§1. LICZBY NATURALNE.
Dodawanie liczb naturalnych. Przypomnijmy, że dodawanie "+" jest działaniem scharakteryzo- wanym jednoznacznie przez warunki:
x + 1 = x 0 , (1 + )
x + y 0 = (x + y) 0 . (2 + )
Ćwiczenie 1. Wykazać, że 2 + 2 = 4 i 3 + 3 = 6.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych x, y, z i w zachodzi równość (x + y) + z + w = x + y + (z + w) .
Ćwiczenie 3. Wykazać, że istnieje co najwyżej jedna funkcja ∆ : N → N spełniająca warunki:
1 ◦ ∆(1) = 1,
2 ◦ ∆(x 0 ) = ∆(x) + x 0 .
Wartości funkcji ∆ nazywa się często liczbami trójkątnymi.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N suma x + y 6= 1.
Ćwiczenie 5. Niech ∆ będzie funkcją z ćwiczenia 3. Wykazać, że dla dowolnego x naturalnego zachodzą następujące własności:
(a) ∆(x 0 ) 6= ∆(x), ∆(x 0 ) 6= ∆(x) 0 , (b) jeśli ∆(x 0 ) = ∆(x) 00 , to x = 1, (c) jeśli x 6= 1, to ∆(x) 6= x,
(d) jeśli ∆(x) = 1, to x = 1, (e) jeśli x 6= 2, to ∆(x) 6= x 0 , (f ) ∆(x) 6= 2.
Ćwiczenie 6. Niech f : N → N będzie funkcją spełniającą warunki 1 ◦ f (1) = 1
2 ◦ f (x 0 ) =
( 1 dla x = 1,
f ( 0 x) + f (x) dla x 6= 1.
Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej x
(a) f (x + x 0 ) 6= 1, (b) f (x + 2) = f (x) + f (x 0 ).
Wartości funkcji f tworzą tak zwany ciąg Fibonacciego.
Ćwiczenie 7. Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych x i y x 6= y wtedy i tylko wtedy, gdy x + x 6= y + y.
Ćwiczenie 8. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y ∈ N
(a) jeśli x + y = 2, to x = 1 i y = 1, (b) jeśli x + y = 3, to (x = 1 i y = 2) lub (x = 2 i y = 1).
Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N zachodzi następująca alternatywa parami wykluczają- cych się warunków:
1 x x = 1,
2 x istnieje y ∈ N takie, że x = y + y, 3 x istnieje ˜ y ∈ N takie, że x = ˜ y + ˜ y 0 .
Każdą liczbę naturalną x spełniającą warunek 1 x lub 3 x nazywamy liczbą nieparzystą, natomiast liczbę x spełniającą warunek 2 x nazywamy liczbą parzystą.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba r(x, y) ∈ N taka, że
∆(x + y) = (∆(x) + ∆(y)) + r(x, y).
Ćwiczenie* 11. Wykazać, że funkcja ∆ z ćwiczenia 3. jest różnowartościowa. Wskazówka: skorzystać z ćwiczenia 10.
Mnożenie liczb naturalnych. Przypomnijmy, że mnożenie "·" jest działaniem scharakteryzowanym jednoznacznie przez warunki:
x · 1 = x, (1 · )
x · y 0 = (x · y) + x.
(2 · )
Ćwiczenie 1. Wykazać, że 2 · 2 = 4.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N zachodzi równość (x + y) · (x + y) = (x · x + y · y) + 2 · (x · y).
Ćwiczenie 3. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N jeśli y 6= 1, to istnieje taka liczba naturalna r, że x · y = r + x.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla każdego x ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba y ∈ N taka, że x · x 0 = 2y.
Oznaczmy ją przez f (x). Wykazać, że tak zdefiniowana funkcja f : N → N jest równa funkcji ∆ z ćwiczenia 3. z poprzedniego paragrafu.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N liczba r(x, y) z ćwiczenia 10. z poprzedniego para- grafu jest równa iloczynowi x · y.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że istnieje co najwyżej jedna funkcja s : N → N spełniająca warunki:
1 ◦ s(1) = 1,
2 ◦ s(x 0 ) = s(x) · x 0 .
Funkcję s nazywamy silnią a jej wartości oznaczamy symbolem x! dla dowolnego x ∈ N.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N
x 6= y wtedy i tylko wtedy, gdy x · x 6= y · y.
Ćwiczenie 8. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N
(a) jeśli xy = 1, to x = 1 i y = 1, (b) jeśli xy = 2, to (x = 1 i y = 2) lub (x = 2 i y = 1).
Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnych x ∈ N prawdziwe są następujące implikacje:
(a) jeśli x 6= 1, to x! 6= 1, (b) jeśli x! = x, to x = 1 lub x = 2.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N
(a) istnieje i(x, y) ∈ N takie, że (x + y)! = (x! · (x + y)) · i(x, y), (b) istnieje j(x, y) ∈ N takie, że (x · y)! = (x! · y!) · j(x, y).
Ćwiczenie* 11. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N zachodzi następująca alternatywa wykluczających się warunków:
1 x x = 1 lub x = 2 lub x = 3,
2 x istnieje y ∈ N takie, że x! = ∆(x) + y.
Odejmowanie i dzielenie liczb naturalnych. Działania kilkuargumentowe. Połóżmy R = {(x, y) ∈ N × N : ∃ ! r(x,y)∈N y + r(x, y) = x}.
Zbiór R jest niepusty i różny od N × N. Odejmowaniem nazywamy funkcję − określoną wzorem
(−) x − y = r(x, y) dla (x, y) ∈ R.
Wynik odejmowania x − y nazywamy różnicą, przy czym x nazywamy odjemną, a y odjemnikiem.
Połóżmy
I = {(x, y) ∈ N × N : ∃ ! i(x,y)∈N y · i(x, y) = x}.
