• Nie Znaleziono Wyników

równań różniczkowych zwyczajnych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "równań różniczkowych zwyczajnych"

Copied!
24
0
0

Pełen tekst

(1)

Gliwice 2006

Metody przybliżonego rozwiązywania równań

różniczkowych zwyczajnych

(2)

Gliwice 2006 zwyczajnych

za pomocą szeregów

Metoda współczynników nieoznaczonych

Metoda kolejnego różniczkowania (metoda jednego punktu)

Metoda kolejnych przybliżeń Picarda

metody dyskretne

Metoda łamanych Eulera Ulepszenia metody Eulera

Wzory Rungego - Kutty Metody wielokrokowe

(3)

Gliwice 2006

Dyskretne metody rozwiązywania

równań różniczkowych zwyczajnych

(4)

Gliwice 2006 Zakładamy, że:

( ) ( )

0 0

' , ,

y = F x y y x = y

Funkcja

F(x, y)

jest ciągła i ograniczona w pewnym obszarze płaskim

.

Funkcja

F(x,y)

spełnia w tym obszarze warunek Lipschitza względem zmiennej

y

, tzn. że istnieje taka liczba

K

, że dla wszystkich par punktów

należących do obszaru

spełniona jest nierówność:

1

( ,

1 1

),

2

( ,

2 2

) P x y P x y

( ,

1

) ( ,

2

) (

1 2

)

F x yF x y < K yy

(5)

Gliwice 2006

Metoda Eulera

(metoda łamanych)

(6)

Gliwice 2006

Polega na przybliżonym rozwiązaniu równania:

Funkcję

F(x, y)

traktujemy na odcinku

[x

i

, x

i + 1

]

jako stałą i równą wartości

F

w punkcie

(x

i

, y

i

)

:

( )

1 1 i 1

[ , ( ) d ]

i

x

i i i

x

y x y y F x y x x

+

+

=

+

= + ∫

[ ] ( )

1

, ( ) d , ,

1

i

i

x

i i i i i i

x

F x y x x h F x y h x x

+

= =

+

(7)

Gliwice 2006

Ostatecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny w postaci:

dla

i = 0, 1, …, n

1

( , ), ( )

0 0

i i i i i

y

+

= + y h F x y y x = y

Pochodna

y’

została zastąpiona ilorazem różnicowym

(

i 1 i

)

i

y y

h

+

czyli krzywą całkową na odcinku

[x

i

,x

i + 1

]

aproksymuje się odcinkiem stycznej do niej przechodzącej przez punkt

(x

i

, y

i

)

.

Zwykle przyjmuje się, że

h

i

= const = h

Rozwiązywanie równań różniczkowych

(8)

y

x

0

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x y

0

Gliwice 2006

Interpretacja geometryczna metody łamanych Eulera

(9)

Gliwice 2006

Ulepszenia metody łamanych

( pierwsze ulepszenie )

(10)

Gliwice 2006

Pierwsze ulepszenie metody łamanych polega na przyjęciu następującego założenia:

Styczna do łuku

A (x

i

, y

i

)

,

B (x

i + 1

, y

i + 1

)

w punkcie o odciętej

x

= (x

i

+ x

i + 1

)/2

jest równoległa do cięciwy

AB

.

(11)

y

x x

0

x

*

x

1

A

B

Gliwice 2006

Interpretacja geometryczna pierwszego ulepszenia metody łamanych Eulera

Rozwiązywanie równań różniczkowych

(12)

Gliwice 2006

Dla rozpatrywanego przypadku stosujemy następujące wzory:

( )

( )

( )

*

1

*

* * *

* 1

1 2

1 ,

2 ,

i i

i i i

i i

x x x

y y h F x y m F x y

y y h m

+

+

= +

= +

=

= +

(13)

Gliwice 2006

Ulepszenia metody łamanych

( drugie ulepszenie )

(14)

Gliwice 2006

Drugie ulepszenie metody łamanych polega na przyjęciu następującego założenia:

Współczynnik kierunkowy siecznej

AB

jest średnią arytmetyczną współczynników kierunkowych stycznych w punktach

A

i

B

.

Metoda ta nazywana jest też metodą Eulera – Cauchy’ego.

