Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice
http://kk.us.edu.pl
W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie,
W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie,a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.
W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.
Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:
ρ(~p, ~x) = 1 Ze−
E(~p,~x) kB T ,
gdzie
W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.
Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:
ρ(~p, ~x) = 1 Ze−
E(~p,~x) kB T ,
gdzie
E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x,
W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.
Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:
ρ(~p, ~x) = 1 Ze−
E(~p,~x) kB T ,
gdzie
E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x, kB jest stałą Boltzmana,
W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.
Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:
ρ(~p, ~x) = 1 Ze−
E(~p,~x) kB T ,
gdzie
E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x, kB jest stałą Boltzmana,
W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.
Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:
ρ(~p, ~x) = 1 Ze−
E(~p,~x) kB T ,
gdzie
E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x, kB jest stałą Boltzmana,
W mechanice klasycznej czasem określa się stan cząstki dokładnie, np. podając jej pęd i położenie, a czasem podaje się tylko rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i położeń cząstki.
Na przykład w fizyce statystycznej, przy odpowiednich założeniach, dowodzi się, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie ~p w punkcie ~x wyraża się przezrozkład Boltzmanna:
ρ(~p, ~x) = 1 Ze−
E(~p,~x) kB T ,
gdzie
E(~p, ~x) jest energią cząstki o pędzie ~p i położeniu ~x, kB jest stałą Boltzmana,
Podobne rozróżnienie istnieje również w mechanice kwantowej.
Stan opisany przez wektor stanu, czy funkcję falową, nazywa się stanem czystym.
Podobne rozróżnienie istnieje również w mechanice kwantowej.
Stan opisany przez wektor stanu, czy funkcję falową, nazywa się stanem czystym.
W przestrzeni Hilberta wektorów stanu układu wybieramy ortonormalną bazę |ψ1i, |ψ2i, ...
Podobne rozróżnienie istnieje również w mechanice kwantowej.
Stan opisany przez wektor stanu, czy funkcję falową, nazywa się stanem czystym.
W przestrzeni Hilberta wektorów stanu układu wybieramy ortonormalną bazę |ψ1i, |ψ2i, ...
Gdybyśmy powiedzieli, że układ znajduje się w stanie
|ψi =X
i
ci |ψii , albo w stanie |ψ10i , to określilibyśmystan czystyukładu.
Podobne rozróżnienie istnieje również w mechanice kwantowej.
Stan opisany przez wektor stanu, czy funkcję falową, nazywa się stanem czystym.
W przestrzeni Hilberta wektorów stanu układu wybieramy ortonormalną bazę |ψ1i, |ψ2i, ...
Gdybyśmy powiedzieli, że układ znajduje się w stanie
|ψi =X
i
ci |ψii , albo w stanie |ψ10i , to określilibyśmystan czystyukładu.
Jeśli zamiast tego powiedzielibyśmy, że układ znajduje się z prawdopodobieństwem p1 w stanie |ψ1i
z prawdopodobieństwem p2 w stanie |ψ2i itd.
i że pomiędzy tymi możliwościami nie ma interferencji, to określilibyśmystan mieszany układu.
Jeśli zamiast tego powiedzielibyśmy, że układ znajduje się z prawdopodobieństwem p1 w stanie |ψ1i
z prawdopodobieństwem p2 w stanie |ψ2i itd.
i że pomiędzy tymi możliwościami nie ma interferencji, to określilibyśmystan mieszany układu.
Stan czysty |ψi = c1 |ψ1i + c2|ψ2i na ogół zmieni się jeśli zmienimy fazę wektora |ψ1i lub |ψ2i.
Jeśli zamiast tego powiedzielibyśmy, że układ znajduje się z prawdopodobieństwem p1 w stanie |ψ1i
z prawdopodobieństwem p2 w stanie |ψ2i itd.
i że pomiędzy tymi możliwościami nie ma interferencji, to określilibyśmystan mieszany układu.
Stan czysty |ψi = c1 |ψ1i + c2|ψ2i na ogół zmieni się jeśli zmienimy fazę wektora |ψ1i lub |ψ2i.
Rzeczywiście dokonując transformacji:
|ψ1i → eiϕ1 |ψ1i , |ψ2i → eiϕ2|ψ2i
otrzymamy inny stan
|ψ′= c1eiϕ1 |ψ1i + c2eiϕ2 |ψ2i ,
podczas, gdystan mieszany, dla którego prawdopodobieństwa wybrania stanów |ψ1i i |ψ2i wynoszą odpowiednio |c1|2 i |c2|2, pozostanie niezmieniony przy takiej operacji.