Zbiór I jest niepusty i różny od N × N. Dzieleniem nazywamy funkcję : określoną wzorem
(:) x : y = i(x, y) dla (x, y) ∈ I.
Wynik dzielenia x : y nazywamy ilorazem, przy czym x nazywamy dzielną, a y dzielnikiem. Mówimy, że liczba x jest podzielna przez y.
Ćwiczenie 1. Wykazać, że istnieje różnica 5 − 2 i nie istnieje różnica 3 − 5. Co stąd można powiedzieć o istnieniu różnic 2 − 5 i 5 − 3?
Ćwiczenie 2. Wykazać, że istnieje iloraz 4 : 2 = 2 i nie istnieje iloraz 4 : 3.
Ćwiczenie 3. Podać przykład pary liczb naturalnych x, y, dla której nie istnieją ani iloraz x : y ani iloraz y : x. Wyznaczyć wszystkie pary liczb naturalnych x, y, dla których istnieją jednocześnie ilorazy x : y i y : x.
Problem wyznaczenia wszystkich par liczb naturalnych x, y, dla których nie istnieje iloraz x : y rozwiązany w starożytności pojawi sie w późniejszych ćwiczeniach dotyczących rozkładu Euklidesa.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N istnieje iloraz (x(x + 1)) : 2.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N istnieje iloraz (x(x + 1)(x + 2)) : 6.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych x i y zachodzi następująca równość (x − y)(x − y) = (xx + yy) − 2(xy),
przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N
(a) jeśli istnieje różnica x − y, to (x − y) + y = x, (b) jeśli istnieje iloraz x : y, to (x : y) · y = x,
(c) (x + y) − y = x, (d) (x · y) : y = x.
Ćwiczenie 8. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzi równość x − (y − z) = (x + z) − y, przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej. Podać kontrprzykład, że z istnienia prawej strony nie zawsze wynika istnienie lewej.
Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzi równość (x : z) · y = (x · y) : z, przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej. Podać kontrprzykład, że z istnienia prawej strony nie zawsze wynika istnienie lewej.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzi równość (x : y) : z = x : (y · z), przy czym istnienie lewej strony jest równoważne istnieniu prawej.
Ćwiczenie 11. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych x, y i z zachodzi prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania, czyli (x − y) · z = x · z − y · z, przy czym istnienie lewej strony jest równoważne istnieniu prawej.
Ćwiczenie 12. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzą równości:
(a) (x + y) : z = x : z + y : z, (b) (x − y) : z = x : z − y : z,
przy czym z istnienia prawej strony wynika ist- nienie lewej,
(c) x − y = (x + z) − (y + z), (d) x : y = (x · z) : (y · z),
przy czym istnienie lewej strony jest równoważne istnieniu prawej.
Ćwiczenie 13. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y, u, v ∈ N zachodzą równości (przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej):
(a) (x − y) + (u − v) = (x + u) − (y + v), (b) (x : y) · (u : v) = (x · u) : (y · v),
(c) (x − y) − (u − v) = (x + v) − (u + y), (d) (x : y) : (u : v) = (x · v) : (u · y).
Ćwiczenie* 14. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek liczb naturalnych x, y, z ∈ N, dla których istnieją jednocześnie ilorazy x : y, x : z i x : (y + z). Wykazać, że dla żadnej takiej trójki nie zachodzi równość
x : (y + z) = x : y + x : z.
Uporządkowanie. Przypomnijmy, że relacja x > y oznacza, że istnieje taka liczba r ∈ R, że y+r = x.
Relacja x > y oznacza, że x > y lub x = y. Niech A ⊂ N będzie niepustym zbiorem. Definicję minimum i maksimum zbioru A możemy zapisać symbolicznie w postaci
m = min A ⇐⇒ m ∈ A ∧ ∀ x∈A m 6 x, n = max A ⇐⇒ n ∈ A ∧ ∀ x∈A x 6 n.
Ćwiczenie 1. Wykazać, że 4 > 2. Co stąd można wnioskować o relacji 2 > 4?
Ćwiczenie 2. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N jeśli x < y, to nie istnieje iloraz x : y.
Ćwiczenie 3. Podać przykład pary liczb naturalnych x, y, dla których:
(a) x > y i istnieje iloraz x : y, (b) x > y i nie istnieje iloraz x : y.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N zachodzą nierówności
(a) ∆(2x) > 2∆(x) + 1, (b) ∆(3x) > 3∆(x) + 2,
(c) (x + 2)! > ∆(x), (d) (2x)! > x! · x!.
Ćwiczenie 5. Niech x, y, u, v ∈ N. Wykazać, że jeśli x > y i u > v, to xu > yv.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y, z ∈ N jeśli istnieją ilorazy x : z i y : z, to nierówność x > y jest równoważna nierówności x : z > y : z.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y, z ∈ N jeśli istnieją ilorazy z : x i z : y, to nierówność x > y jest równoważna nierówności z : y > z : x.
Ćwiczenie 8. Niech x, y, u, v ∈ N, przy czym istnieją ilorazy x : v i y : u. Wykazać, że jeśli x > y i u > v, to x : v > y : u.
Ćwiczenie 9. Niech x, y ∈ N. Wykazać, że jeśli x > y i y > x, to x = y.
Ćwiczenie 10. Niech x, y, z ∈ N. Wykazać, że jeśli x > y i y > z, to x > z, przy czym równość w tezie zachodzi jedynie wtedy, gdy zachodzą równości w założeniu.
Ćwiczenie 11. Pokazać, że zbiór A = {x ∈ N : ∃ i∈N xx + 96 = xi} posiada maksimum.
Ćwiczenie 12. Pokazać, że zbiór B = {x ∈ N : ∃ k∈N x = kk} nie jest ograniczony z góry.
