• Nie Znaleziono Wyników

Stany czyste i stany mieszane Wykład 23 Karol Kołodziej

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Stany czyste i stany mieszane Wykład 23 Karol Kołodziej"

Copied!
49
0
0

Pełen tekst

(1)

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

(2)

W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie,

(3)

W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie,a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.

(4)

W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.

Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:

ρ(~p, ~x) = 1 Ze

E(~p,~x) kB T ,

gdzie

(5)

W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.

Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:

ρ(~p, ~x) = 1 Ze

E(~p,~x) kB T ,

gdzie

E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x,

(6)

W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.

Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:

ρ(~p, ~x) = 1 Ze

E(~p,~x) kB T ,

gdzie

E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x, kB jest stałą Boltzmana,

(7)

W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.

Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:

ρ(~p, ~x) = 1 Ze

E(~p,~x) kB T ,

gdzie

E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x, kB jest stałą Boltzmana,

(8)

W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.

Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:

ρ(~p, ~x) = 1 Ze

E(~p,~x) kB T ,

gdzie

E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x, kB jest stałą Boltzmana,

(9)

W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.

Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:

ρ(~p, ~x) = 1 Ze

E(~p,~x) kB T ,

gdzie

E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x, kB jest stałą Boltzmana,

(10)

Podobne rozróżnienie istnieje również w mechanice kwantowej.

Stan opisany przez wektor stanu, czy funkcję falową, nazywa się stanem czystym.

(11)

Podobne rozróżnienie istnieje również w mechanice kwantowej.

Stan opisany przez wektor stanu, czy funkcję falową, nazywa się stanem czystym.

W przestrzeni Hilberta wektorów stanu układu wybieramy ortonormalną bazę |ψ1i, |ψ2i, ...

(12)

Podobne rozróżnienie istnieje również w mechanice kwantowej.

Stan opisany przez wektor stanu, czy funkcję falową, nazywa się stanem czystym.

W przestrzeni Hilberta wektorów stanu układu wybieramy ortonormalną bazę |ψ1i, |ψ2i, ...

Gdybyśmy powiedzieli, że układ znajduje się w stanie

|ψi =X

i

ci ii , albo w stanie 10i , to określilibyśmystan czystyukładu.

(13)

Podobne rozróżnienie istnieje również w mechanice kwantowej.

Stan opisany przez wektor stanu, czy funkcję falową, nazywa się stanem czystym.

W przestrzeni Hilberta wektorów stanu układu wybieramy ortonormalną bazę |ψ1i, |ψ2i, ...

Gdybyśmy powiedzieli, że układ znajduje się w stanie

|ψi =X

i

ci ii , albo w stanie 10i , to określilibyśmystan czystyukładu.

(14)

Jeśli zamiast tego powiedzielibyśmy, że układ znajduje się z prawdopodobieństwem p1 w stanie |ψ1i

z prawdopodobieństwem p2 w stanie |ψ2i itd.

i że pomiędzy tymi możliwościami nie ma interferencji, to określilibyśmystan mieszany układu.

(15)

Jeśli zamiast tego powiedzielibyśmy, że układ znajduje się z prawdopodobieństwem p1 w stanie |ψ1i

z prawdopodobieństwem p2 w stanie |ψ2i itd.

i że pomiędzy tymi możliwościami nie ma interferencji, to określilibyśmystan mieszany układu.

Stan czysty |ψi = c1 1i + c22i na ogół zmieni się jeśli zmienimy fazę wektora |ψ1i lub |ψ2i.

(16)

Jeśli zamiast tego powiedzielibyśmy, że układ znajduje się z prawdopodobieństwem p1 w stanie |ψ1i

z prawdopodobieństwem p2 w stanie |ψ2i itd.

i że pomiędzy tymi możliwościami nie ma interferencji, to określilibyśmystan mieszany układu.

Stan czysty |ψi = c1 1i + c22i na ogół zmieni się jeśli zmienimy fazę wektora |ψ1i lub |ψ2i.

(17)

Rzeczywiście dokonując transformacji:

1i → e1 1i , 2i → e22i

otrzymamy inny stan

= c1e1 1i + c2e2 2i ,

podczas, gdystan mieszany, dla którego prawdopodobieństwa wybrania stanów |ψ1i i |ψ2i wynoszą odpowiednio |c1|2 i |c2|2, pozostanie niezmieniony przy takiej operacji.

(18)

Rzeczywiście dokonując transformacji:

1i → e1 1i , 2i → e22i

otrzymamy inny stan

= c1e1 1i + c2e2 2i ,

podczas, gdystan mieszany, dla którego prawdopodobieństwa wybrania stanów |ψ1i i |ψ2i wynoszą odpowiednio |c1|2 i |c2|2, pozostanie niezmieniony przy takiej operacji.