(15)

y

x

x

0

x

*

A

B

Gliwice 2006

Interpretacja geometryczna drugiego ulepszenia metody łamanych Eulera

Rozwiązywanie równań różniczkowych

(16)

Gliwice 2006

Dla rozpatrywanego przypadku stosujemy następujące wzory:

( )

( )

( )

*

1

*

* * *

* 1

, ,

1 ,

2

i i

i i i

i i i i

x x x h

y y h F x y m F x y

y y h F x y m

+

+

= = +

= +

=

⎡ ⎤

= + ⎣ + ⎦

(17)

Gliwice 2006

Za pomocą metody Eulera oraz jej ulepszeń rozwiązać równanie

PRZYKŁAD:

PRZYKŁAD:

Rozwiązywanie równań różniczkowych

z warunkiem początkowym

'

y = + x y

0

0,

0

1 ,

x = y =

przyjmując

h = 0.1

Rozwiązanie dla prostej metody Eulera:

Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego:

1

( , ), (

0

)

0

, 0, 1, ,

i i i i i

y

+

= y + h F x y y x = y i = … n

z którego wynika:

1

0.1 ( ),

0

0,

0

1

i i i i

y

+

= y + ⋅ x + y x = y =

(18)

Gliwice 2006

2 1

0.2

2 1

(

1 1

) 1.22 x = + = x h y = y + h x + y =

3 2

0.3

3 2

(

2 2

) 1.362 x = x + = h y = y + h x + y =

itd.

x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

= y

1 1.1 1.22 1.362 1.528 1.721 1.943 2.197 2.487 2.816 3.187 3.606 4.077 4.605 5.195 5.854

=

0 1 2

1 3.69 6.39 9.08 11.78

yi g s( )

xi,s

(19)

Gliwice 2006 Dla warunku początkowego:

Rozwiązywanie równań różniczkowych

obliczamy

pierwszy krok

0

0,

0

1

x = y =

Rozwiązanie dla pierwszego ulepszenia metody Eulera:

* *

0 1 0 0 0

* * * *

0 1

1

0.1

1 1

( ) 0.05 ( ) 1.05

2 2

1.1 1.11

x x x y y h x y

m x y y h m

x

y

=

= + = = + + =

= + = = + =

(20)

Gliwice 2006 2

2

* *

1 2 1 1 1

* * * *

1

1 1

( ) 0.15 ( ) 1.1705

2 2

1.3205 1.24205

x x x y

y

y h x y

m x y y h m

= + = = + + =

= + = = + =

itd.

0 0.5 1 1.5 2

1 3.69 6.39 9.08 11.78

y1i g s( )

x1i,s

x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

= y1

1 1.11 1.242 1.398 1.582 1.795 2.041 2.323 2.646 3.012 3.428 3.898 4.428 5.024 5.693 6.443

=

(21)

Gliwice 2006 Dla warunku początkowego:

Rozwiązywanie równań różniczkowych

obliczamy

pierwszy krok

0

0,

0

1

x = y =

Rozwiązanie dla drugiego ulepszenia metody Eulera:

* *

0 0 0 0

* * * *

0 0

1

0 1

0.1 ( ) 1.1

1.2 1 ( ) 1.11

2

x x h y y h x y

m

x

x y y y h x y m

= = + = = + + =

= + = = + + + =

(22)

Gliwice 2006 itd.

* *

1 1 1 1

* *

2

2

* *

1 1 1

0.2 ( ) 1.231

1.431 1 ( ) 1.24205

2

x x h y y h x y

m x y y h x

x

y y m

= = + = = + + =

= + = = + + + =

(23)

Gliwice 2006

Wnioski:

Metoda łamanych (Eulera) jest najprostszą metodą z grupy algorytmów dyskretnych.

Zmniejszenie kroku

h

istotnie polepsza dokładność metody łamanych, przy czym należy pamiętać, że nadmierne zmniejszenie kroku daje efekt odwrotny do spodziewanego. Niestety literatura nie podaje reguł doboru optymalnego kroku całkowania - najczęściej stosuje się „metodę prób”.

Korzystanie z ulepszeń metody łamanych daje wyniki nieporównywalnie lepsze.

Rozwiązywanie równań różniczkowych

(24)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wówczas, aby rozwiązać równanie wystarczy podać wszystkie jego rozwiązania integralne, gdyż każde inne rozwiązanie jest obcięciem pewnego rozwiązania integralnego do

Napędy pomp i wentylatorów zużywają duże ilości energii elektrycznej w ciągu roku, ponieważ często pracują w techno- logii wymagającej dużej i długiej ciągłości procesu

Ekstrapolacji Richardsona można użyć również do kontroli (zmiany w trakcie obliczeń) kroku czasowego ∆t, tak żeby błędy obcięcia nie przekraczały pewnej zadanej wartości

Ponieważ metoda jest niejawna (patrz zadanie 1) więc znalezienie rozwiązania w kolejnej chwili czasowej wyma- ga zastosowania

Często rozwiązanie zagadnienia brzegowego jest równocześnie roz- wiązaniem pewnego zagadnienia wariacyjnego, tzn... Aby sprawdzić czy rozwiązania są stabilne, porównać

We węzłach brzegowych u jest równa zeru jak w warunkach, więc nie trzeba

Przykład: Funkcja obliczająca

[r]