Ćwiczenie 13. Wyznaczyć maksimum i minimum zbioru C = {x ∈ N : ∃ k∈N x = 100 − kk}.
Ćwiczenie 14. Ustalmy k ∈ N i niech D k = {x ∈ N : xx 6 k}. Wykazać, że dla każdego n ∈ N i k ∈ hnn, nn + 2ni mamy max D k = n.
Rozkład Euklidesa. Przypomnijmy, że przy danych x, y ∈ N, x > y zachodzi dokładnie jeden z przypadków:
1 ◦ istnieje e y (x) ∈ N takie, że x = e y (x) · y,
2 ◦ istnieją e y (x), r y (x) ∈ N takie, że x = e y (x) · y + r y (x) i r y (x) < y.
Co więcej opisane liczby są jedyne i równe odpowiednio
e y (x) = min{k ∈ N : ky > x} − 1, r y (x) = x − e y (x) · y.
Liczbę e y (x) nazywamy częścią całkowitą ilorazu przybliżonego, a r y (x) jego resztą. Jeśli x < y, to iloraz przybliżony x przez y nie ma sensu.
Ćwiczenie 1. Podać rozkład Euklidesa (o ile istnieje) liczby x przy dzieleniu przybliżonym przez y:
(a) x = 5, y = 3, (b) x = 22, y = 3,
(c) x = 3, y = 4, (d) x = 22, y = 6,
(e) x = 22, y = 7, (f ) x = 22, y = 11.
Ćwiczenie 2. Wypisać te z poniższych równości, które są rozkładami Euklidesa. Podać część całkowitą i resztę ilorazu przybliżonego.
5 = 2 · 2 + 1, 12 = 3 · 4, 17 = 2 · 6 + 5, 17 = 3 · 6 − 1, 19 = 3 · 4 + 7, 17 = 5 · 3 + 2.
Ćwiczenie 3. Wykazać, że dla danych x, y ∈ N, przy czym x > y część całkowita ilorazu przybliżonego e y (x) jest równa
e y (x) = max{k ∈ N : ky 6 x}.
Ćwiczenie 4. Niech x i y będą takimi liczbami naturalnymi, że 15y < x < 17y. Wyznaczyć e 5y (x) i r 5y (x). Ile wynosi e 5y (2x)?
Ćwiczenie 5. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne x, dla których:
(a) e 4 (2x + 1) = 1, (b) r 4 (2x + 1) = 1, (c) e 5 (7x + 1) = x.
Ćwiczenie 6. Dla każdego x ∈ N wyznaczyć (a) e 2 (2x + 1) i r 2 (2x + 1),
(b) e 3x (4x + 1) i r 3x (4x + 1),
(c) e 5x (7x + 6) i r 5x (7x + 6), (d) e x (xx + 2) i r x (xx + 2).
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla danych x, y ∈ N iloraz x : y istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x > y i nie istnieje reszta r y (x). Tym samym iloraz x : y nie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x < y albo x > y i istnieje reszta r y (x).
Ćwiczenie 8. Wykazać, że nie istnieją ilorazy 4 : 3 i 5 : 2.
Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N, jeśli x > y > z, to e y (x) 6 e z (x).
Ćwiczenie 10. Niech x, y ∈ N i y > x. Wykazać, że jeśli istnieje reszta r xy (y · y), to istnieje reszta r x (y) i zachodzi równość r xy (y · y) = r x (y) · y.
Ćwiczenie 11. Niech x, y ∈ N, przy czym x > z i y > z. Wykazać, że wówczas zachodzi dokładnie jeden z następujących przypadków:
1 ◦ e z (x + y) = e z (x) + e z (y), 2 ◦ e z (x + y) = (e z (x) + e z (y)) + 1.
Podać warunek jaki muszą dodatkowo spełnić x i y, aby zachodził przypadek 2 ◦ . Ćwiczenie* 12. Dla dowolnych x, y ∈ N takich, że x > z i y > z wyznaczyć e z (x · y).
Ćwiczenie 13. Wykazać, że dla dowolnego x naturalnego zachodzi równość e x (∆(2x)) = 2x + 1.
Natomiast reszta r x (∆(2x)) nie istnieje. Stąd, jeśli x jest nieparzysta, to ∆(2x) jest również nieparzysta.
Niech w, x, y ∈ N. Jeśli istnieją ilorazy w : x i w : y, to liczbę w nazywamy wspólną wielokrotnością liczb x i y, gdyż wtedy w = (w : x) · x i w = (w : y) · y.
Niech
A = {w ∈ N : w jest wspólną wielokrotnością liczb x i y}.
Zbiór A 6= ∅, gdyż xy ∈ A. Minimum zbioru A nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb x i y i oznaczamy [x, y].
Ćwiczenie* 14. Wykazać, że każda wspólna wielokrotność liczb naturalnych x i y jest podzielna przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb x i y. Wskazówka: przypuścić przeciwnie, że teza nie zachodzi i skorzystać z ćwiczenia 7.
Analogicznie liczbę naturalną d nazywamy wspólnym dzielnikiem liczb x i y, gdy jednocześnie ist- nieją ilorazy x : d i y : d. Wówczas oczywiście d 6 x i d 6 y, więc zbiór
B = {d ∈ N : d jest wspólnym dzielnikiem liczb x i y}
jest ograniczony z góry. Maksimum zbioru B nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb x i y i oznaczamy (x, y).
Ćwiczenie* 15. Wykazać, że największy wspólny dzielnik liczb x i y jest podzielny przez każdy wspólny dzielnik liczb x i y. Wskazówka: skorzystać z ćwiczenia 14.
Ćwiczenie* 16. Niech x, y, z ∈ N. Wykazać, że jeśli (x, y) = 1 i istnieje (x · z) : y, to istnieje z : y i zachodzi równość (x · z) : y = x · (z : y) (porównaj z ćwiczeniem 9 z paragrafu Liczby naturalne.
