Gliwice 2006
Metody przybliżonego rozwiązywania równań
różniczkowych zwyczajnych
Gliwice 2006 zwyczajnych
za pomocą szeregów
Metoda współczynników nieoznaczonych
Metoda kolejnego różniczkowania (metoda jednego punktu)
Metoda kolejnych przybliżeń Picarda
metody dyskretne
Metoda łamanych Eulera Ulepszenia metody Eulera
Wzory Rungego - Kutty Metody wielokrokowe
Gliwice 2006
Dyskretne metody rozwiązywania
równań różniczkowych zwyczajnych
Gliwice 2006 Zakładamy, że:
( ) ( )
0 0' , ,
y = F x y y x = y
Funkcja
F(x, y)
jest ciągła i ograniczona w pewnym obszarze płaskimΩ
.Funkcja
F(x,y)
spełnia w tym obszarze warunek Lipschitza względem zmiennejy
, tzn. że istnieje taka liczbaK
, że dla wszystkich par punktównależących do obszaru
Ω
spełniona jest nierówność:1
( ,
1 1),
2( ,
2 2) P x y P x y
( ,
1) ( ,
2) (
1 2)
F x y − F x y < K y − y
Gliwice 2006
Metoda Eulera
(metoda łamanych)
Gliwice 2006
Polega na przybliżonym rozwiązaniu równania:
Funkcję
F(x, y)
traktujemy na odcinku[x
i, x
i + 1]
jako stałą i równą wartościF
w punkcie(x
i, y
i)
:( )
1 1 i 1[ , ( ) d ]
i
x
i i i
x
y x y y F x y x x
+
+
=
+= + ∫
[ ] ( )
1
, ( ) d , ,
1i
i
x
i i i i i i
x
F x y x x h F x y h x x
+
= =
+−
∫
Gliwice 2006
Ostatecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny w postaci:
dla
i = 0, 1, …, n
1
( , ), ( )
0 0i i i i i
y
+= + y h F x y y x = y
Pochodna
y’
została zastąpiona ilorazem różnicowym(
i 1 i)
i
y y
h
+
−
czyli krzywą całkową na odcinku
[x
i,x
i + 1]
aproksymuje się odcinkiem stycznej do niej przechodzącej przez punkt(x
i, y
i)
.Zwykle przyjmuje się, że
h
i= const = h
Rozwiązywanie równań różniczkowych
y
x
0x
1x
2x
3x
4x
5x y
0Gliwice 2006
Interpretacja geometryczna metody łamanych Eulera
Gliwice 2006
Ulepszenia metody łamanych
( pierwsze ulepszenie )
Gliwice 2006
Pierwsze ulepszenie metody łamanych polega na przyjęciu następującego założenia:
Styczna do łuku
A (x
i, y
i)
,B (x
i + 1, y
i + 1)
w punkcie o odciętejx
∗= (x
i+ x
i + 1)/2
jest równoległa do cięciwyAB
.y
x x
0x
*x
1A
B
Gliwice 2006
Interpretacja geometryczna pierwszego ulepszenia metody łamanych Eulera
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Dla rozpatrywanego przypadku stosujemy następujące wzory:
( )
( )
( )
*
1
*
* * *
* 1
1 2
1 ,
2 ,
i i
i i i
i i
x x x
y y h F x y m F x y
y y h m
+
+
= +
= +
=
= +
Gliwice 2006
Ulepszenia metody łamanych
( drugie ulepszenie )
Gliwice 2006
Drugie ulepszenie metody łamanych polega na przyjęciu następującego założenia:
Współczynnik kierunkowy siecznej
AB
jest średnią arytmetyczną współczynników kierunkowych stycznych w punktachA
iB
.Metoda ta nazywana jest też metodą Eulera – Cauchy’ego.
