Równania różniczkowe zwyczajne (ang. ordinary differential equations, ODE)

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

Często rozwiązanie oznaczać także symbolem y(t), więc powyższy warunek zapiszemy jako

gdzie

Rozwiązaniem takiego równania nazywamy każdą funkcję

jest daną funkcją.

która jest różniczkowalna i spełniania równość

Równania różniczkowe zwyczajne

(ang. ordinary differential equations, ODE)

( , ), y  f t y :

f R R U  R

: ( , )a b ,

 R   R

( )t f t( , ( )), dlat t ( , ).a b

^   

( ) ( , ( )), dla ( , ).

y t  f t y t t a b

Przykład

Rozważmy równanie

Przykładowe rozwiązanie

Sprawdzamy przez podstawienie

Podane rozwiązanie nie jest jedyne, gdyż na przykład funkcja

też spełnia to równanie.

, y  t y

( ) ^t 1.

y t   e t

( ) ( 1) 1,

( , ( )) ( ) 1 1,

t t

t t

y t e t e

f t y t t y t t e t e

      

       

( ) 1

y t   t

Przykład

Rozważmy równanie

Sprawdzamy, że funkcja jest rozwiązaniem:

W ogólnym przypadku każda funkcja postaci

jest rozwiązaniem tego równania.

 

2 2

2 2

2

1 1 1

( ) ( 1) ,

1 (1 ) (1 )

1 1

( ) ,

1 (1 )

y t t t t

y t t t

 

          

 

     

2. y  y ( ) 1

y t 1

 t



( ) 1 , y t  C t



Zagadnieniem początkowym (zagadnieniem Cauchy’ego, problemem początkowym) nazywamy następujące dwa warunki

gdzie są danymi liczbami (warunek początkowy), a

jest daną funkcją.

Rozwiązaniem tak postawionego problemu jest dowolna funkcja y=y(t), która spełnia równanie, czyli y’(t)=f(t, y(t)) dla t z otoczenia t₀, a ponadto spełnia warunek początkowy, czyli y(t ₀)= y₀.

0 0

( , ),

( ) ,

y f t y

y t y

  

 



0, 0

t y  R

: ( , ) ( , )

f R R  a b  c d  R

Przykład

Jakie jest rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego

Rozwiązanie ogólne równania y’ = t y ma postać

Podstawiamy warunek początkowy y(0)=2, co daje C=2. Zatem rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego jest funkcja

, (0) 2.

y t y y

  

 



1 2

( ) 2^t . y t  Ce

1 2

( ) 2 2^t . y t  e

Przykład

Jakie jest rozwiązanie poniższego zagadnienia Cauchy’ego

Rozwiązaniem problemu jest funkcja stale równa zero

Ale rozwiązaniem jest także funkcja

Mamy zatem przykład niejednoznaczności rozwiązania!

Okazuje się jednak, że przy dość ogólnych założeniach rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego jest jednak jednoznaczne. Taka sytuacja najczęściej występuje w zastosowaniach równań różniczkowych zwyczajnych.

2 / 3, (0) 0.

y y y

 

 



1( ) 0.

y t 

3 2

( ) 1 . y t  27t

Synteza bromowodoru z pierwiastków

Synteza bromowodoru z pierwiastków jest reakcją złożoną o sumarycznym równaniu

W roku 1906 wyznaczono eksperymetalnie następujące równanie kinetyczne tej reakcji

Stałe kinetyczne k₁ oraz k₂ zależą od warunków przebiegu reakcji (temperatura, ciśnienie itp.).

Eksperymetalnie wyznaczono, że w zwykłych warunkach k₂≈0,1.

Czasami równanie to jest zapisywane równoważnie tak

2 2

H  Br  2HBr

3/ 2

2 2

1

2 2

[H ][Br ] [HBr]

[Br ] [HBr].

d k

dt  k



1/ 2

2 2

1

2

2

[H ][Br ] [HBr]

[HBr] . 1 [Br ]

d k

dt k





Synteza bromowodoru z pierwiastków (c.d.)

Wprowadzamy oznaczenie y(t) = [HBr] oraz uwzględniamy bilans masy w równaniu

co daje dodatkowe zależności

Po podstawieniu do równania kinetycznego na d[HBr]/dt otrzymamy

2 2

H  Br  2HBr

3/ 2

2 0 2 0

1

2 0 2

([H ] 0.5 )([Br ] 0.5 ) [Br ] ( 0.5) .

y y

dy k

dt k y

 

  

1 1

2 2 0 2 2 0 2

1 1

2 2 0 2 2 0 2

[H ] [H ] [HBr] [H ] ,

[Br ] [Br ] [HBr] [Br ] . y

y

   

   

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0

1 2 3 4

t, czas

stężenie

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 1 2 3 4 5

t, czas

stężenie

Synteza bromowodoru z pierwiastków (c.d.)

