WYKŁAD 7

(1)

WYKŁAD 7

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne.

Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.

3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna). Często się zdarza, że funkcja liczbowa określona jest tylko wzorem y f x( ), gdzie dziedzina nie jest wyraźnie wskazana. W takim wypadku dziedzina D tej funkcji (nazywamy dziedziną _f naturalną) jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, dla których prawa strona f(x) tego wzoru ma określoną wartość.

Przykłady:

1) y f x( )ln ,x D_f  {x :x ; 0}

2) y f x( ) cos²x1, D_f {k



;k }.

3A38 (Definicja: iloczyn kartezjański dwóch zbiorów). Iloczyn kartezjański XY zbiorów X i Y jest zbiorem uporządkowanych par elementów zbiorów X, Y. Z definicji mamy zatem:

{( , ) : , }

def

X   Y x y   x X   y Y

.

Ćwiczenie: 1)

 

²; 2)



²



³; 3) ⁿ

 

^n¹; 4) [0,1)(0,1]-?

3A39 (Definicja: zbiór wartości i wykres funkcji). Niech f X: Y. Wtedy

zbiór ( ) { : ( ), }

def def

f f

W  f X  y Y y  f x x X D

nazywamy zbiorem wartości funkcji f. Wykresem funkcji

f X :  Y

nazywamy zbiór

de f

{( , ) : ( ), }

GR

f

 x y   X Y y  f x x  X

. Przykłady:

1) y f x( )x x²,  X D_f  [ 1,1],Y  

2 2

[0,1] , {( , ) : , [ 1,1]}

f f

W  Y GR  x y  yx x  ;

2) y f x( ) cos²x1,xD Y_f,  W_f {0},GR_f {(k



,0) :kZ}; y

2



 0

 

2



x 3) y f x( )lnxD_f { ;x x0,x },W_f  .

(2)

3A40 (Uwaga). Funkcje f :D_f Y i g D: _g Y są równe



D_f  D_g oraz

( ) ( ), _f

f x g x  x D .

Podzbiór płaszczyzny

x y 0

jest wykresem pewnej funkcji y f x x( ),   , X gdy każda prosta pionowa przecina go co najwyżej w jednym punkcie (przykład:

okrąg o środku (0,0) i promieniu 1 nie jest wykresem funkcji).

3A41 (Definicja: funkcja złożona). Niech f X: Y g Y₁, : ₂ Z, gdzie zbiory

1 2

, , ,

X Y Y Z są niepuste, przy czym Y₁Y₂ (dokładniej W_f Y₂). Wtedy złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję (złożoną)

g f X :  Z

określoną wzorem

de f

( g f )( ) x  g f x ( ( ))

dla x . X Przykłady (A+B):

1) z x²  x { ,x x 0; x x, 0,x ;

2) 1

( ) ( ), ,

zE x  x arcctg ctg x x



 x



^.

3A42 (Definicja). Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze X  D_f , jeżeli

1 2 1 2 1 2

(  x x ,  X )[( x  x )  ( ( ) f x  f x ( ))]

. (1) Wtedy funkcja f jest różnowartościowa na X, gdy każda prosta pozioma

przecina fragment wykresu funkcji f odpowiadający X co najwyżej w jednym punkcie (ćwiczenie: podać interpretację geometryczną (A+B)).

3A+B43 (Uwaga). Warunek (1) w 3A42 jest równoważny następującemu:

1 2 1 2 1 2

(  x x ,  X )(( ( ) f x  f x ( )  ( x  x ))

, z którego wygodnie jest korzystać przy sprawdzaniu różnowartościowości funkcji.

Przykłady:

1) funkcja f x( ) jest różnowartościowa na zbiorze [0,x²  lub () ,0], ale nie jest taką na ;

2) f x( )x x³,  .

3A44 (Definicja: funkcja odwrotna). Niech funkcja f X: Y będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcję f^¹:Y  X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f, jeśli ¹

( ) ( )

def

f

^

y    x y f x

, gdzie

x  X y Y , 

czyli

1

( ( ))

f

^

f x  x

oraz

f f (

^¹

( )) y  y

dla

    y Y , x X

.