Działania kilkuargumentowe.)
Przedziały. Postępowanie indukcyjne. Niech a, b ∈ N. Przedziałami liczb naturalnych nazywamy zbiory postaci
ha, bi = {x ∈ N : a 6 x 6 b}, ha, +∞) = {x ∈ N : a 6 x}.
Ćwiczenie 1. Pokazać, że iloczyn dowolnej rodziny przedziałów liczb naturalnych, mających wspólny element, jest przedziałem. Co więcej, iloczyn ten jest przedziałem niewłaściwym wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina składa sie wyłącznie z przedziałów niewłaściwych.
Ćwiczenie 2. Pokazać, że jeśli p < r, to hp, qi\hr, +∞) jest przedziałem właściwym. Wyznaczyć jego postać.
Ćwiczenie 3. Podać przykład funkcji przekształcającej zbiór h1, ni ∪ hn + 2, +∞) na przedział hn, +∞) w sposób wzajemnie jednoznaczny.
Ćwiczenie 4. Niech f : N → N będzie funkcją nierosnącą. Wykazać, że istnieje wtedy takie n 0 ∈ N, że f (n) = f (n 0 ) dla wszystkich n > n 0 .
Wykazać na tej podstawie, że nie istnieje funkcja malejąca f : N → N.
Ćwiczenie 5. Niech A bedzie niepustym zbiorem, α ∈ A i niech n ∈ N. Niech A z , B z ⊂ A będą niepu- stymi zbiorami dla z ∈ h1, ni i niech τ będzie operatorem określonym na h1, ni, przyporządkowującym każdej liczbie z ∈ N funkcję τ z : A z → B z . Pokazać, że jeśli α ∈ A 1 , A z ⊂ B z i B z ⊂ A z+1 dla z, z + 1 ∈ h1, ni, to istnieje dokładnie jedna funkcja γ : h1, n + 1i → A spełniająca warunki
1 ◦ γ(1) = α,
2 ◦ γ(y 0 ) = τ y (γ(y)) dla y ∈ h1, ni.
Wskazówka. Wykazać, że dla każdego m ∈ h1, ni istnieje funkcja γ m : h1, m + 1i → B m spełniająca warunki
1 ◦ γ m (1) = α,
2 ◦ γ m (y 0 ) = τ y (γ m (y)) dla y ∈ h1, mi.
Pokazać, że funkcja γ(y) = γ n (y) dla y ∈ h1, n + 1i spełnia żądane warunki.
Ćwiczenie 6 (Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję). Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem i α ∈ A oraz niech ϕ : A × N → A będzie ustaloną funkcją. Wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja f : N → A spełniająca warunki:
1 ◦ f (1) = α,
2 ◦ f (x 0 ) = ϕ(f (x), x) dla x ∈ N.
Wskazówka. Rozważyć operator τ określony na N, przyporządkowujący każdej liczbie z ∈ N funkcję τ z : A → A daną wzorem
τ z (a) = ϕ(a, z), a ∈ A
i skorzystać z twierdzenia 30. o istnieniu funkcji wysyconej ˆ γ, określonej indukcyjnie przez wartość
początkową α, operator τ i rodzinę Γ złożoną ze wszystkich funkcji γ n , n ∈ N określonych na przedzia-
łach normalnych h1, n + 1i przez wartość początkową α i operator τ (takie funkcje istnieją na mocy
wcześniejszego ćwiczenia). Patrz również Appendix.
Ćwiczenie 7. Wskazać zbiór A, wartość początkową α oraz funkcję ϕ : A × N → A definiującą funkcję:
(a) ∆ : N → N z ćwiczenia 3. §Dodawanie liczb naturalnych.
(b) s : N → N z ćwiczenia 6. §Mnożenie liczb naturalnych.
Ćwiczenie 8. Udowodnić zasadę indukcji wstecznej. Z warunków:
1 ◦ prawy koniec q przedziału hp, qi ma daną własność,
2 ◦ jeżeli x ∈ hp, qi ma tę własność, to poprzednik 8 x ma także tę własność, o ile 8 x ∈ hp, qi,
wynika, że każda liczba z przedziału hp, qi ma daną własność.
Ćwiczenie 9. Niech a będzie dowolną liczbą naturalną i niech γ : N → N będzie funkcją określoną indukcyjnie warunkami:
1 ◦ γ(1) = 1 + a,
2 ◦ γ(x 0 ) = γ(x) · (1 + a).
Wykazać, że dla każdego x ∈ h1, 99i zachodzi następująca nierówność γ(100 − x) > 1 + (100 − x) · a.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnego n ∈ h2, +∞) i dowolnych x, y ∈ N takich, że x + y = n istnieje dokładnie jedna liczba N (x, y) ∈ N, N (x, y) > 1 taka, że
(x + y)! = (x! · y!) · N (x, y).
Wskazówka. Zauważyć, że (x − 1) + y = x + (y − 1) dla x, y ∈ h2, n − 1i, n > 2.
Dla dowolnego n ∈ h2, +∞) i k ∈ h1, n − 1i istnieje n − k i k + (n − k) = n. Liczbę N (k, n − k) nazywamy symbolem Newtona i oznaczamy n k . Z powyższej definicji wynika natychmiast, że n k =
n n−k
. Z dowodu powyższego ćwiczenia można wyczytać również, że n k + k+1 n = n+1 k+1 . Ćwiczenie 11. Znaleźć przedstawienie normalne i rosnące zbiorów:
(a) A = {3, 7, 15}, (b) B = {n ∈ N : ∃ q∈N n = 3q + 2}.
Działania wieloargumentowe. Iteracje działań głównych.