y
x
x
0x
*A
B
Gliwice 2006
Interpretacja geometryczna drugiego ulepszenia metody łamanych Eulera
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Dla rozpatrywanego przypadku stosujemy następujące wzory:
( )
( )
( )
*
1
*
* * *
* 1
, ,
1 ,
2
i i
i i i
i i i i
x x x h
y y h F x y m F x y
y y h F x y m
+
+
= = +
= +
=
⎡ ⎤
= + ⎣ + ⎦
Gliwice 2006
Za pomocą metody Eulera oraz jej ulepszeń rozwiązać równanie
PRZYKŁAD:
PRZYKŁAD:
Rozwiązywanie równań różniczkowych
z warunkiem początkowym
'
y = + x y
0
0,
01 ,
x = y =
przyjmująch = 0.1
Rozwiązanie dla prostej metody Eulera:
Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego:
1
( , ), (
0)
0, 0, 1, ,
i i i i i
y
+= y + h F x y y x = y i = … n
z którego wynika:
1
0.1 ( ),
00,
01
i i i i
y
+= y + ⋅ x + y x = y =
Gliwice 2006
2 1
0.2
2 1(
1 1) 1.22 x = + = x h y = y + h x + y =
3 2
0.3
3 2(
2 2) 1.362 x = x + = h y = y + h x + y =
itd.
x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
= y
1 1.1 1.22 1.362 1.528 1.721 1.943 2.197 2.487 2.816 3.187 3.606 4.077 4.605 5.195 5.854
=
0 1 2
1 3.69 6.39 9.08 11.78
yi g s( )
xi,s
Gliwice 2006 Dla warunku początkowego:
Rozwiązywanie równań różniczkowych
obliczamy
pierwszy krok
0
0,
01
x = y =
Rozwiązanie dla pierwszego ulepszenia metody Eulera:
* *
0 1 0 0 0
* * * *
0 1
1
0.1
1 1
( ) 0.05 ( ) 1.05
2 2
1.1 1.11
x x x y y h x y
m x y y h m
x
y
=
= + = = + + =
= + = = + =
Gliwice 2006 2
2
* *
1 2 1 1 1
* * * *
1
1 1
( ) 0.15 ( ) 1.1705
2 2
1.3205 1.24205
x x x y
y
y h x y
m x y y h m
= + = = + + =
= + = = + =
itd.0 0.5 1 1.5 2
1 3.69 6.39 9.08 11.78
y1i g s( )
x1i,s
x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
= y1
1 1.11 1.242 1.398 1.582 1.795 2.041 2.323 2.646 3.012 3.428 3.898 4.428 5.024 5.693 6.443
=
Gliwice 2006 Dla warunku początkowego:
Rozwiązywanie równań różniczkowych
obliczamy
pierwszy krok
0
0,
01
x = y =
Rozwiązanie dla drugiego ulepszenia metody Eulera:
* *
0 0 0 0
* * * *
0 0
1
0 1
0.1 ( ) 1.1
1.2 1 ( ) 1.11
2
x x h y y h x y
m
x
x y y y h x y m
= = + = = + + =
= + = = + + + =
Gliwice 2006 itd.
* *
1 1 1 1
* *
2
2
* *
1 1 1
0.2 ( ) 1.231
1.431 1 ( ) 1.24205
2
x x h y y h x y
m x y y h x
x
y y m
= = + = = + + =
= + = = + + + =
Gliwice 2006
Wnioski:
Metoda łamanych (Eulera) jest najprostszą metodą z grupy algorytmów dyskretnych.
Zmniejszenie kroku
h
istotnie polepsza dokładność metody łamanych, przy czym należy pamiętać, że nadmierne zmniejszenie kroku daje efekt odwrotny do spodziewanego. Niestety literatura nie podaje reguł doboru optymalnego kroku całkowania - najczęściej stosuje się „metodę prób”.Korzystanie z ulepszeń metody łamanych daje wyniki nieporównywalnie lepsze.
Rozwiązywanie równań różniczkowych