(19)

Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ

ρ=X

i

ii pii|

Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...

prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.

(20)

Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ

ρ=X

i

ii pii|

Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...

prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.

Rzeczywiście ˆ

ρ|ψii=X

j

ji pjjii

(21)

Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ

ρ=X

i

ii pii|

Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...

prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.

Rzeczywiście ˆ

ρ|ψii=X

j

ji pjjii =X

j

ji pjδji

(22)

Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ

ρ=X

i

ii pii|

Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...

prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.

Rzeczywiście ˆ

ρ|ψii=X

j

ji pjjii =X

j

ji pjδji = pi ii .

(23)

Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ

ρ=X

i

ii pii|

Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...

prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.

Rzeczywiście ˆ

ρ|ψii=X

j

ji pjjii =X

j

ji pjδji = pi ii .

Operator gęstości zawiera więc pełną informację o stanie

(24)

Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ

ρ=X

i

ii pii|

Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...

prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.

Rzeczywiście ˆ

ρ|ψii=X

j

ji pjjii =X

j

ji pjδji = pi ii .

Operator gęstości zawiera więc pełną informację o stanie

(25)

Zamiast operatora gęstości można też używać jego macierzowych reprezentacji.

W dowolnej bazie |α1i, |α2i, ... elementy macierzy gęstości zdefiniowane są wzorem

ρ(α)ij = hαi|ˆρ|αji .

(26)

Zamiast operatora gęstości można też używać jego macierzowych reprezentacji.

W dowolnej bazie |α1i, |α2i, ... elementy macierzy gęstości zdefiniowane są wzorem

ρ(α)ij = hαi|ˆρ|αji .

W stanie mieszanym wartości średnie operatorów odpowiadających wielkościom mierzalnym dane są wzorem:

hAi = Trρ ˆˆA.

(27)

Zamiast operatora gęstości można też używać jego macierzowych reprezentacji.

W dowolnej bazie |α1i, |α2i, ... elementy macierzy gęstości zdefiniowane są wzorem

ρ(α)ij = hαi|ˆρ|αji .

W stanie mieszanym wartości średnie operatorów odpowiadających wielkościom mierzalnym dane są wzorem:

hAi = Trρ ˆˆA.

(28)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H,

(29)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H,wtedy Tr =

(30)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy Tr = X

i

Dαi| ˆA|αi

E=

(31)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy Tr = X

i

Dαi| ˆA|αi

E=X

i

i |X

j

ji hβj |X

k

ki hβk ii

(32)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy Tr = X

i

Dαi| ˆA|αi

E=X

i

i |X

j

ji hβj |X

k

ki hβk ii

=

(33)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy Tr = X

i

Dαi| ˆA|αi

E=X

i

i |X

j

ji hβj |X

k

ki hβk ii

= X

j,k

k |X

i

ii hαi |

| {z }

I

βjiDβj| ˆA|βk

E

(34)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy Tr = X

i

Dαi| ˆA|αi

E=X

i

i |X

j

ji hβj |X

k

ki hβk ii

= X

j,k

k |X

i

ii hαi |

| {z }

I

βjiDβj| ˆA|βk

E

=

(35)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy Tr = X

i

Dαi| ˆA|αi

E=X

i

i |X

j

ji hβj |X

k

ki hβk ii

= X

j,k

k |X

i

ii hαi |

| {z }

I

βjiDβj| ˆA|βk

E

= X

j,k

kjiDβj| ˆA|βkE

(36)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy Tr = X

i

Dαi| ˆA|αi

E=X

i

i |X

j

ji hβj |X

k

ki hβk ii

= X

j,k

k |X

i

ii hαi |

| {z }

I

βjiDβj| ˆA|βk

E

= X

j,k

kjiDβj| ˆA|βkE =X

j,k

δkjDβj| ˆA|βkE

(37)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy Tr = X

i

Dαi| ˆA|αi

E=X

i

i |X

j

ji hβj |X

k

ki hβk ii

= X

j,k

k |X

i

ii hαi |

| {z }

I

βjiDβj| ˆA|βk

E

= X

j,k

kjiDβj| ˆA|βkE =X

j,k

δkjDβj| ˆA|βkE =X

j

Dβj| ˆA|βjE.

(38)

Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.

Rzeczywiście, niech 1i, |α2i, ... i 1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy Tr = X

i

Dαi| ˆA|αi

E=X

i

i |X

j

ji hβj |X

k

ki hβk ii

= X

j,k

k |X

i

ii hαi |

| {z }

I

βjiDβj| ˆA|βk

E

= X

j,k

kjiDβj| ˆA|βkE =X

j,k

δkjDβj| ˆA|βkE =X

j

Dβj| ˆA|βjE.

