Granice funkcji jednej zmiennej rzeczywistej
De nicja 1. (s¡siedztwo punktu)
Sum¦ przedziaªów (x
0− r, x
0) ∪ (x
0, x
0+ r) nazywamy s¡siedztwem punktu x
0o promieniu r i oznaczamy S(x
0, r). Przedziaª (x
0− r, x
0) nazywamy s¡siedztwem lewostronnym punktu x
0o
promieniu r i oznaczamy S(x
−0, r) Przedziaª (x
0, x
0+ r) nazywamy s¡siedztwem prawostronnym punktu x
0o promieniu r i oznaczamy S(x
+0, r)
Je»eli promie« s¡siedztwa nie b¦dzie miaª znaczenia, s¡siedztwo punktu x
0b¦dziemy oznacza¢
krótko przez S(x
0), S(x
+0), S(x
−0).
Do s¡siedztwa S(x
0, r) nale»¡ zatem wszystkie punkty nale»¡ce do otoczenia O(x
0, r), z wyj¡t- kiem punktu x
0.
De nicja 2. (punkt skupienia zbioru)
Punkt x
0∈ R nazywamypunktem skupienia zbioru X ⊂ R, je»eli w ka»dym s¡siedztwie punktu x
0znajdzie si¦ punkt nale»¡cy do zbioru X, tzn.
∀
S(x0)X ∩ S(x
0) 6= ∅.
Uwaga 1. Granic¦ funkcji mo»e okre±la¢ tylko w punktach skupienia dziedziny tej funkcji.
Przykªad 1. Niech dziedzin¡ funkcji jest (−4, 2]∪(3, 5)∪(5, +∞). Wówczas granic¦ funkcji mo»emy okre±la¢ dla punktów x ∈ [−4, 2] ∪ [3, +∞].
De nicja 3. (Heinego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie)
Niech x
0∈ R oraz niech f b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie S(x
0) punktu x
0. Liczb¦
g nazywamy granic¡ wªa±ciw¡ funkcji f w punkcie x
0, co zapisujemy
x→x
lim
0f (x) = g,
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbie»nego do x
0ci¡gu (x
n) punktów s¡siedztwa punktu x
0, ci¡g warto±ci (f(x
n)) zbiega do g.
Co równowa»nie mo»na zapisa¢ w postaci:
∀
{xn}⊂S(x0)h
n→∞
lim x
n= x
0) ⇒ ( lim
n→∞
f (x
n) = g) i . Przykªad 2. Stosuj¡c de nicj¦ Heinego granicy wªa±ciwej funkcji uzasadnij, »e:
a) lim
x→1
2x + 4 = 6, b) lim
x→2 x2−4
x−2
= 4.
Rysunek 1: Ilustracja do przykªadu Rozwi¡zanie: a) Niech ci¡g x
n⊂ S(1) oraz lim
n→∞
x
n= 1. Wówczas lim
n→∞
f (x
n) = lim
n→∞
2x
n+ 4 = 6.
b) Niech ci¡g x
n⊂ S(2) oraz lim
n→∞
x
n= 2. Wówczas lim
n→∞
f (x
n) = lim
n→∞
x2n−4
xn−2
= lim
n→∞
(xn−2)(xn+2) xn−2
=
n→∞
lim x
n+ 2 = 4.
De nicja 4. (Granica lewostronna wªa±ciwa funkcji w punkcie wedªug Heinego)
Niech funkcja f b¦dzie okre±lona przynajmniej na lewostronnym s¡siedztwie punktu x
0. Mówimy,
»e funkcja f ma w punkcie x
0granic¦ lewostronn¡ g ∈ R, co zapisujemy lim
x→x−0
f (x) = g
gdy dla dowolnego zbie»nego do x
0ci¡gu (x
n) punktów lewostronnego s¡siedztwa punktu x
0, ci¡g warto±ci (f(x
n)) zbiega do g.
De nicja 5. (Granica prawostronna wªa±ciwa funkcji w punkcie wedªug Heinego)
Niech funkcja f b¦dzie okre±lona przynajmniej na prawostronnym s¡siedztwie punktu x
0. Mówimy,
»e funkcja f ma w punkcie x
0granic¦ prawostronn¡ g ∈ R, co zapisujemy lim
x→x+0
f (x) = g
gdy dla dowolnego zbie»nego do x
0ci¡gu (x
n) punktów prawostronnego s¡siedztwa punktu x
0, ci¡g warto±ci (f(x
n)) zbiega do g.