Ćwiczenie 1. Określić mnożenie wieloargumentowe na ciągach Q b k=a x k . Ćwiczenie 2. Wykazać, że:
(a) Q b+1 k=a x k = Q b k=a x k · x b+1 ,
(b) dla przedziałów sąsiednich ha, bi i hc, di, c = b + 1 oraz ciągu (x k ), k = a, ..., d jest Q b k=a x k · Q d
k=c x k = Q d k=a x k ,
(c) dla ciągu (x k ), k = a, ..., b i ciągu (ˆ x k ), k = a, ..., b powstałego z poprzedniego przez przestawienie wyrazów na miejscach d i b jest Q b k=a x ˆ k = Q b k=a x k ,
(d) dla ciągu różnowartościowego (k j ), j = p, ..., q przekształcającego hp, qi na jakiś przedział ha, bi i ciągu (x k ), k = a, ..., b jest Q q j=p x kj = Q b k=a x k .
Ćwiczenie 3. Niech x, y, p, q, n ∈ N. Wykazać następujące własności potęgi:
(a) Q b k=a x = x (b+1)−a · , (b) (x · y) n · = x n · · y n · , (c) x p · · x q · = x p+q · , (d) x p · q
· = x p·q · ,
(e) jeśli p > q, to x p · : x q · = x p−q · ,
(f ) (x : y) n · = x n · : y · n , przy czym z istnienia lewej strony jest wynika istnienie prawej, (g) x > y wtedy i tylko wtedy, gdy x n · > y · n , (h) jeśli x > 1, to p > q wtedy i tylko wtedy, gdy
x p · > x q · .
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla każdego x ∈ N mamy ∆(x) = P x k=1 k i x! = Q x k=1 k.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla każdego n ∈ N i q ∈ N, q > 1 istnieje iloraz (q n − 1) : (q − 1)
Ćwiczenie 6. Wykazać, że każda liczba naturalna n > 1 posiada przynajmniej jeden dzielnik będący liczba pierwszą.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza od niej większa.
Ćwiczenie** 8. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej x > 1 istnieje dokładnie jeden ciąg rosnący liczb pierwszych (p i ), i = 1, ..., s oraz dokładnie jeden ciąg liczb naturalnych (c i ), i = 1, ..., s taki, że
x =
s
Y
i=1
p c ii.
Powyższy wzór nazywamy rozkładem liczby naturalnej x na czynniki pierwsze.
Ćwiczenie* 9. Niech x, y, n ∈ N. Wykazać, że jeśli (x, y) = 1, to (x n , y n ) = 1. Na tej podstawie wykazać, że jeśli istnieje iloraz x n : y n , to istnieje iloraz x : y. Porównaj z ćwiczeniem 3 (f ).
Postęp arytmetyczny i geometryczny.
Ćwiczenie 1. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1, ... spełnia dla i ∈ N warunek a i+1 = a 1 + ir, gdzie r jest pewną liczbą naturalną, to (a i ) jest postępem arytmetycznym o różnicy r.
Analogicznie wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1, ... spełnia dla i ∈ N warunek a i+1 = a 1 · q i , gdzie q jest pewną liczbą naturalną, to (a i ) jest postępem geometrycznym o ilorazie q.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1, ... jest postępem arytmetycznym, to dla dowolnych k, n ∈ N takich, że k 6 n zachodzi wzór a k + a (n+1)−k = a 1 + a n .
Ćwiczenie 3. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1, ... jest postępem geometrycznym i S n jest n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n ∈ N zachodzi wzór S n · q + a 1 = S n+1 .
Ćwiczenie 4. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1, ... jest postępem arytmetycznym i S n jest n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n ∈ N zachodzi wzór 2S n = n · (a 1 + a n ).
Ćwiczenie 5. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1, ... jest postępem geometrycznym o ilorazie q > 1 i S n jest n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n ∈ N zachodzi następujący wzór S n · (q − 1) = a 1 · (q n − 1).
Ćwiczenie 6. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1, ... jest postępem arytmetycznym o różnicy r i S n jest n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n > 2 zachodzi wzór
S n = na 1 + ∆(n − 1)r.
Ćwiczenie 7. Podać i udowodnić wzór na P n k=4 3 k , n > 4 oraz na P n k=4 3k, n > 4.
Ćwiczenie 8. Niech (a i ), i = 1, ..., n i (x i ), i = 1, ..., n będą dowolnymi ciągami liczb naturalnych oraz
x, a ∈ N. Podać i udowodnić wzory na następujące iloczyny: Q n k=1 x ai, Q n k=1 x a i .
§2. LICZBY CAŁKOWITE.
Ćwiczenie 1. W zbiorze N × N wprowadzono relację ∼ wzorem:
m n ∼ p q ⇔ m + q = n + p.
Wykazać, że ∼ jest relacją równoważności.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że:
(a) jeśli ˆ m ˆ n ∼ m n, to ˆ n ˆ m ∼ n m, (b) jeśli m w ∼ p w, to m = p,
(c) m n ∼ (m + f ) (n + f ),
(d) jeśli ˆ m ˆ n ∼ m n, to ( ˆ m + n) (ˆ n + n) ∼ (m + ˆ n) (n + ˆ n).
Ćwiczenie 3. Niech x i y będą dowolnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi. Wykazać, że jeśli x+y = 0, to x = 0 i y = 0.
Ćwiczenie 4. Niech x ∈ Z. Wykazać następujące dwie równoważności:
(a) x jest liczbą całkowitą dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy x > 0, (b) x jest liczbą całowitą ujemną wtedy i tylko wtedy, gdy x < 0.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla dowolnych liczb całkowitych x, y, z ∈ Z (a) −(x + y) = (−x) + (−y),
(b) x − y = x + (−y), (c) x · (−y) = −(x · y), (d) (−x) · (−y) = x · y, (e) x − (y − z) = (x − y) + z,
(f ) jeśli x > y, to −x < −y,
(g) x : (−y) = −(x : y), przy czym istnienie le- wej strony jest równoważne istnieniu prawej (y 6= 0).