(39)

Wybierzmy jako bazę |α1i, |α2i, ...,bazę wektorów własnych operatora gęstości,w której

ˆ ρ=X

i

ii pii| .

(40)

Wybierzmy jako bazę |α1i, |α2i, ...,bazę wektorów własnych operatora gęstości,w której

ˆ ρ=X

i

ii pii| .

Z definicji wartości średniej mamy hAi =X

i

pi

Dαi| ˆA|αi

E.

(41)

Wybierzmy jako bazę |α1i, |α2i, ...,bazę wektorów własnych operatora gęstości,w której

ˆ ρ=X

i

ii pii| .

Z definicji wartości średniej mamy hAi =X

i

pi

Dαi| ˆA|αi

E.

(42)

Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X

i

Dαi|ˆρ ˆA|αi

E =X

i

X

j

i|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi

E

(43)

Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X

i

Dαi|ˆρ ˆA|αi

E =X

i

X

j

i|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

i|pjjiDαj| ˆA|αi

E=

(44)

Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X

i

Dαi|ˆρ ˆA|αi

E =X

i

X

j

i|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

i|pjjiDαj| ˆA|αi

E= X

i

X

j

pjiji

| {z }

δij

Dαj| ˆA|αi

E

(45)

Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X

i

Dαi|ˆρ ˆA|αi

E =X

i

X

j

i|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

i|pjjiDαj| ˆA|αi

E= X

i

X

j

pjiji

| {z }

δij

Dαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

pjδijDαj| ˆA|αi

E=

(46)

Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X

i

Dαi|ˆρ ˆA|αi

E =X

i

X

j

i|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

i|pjjiDαj| ˆA|αi

E= X

i

X

j

pjiji

| {z }

δij

Dαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

pjδijDαj| ˆA|αi

E= X

i

pi

Dαi| ˆA|αi

E.

(47)

Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X

i

Dαi|ˆρ ˆA|αi

E =X

i

X

j

i|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

i|pjjiDαj| ˆA|αi

E= X

i

X

j

pjiji

| {z }

δij

Dαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

pjδijDαj| ˆA|αi

E= X

i

pi

Dαi| ˆA|αi

E.

a zatem

Trρ ˆˆA=XpiDαi| ˆA|αiE

(48)

Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X

i

Dαi|ˆρ ˆA|αi

E =X

i

X

j

i|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

i|pjjiDαj| ˆA|αi

E= X

i

X

j

pjiji

| {z }

δij

Dαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

pjδijDαj| ˆA|αi

E= X

i

pi

Dαi| ˆA|αi

E.

a zatem

Trρ ˆˆA=XpiDαi| ˆA|αiE = hAi .

(49)

Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X

i

Dαi|ˆρ ˆA|αi

E =X

i

X

j

i|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

i|pjjiDαj| ˆA|αi

E= X

i

X

j

pjiji

| {z }

δij

Dαj| ˆA|αi

E

= X

i

X

j

pjδijDαj| ˆA|αi

E= X

i

pi

Dαi| ˆA|αi

E.

a zatem

Trρ ˆˆA=XpiDαi| ˆA|αiE = hAi .

Cytaty

Powiązane dokumenty

- oblicz pole jednego odcinka koła (wyznacz kąt AOC; oblicz pole wycinka koła o takim kącie; oblicz pole trójkąta o takim kącie; od pola wycinka odejmij pole trójkąta). - od

W tym celu rozpatruje się alternatywny układ fizyczny, w którym usuwa się jeden warunek więzów, który jest realizowany przez poszukiwaną siłę reakcji ~ F. Ilustruje

Wielkości zachowane występujące w danym układzie pozwalają ograniczyć liczbę niezbędnych całkowań i dostarczają istotnych informacji na temat samego układu....

Dlatego związki pomiędzy wektorami położenia poszczególnych punktów a n = 3N współrzędnymi uogólnionymi, które traktujemy jako niezależne,... Nie zakładamy

Wśród wielkości fizycznych opisujących zachowanie układu atomowego można wyróżnić pary o tej własności, że niemożliwe jest jednoznaczne przeprowadzenie ścisłego pomiaru

gdzie całkowanie przebiega po całym obszarze przestrzeni trójwymiarowej, w którym cząstka może się znajdować.. Jeśli obszar ten jest nieskończony, to całka normalizacyjna nie

W  powyższych  rozważaniach  zwróciliśmy  przede  wszystkim  uwagę  na  niekorzystne,  a  nawet  potencjalnie  groźne  dla  historiografii 

Innymi słowy, pojęcia reprezentacji(s) i reprezentacji(w) mają charakter opisowy i z tego powodu wydają się obce mocnemu znaczeniu reprezentacji jako pojęciu