Twierdzenie 1. Je±li funkcja f(x) posiada w punkcie x
0granic¦, to tylko jedn¡.
Gra cznie: liczba g jest granic¡ prawostronn¡ (lewostronn¡) funkcji w punkcie x
0, gdy warto±ci funkcji dla argumentów x d¡»¡cych do x
0przez warto±ci wi¦ksze (mniejsze) od x
0, d¡»¡ do liczby g.
Przykªad 3. Rozwa»my funkcj¦ f(x) = sgn x :
Granica lewostronna funkcji f(x) = sgn x w punkcie x
0= 0 wynosi: lim
x→0−
sgn x = −1, a granica prawostronna jest równa lim
x→0+
sgn x = 1.
Twierdzenie 2. (warunek konieczny i wystarczaj¡cy istnienia granicy w punkcie)
Warunkiem koniecznym i wystarczaj¡cym na to, aby funkcja miaªa w badanym punkcie x
0granic¦
jest istnienie i równo±¢ jej granic jednostronnych:
lim
x→x−0
f (x) = lim
x→x+0
f (x).
Ponadto wspólna warto±¢ tych granic jest granic¡ funkcji w punkcie x
0.
Przykªad 4. Korzystaj¡c z warunku koniecznego i dostatecznego istnienia granicy funkcji w punk- cie zbadaj istnienie granicy funkcji w punkcie x
0= 1 :
a) b)
Rozwi¡zanie: a) Poniewa» lim
x→1−
f (x) = 1 = lim
x→1+
f (x), wi¦c granica funkcji f(x) w punkcie x
0= 1 istnieje i jest równa 1: lim
x→1
f (x) = 1;
b) Poniewa» lim
x→1−
f (x) = 0 = lim
x→1+
f (x), wi¦c granica funkcji f(x) w punkcie x
0= 1 istnieje i jest równa 0: lim
x→1
f (x) = 0, pomimo tego, »e funkcja nie jest okre±lona dla x
0= 1.
Przykªad 5. Korzystaj¡c z warunku koniecznego i dostatecznego istnienia granicy funkcji w punk- cie zbadaj istnienie granicy funkcji w punkcie x
0= 1 :
a) b)
Rozwi¡zanie: a) Poniewa» lim
x→1−
f (x) = 0, natomiast lim
x→1+
f (x) = 1, wi¦c granica funkcji f(x) w punkcie x
0= 1 nie istnieje.
b) Poniewa» lim
x→1−
f (x) = 1, natomiast = lim
x→1+
f (x) = 0, wi¦c granica funkcji f(x) w punkcie x
0= 1 nie istnieje.
De nicja 6. (Cauchy'ego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie)
Niech x
0∈ R oraz niech f b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie punktu x
0. Liczb¦ g nazywamy granic¡ wªa±ciw¡ funkcji f w punkcie x
0, co zapisujemy
x→x
lim
0f (x) = g,
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈S(x0)|x − x
0| < δ) ⇒ (|f (x) − g| < ε) .
Rysunek 2: Interpretacja geometryczna granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie x
0Oznacza ona, »e funkcja f ma w punkcie x
0granic¦ wªa±ciw¡ g, gdy jej warto±ci ró»ni¡ si¦ od g dowolnie maªo dla argumentów le»¡cych blisko punktu x
0.
De nicja 7. (granica niewªa±ciwa funkcji w punkcie)
Niech funkcja f b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie S(x
0). Funkcja ta ma granice nie- wªa±ciwa +∞ w punkcie x
0, co zapisujemy
x→x
lim
0f (x) = +∞, wtedy i tylko wtedy gdy ∀
ε>0∃
M ∈R∀
x∈S(x0)|x − x
0| < M ⇒ f (x) > ε
Gra cznie: funkcja ma granice niewªa±ciw¡ w punkcie x
0, je»eli jej warto±ci s¡ dowolnie du»e dla dostatecznie bliskich argumentów x wzgl¦dem argumentu x
0.
W podobny sposób de niujemy granic¦ lim
x→x0
f (x) = −∞ zamieniaj¡c w de nicji f(x) > ε na f (x) < −ε.
