• Nie Znaleziono Wyników

WYKŁAD 7

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "WYKŁAD 7"

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

WYKŁAD 7

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne.

Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.

3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna). Często się zdarza, że funkcja liczbowa określona jest tylko wzorem yf x( ), gdzie dziedzina nie jest wyraźnie wskazana. W takim wypadku dziedzina D tej funkcji (nazywamy dziedziną f naturalną) jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, dla których prawa strona f(x) tego wzoru ma określoną wartość.

Przykłady:

1) yf x( )ln ,x Df  {x :x ; 0}

2) yf x( ) cos2x1, Df {k

;k }.

3A38 (Definicja: iloczyn kartezjański dwóch zbiorów). Iloczyn kartezjański XY zbiorów X i Y jest zbiorem uporządkowanych par elementów zbiorów X, Y. Z definicji mamy zatem:

{( , ) : , }

def

X   Y x y   x X   y Y

.

Ćwiczenie: 1)

 

2; 2)

2

3; 3) n

 

n1; 4) [0,1)(0,1]-?

3A39 (Definicja: zbiór wartości i wykres funkcji). Niech f X: Y. Wtedy

zbiór ( ) { : ( ), }

def def

f f

Wf X  y Y yf x x X D

nazywamy zbiorem wartości funkcji f. Wykresem funkcji

f X :  Y

nazywamy zbiór

de f

{( , ) : ( ), }

GR

f

x y   X Y yf x xX

. Przykłady:

1) yf x( )x x2,  X Df  [ 1,1],Y  

2 2

[0,1] , {( , ) : , [ 1,1]}

f f

W  Y GRx yyx x  ;

2) yf x( ) cos2x1,xD Yf,  Wf {0},GRf {(k

,0) :kZ}; y

2

 0

 

2

x 3) yf x( )lnxDf { ;x x0,x },Wf  .

(2)

3A40 (Uwaga). Funkcje f :Df Y i g D: gY są równe

DfDg oraz

( ) ( ), f

f xg x  x D .

Podzbiór płaszczyzny

x y 0

jest wykresem pewnej funkcji yf x x( ),   , X gdy każda prosta pionowa przecina go co najwyżej w jednym punkcie (przykład:

okrąg o środku (0,0) i promieniu 1 nie jest wykresem funkcji).

3A41 (Definicja: funkcja złożona). Niech f X: Y g Y1, : 2Z, gdzie zbiory

1 2

, , ,

X Y Y Z są niepuste, przy czym Y1Y2 (dokładniej WfY2). Wtedy złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję (złożoną)

g f X :  Z

określoną wzorem

de f

( g f )( ) xg f x ( ( ))

dla x . X Przykłady (A+B):

1) zx2x { ,x x 0; x x, 0,x ;

2) 1

( ) ( ), ,

zE x  x arcctg ctg x x

x

.

3A42 (Definicja). Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze XDf , jeżeli

1 2 1 2 1 2

(  x x ,  X )[( xx )  ( ( ) f xf x ( ))]

. (1) Wtedy funkcja f jest różnowartościowa na X, gdy każda prosta pozioma

przecina fragment wykresu funkcji f odpowiadający X co najwyżej w jednym punkcie (ćwiczenie: podać interpretację geometryczną (A+B)).

3A+B43 (Uwaga). Warunek (1) w 3A42 jest równoważny następującemu:

1 2 1 2 1 2

(  x x ,  X )(( ( ) f xf x ( )  ( xx ))

, z którego wygodnie jest korzystać przy sprawdzaniu różnowartościowości funkcji.

Przykłady:

1) funkcja f x( ) jest różnowartościowa na zbiorze [0,x2  lub () ,0], ale nie jest taką na ;

2) f x( )x x3,  .

3A44 (Definicja: funkcja odwrotna). Niech funkcja f X: Y będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcję f1:YX nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f, jeśli 1

( ) ( )

def

f

y    x y f x

, gdzie

xX y Y , 

czyli

1

( ( ))

f

f xx

oraz

f f (

1

( )) yy

dla

    y Y , x X

.

(3)

3A+B45 (Uwaga). Zauważmy, że zbiory X i Y (osi 0x i 0y) zamieniają się rolami gdy zamiast funkcji f rozpatrujemy funkcję

f

1. Wtedy wykresy funkcji

1( )

yf x i

yf x ( )

będą nawzajem symetryczne względem prostej

yx

. 3A+B46 (Uwaga: sposoby określania funkcji):

46.1) tablicowy – za pomocą tabeli:

x 0 1 2 3 5

y 0 1 4 9 2000

46.2) wykresowy – za pomocą wykresu;

y

0 x 46.3) analityczny – za pomocą wzoru:

1) jawny: yf x x( ),  ; lub, na przykład, X 1

2

( ), ( ), f x x X

y g x x X

 

   ;

2) niejawny – za pomocą równania (funkcja uwikłana)

F x y  ( , ) 0

, tzn.

funkcja yy x x( ),  , taka że X

F x y x ( , ( ))  0, xX

: przykład:

2 2

1, [ 1,1], [0,1]

xyX   Y

(ćwiczenie: jaka ilość funkcji uwikłanych jest określona wzorem: x2y2  ?); 1 3) parametryczny – za pomocą funkcji zależnej od parametru (za pomocą

układu równań): :y X  Y

) (

) (

t y y

t x x

( )

( ( ))

t t x

t T y y t x

  

, gdzie ( )x t  , X ( )

y t  i dla funkcji Y x(t):T X istnieje funkcja odwrotna tt x( ) (XT); 46.4) komputerowy – wynika z poprzednich.

