dr Krzysztof yjewski MiBM rok I, gr. I, II 6 maja 2015
Legalne ±ci¡ga na kolokwium IV
Uwaga 1: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych informacji.
Uwaga 2: Wzory na pochodne funkcji elementarnych nale»y pami¦ta¢.
Uwaga 3: Przebieg zmienno±ci funkcji(schemat) oraz potrzebne tam wzory na asymptoty, ekstrema, monotoniczno±¢, wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢, punkty przegi¦cia nale»y pami¦ta¢!
Symbole nieoznaczone: ∞∞, 00, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1∞, 00, ∞0. Przydatne wzory:
a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos2α − sin2α, c) sin2α = 1−cos22α, d) cos2α = 1+cos2 2α,
e) a2− b2 = (a − b)(a + b), f) a3± b3= (a − b)(a2∓ ab + b2).
Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢
0 · ∞ f · g = f1
g
lub f · g = g1 f
0 0 lub ∞∞
∞ − ∞ f − g =
1 g−f1
1 f g
0 0
1∞, ∞0, 00 fg = eg ln f 0 · ∞
Wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a:
f (x) = f (x0) + f0(x1!0)(x − x0) + f00(x2!0)(x − x0)2 + . . . + f(n−1)(n−1)!(x0)(x − x0)n−1+ f(n)n!(cn)(x − x0)n, gdzie x0 < cn< x gdy x > x0 lub x < cn< x0 gdy x < x0.
Wzóry na przybli»one warto±ci:
a) f(x) ≈ f(x0) + f0(x0)(x − x0).
b) f(x, y) ≈ f(x0, y0) + ∂f∂x(x0, y0)(x − x0) +∂f∂y(x0, y0)(y − y0).
Równanie stycznej do wykresu funkcji: y − y0 = f0(x0)(x − x0).
K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :
φ = arctg
f0(x0) − g0(x0) 1 + f0(x0) · g0(x0)
. W przypadku gdy 1 + f0(x0) · g0(x0) = 0 to funkcje te s¡ prostopadªe.
Szacowania bª¦dów pomiarów:
∆z ≤
∂f
∂x
· |x − x0| +
∂f
∂y
· |y − y0| +
∂f
∂z
· |w − w0|. (1)
Równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
− z − z0 +∂f
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂f
∂y(x0, y0)(y − y0) = 0. (2) Gradient: gradf(x0, y0)def=
h∂f
∂x(x0, y0),∂f∂y(x0, y0) i
.
Pochodna kierunkowa:∂f∂~v(x0, y0) =gradf(x0, y0) ◦ ~v = ∂f∂x(x0, y0)v1+∂f∂y(x0, y0)v2.
∂f
∂~v(x0, y0) =gradf(x0, y0) ◦ [cos α, cos β] = ∂f
∂x(x0, y0) cos α +∂f
∂y(x0, y0) cos β, Ekstrema funkcji dwóch zmiennych: Niech
∂f
∂x(x0, y0) = 0, ∂f
∂y(x0, y0) = 0.
∆2 =
∂2f
∂x2(x0, y0) ∂x∂y∂2f (x0, y0)
∂2f
∂y∂x(x0, y0) ∂∂y2f2(x0, y0)
oraz ∆1 = ∂2f
∂x2(x0, y0).
Wówczas:
a) je±li ∆2> 0 oraz ∆1 > 0,to w punkcie (x0, y0) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne;
b) je±li ∆2> 0 oraz ∆1 < 0,to w punkcie (x0, y0) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne;
c) je»eli ∆2< 0, to w punkcie(x0, y0) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.
Dywergencja pola wektorowego ~W (P, Q, R) :
div ~W = ∇ ◦ ~W = ∂P
∂x +∂Q
∂y +∂R
∂z. Rotacja pola wektorowego ~W (P, Q, R) :
rot ~W = ∇ × ~W =
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
= ∂R
∂y −∂Q
∂z
~i + ∂P
∂z −∂R
∂x
~j + ∂Q
∂x −∂P
∂y
~k.
Laplasjan funkcji skalarnej F :
4F = ∂2F
∂x2 +∂2F
∂y2 +∂2F
∂z2.