Rzeczywiście dokonując transformacji:
|ψ1i → eiϕ1 |ψ1i , |ψ2i → eiϕ2|ψ2i
otrzymamy inny stan
|ψ′= c1eiϕ1 |ψ1i + c2eiϕ2 |ψ2i ,
podczas, gdystan mieszany, dla którego prawdopodobieństwa wybrania stanów |ψ1i i |ψ2i wynoszą odpowiednio |c1|2 i |c2|2, pozostanie niezmieniony przy takiej operacji.
Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ
ρ=X
i
|ψii pihψi|
Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...
prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.
Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ
ρ=X
i
|ψii pihψi|
Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...
prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.
Rzeczywiście ˆ
ρ|ψii=X
j
|ψji pjhψj|ψii
Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ
ρ=X
i
|ψii pihψi|
Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...
prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.
Rzeczywiście ˆ
ρ|ψii=X
j
|ψji pjhψj|ψii =X
j
|ψji pjδji
Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ
ρ=X
i
|ψii pihψi|
Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...
prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.
Rzeczywiście ˆ
ρ|ψii=X
j
|ψji pjhψj|ψii =X
j
|ψji pjδji = pi |ψii .
Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ
ρ=X
i
|ψii pihψi|
Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...
prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.
Rzeczywiście ˆ
ρ|ψii=X
j
|ψji pjhψj|ψii =X
j
|ψji pjδji = pi |ψii .
Operator gęstości zawiera więc pełną informację o stanie
Stan mieszany można określić przez podanieoperatora gęstości ˆ
ρ=X
i
|ψii pihψi|
Zauważmy, że w ortonormalnej bazie |ψ1i, |ψ2i, ...
prawdopodobieństwa pi są wartościami własnymi operatora ˆρ, a stany |ψii jego odpowiednimi wektorami własnymi.
Rzeczywiście ˆ
ρ|ψii=X
j
|ψji pjhψj|ψii =X
j
|ψji pjδji = pi |ψii .
Operator gęstości zawiera więc pełną informację o stanie
Zamiast operatora gęstości można też używać jego macierzowych reprezentacji.
W dowolnej bazie |α1i, |α2i, ... elementy macierzy gęstości zdefiniowane są wzorem
ρ(α)ij = hαi|ˆρ|αji .
Zamiast operatora gęstości można też używać jego macierzowych reprezentacji.
W dowolnej bazie |α1i, |α2i, ... elementy macierzy gęstości zdefiniowane są wzorem
ρ(α)ij = hαi|ˆρ|αji .
W stanie mieszanym wartości średnie operatorów odpowiadających wielkościom mierzalnym dane są wzorem:
hAi = Trρ ˆˆA.
Zamiast operatora gęstości można też używać jego macierzowych reprezentacji.
W dowolnej bazie |α1i, |α2i, ... elementy macierzy gęstości zdefiniowane są wzorem
ρ(α)ij = hαi|ˆρ|αji .
W stanie mieszanym wartości średnie operatorów odpowiadających wielkościom mierzalnym dane są wzorem:
hAi = Trρ ˆˆA.
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H,
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H,wtedy TrAˆ =
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy TrAˆ = X
i
Dαi| ˆA|αi
E=
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy TrAˆ = X
i
Dαi| ˆA|αi
E=X
i
hαi |X
j
|βji hβj |AˆX
k
|βki hβk |αii
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy TrAˆ = X
i
Dαi| ˆA|αi
E=X
i
hαi |X
j
|βji hβj |AˆX
k
|βki hβk |αii
=
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy TrAˆ = X
i
Dαi| ˆA|αi
E=X
i
hαi |X
j
|βji hβj |AˆX
k
|βki hβk |αii
= X
j,k
hβk |X
i
|αii hαi |
| {z }
I
βjiDβj| ˆA|βk
E
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy TrAˆ = X
i
Dαi| ˆA|αi
E=X
i
hαi |X
j
|βji hβj |AˆX
k
|βki hβk |αii
= X
j,k
hβk |X
i
|αii hαi |
| {z }
I
βjiDβj| ˆA|βk
E
=
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy TrAˆ = X
i
Dαi| ˆA|αi
E=X
i
hαi |X
j
|βji hβj |AˆX
k
|βki hβk |αii
= X
j,k
hβk |X
i
|αii hαi |
| {z }
I
βjiDβj| ˆA|βk
E
= X
j,k
hβk|βjiDβj| ˆA|βkE
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy TrAˆ = X
i
Dαi| ˆA|αi
E=X
i
hαi |X
j
|βji hβj |AˆX
k
|βki hβk |αii
= X
j,k
hβk |X
i
|αii hαi |
| {z }
I
βjiDβj| ˆA|βk
E
= X
j,k
hβk|βjiDβj| ˆA|βkE =X
j,k
δkjDβj| ˆA|βkE
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy TrAˆ = X
i
Dαi| ˆA|αi
E=X
i
hαi |X
j
|βji hβj |AˆX
k
|βki hβk |αii
= X
j,k
hβk |X
i
|αii hαi |
| {z }
I
βjiDβj| ˆA|βk
E
= X
j,k
hβk|βjiDβj| ˆA|βkE =X
j,k
δkjDβj| ˆA|βkE =X
j
Dβj| ˆA|βjE.