Granice w niesko«czono±ci Mówimy, »e:
• x → +∞ je±li ∀
M >0x > M ;
• x → −∞ je±li ∀
M >0x < −M ;
• x → ∞ je±li ∀
M >0|x| > M.
De nicja 8. (De nicja Cauchy'ego granicy wªa±ciwej w niesko«czono±ci)
Niech funkcja f b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie S(+∞). Liczba α ∈ R jest granic¡
wªa±ciw¡ funkcji f w +∞, co zapisujemy
x→+∞
lim f (x) = α, wtedy i tylko wtedy gdy
∀
ε>0∃
M ∈R∀
x∈S(+∞)x > M ⇒ |f (x) − α| < ε
Gra cznie: funkcja ma granice wªa±ciw¡ w +∞, je»eli jej warto±ci ró»ni¡ si¦ od granicy α dowolnie maªo dla dostatecznie du»ych argumentów x.
Uwaga 2. W podobny sposób de niujemy granic¦ lim
x→−∞
f (x) = α zamieniaj¡c w de nicji x > M na x < −M.
Rysunek 3: Ilustracja do granicy w niesko«czono±ci
Poni»sza de nicja prezentuje wszystkie mo»liwe przypadki de nicji Cauchy'ego (swoiste 9 in 1).
De nicja 9. (de nicja Cauchy'ego granicy) Niech x
0∈ R, g ∈ R oraz dziedzina D ⊆ R funkcji f : D → R jest s¡siedztwem punktu x
0, +∞, lub −∞, to w zale»no±ci od przypadku mamy:
(1) lim
x→x0
f (x) = g ⇔
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈D0 < |x − x
0| < δ ⇒ |f (x) − g| < ε (2) lim
x→x0
f (x) = +∞ ⇔
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈D0 < |x − x
0| < δ ⇒ f (x) > ε (3) lim
x→x0
f (x) = −∞ ⇔
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈D0 < |x − x
0| < δ ⇒ f (x) < −ε (4) lim
x→+∞
f (x) = g ⇔
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈Dx > δ ⇒ |f (x) − g| < ε
(5) lim
x→+∞
f (x) = +∞ ⇔
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈Dx > δ ⇒ f (x) > ε (6) lim
x→+∞
f (x) = −∞ ⇔
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈Dx > δ ⇒ f (x) < −ε (7) lim
x→−∞
f (x) = g ⇔
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈Dx < −δ ⇒ |f (x) − g| < ε (8) lim
x→−∞
f (x) = +∞ ⇔
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈Dx < −δ ⇒ f (x) > ε (9) lim
x→−∞
f (x) = −∞ ⇔
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈Dx < −δ ⇒ f (x) < −ε Twierdzenie 3. (o arytmetyce granic funkcji w punkcie)
Niech funkcje f i g maj¡ granice wªa±ciwe (sko«czone) w punkcie x
0. Wtedy:
• lim
x→x0
f (x) ± g(x)
= lim
x→x0
f (x) ± lim
x→x0
g(x);
• lim
x→x0
f (x) · g(x)
= lim
x→x0
f (x) · lim
x→x0
g(x);
• lim
x→x0
f (x) g(x)
=
x→x0lim f (x)
x→x0lim g(x)
o ile lim
x→x0
g(x) 6= 0;
• je±li lim
x→x0
f (x) = y
0, ponadto funkcja g(y) jest ci¡gªa w punkcie y
0oraz g(y
0) = α, to
x→x
lim
0g(f (x)) = α,
o ile dziaªania po prawej stronie s¡ wykonalne (oznaczone).
Uwaga 3. Twierdzenie to stosujemy równie» do granic w ±∞ oraz do granic jednostronnych.
Symbole nieoznaczone:
∞∞,
00, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1
∞, 0
0, ∞
0Twierdzenie 4. (o dwóch granicach lub o dwóch funkcjach)
Niech a, b ∈ R oraz b¦d¡ dane dwie funkcje f, g : D → R o wspólnej dziedzinie D ⊆ R, speªniaj¡ce nierówno±¢ f(x) ≤ g(x) dla ka»dego x ∈ D, to je»eli:
a) lim
x→x0
f (x) = a oraz lim
x→x0
g(x) = b to a ≤ b;
b) lim
x→x0
f (x) = +∞ to lim
x→x0
g(x) = +∞;
c) lim
x→x0
g(x) = −∞ to lim
x→x0
f (x) = −∞.