Ćwiczenie 6. Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami całkowitymi, gdzie z 6= 0. Wykazać, że (x + y) : z = x : z + y : z, przy czym z istnienia prawej strony wynika istnienie lewej.
Ćwiczenie 7. Niech x i y będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Wykazać, że x · y = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy (x = 1 i y = 1) lub (x = −1 i y = −1).
Ćwiczenie 8. Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Wykazać, że jeśli x > y, to x + z > y + z.
Ćwiczenie 9. Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Wykazać, że jeśli z > 0 i x > y, to xz > yz, natomiast jeśli z < 0 i x > y, to xz < yz.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej x zachodzą nierówności −|x| 6 x 6 |x|.
Ćwiczenie 11. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ Z zachodzi nierówność ||x| − |y|| 6 |x − y|.
Ćwiczenie 12. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite x spełniające nierówność |x − 1| > x + 3.
Ćwiczenie 13. Wykazać, że zbiór Z − = {[1 (n + 1)] : n ∈ N} wraz z funkcją następstwo określoną wzorem a 0 = a−1 dla a ∈ Z − spełniają aksjomaty liczb naturalnych. Pokazać, że N i Z − są izomorficzne bez zachowania porządku.
Ćwiczenie 14. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite x spełniające równość e 3 (5x + 7) = x.
§3. LICZBY UŁAMKOWE.
Ćwiczenie 1. W zbiorze N × N wprowadzono relację ∼ wzorem:
m : n ∼ p : q ⇔ m · q = n · p.
Wykazać, że ∼ jest relacją równoważności.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że:
(a) jeśli ˆ m : n ∼ m ˆ : n, to ˆ n : m ∼ n ˆ : m, (b) jeśli m : w ∼ p : w, to m = p,
(c) m : n ∼ (m · f ) : (n · f ),
(d) jeśli ˆ m : n ∼ m ˆ : n, to ( ˆ m · n) : (ˆ n · n) ∼ (m · ˆ n) : (n · ˆ n).
Ćwiczenie 3. Wykazać, że jeżeli
m ˆ : n ∼ m ˆ : n, p ˆ : q ∼ p ˆ : q, to
( ˆ m · ˆ p) : (ˆ n · ˆ q) ∼ (m · p) : (n · q) i
( ˆ mˆ q + ˆ pˆ n) : (ˆ nˆ q) ∼ (mq + pn) : (nq).
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnych liczb ułamkowych X, Y i Z:
(a) X · (: X) = 1
(b) (: X) + (: Y ) = (X + Y ) : (XY ), (c) jeśli X > Y , to : Y >: X, (d) X : Y = X · (: Y ),
(e) : (X · Y ) = (: X) · (: Y ),
(f ) (X : Y ) : Z = X : (Y · Z),
(g) jeśli X < Y , to Z − Y < Z − X, przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie pra- wej.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla liczb ułamkowych zachodzi następująca implikacja [a : b] < [c : d] =⇒ [a : b] < [(a + c) : (b + d)] < [c : d].
Ćwiczenie 6. Wykazać, że w zbiorze liczb ułamkowych nie istnieje liczba najmniejsza ani największa.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że w zbiorze liczb ułamkowych nie zachodzi ani zasada minimum ani zasada maksimum.
Ćwiczenie 8. Sformułować i udowodnić zasadę Archimedesa oraz twierdzenie o rozkładzie Euklidesa dla liczb ułamkowych.
Ćwiczenie 9. Wykazać, że nie istnieje taka liczba ułamkowa X, że X 2 = 2.
Ćwiczenie* 10. Niech A = {X ∈ U : X 2 < 2} i B = {X ∈ U : X 2 > 2}. Wykazać, że para zbiorów A i B stanowi lukę w zbiorze liczb ułamkowych.
Ćwiczenie* 11. Wykazać, że jeśli X = [m : n] > 1, to liczby ułamkowe [e n (m) : 1] i [r n (m) : n]
nie zależą od wyboru reprezentanta m : n liczby X, przy czym druga przy założeniu, ze istnieje reszta r n (m).
Liczbę [e n (m) : 1] nazywamy częścią całkowitą liczby X i oznaczamy E(X), natomiast liczbę [r n (m) : n] nazywamy częścią ułamkową liczby X i oznaczamy R(X).
Ćwiczenie 12. Niech X, Y będą liczbami ułamkowymi X, Y > 1 i N ∈ N. Wykazać, że:
(a) X ∈ N wtedy i tylko wtedy, gdy X = E(X), (b) jeśli X / ∈ N, to X = E(X) + R(X),
(c) R(X) < 1,
(d) E(X) 6 X < E(X) + 1, (e) E(X + N ) = E(X) + N , (f ) E(X + Y ) > E(X) + E(Y ).
Ćwiczenie 13. Wykazać, że dla dowolnej liczby ułamkowej X > 1 część całkowita E(X) = e 1 (X) oraz reszta R(X) = r 1 (X).
Ćwiczenie 14. Wyznaczyć wszystkie liczby ułamkowe X spełniające równość E(X) = 3.
§4. LICZBY WYMIERNE.
Ćwiczenie 1. Niech U i Z oznaczają odpowiednio zbiór wszystkich liczb ułamkowych i zbiór wszystkich liczb całkowitych. W zbiorze U × U wprowadzono relację ∼ I wzorem:
X Y ∼ I X ˆ ˆ Y ⇔ X + ˆ Y = Y + ˆ X, natomiast w zbiorze Z × (Z\{0}) wprowadzono relację ∼ II wzorem:
x : y ∼ II x ˆ : y ⇔ x · ˆ ˆ y = y · ˆ x.
