• Nie Znaleziono Wyników

Uwaga 2: Wzory na pochodne funkcji elementarnych nale»y pami¦ta¢

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Uwaga 2: Wzory na pochodne funkcji elementarnych nale»y pami¦ta¢"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

dr Krzysztof ›yjewski MiBM rok I, gr. I, II 6 maja 2015

Legalne ±ci¡ga na kolokwium IV

Uwaga 1: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych informacji.

Uwaga 2: Wzory na pochodne funkcji elementarnych nale»y pami¦ta¢.

Uwaga 3: Przebieg zmienno±ci funkcji(schemat) oraz potrzebne tam wzory na asymptoty, ekstrema, monotoniczno±¢, wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢, punkty przegi¦cia nale»y pami¦ta¢!

Symbole nieoznaczone: , 00, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1, 00, 0. Przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos2α − sin2α, c) sin2α = 1−cos22α, d) cos2α = 1+cos2 2α,

e) a2− b2 = (a − b)(a + b), f) a3± b3= (a − b)(a2∓ ab + b2).

Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢

0 · ∞ f · g = f1

g

lub f · g = g1 f

0 0 lub

∞ − ∞ f − g =

1 gf1

1 f g

0 0

1, ∞0, 00 fg = eg ln f 0 · ∞

Wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a:

f (x) = f (x0) + f0(x1!0)(x − x0) + f00(x2!0)(x − x0)2 + . . . + f(n−1)(n−1)!(x0)(x − x0)n−1+ f(n)n!(cn)(x − x0)n, gdzie x0 < cn< x gdy x > x0 lub x < cn< x0 gdy x < x0.

Wzóry na przybli»one warto±ci:

a) f(x) ≈ f(x0) + f0(x0)(x − x0).

b) f(x, y) ≈ f(x0, y0) + ∂f∂x(x0, y0)(x − x0) +∂f∂y(x0, y0)(y − y0).

Równanie stycznej do wykresu funkcji: y − y0 = f0(x0)(x − x0).

K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :

φ = arctg

f0(x0) − g0(x0) 1 + f0(x0) · g0(x0)

. W przypadku gdy 1 + f0(x0) · g0(x0) = 0 to funkcje te s¡ prostopadªe.

Szacowania bª¦dów pomiarów:

∆z ≤

∂f

∂x

· |x − x0| +

∂f

∂y

· |y − y0| +

∂f

∂z

· |w − w0|. (1)

Równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

− z − z0 +∂f

∂x(x0, y0)(x − x0) +∂f

∂y(x0, y0)(y − y0) = 0. (2) Gradient: gradf(x0, y0)def=

h∂f

∂x(x0, y0),∂f∂y(x0, y0) i

.

Pochodna kierunkowa:∂f∂~v(x0, y0) =gradf(x0, y0) ◦ ~v = ∂f∂x(x0, y0)v1+∂f∂y(x0, y0)v2.

(2)

∂f

∂~v(x0, y0) =gradf(x0, y0) ◦ [cos α, cos β] = ∂f

∂x(x0, y0) cos α +∂f

∂y(x0, y0) cos β, Ekstrema funkcji dwóch zmiennych: Niech

∂f

∂x(x0, y0) = 0, ∂f

∂y(x0, y0) = 0.

2 =

2f

∂x2(x0, y0) ∂x∂y2f (x0, y0)

2f

∂y∂x(x0, y0) ∂y2f2(x0, y0)

oraz 1 = 2f

∂x2(x0, y0).

Wówczas:

a) je±li ∆2> 0 oraz ∆1 > 0,to w punkcie (x0, y0) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne;

b) je±li ∆2> 0 oraz ∆1 < 0,to w punkcie (x0, y0) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne;

c) je»eli ∆2< 0, to w punkcie(x0, y0) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.

Dywergencja pola wektorowego ~W (P, Q, R) :

div ~W = ∇ ◦ ~W = ∂P

∂x +∂Q

∂y +∂R

∂z. Rotacja pola wektorowego ~W (P, Q, R) :

rot ~W = ∇ × ~W =

~i ~j ~k

∂x

∂y

∂z

P Q R

=  ∂R

∂y ∂Q

∂z



~i +  ∂P

∂z ∂R

∂x



~j +  ∂Q

∂x ∂P

∂y



~k.

Laplasjan funkcji skalarnej F :

4F = 2F

∂x2 +2F

∂y2 +2F

∂z2.

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

[r]

[r]

W przypadku, gdy funkcja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci... dr Krzysztof ›yjewski IP›; rok

9 stycznia 2019.. Caªka

b) okre±l znak drugiej pochodnej-wyznaczamy przedziaªy wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci funkcji oraz punkty przegi¦cia funkcji,. 6) zbierz otrzymane informacje o funkcji w tabeli 7)

Stosuj¡c operator nabla mo»emy zapisa¢:. gradF

[r]