Algebra liniowa – dr Michał Góra Zestaw 8. Warto´sci i wektory własne
Zadanie 1. Wyznacz warto´sci i wektory własne macierzy:
a)
1 5 0 3
; b)
0 0
0 b 0 0 0 c
; c)
1 2 0
0 2 0
−2 −2 −1
;
d)
1 −1 −1
1 1 0
3 0 1
; e)
2 −2 0
−2 1 −2
0 −2 0
; f)
2 −1 −1 3 −2 −3
−1 1 2
.
Zadanie 2. Niech λ b˛edzie warto´sci ˛a własn ˛a macierzy A. Wyznacz warto´sci własne macierzy:
a) A−1 (je˙zeli istnieje), b) A + α, dla α ∈R,
c) (A + )n, dla n ∈N,
d) (A + )−n, dla n ∈N, gdzie B−ndƒ=B−1n(je˙zeli B−1 istnieje).
Zadanie 3. Wielomian charakterystyczny macierzy A ma posta´c:
φA(λ) = −λ9+ 2 9
λ8+ λ5+ 2 9
λ4− λ + 2 9 .
Wyznacz:
a) wymiar macierzy A, b) det(A),
c) rnk(A), d) tr(A).
Zadanie 4. Dla macierz A =
2 3 0
−1 2 1
2 3 −2
oblicz:
a) λ1λ2λ3, b) λ21+ λ22+ λ23, gdzie λ1, λ2, λ3 to warto´sci własne macierzy A.
Zadanie 5. Niech A, B ∈ Rn×n : det (AB) 6= 0. Udowodnij, ˙ze je˙zeli λ jest warto´sci ˛a własn ˛a macierzy AB, to λ jest równie˙z warto´sci ˛a własn ˛a macierzy BA. Czy zało˙zenie det (AB) 6= 0 mo˙zna osłabi´c?
Zadanie 6. Niech () = kk+. . .+1+0, ∈C( = 0, . . . , k) oraz niech λ1, . . . , λn∈ Cb˛ed ˛a warto´sciami własnymi macierzy A ∈Cn×n. Wyznacz warto´sci własne macierzy
(A) = kAk+ . . . + 1A+ 0.
Zadanie 7. Dla podanych macierzy wyznacz ich macierze Jordana:
a)
1 2 2 1
, b)
2 1
−1 0
, c)
2 0 0
0 −1 2 1 −2 −1
, d)
1 2 1 0 2 0 1 0 1
.
19
Zadanie 8. Niech A b˛edzie macierz ˛a z poprzedniego zadania (trzy przypadki: a), b), d)).
Wyznacz:
a) A2010;
b) + A + A2+ . . . + A99.
Odpowiedzi:
Zadanie 1:
1,
1 0
,
3,
5 2
;
b)
,
1 0 0
,
b,
0 1 0
,
c,
0 0 1
;
c)
−1,
0 0 1
,
1,
−1 0 1
,
2,
−2
−1 2
;
d)
1,
0
−1 1
,
1 ± 2,
±2
1 3
;
e)
1,
−2
−1 2
,
−2,
1 2 2
,
4,
2
−2 1
;
f)
0,
−1
−3 1
,
1,
1 0 1
,
1 1 0
;
Zadanie 2: a) 1λ; b) λ + α; c) (λ + 1)n; d) (λ+1)1 n; Zadanie 3: a) 9; b) 29; c) 9; d)−29;
Zadanie 4: a) −14; b) 12;
Zadanie 5: Wskazówka: uzasadnij, ˙ze macierze AB i BA s ˛a podobne;
Zadanie 6: (λ1) , . . . , (λn);
Zadanie 7: a) J =
−1 0 0 3
; b) J =
1 1 0 1
; c) J =
2 0 0
0 −1 − 2 0
0 0 −1 + 2
;
d) J =
2 1 0 0 2 0 0 0 0
.
Zadanie 8: Wskazówka: a) A = PJP−1 ⇒ A2010 = PJ2010P−1;
b) A = PJP−1⇒ + A + A2+ . . . + A99= P+ J + J2+ . . . + J99P−1.
20