Wykazać, że są to relacje równoważności. Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji ∼ I oznaczamy Q I
i nazywamy zbiorem liczb wymiernych pierwszego rodzaju, natomiast zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji ∼ II oznaczamy Q II i nazywamy zbiorem liczb wymiernych drugiego rodzaju.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że jeżeli
[a : b] [c : d] ∼ I [ˆ a : ˆ b] [ˆ c : d], ˆ to
[ad bc] : [bd + 1 1] ∼ II [ˆ a ˆ d ˆbˆc] : [ˆ b ˆ d + 1 1].
Ćwiczenie 3. Wykazać, że dla liczb całkowitych x i y 6= 0 zachodzi relacja x : y ∼ II (−x) : (−y).
Ponadto Wykazać, że jeżeli
[m n] : [p q] ∼ II [ ˆ m ˆ n] : [ˆ p ˆ q], to
[m : (p − q)] [n : (p − q)] ∼ I [ ˆ m : (ˆ p − ˆ q)] [ˆ n : (ˆ p − ˆ q)], o ile istnieją różnice p − q i ˆ p − ˆ q, natomiast
[m : (p − q)] [n : (p − q)] ∼ I [ˆ n : (ˆ q − ˆ p)] [ ˆ m : (ˆ q − ˆ p)], o ile istnieją różnice p − q i ˆ q − ˆ p.
Z powyższego wynika, że funkcje A : Q I → Q II oraz D : Q II → Q I dane wzorami:
(1) A [a : b] [c : d] = [ad bc] : [bd + 1 1] oraz
(2) D [m n] : [p q] = [m : (p − q)] [n : (p − q)] , dla [p q] > 0
są poprawnie określone.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że funkcja D : Q II → Q I jest poprawnie określona wzorem (2).
Ćwiczenie 5. Wykazać, że A ◦ D = id QII i D ◦ A = id QI, czyli A i D są odwzorowaniami wzajemnie odwrotnymi.
, czyli A i D są odwzorowaniami wzajemnie odwrotnymi.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że A(1) = 1 i A(0) = 0 oraz dla dowolnych liczb wymiernych pierwszego rodzaju α i β zachodzą wzory:
A(α + β) = A(α) + A(β), A(α · β) = A(α) · A(β).
Ćwiczenie 7. Wykazać, że:
(a) Dla każdego α ∈ Q I zachodzi równoważność α > 0 ⇔ A(α) > 0,
(b) Dla dowolnych α, β ∈ Q I zachodzi równoważność α > β ⇔ A(α) > A(β).
Ćwiczenie 8. Udowodnić następujące własności:
(a) Ciąg stały (α), gdzie α ∈ Q jest zbieżny do wspólnej wartości swoich wyrazów czyli do α.
(b) Jeżeli ciągi (α n ) i (β n ) mają prawie wszystkie wyrazy identyczne, to albo oba spełniają warunek Cauchy’ego albo oba tego warunku nie spełniają. Ponadto granice jednego są granicami drugiego.
(c) Ciąg (α n ) liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy’ego jest ciągiem ograniczonym.
Niech (α n ), n = 1, 2, . . . będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych i (k n ) n = 1, 2, . . . dowolnym ciągiem rosnącym liczb naturalnych. Ciąg (α kn), n = 1, 2, . . . nazywamy podciągiem ciągu (α n ).
Ćwiczenie 9. Niech (α n ), n = 1, 2, . . . będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych. Wykazać, że jeśli (α n ) jest ciągiem ograniczonym, to istnieje jego podciąg spełniający warunek Cauchy’ego.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że jeśli ciąg liczb wymiernych (α n ) n = 1, 2, . . . spełnia warunek Cauchy’ego i posiada podciąg zbieżny do 0, to (α n ) jest zbieżny do 0. Analogicznie, gdy podciąg jest zbieżny do γ ∈ Q, to (α n ) zbiega do γ.
Ćwiczenie 11. Wykazać, że jeżeli ciąg liczb wymiernych (α n ) spełnia warunek Cauchy’ego i nie jest zbieżny do 0, to ciąg (|α n |) jest prawie ograniczony z dołu przez dodatnią liczbę wymierną.
Ćwiczenie 12. Niech (α n ) i (β n ) będą ciągami liczb wymiernych. Wykazać, że lim(α n · β n ) = lim α n · lim β n ,
przy czym z istnienia prawej strony wynika istnienie lewej.
Ćwiczenie 13. Niech (α n ) będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych. Wykazać, że warunek Cau- chy’ego jest równoważny z następującym warunkiem:
dla każdego dodatniego ε ∈ Q zachodzi
(?) |α n+k − α n | < ε
dla wszystkich k ∈ N i prawie wszystkich n ∈ N.
Ćwiczenie 14. Niech (α n ) będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych. Wykazać, że jeśli istnieje taki ciąg (β n ) liczb wymiernych zbieżny do 0, że
|α n+k − α n | < β n
dla wszystkich k ∈ N i prawie wszystkich n ∈ N, to (α n ) spełnia warunek Cauchy’ego.
Ćwiczenie* 15. Wykazać, że ciąg (α n ) dany wzorem α n = 1 +
n
X
i=1
1 : (i!) spełnia warunek Cauchy’ego.
Ćwiczenie* 16. Wykazać, że ciąg (α n ) z poprzedniego zadania nie jest zbieżny (do liczby wymiernej).
Ćwiczenie 17. Niech (α n ) n = 1, 2, . . . będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych spełniającym wa- runek Cauchy’ego i niech
M = {µ ∈ Q : ∃ m0∈N ∀ n>m
0 µ 6 α n } i N = {ν ∈ Q : ∃ n0∈N ∀ n>n
0 α n 6 ν}.
∈N ∀ n>n
0α n 6 ν}.
Wykazać, że
(a) dla każdego ε ∈ Q, ε > 0 istnieją µ ∈ M i ν ∈ N takie, że ν − µ = ε,
(b) jeśli λ ∈ Q jest ograniczeniem górnym zbioru M i ograniczeniem dolnym zbioru N , to λ jest granicą ciągu (α n ).