(3)

3A+B45 (Uwaga). Zauważmy, że zbiory X i Y (osi 0x i 0y) zamieniają się rolami gdy zamiast funkcji f rozpatrujemy funkcję

f

^¹. Wtedy wykresy funkcji

1( )

y f ^ x i

y  f x ( )

będą nawzajem symetryczne względem prostej

y  x

. 3A+B46 (Uwaga: sposoby określania funkcji):

46.1) tablicowy – za pomocą tabeli:

x 0 1 2 3 5

y 0 1 4 9 2000

46.2) wykresowy – za pomocą wykresu;

y

0 x 46.3) analityczny – za pomocą wzoru:

1) jawny: y f x x( ),  ; lub, na przykład, X ¹

2

( ), ( ), f x x X

y g x x X

 

   ;

2) niejawny – za pomocą równania (funkcja uwikłana)

F x y  ( , ) 0

, tzn.

funkcja y y x x( ),  , taka że X

F x y x ( , ( ))  0, x  X

: przykład:

2 2

1, [ 1,1], [0,1]

x  y  X   Y 

(ćwiczenie: jaka ilość funkcji uwikłanych jest określona wzorem: x²  y²  ?); 1 3) parametryczny – za pomocą funkcji zależnej od parametru (za pomocą

układu równań): :y X  Y







 ) (

) (

t y y

t x x

( )

( ( ))

t t x

t T y y t x

  

 , gdzie ( )x t  , X ( )

y t  i dla funkcji Y x(t):T X istnieje funkcja odwrotna tt x( ) (X T); 46.4) komputerowy – wynika z poprzednich.

3A+B47 (Klasyfikacja funkcji względem własności): f X : gdzie X  : 47.1) funkcje okresowe i nieokresowe: funkcja f jest okresowa, jeżeli

(   T 0)(   x X )( x T   X

oraz (f x T ) f x( )).

Liczbę T nazywamy wtedy okresem funkcji (przykłady: ysinx, cos2 1

y x );

47.2) funkcje parzyste i które nie są parzyste: funkcja f jest parzysta, jeżeli

(   x X )(   x X

oraz (f  x) f x( )), to znaczy, że oś Oy jest osią symetrii wykresu funkcji (przykłady:y ,x² y cos² x , 1 x²

y x );

y

(4)

0 x

47.3) funkcje nieparzyste i które nie są nieparzyste: funkcja f jest nieparzysta, jeżeli

(   x X ) (   x X

oraz (f   x) f x( )), to znaczy, że początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji (przykłady: y x ,

1 2

y x

 x

 , y ^x

 x ); y

0 x

47.4) funkcje ograniczone i nieograniczone: funkcja f jest ograniczona na zbiorze X, jeżeli

(  m M ,  ) (   x X ) ( m  f x ( )  M )

czyli

( ( ) f x  max{ m M , })  N

, tzn. wykres funkcji jest położony między dwiema prostymi poziomymi o równaniach y N , y  N

(przykład:ysinx);

47.5) funkcje ograniczone z dołu i nieograniczone z dołu: funkcja f jest

ograniczona z dołu na zbiorze X, jeżeli

(   m ) (   x X )( ( ) f x  m )

, tzn.

wykres funkcji leży nad pewną prostą poziomą o równaniu y = m (przykłady:y ,x² ysinx);

47.6) funkcje ograniczone z góry i nieograniczone z góry: funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze X jeżeli

(   M ) (   x X )( ( ) f x  M )

(przykłady:y  ,x² ysinx);

47.7) funkcje monotoniczne i niemonotoniczne: na zbiorze X funkcja f jest:

1) rosnąca, jeżeli (x x₁, ₂X) [(x₁ x₂)



(f(x₁) f(x₂))], tzn. gdy poruszając się w prawo po wykresie funkcji wznosimy się do góry (przykład: y = x³);

2) malejąca, jeżeli (x x₁, ₂X)[(x₁ x₂)



(f(x₁) f(x₂))], tzn. gdy poruszając się w prawo po wykresie opadamy na dół (przykład: y  ); x 3) niemalejąca, jeżeli (x₁,x₂X)[(x₁x₂)(f(x₁) f(x₂))], tzn. gdy

poruszając się w prawo po wykresie funkcji wznosimy się lub pozostajemy na tym samym poziomie (przykład: y = f(x) = E(x) – część całkowita liczby x);

4) nierosnąca, jeżeli (x₁,x₂X)[(x₁ x₂)(f(x₁) f(x₂))], tzn. gdy

poruszając się w prawo po wykresie opadamy lub pozostajemy na tym samym poziomie (przykład: f(x)= x x x,  );

4) monotoniczna na zbiorze, jeżeli jest rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca na tym zbiorze.

Ćwiczenie (A+B): podać interpretację geometryczną dla 3A+B47.

3A+B48 (Fakt: warunek wystarczający różnowartościowości funkcji). Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze, to jest różnowartościowa na tym zbiorze.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa (sprawdzić (A+B)).

(5)

3A+B49 (Definicja). Funkcję f X: Y nazywamy:

49.1) iniekcją, jeżeli jest różnowartościowa na X (przykład:yx², X [0,),Y  );

49.2) suriekcją, czyli funkcją «na», jeżeli f X( )Y, tzn.

