Kolokwium z Algorytmiki, 7 maja 2008 r.

Kolokwium z Algorytmiki, 7 maja 2008 r.

Zadanie 1 Skojarzeniem indukowanym grafu G nazywamy takie skojarzenie M, »e dowolne dwa ko«ce ró»nych kraw¦dzi z M nie s¡ poª¡czone kraw¦dzi¡ w G. Udowodnij, »e nast¦puj¡cy problem jest NP-zupeªny:

Egzemplarz:

Graf nieskierowany G = (V, E), liczba k ∈ N.

Pytanie:

Czy w G istnieje skojarzenie indukowane rozmiaru co najmniej k?

Zadanie 2 Zaproponuj (wielomianowy) algorytm aproksymacyjny dla nast¦puj¡cego wa- riantu problemu pokrycia zbioru. Dane s¡ zbiory S1, S₂, . . . S_k⊂ N, ka»dy mocy co najwy»ej 3. Nale»y znale¹¢ jak najmniejszy zbiór C ⊆ {1, . . . , k} taki, »e S_i∈CS_i =Sk

i=1S_i.

Oszacuj wspóªczynnik aproksymacji swojego algorytmu i podaj tzw. trudny przykªad dla swojego algortmu, czyli taki egzemplarz problemu, dla którego iloraz mocy zbioru zwraca- nego przez algorytm i rozwi¡zania optymalnego jest mo»liwie du»y.

Zadanie 3 Dane jest sªowo t oraz ci¡g par liczb naturalnych (si, l_i), i = 1, . . . , k. Dla dowolnego i, para (si, l_i) deniuje podsªowo wi sªowa t, zaczynaj¡ce si¦ na pozycji si i zawieraj¡ce li symboli. Mo»na zaªo»y¢, »e dla ka»dego j = 1, . . . , |t| jest co najwy»ej jedna para (si, l_i), taka, »e si = j. Zaprojektuj efektywny algorytm, który obliczy liczb¦ ró»nych sªów w ci¡gu w1, . . . , w_k. Uzasadnij jego poprawno±¢ i oszacuj zªo»ono±¢.

Uwaga: Optymalne (liniowe) rozwi¡zanie wymaga struktury danych RMQ. Je±li nie znasz tej struktury spróbuj zaprojektowa¢ algorytm O(n log n) lub algorytm liniowy dla prostszej wersji gdy dla dowolnych i,j zachodzi li = l_j.