3A+B47 (Klasyfikacja funkcji względem własności): f X : gdzie X  : 47.1) funkcje okresowe i nieokresowe: funkcja f jest okresowa, jeżeli

(   T 0)(   x X )( x T   X

oraz (f x T ) f x( )).

Liczbę T nazywamy wtedy okresem funkcji (przykłady: ysinx, cos2 1

yx );

47.2) funkcje parzyste i które nie są parzyste: funkcja f jest parzysta, jeżeli

(   x X )(   x X

oraz (f  x) f x( )), to znaczy, że oś Oy jest osią symetrii wykresu funkcji (przykłady:y ,x2 y cos2 x , 1 x2

yx );

y

(4)

0 x

47.3) funkcje nieparzyste i które nie są nieparzyste: funkcja f jest nieparzysta, jeżeli

(   x X ) (   x X

oraz (f   x) f x( )), to znaczy, że początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji (przykłady: y x ,

1 2

y x

x

 , y x

x ); y

0 x

47.4) funkcje ograniczone i nieograniczone: funkcja f jest ograniczona na zbiorze X, jeżeli

(  m M ,  ) (   x X ) ( mf x ( )  M )

czyli

( ( ) f x  max{ m M , })  N

, tzn. wykres funkcji jest położony między dwiema prostymi poziomymi o równaniach y N , y  N

(przykład:ysinx);

47.5) funkcje ograniczone z dołu i nieograniczone z dołu: funkcja f jest

ograniczona z dołu na zbiorze X, jeżeli

(   m ) (   x X )( ( ) f xm )

, tzn.

wykres funkcji leży nad pewną prostą poziomą o równaniu y = m (przykłady:y ,x2 ysinx);

47.6) funkcje ograniczone z góry i nieograniczone z góry: funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze X jeżeli

(   M ) (   x X )( ( ) f xM )

(przykłady:y  ,x2 ysinx);

47.7) funkcje monotoniczne i niemonotoniczne: na zbiorze X funkcja f jest:

1) rosnąca, jeżeli (x x1, 2X) [(x1x2)

(f(x1) f(x2))], tzn. gdy poruszając się w prawo po wykresie funkcji wznosimy się do góry (przykład: y = x3);

2) malejąca, jeżeli (x x1, 2X)[(x1x2)

(f(x1) f(x2))], tzn. gdy poruszając się w prawo po wykresie opadamy na dół (przykład: y  ); x 3) niemalejąca, jeżeli (x1,x2X)[(x1x2)(f(x1) f(x2))], tzn. gdy

poruszając się w prawo po wykresie funkcji wznosimy się lub pozostajemy na tym samym poziomie (przykład: y = f(x) = E(x) – część całkowita liczby x);

4) nierosnąca, jeżeli (x1,x2X)[(x1 x2)(f(x1) f(x2))], tzn. gdy

poruszając się w prawo po wykresie opadamy lub pozostajemy na tym samym poziomie (przykład: f(x)= xx x,  );

4) monotoniczna na zbiorze, jeżeli jest rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca na tym zbiorze.

Ćwiczenie (A+B): podać interpretację geometryczną dla 3A+B47.

3A+B48 (Fakt: warunek wystarczający różnowartościowości funkcji). Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze, to jest różnowartościowa na tym zbiorze.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa (sprawdzić (A+B)).

(5)

3A+B49 (Definicja). Funkcję f X: Y nazywamy:

49.1) iniekcją, jeżeli jest różnowartościowa na X (przykład:yx2, X [0,),Y  );

49.2) suriekcją, czyli funkcją «na», jeżeli f X( )Y, tzn.

(   y Y ) (   x X ) ( ( ) f xy )

(przykład: yx2, X  ,Y [0, ); )

49.3) bijekcją, jeżeli jest jednocześnie iniekcją i suriekcją (mówimy też, że jest wzajemnie jednoznaczna, przykład: yx X3,  ,Y  ).

Ćwiczenie (A+B): podać interpretację geometryczną dla 3A+B48.

3A+B50 (Fakt). Funkcja jest odwracalna (tzn. posiada funkcję odwrotną) wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.