(   y Y ) (   x X ) ( ( ) f x  y )

(przykład: yx², X  ,Y [0, ); )

49.3) bijekcją, jeżeli jest jednocześnie iniekcją i suriekcją (mówimy też, że jest wzajemnie jednoznaczna, przykład: yx X³,  ,Y  ).

Ćwiczenie (A+B): podać interpretację geometryczną dla 3A+B48.

3A+B50 (Fakt). Funkcja jest odwracalna (tzn. posiada funkcję odwrotną) wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.

3A+B51 (Uwaga: funkcje cyklometryczne). Funkcja f określona wzorem sin

y x ycos x ytgx yctgx (f) odpowiednio w dziedzinie

[ ,



 

2 2

] [ 0,



] ( ,



 

2 2

) ( 0,



) (X) ma odpowiednio przeciwdziedzinę

[-1, 1] [-1, 1] (Y) i jest różnowartościowa. W zbiorach (Y) określone są zatem funkcje odwrotne do funkcji określonych wzorami (f) o dziedzinach (X). Nazywamy je funkcjami cyklometrycznymi (kołowymi): arcsin (arkussinus), arccos (arkuskosinus), arctg (arkustangens) i arcctg (arkuskotangens). Mamy zatem:

Definicja: y = arcsin x  x = sin y i

y 

[ ,



 

2 2 ];

Definicja: y = arccos x  x = cos y i

y 

[ 0,



];

Definicja: y = arctg x  x = tg y i

y 

( ,



 

2 2 );

Definicja: y = arcctg x  x = ctg y i

y 

( 0,



).

Uwaga. Funkcją arkussinus (arkuscosinus, arkustangens, arkuscotangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinus (do kosinus, tangens, kotangens) obciętej do przedziału [ ,



 

2 2 ] (do przedziału [ 0,



], ( ,



 

2 2

), ( 0,



)) o dziedzinie [-1, 1] (odpowiednio o dziedzinie [-1, 1], , ).

y / 2 _

y = arcsin x y = arccos x

/ 2 1 0 1 x

(6)

/ 2 1 0 1 y / 2 y



/ 2

0

x

/ 2 0 x

y 

arctg x

y 

arcctg x

3B52 (Ćwiczenie). Uzasadnić, że 1) arcsin x + arccos x =

2



dla

   x [ 1,1]

;

2) arctg x + arcctg x = 2



dla

  x

.

3A53 (Definicja). Funkcje hiperboliczne sh (sinus hiperboliczny), ch (kosinus hiperboliczny), th (tangens hiperboliczny), cth (kotangens hiperboliczny) określamy wzorami:

a)

2

def x x

e e sh x





gdzie

x 

; b)

2

def x x

e e ch x







gdzie

x 

;

c)

def

sh x

th x  ch x

gdzie

x 

; d)

def

ch x cth x

 sh x

gdzie

x  \ {0}

.

3A+B54 (Fakt: podstawowe tożsamości z funkcjami hiperbolicznymi):

54.1) ch²xsh²x dla1

  x

; 54.2) sh 2x = 2 sh x ch x dla

  x

; 54.3) ch 2x = sh ²x + ch ²x dla

  x

.

3A55 (Definicja: funkcje elementarne). Funkcjami elementarnymi nazywamy podstawowe funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne (o dziedzinie naturalnej) oraz funkcje, które

(7)

można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji.

3A+B+C56 (Przykłady).

56.1. Funkcje elementarne:

1) wartość bezwzględna (moduł): ^, ^0, , 0;

y x x x

x x

 

   

2) wielomian W :  , W(x) = a x_n ⁿa_n_₁xⁿ^¹ ... a x₁ a₀, gdzie

{0}

n 

, a _i dla i=1,...,n, oraz a  ; liczbę n nazywamy stopniem _n 0 wielomianu;

3) funkcją wymierną nazywamy funkcję, którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów;

itd. (A+B);

56.2. Funkcje nieelementarne (tak uważa się):

1) funkcja część całkowita E:  , E(x) – część całkowita liczby x jest to największą liczbą całkowitą nie większą niż x: E(x) = k, gdzie

k    x k 1

dla pewnego k , k ,x (zbadać za pomocą 3A41);

2) funkcją signum nazywamy funkcję sgn:



,

1, 0,

sign sgn 0, 0, 1, 0.

def def

x

x x x

x

 

 

   

 



Ćwiczenie (A). Dla funkcji ysgnx podać D W oraz narysować jej wykres. _f, _f 3A57 (Ćwiczenie). Zbadać własności podstawowych funkcji elementarnych i narysować ich wykresy.

3C58 (Ćwiczenie). Czy istnieje bijekcja f: [0, 1](0, 1) odwzorowująca odcinek [0, 1] na odcinek (0, 1)? Podać wzór analityczny dla f.