Twierdzenie to wystarczy udowodnić w jednej wybranej reprezentacji, gdyżślad nie zależy od wyboru reprezentacji.
Rzeczywiście, niech |α1i, |α2i, ... i |β1i, |β2i, ...będą dwoma różnymi bazami ortonormalnymi w przestrzeni Hilberta H, wtedy TrAˆ = X
i
Dαi| ˆA|αi
E=X
i
hαi |X
j
|βji hβj |AˆX
k
|βki hβk |αii
= X
j,k
hβk |X
i
|αii hαi |
| {z }
I
βjiDβj| ˆA|βk
E
= X
j,k
hβk|βjiDβj| ˆA|βkE =X
j,k
δkjDβj| ˆA|βkE =X
j
Dβj| ˆA|βjE.
Wybierzmy jako bazę |α1i, |α2i, ...,bazę wektorów własnych operatora gęstości,w której
ˆ ρ=X
i
|αii pihαi| .
Wybierzmy jako bazę |α1i, |α2i, ...,bazę wektorów własnych operatora gęstości,w której
ˆ ρ=X
i
|αii pihαi| .
Z definicji wartości średniej mamy hAi =X
i
pi
Dαi| ˆA|αi
E.
Wybierzmy jako bazę |α1i, |α2i, ...,bazę wektorów własnych operatora gęstości,w której
ˆ ρ=X
i
|αii pihαi| .
Z definicji wartości średniej mamy hAi =X
i
pi
Dαi| ˆA|αi
E.
Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X
i
Dαi|ˆρ ˆA|αi
E =X
i
X
j
hαi|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi
E
Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X
i
Dαi|ˆρ ˆA|αi
E =X
i
X
j
hαi|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
hαi|pj|αjiDαj| ˆA|αi
E=
Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X
i
Dαi|ˆρ ˆA|αi
E =X
i
X
j
hαi|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
hαi|pj|αjiDαj| ˆA|αi
E= X
i
X
j
pjhαi|αji
| {z }
δij
Dαj| ˆA|αi
E
Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X
i
Dαi|ˆρ ˆA|αi
E =X
i
X
j
hαi|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
hαi|pj|αjiDαj| ˆA|αi
E= X
i
X
j
pjhαi|αji
| {z }
δij
Dαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
pjδijDαj| ˆA|αi
E=
Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X
i
Dαi|ˆρ ˆA|αi
E =X
i
X
j
hαi|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
hαi|pj|αjiDαj| ˆA|αi
E= X
i
X
j
pjhαi|αji
| {z }
δij
Dαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
pjδijDαj| ˆA|αi
E= X
i
pi
Dαi| ˆA|αi
E.
Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X
i
Dαi|ˆρ ˆA|αi
E =X
i
X
j
hαi|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
hαi|pj|αjiDαj| ˆA|αi
E= X
i
X
j
pjhαi|αji
| {z }
δij
Dαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
pjδijDαj| ˆA|αi
E= X
i
pi
Dαi| ˆA|αi
E.
a zatem
Trρ ˆˆA=XpiDαi| ˆA|αiE
Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X
i
Dαi|ˆρ ˆA|αi
E =X
i
X
j
hαi|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
hαi|pj|αjiDαj| ˆA|αi
E= X
i
X
j
pjhαi|αji
| {z }
δij
Dαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
pjδijDαj| ˆA|αi
E= X
i
pi
Dαi| ˆA|αi
E.
a zatem
Trρ ˆˆA=XpiDαi| ˆA|αiE = hAi .
Z drugiej strony Trρ ˆˆA = X
i
Dαi|ˆρ ˆA|αi
E =X
i
X
j
hαi|ˆρ|αjiDαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
hαi|pj|αjiDαj| ˆA|αi
E= X
i
X
j
pjhαi|αji
| {z }
δij
Dαj| ˆA|αi
E
= X
i
X
j
pjδijDαj| ˆA|αi
E= X
i
pi
Dαi| ˆA|αi
E.
a zatem
Trρ ˆˆA=XpiDαi| ˆA|αiE = hAi .