3A+B51 (Uwaga: funkcje cyklometryczne). Funkcja f określona wzorem sin

yx ycos x ytgx yctgx (f) odpowiednio w dziedzinie

[ ,

 

2 2

] [ 0,

] ( ,

 

2 2

) ( 0,

) (X) ma odpowiednio przeciwdziedzinę

[-1, 1] [-1, 1] (Y) i jest różnowartościowa. W zbiorach (Y) określone są zatem funkcje odwrotne do funkcji określonych wzorami (f) o dziedzinach (X). Nazywamy je funkcjami cyklometrycznymi (kołowymi): arcsin (arkussinus), arccos (arkuskosinus), arctg (arkustangens) i arcctg (arkuskotangens). Mamy zatem:

Definicja: y = arcsin x x = sin y i

y 

[ ,

 

2 2 ];

Definicja: y = arccos x x = cos y i

y 

[ 0,

];

Definicja: y = arctg x x = tg y i

y 

( ,

 

2 2 );

Definicja: y = arcctg x x = ctg y i

y 

( 0,

).

Uwaga. Funkcją arkussinus (arkuscosinus, arkustangens, arkuscotangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinus (do kosinus, tangens, kotangens) obciętej do przedziału [ ,

 

2 2 ] (do przedziału [ 0,

], ( ,

 

2 2

), ( 0,

)) o dziedzinie [-1, 1] (odpowiednio o dziedzinie [-1, 1], , ).

y / 2

y = arcsin x y = arccos x

/ 2 1 0 1 x

(6)

/ 2 1 0 1 y / 2 y

/ 2

0

x

/ 2 0 x

y 

arctg x

y 

arcctg x

3B52 (Ćwiczenie). Uzasadnić, że 1) arcsin x + arccos x =

2

dla

   x [ 1,1]

;

2) arctg x + arcctg x = 2

dla

  x

.

3A53 (Definicja). Funkcje hiperboliczne sh (sinus hiperboliczny), ch (kosinus hiperboliczny), th (tangens hiperboliczny), cth (kotangens hiperboliczny) określamy wzorami:

a)

2

def x x

e e sh x

gdzie

x 

; b)

2

def x x

e e ch x

gdzie

x 

;

c)

def

sh x

th xch x

gdzie

x 

; d)

def

ch x cth x

sh x

gdzie

x  \ {0}

.

3A+B54 (Fakt: podstawowe tożsamości z funkcjami hiperbolicznymi):

54.1) ch2xsh2x dla1

  x

; 54.2) sh 2x = 2 sh x ch x dla

  x

; 54.3) ch 2x = sh 2 x + ch 2 x dla

  x

.

3A55 (Definicja: funkcje elementarne). Funkcjami elementarnymi nazywamy podstawowe funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne (o dziedzinie naturalnej) oraz funkcje, które

(7)

można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji.

3A+B+C56 (Przykłady).

56.1. Funkcje elementarne:

1) wartość bezwzględna (moduł): , 0, , 0;

y x x x

x x

 

   

2) wielomian W :  , W(x) = a xn nan1xn1 ... a x1a0, gdzie

{0}

n 

, a i dla i=1,...,n, oraz a  ; liczbę n nazywamy stopniem n 0 wielomianu;

3) funkcją wymierną nazywamy funkcję, którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów;

itd. (A+B);

56.2. Funkcje nieelementarne (tak uważa się):

1) funkcja część całkowita E:  , E(x) – część całkowita liczby x jest to największą liczbą całkowitą nie większą niż x: E(x) = k, gdzie

k    x k 1

dla pewnego k , k ,x (zbadać za pomocą 3A41);

2) funkcją signum nazywamy funkcję sgn:

,

1, 0,

sign sgn 0, 0, 1, 0.

def def

x

x x x

x

 

 

   

 

Ćwiczenie (A). Dla funkcji ysgnx podać D W oraz narysować jej wykres. f, f 3A57 (Ćwiczenie). Zbadać własności podstawowych funkcji elementarnych i narysować ich wykresy.

3C58 (Ćwiczenie). Czy istnieje bijekcja f: [0, 1](0, 1) odwzorowująca odcinek [0, 1] na odcinek (0, 1)? Podać wzór analityczny dla f.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Budowa i podstawowe funkcje poleceń definiowania przedmiotu obrabianego .... Podstawowe funkcje rysunkowe 2D i 3D

– stara się rozpoznać zdania złożone współrzędnie i podrzędnie oraz podstawowe części mowy i podstawowe funkcje składniowe

Dotychczas wszystkie metody wykorzystywały do obliczenia całki ważone wartości równo rozmieszczonych punktów. Położenia punktów były stałe dla

Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór tych elementów z , dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedziną naturalną funkcji... Najmniejszy okres funkcji

Projektując program założyliśmy, że obiekty globalne (zmienna zewnętrzna n_swap oraz funkcje Lf_swap i Lf_qsort ) mają być widoczne dla wszystkich plików źródłowych.

Projektując program założyliśmy, że obiekty globalne (zmienna zewnętrzna n_swap oraz funkcje Lf_swap i Lf_qsort ) mają być widoczne dla wszystkich plików źródłowych.

Funkcje logiczne, których zmienne niezależne i zmienna zależna mogą przyjmować tylko dwie wartości nazywają się funkcjami logicznymi dwuwartościowymi.. Do opisu

Rzeczywistymi funkcjami zbiornika Cieszanowice są funkcje retencyjne realizowane przez obniżanie kulmi- nacji fal powodziowych i wyrównywanie przepływów Luciąży oraz