenia igły i próbki, czyli na ciągłe tworzenie oraz zrywanie nanozłącza. Układ igła-próbka jest połączony szeregowo z opornicą, co pozwala na określenie wartości natężenia prądu płynącego przez złącze oraz jego przewodności. W celu wyznaczenia tych wartości dokonuje się obserwacji na ekranie oscyloskopu czasowego przebiegu spadku potencjału na oporniku.
-0,30 -0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 -10,5
-10,0 -9,5 -9,0 -8,5 -8,0
U [V]
t[s]
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
Rys. 4 Czasowy przebieg spadku potencjału na oporniku.
Wykonanie ćwiczenia
W celu wykonania ćwiczenia należy ustawić parametry układu pomiarowego w wyniku których będzie następowało cykliczne powstawanie i zrywanie kontaktu. Trójkątne napięcie podane na piezoelement o częstotliwości do 1 Hz i amplitudzie Up również do 1 V powinno być obserwowane na oscyloskopie. Należy również ustawić wartość prądu na układ igła- próbka, 1 A, co również jest obserwowane na oscyloskopie.
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
-10 -5 0 5 10
U[V]
t[s]
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
Rys. 5 Obserwowany sygnał bez kontaktu igła-próbka.
8 Przy użyciu śruby mikrometrycznej należy zbliżyć igłę do próbki w celu wytworzenia cyklicznego powstawania i zrywania kontaktu. Następnie należy uruchomić wzmacniacz.
Vb. Opracowanie wyników:
Przedstawić na wykresach charakterystykę czasowych spadków napięć U0 oraz wyznaczyć wartość podstawowego kwantu przewodności.
VI. Bibliografia:
[1] C. Kittel „Wstęp do fizyki ciała stałego”
[2] W. Nawrocki, M. Wawrzyniak „Kwantowanie rezystancji elektrycznej i przewodności elektrycznej”