Przeprowadzając symulację podanego układu dynamicznego możemy precyzyjnie przewidzieć ewolucję stężenia składników – a w szczególności przewidzieć czas trwania reakcji.

Prawdziwa kinetyka syntezy bromowodoru.

Gdyby kinetyka syntezy bromowodoru była analogiczna do syntezy chlorowodoru.

3/ 2

2 2

1

2 2

[H ][Br ] [HBr]

[Br ] [HBr].

d k

dt  k



1 2 2

[HBr]

[H ][Br ].

d k

dt 

W ogólnym przypadku możemy mieć n niewiadomych funkcji y₁(t),…,y_n(t) oraz n równań:

z warunkami początkowymi:

gdzie liczby są dane.

Układy równań różniczkowych zwyczajnych (ODEs)

1 1 1

1

( , , , ), ( , , , ),

n

n n n

y f t y y y f t y y

  



  









0 0

1( )0 1 , , ( )_n 0 _n, y t  y  y t  y

0 0

0, 1 , , _n

t y  y  R

Równania Lotki — jedna reakcja autokatalityczna

Rozważmy następującą sekwencję reakcji elementarnych:

Powyższy mechanizm opisuje ostatecznie sumaryczną reakcję A  B.

Z postaci tego mechanizmu możemy postulować następujący układ równań różniczkowych zwyczajnych:

1

2

3

(produkcja X)

2 (autokatalityczna produkcja Y) (rozkład Y)

k

k k

A X

X Y Y

Y B



 



1 2

2 3

[ ] [ ] [ ][ ], [ ] [ ][ ] [ ].

d X k A k X Y dt

d Y k X Y k Y dt

  



  



Równania Lotki — jedna reakcja autokatalityczna

Symulacje numeryczne Modelu Lotki w MATLAB-ie dla następujących parametrów:

Czas symulacji przyjmiemy tend =5·10⁵. Zastosowanie standardowej procedury ode45 (implementujacej metodę Rungego-Kutty 4-tego rzędu) z domyślnymi ustwieniami tolerancji błędów dla przypadku a) daje wyniki:

0 1 2 3 4 5

x 10⁵ 0

2 4 6 8 10 12 14x 10⁴

0 1 2 3 4 5

x 10⁵ 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

5x 10⁴

9 4 4

1 2 3 0 0

) 0.9, 5 10 , 2 10 , [ ] 1, [ ] 0, [ ] 1 10 . a k  k   ^ k   ^ A  X  Y   ^

1 2 3 0 0

) 1.0, 1.0, 1.0, [ ] 1, [ ] 1.5, [ ] 2.0.

b k  k  k  A  X  Y 

0 2 4 6 8 10 12 14 x 10⁴ 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

5x 10⁴

Równania Lotki — przykładowy portret fazowy

Poniżej jest przedstawiony portret fazowy układu Lotki dla danych z punktu a). Portret fazowy oznacza, że rysujemy wyniki obliczeń w układzie y1-y2. Tzn. na osi OX odkładane są wartości y₁(t), a na osi OY wartości y₂(t).

Równania Lotki-Volterry (dwie reakcje autokatalityczne)

Jest to model podobny do modelu Lotki, ale tym razem występują dwie reakcje autokatalityczne:

Powyższa sekwencja opisuje sumaryczną reakcję AB.

Z postaci podanego mechanizmu możemy postulować następujący układ równań różniczkowych zwyczajnych:

1 2

2 3

[ ] [ ][ ] [ ][ ], [ ] [ ][ ] [ ].

d X k A X k X Y dt

d Y k X Y k Y dt

  



  



1

2

3

2 (autokatalityczna produkcja X) 2 (autokatalityczna produkcja Y)

(zanik Y)

k k k

A X X

X Y Y

Y B

 

 



Równania Lotki-Volterry (dwie reakcje autokatalityczne – c.d.)

W układzie reakcji Lotki-Volterry zakładamy, że stężenie reagenta A jest stałe:

[A]=const.

Wprowadzając wygodne oznaczenia: [X]=y₁(t), [Y]=y₂(t), [A]=a, możemy układ równań zapisać następująco:

Układ ten ma ciekawą własność – występują w nim rozwiązania okresowe.

Dokładnej, dla każdej pary warunków początkowych y₁(0)=y₁₀ > 0, y₂(0)=y₂₀ >

0 rozwiązania y₁(t), y₂(t) istnieją dla wszystkich t  0 i są funkcjami okresowymi.