Twierdzenie 5. (o trzech funkcjach)
Niech mamy trzy funkcje f, g, h : D → R o wspólnej dziedzinie D ⊆ R, speªniaj¡ nierówno±ci f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) dla ka»dego x ∈ D oraz niech lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
h(x) = g. Wówczas
x→x
lim
0g(x) = g.
Uwaga 4. Twierdzenia o dwóch i o trzech funkcjach zachodz¡ równie» dla granic wªa±ciwych
jednostronnych jak równie» dla granic wªa±ciwych w niesko«czono±ci.
Przykªad 6. Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach wyka», »e
x→+∞
lim sin x
x = 0.
Rozwi¡zanie: Poniewa» dla x > 0 (a tym bardziej i dla x → +∞) zachodzi:
−1 x
|{z}
||
f
≤ sin x x
| {z }
||g
≤ 1 x
|{z}
||
h
oraz lim
x→+∞
−1
x
= 0 i lim
x→+∞
1
x
= 0, wi¦c z twierdzeni o trzech funkcjach mamy, »e:
x→+∞
lim sin x
x = 0.
Warto zna¢:
1)Niech P (x) = a
0x
n+ a
1x
n−1+ · · · + a
n−1x + a
noraz Q(x) = b
0x
m+ b
1x
m−1+ · · · + b
m−1x + b
mb¦d¡ dwoma wielomianami. Wówczas
x→∞
lim P (x)
Q(x) = lim
x→∞
a
0x
n+ a
1x
n−1+ · · · + a
n−1x + a
nb
0x
m+ b
1x
m−1+ · · · + b
m−1x + b
m=
x→∞
lim
x
na
0+
ax1+ · · · +
axnnx
mb
0+
bx1+ · · · +
xbmm=
a0
b0
dla n = m 0 dla n < m
+∞ dla n > m oraz
ab00> 0
−∞ dla n > m; oraz
ab00< 0 Kilka prostych przykªadów:
Przykªad 7. Oblicz nast¦puj¡ce granice a) lim
x→+∞
x5−4x3+2x−5
3x5+2x−1
, b) lim
x→−∞
−4x3+2x−5
2x4−3
, c) lim
x→−∞
x5+2x2−5x 2x2+x−1
. Rozwi¡zanie:
a) lim
x→∞
x5−4x3+2x−5
3x5+2x−1
= lim
x→∞
x5(1−4
x2+2
x4−5
x5) x5(3+2
x4−1
x5)
= lim
x→∞
1−4
x2+2
x4−5
x5
3+2
x4−1
x5
=
13; b) lim
x→−∞
−4x3+2x−5
2x4−3
= lim
x→−∞
x4(−4x +2
x3−5
x4) x4(2−3
x4)
= lim
x→−∞
−4 x +2
x3−5
x4
2− 3
x4
= 0;
c) lim
x→−∞
x5+2x2−5x
2x2+x−1
= lim
x→−∞
x2(x3+2−5x) x2(2+x1− 1
x2)
= −∞.
Przykªad 8. Badaj¡c granice jednostronne rozstrzygn¡¢ istnienie granicy funkcji:
a) f(x) =
|x−2|xx−2w punkcie x = 2;
b) g(x) =
( cos x + 2 dla x < 0
x
2+ 3 dla x > 0, w punkcie x
0= 0;
c) h(x) =
x2|x+3|+2x−3w punkcie x
0= −3.
Rozwi¡zanie:
a) lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
|x−2|x
x−2
{
00} = lim
x→2−
−(x−2)x
x−2
= lim
x→2−
−x = −2;
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
|x−2|x
x−2
= {
00} = lim
x→2+ (x−2)x
x−2
= lim
x→2+
x = 2.
Zatem poniewa» lim
x→2−
f (x) 6= lim
x→2+
f (x) granica lim
x→2
f (x) nie istnieje.
b) lim
x→0−
g(x) = lim
x→0−
(cos x + 2) = 1 + 2 = 3;
lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
(x
2+ 3) = 0 + 3 = 3;
Tutaj zachodzi równo±¢ granic jednostronnych: lim
x→0−
g(x) 6= lim
x→0+
g(x), wi¦c granica lim
x→2
g(x) ist- nieje i jest równa 3.
c) lim
x→−3−
h(x) = lim
x→−3−
x2+2x−3
|x+3|
{
00} = lim
x→−3−
(x+3)(x−1)
−(x+3)
= lim
x→−3−
−(x − 1) = 4;
lim
x→−3+
h(x) = lim
x→−3+
x2+2x−3
|x+3|
= {
00} = lim
x→−3+
(x+3)(x−1)
(x+3)
= lim
x→−3+
(x − 1) = −4.