Ćwiczenie 18. Niech α i β będą dowolnymi liczbami wymiernymi nieujemnymi oraz n, p, q ∈ N.
Wykazać, że:
(a) jeśli α > 1, to α n > 1, (b) α > β ⇔ α n > β n ,
(c) jeśli α > 1, to p > q ⇔ α p > α q , (d) jeśli 0 < α < 1, to p > q ⇔ α p < α q . Ćwiczenie 19. Wyznaczyć wszystkie liczby wymierne α dla których ciąg (α n ) jest zbieżny i podać jego granicę.
§5. LICZBY RZECZYWISTE.
Ćwiczenie 1. Niech P oznacza zbiór wszystkich ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cau- chy’ego czyli tak zwanych ciągów podstawowych. W zbiorze P wprowadzamy relację ∼ wzorem:
(α n ) ∼ (β n ) ⇔ lim
n→∞ (α n − β n ) = 0.
Wykazać, że ∼ jest relacją równoważności.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że jeśli (α n ), n = 1, 2, . . . i (β n ), n = 1, 2, . . . są ciągami podstawowymi liczb wymiernych to ciąg (α n β n ) jest również podstawowy.
Ćwiczenie 3. Niech (α n ), n = 1, 2, . . . i (β n ), n = 1, 2, . . . będą ciągami podstawowymi liczb wy- miernych o wyrazach różnych od zera. Wykazać, że jeśli ciągi (α n ) i (β n ) nie są zbieżne do 0 oraz (α n ) ∼ (β n ), to (: α n ) ∼ (: β n ).
Ćwiczenie 4. Niech (α n ), n = 1, 2, . . . i ( ˆ α n ), n = 1, 2, . . . będą ciągami podstawowymi liczb wymier- nych i δ ∈ Q. Wykazać, że jeśli (α n ) ∼ ( ˆ α n ), to
(a) jeśli dla każdego β < δ jest α n > β dla prawie wszystkich n i dla każdego γ > δ jest α n < γ dla prawie wszystkich n, to dla każdego ˆ β < δ jest ˆ α n > ˆ β dla prawie wszystkich n i dla każdego ˆ γ > δ jest ˆ α n < ˆ γ dla prawie wszystkich n,
(b) jeśli istnieje γ 0 > δ takie, że α n > γ 0 dla prawie wszystkich n, to istnieje ˆ γ 0 > δ takie, że ˆ α n > ˆ γ 0
dla prawie wszystkich n.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że każda liczba rzeczywista dodatnia zawiera ciąg podstawowy o wyrazach dodatnich, każda liczba rzeczywista ujemna ciąg o wyrazach ujemnych, a liczba zero ciągi obu rodzajów.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że jeśli liczby rzeczywiste A i B są dodatnie względnie ujemne, to iloczyn A · B jest liczbą dodatnią, natomiast jeśli A i B są różnych znaków, to A · B jest liczbą ujemną. Ponadto Wykazać, że jeśli A i B są jednocześnie dodatnie lub ujemne to A + B jest odpowiednio dodatnia bądź ujemna.
Ćwiczenie 7. Niech A = [(α n )], B = [(β n )] ∈ R. Wtedy A > B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie γ ∈ Q, γ > 0, że α n > β n + γ dla prawie wszystkich n.
Ćwiczenie 8. Niech A, B, Γ ∈ R i Γ 6= 0. Wykazać, że jeżeli A 6= B, to A · Γ 6= B · Γ.
Dla ciągów liczb rzeczywistych (A n ), n = 1, 2, . . . analogicznie jak dla ciągów liczb wymiernych definiujemy pojęcie podciągu.
Ćwiczenie 9. Wykazać, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada podciąg zbieżny.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że każdy ciąg liczb rzeczywistych (A n ), n = 1, 2, . . . spełniający warunek Cauchy’ego jest zbieżny.
Niech (α n ) oznacza ciąg podstawowy dany wzorem α n = 1 + P n i=1 1 : (i!). Z zadania 16 z poprzed- niego paragrafu wynika, że liczba rzeczywista [(α n )] nie jest liczbą wymierną. Liczbę tę oznaczamy symbolem e. Z twierdzenia 2 wynika, że liczba e jest granicą ciągu (α n ).
Ćwiczenie 11. Wykazać, że suma i różnica dwóch liczb rzeczywistych, z których jedna jest wymierna a druga niewymierna jest liczbą niewymierną, natomiast suma dwóch liczb niewymiernych może być liczbą wymierną.
Ćwiczenie 12. Niech (α n ) i (β n ) będą dowolnymi ciągami liczb wymiernych, przy czym ciąg (β n ) jest malejący i zbieżny do 0. Wykazać, że jeśli istnieje funkcja rosnąca f : Q → R i liczba rzeczywista A taka, że dla każdego n ∈ N
f (α n ) 6 A < f (α n + β n ), to ciąg (α n ) spełnia warunek Cauchy’ego.
Ćwiczenie* 13. Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej A istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista dodatnia B, taka że B n = A.
Powyższą liczbę B oznaczamy symbolem √
nA i nazywamy pierwiastkiem n-tego stopnia z dodatniej liczby A. Zauważmy, że wprost z definicji pierwiastka wynika, że √
nA > 0 i ( √
nA) n = A. Zauważmy ponadto, że 0 n = 0 i B n 6= 0 dla każdego B 6= 0. Zatem można przyjąć, że √
n0 = 0.
Ćwiczenie 14. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich A i B oraz dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzą następujące własności:
(a) √
nA · √
nB = √
nA · B, (b) pn (: A) =: ( √
n
A), (c) √
nA : B = √
nA : √
nB, (d) √
nA m = ( √
nA) m , (e)
mq
√
nA =
nq
m
