1 − = 1 +

(1)

a) Stosunek mas składników

Prędkości radialne składników w układzie środka masy, tzn. vA i vB, otrzymamy po odjęciu

30 km/s od wartości odczytanych z wykresu, czyli po odjęciu prędkości radialnej tego układu względem Słońca.

Ponieważ prędkości orbitalne obu gwiazd maja ten sam kierunek w przestrzeni, więc ich rzuty na kierunek radialny zachowują ich stosunek. Wobec tego wystarczy dla dowolnego momentu wyznaczyć iloraz zaobserwowanych prędkości, by otrzymać stosunek mas składników:

v_B vA =MA MB ≈3 5 b) Sytuacja na orbicie

Z symetrii wykresu względem pionowych osi przechodzących przez punkty ekstremalnych wartości prędkości radialnych, możemy wywnioskować, że są to punkty apocentrum i perycentrum. Ten z nich, w otoczeniu którego prędkość zmienia się bardzo gwałtownie, to perycentrum: w tym punkcie gwiazda B najszybciej zbliża się, a gwiazda A – oddala od obserwatora.

c) Mimośród orbity

Stosunek ekstremalnych wartości ujemnej i dodatniej prędkości radialnej dla gwiazdy B odpowiada odpowiednio stosunkowi w perycentrum i apocentrum orbity.

Z kolei korzystając z zasady zachowania momentu pędu, możemy związać iloraz prędkości w perycentrum i apocentrum z mimośrodem. Powstały układ równań pozwala obliczyć mimośród orbity. v_{p er} va p o =1+e 1−e Stąd: e≈3 7≈0.43 d) Okres obiegu, półoś wielka układu, masy gwiazd

Na początek przedstawimy przykładowe rozumowanie prowadzące do uzyskania półosi wielkiej oraz masy układu. Przyjmijmy znaną prędkość w perycentrum vper, okres orbitalny T oraz

mimośród e. Podobne rozumowania można przeprowadzić w nieco inny sposób, np. biorąc pod uwagę punkt apocentrum.

Skorzystajmy z całki energii dla prędkości w perycentrum orbity. Niech va będzie

prędkością w odległości a od ogniska: vp e r=

√

G M

√

2 rp er −1 a=

√

G M

√

2 a(1−e)− 1 a=

√

G M a

√

2 1−e− 1−e 1−e=va

√

1+e 1−e Stad otrzymamy a dzięki wykorzystaniu faktu, że dla orbit o tych samych a oraz va okresy są

równe. Przyrównujemy zatem okres T do okresu obiegu na orbicie kołowej o promieniu a oraz prędkości orbitalnej va: v_a=2 π a T , a= T v_a 2 π = T v_{p e r} 2 π

√

1−e 1+e

Mając a, możemy wyznaczyć masę układu z III pr. Keplera (masę Ziemi pomijamy - m_⊕≪ M⊙).

M+m=a3 a_⊕3

P_⊕2

T2 M⊙

(2)

W sytuacji układu dwóch gwiazd można rozpatrywać orbitę względną jednego składnika względem drugiego, zatem:

v_{p e r}=vp e r , A+vp e r , B=vm a x+, A+vm a x−, B

Po podstawieniu wyznaczonych z wykresu wartości: T=160d_,

v_{ma x+, A}=30 km/s, vm a x−,B=50 km/s oraz wyliczonego w punkcie c) mimośrodu e=

3 7 otrzymujemy wyniki:

a=0.74 au, M_A+MB=2.1 M⊙,

Korzystając z wyliczonego wcześniej stosunku mas, mamy : M_A=1.3 M⊙ i MB=0.8 M⊙