Zatem poniewa» lim
x→−3−
h(x) 6= lim
x→−3+
h(x) granica lim
x→−3
h(x) nie istnieje.
Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:
a) lim
x→0 sin x
x
= 1, b) lim
x→0 tg x
x
= 1, α > 0 c) lim
x→0 ax−1
x
= ln a, a > 0 d) lim
x→0
loga(1+x)
x
= log
ae, 0 < a 6= 1 e) lim
x→±∞
1 +
axx= e
a, a ∈ R f ) lim
x→0
(1 + x)
x1= e g) lim
x→0
(1+x)a−1
x
= a, a ∈ R h) lim
x→0 arcsin x
x
= 1 i) lim
x→0 arctg x
x
= 1 Inne przydatne wzory:
a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos
2α − sin
2α, c) sin
2α =
1−cos 2α2, d) cos
2α =
1+cos 2α2,
e) sin α + sin β = 2 sin
α+β2cos
α−β2, f) sin α − sin β = 2 sin
α−β2cos
α+β2, g) cos α − cos β = −2 sin
α+β2sin
α−β2, h) cos α = sin
π2− α
i) a
2− b
2= (a − b)(a + b), j) a
3− b
3= (a − b)(a
2+ ab + b
2).
k) a
n− b
n= (a − b)(a
n−1+ a
n−2b + . . . + a
n−kb
k−1+ . . . + ab
n−2+ b
n−1)
l) a
n+ b
n= (a + b)(a
n−1− a
n−2b + a
n−3b
2− a
n−4b
3+ . . .)
Zadania
1. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie x
0= 1 lub uzasadnij, »e granica ta nie istnieje:
a) b) c)
d) e) f)
2. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice jednostronne w punkcie x
0= 1 lub uzasadnij, »e granice te nie istniej¡:
a) b) c)
d) e) f)
3. W oparciu o de nicj¦ Heine'go jak i Cauchy'ego wyka», »e lim
x→2 x−2 x2−4
=
14. 4. W oparciu o de nicj¦ Heine'go granic funkcji wykaza¢, »e:
(a) lim
x→3 x2−9
x−3
= 6 (b) lim
x→−2 x3+8
x+2
= 12 (c) lim
x→+∞
4x+1
3x+2
=
43(d) lim
x→+∞
4−x2
x+2
= −∞
(e) lim
x→−∞
x2−3x
−x+5
= +∞ (f) lim
x→+∞
√ x
2+ 1 − √
x
2− 1 = 0 (g) lim
x→−∞
√ x
2+ 3x − √
x
2− x = −2
5. W oparciu o de nicj¦ Cauchy'ego granicy funkcji wykaza¢, »e lim
x→∞
1
xα
= 0, gdzie α > 0.