1

1 1 2 1 2

2 2 1 2 3 2

, . dy k ay k y y

dt

dy k y y k y dt

  



  



Układ Lotki-Volterry jako prosty model drapieżnik-ofiara

gdzie

Ten sam układ równań może być wykorzystany do opisu prostego modelu interakcji pomiędzy dwoma populacjami: ofiar i drapieżników.

1 2 1

2 1 2

( ) ,

( ) .

y b ay y y cy d y

  

    



1( ) ofiary (np. zające), 2( ) drapieżniki (np. lisy).

y t  y t 

 

1 2

2 1

1 2

względna względna

zmiana zmiana

populacji populacji

zajęcy lisów

, .

y y

b ay cy d

y y

 

   

Układ Lotki-Volterry – przykładowe symulacje

Do obliczeń weźmiemy następujące dane:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10⁵ 0

5000 10000

15000 Wykres y1(t) i y2(t)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 2000

4000 6000 8000 10000 12000 14000

16000 Portret fazowy

4 8 4

1 2 3

0 0

5

1.5 10 , 2 10 , 1.0 10 ; [ ] 1, [ ] 2000, [ ] 10000;

4.5 10 .

end

k k k

A X Y

t

  

     

  

 

Ewolucja czasowa i portrety fazowe

Przykładowe rozwiązania y₁(t), y₂(t) oraz portret fazowy dla układu Lotki-Volterry.

1 2 1

2 1 2

1 2

( )

( )

(0) 20, (0) 20

1, 0.01, 0.02, 1 y a by y

y cy d y

y y

a b c d

  

   

  



    

Bruselator

Jest to teoretyczny model dla autokatalitycznej reakcji z wszystkimi etapami nieodwracalnymi i takimi samymi stałymi szybkości k₁=k₂=k₃=k₄=1.

Procesem sumarycznym jest: A+BD+E. Powyższy mechanizm prowadzi do następującego układu, gdy szybkość reakcji jest określona przez postacie reakcji

2 3

A X

X Y X

B X Y D

X E



 

  



2

2

[ ] [ ] [ ] [ ] ([ ] 1)[ ], [ ] [ ][ ] [ ] [ ].

d X A X Y B X

dt

d Y B X X Y

dt

    



  



Wprowadzamy wygodniejsze oznaczenia:

Parametry a i b są dodatnimi stałymi. Niewiadomymi są funkcje y₁=y₁(t), y₂=y₂(t).

Równania opisujące Bruselator mają teraz postać:

Powyższy układ równań generuje rozwiązania, których jakościowy charakter może istotnie się różnić w zależności od wzajemnej relacji parametrów a i b. W szczególności punkt stacjonarny tego układu staje się niestabilny gdy

2

1 1 2 1

2

2 1 1 2

( 1) , .

y a y y b y y by y y

     

 

  



1 [ ], 2 [ ], [ ], [ ].

y  X y  Y a  A b  B

2

1.

b a  

Przykładowe dane do modelu Bruselator

W obu przypadkach czas procesu t_end = 80.

Jeśli zmieniając stężenie [B] osiągniemy wartość krtytyczną [B]_kr=[A]²+1, to następuje tzw. bifurkacja Hopfa. Dotychczasowy pojedynczy stan stacjonarny traci stabilność – w zakresie stężeń [B] > [A]² + 1 obserwujemy zupełnie inne zachowanie – stabilne oscylacje stężeń [X] i [Y].

0 0 0

) [ ] 1.0, [ ] 1.7, [ ] 1.0, [ ] 1.0; [ ] 3.0, [ ] 4.0;

a A  B  X  Y  X  Y 

0 0 0

) [ ] 1.0, [ ] 3.0, [ ] 1.0, [ ] 1.0; [ ] 3.0, [ ] 4.0;

b A  B  X  Y  X  Y 

Przykładowe dane do modelu Bruselator

W obu przypadkach czas procesu t_end = 120.

0 20 40 60 80 100 120

0.8 1 1.2 1.4

t

y1(t)

0 20 40 60 80 100 120

1 1.5 2 2.5

t

y2(t)

0 20 40 60 80 100 120

0 1 2 3

t

y1(t)

0 20 40 60 80 100 120

1 2 3 4

t

y2(t)

a) [B]>[B]_kr=[A]²+1=2 b) [B]<[B]_kr=[A]²+1=2

0 0

a) [ ] 1.0, [ ] 3.0, [ ]A  B  X 1.0, [ ] 1.0, [ ]Y  X  3.0, [ ] 4.0;Y 

0 0

b) [ ] 1.0, [ ] 1.7, [ ]A  B  X 1.0, [ ] 1.0, [ ]Y  X  3.0, [ ] 4.0;Y 