6. W oparciu o de nicj¦ Cauchy'ego granicy funkcji wykaza¢, »e:
(a) lim
x→4
(2x − 1) = 7 (b) lim
x→−2
(x + 4) = 2 (c) lim
x→1
(x
2+ 3) = 4 (d) lim
x→0
sin x = 0 (e) lim
x→0
cos x = 1 (f) lim
x→1 1
(x−1)2
= +∞
(g) lim
x→0
log
4|x| = −∞ (h) lim
x→−∞
2
x+ 3 = 3 (i) lim
x→∞
a
x= +∞, a > 1 (j) lim
x→π2
sin x = 1 (k) lim
x→+∞
arctg x =
π2(l) lim
x→−∞
log
2(1 + x
2) = +∞
7. Wykaza¢ na podstawie de nicji Heine'go, »e nie istniej¡ granice funkcji:
(a) lim
x→0
|x|
x
(b) lim
x→2
2
x−21(c) lim
x→0
cos
1x(d) lim
x→∞
sin √
x (e) lim
x→−2
(x − [x]) (f) lim
x→3 x x2−9
8. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic, obliczy¢ podane granice funkcji (o ile istniej¡):
(1) lim
x→∞
2x−5
3x−4
(2) lim
x→−∞
4x+1
x2−x+1
(3) lim
x→∞
x3−8x x2−4
(4) lim
x→∞
x√ x+3 5x√
x+x
(5) lim
x→∞
√x−1 1−6√3
x
(6) lim
x→1 x3−1 x4−1
(7) lim
x→2 x3−8
x2−4
(8) lim
x→5
x2−4x−5
x2−5x
(9) lim
x→1
x4−3x+2 x5−4x+3
(10) lim
x→4
√x−2
x−4
(11) lim
x→3
x3+x2−12x
(x−3)2
(12) lim
x→∞
( √
4x
2+ x − √
4x
2+ 1) (13) lim
x→0
√3
1+x−√3 1−x
x
(14) lim
x→−∞
(x + √
x
2+ 4x + 3) (15) lim
x→4
√x−2
√x−3−1
(16) lim
x→2
√
x3−3x2+4−x+2
x2−4
(17) lim
x→0 sin 6x
3x
(18) lim
x→0 sin 5x sin 2x
(19) lim
x→0 sin2x
1−cos x
(20) lim
x→0 sin22x
1−cos 4x
(21) lim
x→π4
cos x−sin x cos 2x
(22) lim
x→0
sin 2x ctg 5x (23) lim
x→π4
sin
(
2x−π2)
π−4x
(24) lim
x→π2 cos x 2x−π
(25) lim
x→0
sin 4x−sin 5x
sin x
(26) lim
x→π4
cos 2x
sin x−cos x
(27) lim
x→π3
cos(x−π3) 1−2 cos x
(28) lim
x→+∞
x sin
1x(29) lim
x→+∞
(sin √
x + 1 − sin √
x) (30) lim
x→0
x ctg x (31) lim
x→∞
1 +
x3x(32) lim
x→∞
1 −
2xx(33) lim
x→∞
2x2+3 2x2+5 3x−1(34) lim
x→−∞
1 −
5x2 x(35) lim
x→−∞
log
73x2−4 x−7
(36) lim
x→−∞
sin
−3x2 x3+1
(37) lim
x→0 2x−1
x
(8) lim
x→0 arctg x
tg 7x
(39) lim
x→0
ln(1+6x) e−3x−1
(40) lim
x→0
arcsin 2x
arcsin 3x
(41) lim
x→0 3x−2x
x
(42) lim
x→0 e4x−1 sin 5x
(43) lim
x→0
x
1x
(44) lim
x→0 ln cos x
x2
(45) lim
x→0
sin(sin x) x
9. Oblicz nast¦puj¡ce granice:
(a) lim
x→0+
x ln x (b) lim
x→0+
x
sin x10. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech funkcjach wykaza¢:
(a) lim
x→−∞
x2+sin x
x2−cos x
= 1 (b) lim
x→3
(x − 3) cos
x−31= 0 (c) lim
x→+∞
3[x]
2x−5
=
32(d) lim
x→+∞
[ex]
ex+1
= 1 (e) lim
x→−∞
e
xcos x = 0
11. Korzystaj¡c z twierdzenia o dwóch funkcjach wykaza¢:
(a) lim
x→+∞
(−x
2+ 2 cos x) = −∞ (b) lim
x→0+ 1
2x−sin x
= +∞ (c) lim
x→0 1 x2
−
2x2
= −∞
(d) lim
x→π
2xπ
ctg
2x = +∞
12. Zbada¢, obliczaj¡c granice jednostronne, czy istniej¡ podane granice:
(a) lim
x→1 x+1
x−1
(b) lim
x→0 sin x
|x|
(c) lim
x→1
|x−1|3 x3−x2
(d) lim
x→3
[x] (e) lim
x→0
e
−1x(f ) lim
x→1
|x−1|x−1
+ x (g) lim
x→1
sgn(1−x2)
sgn(x3−1)
(h) lim
x→1
arctg
1−x1(i) lim
x→0
x sin
1x− cos
x113. Niech b¦d¡ dane funkcje f, g : D → R oraz +∞ b¦dzie punktem skupienia zbioru D. Wyka»,
»e je»eli lim
x→+∞
f (x) = +∞ oraz lim
x→+∞
g(x) = −∞, to lim
x→+∞
