Ca lka nieoznaczona
1 Funkcja pierwotna
Definicja Funkcja F jest funkcj¸a pierwotn¸a funkcji f na przedziale I ⊂ R, je˙zeli
F0(x) = f (x), x ∈ I.
Przyk lady
Funkcja F (x) = sin x jest funkcj¸a pierwotn¸a funkcji f (x) = cos x dla x ∈ R, gdy˙z F0(x) = (sin x)0 = cos x = f (x).
Funkcja F (x) = ex jest funkcj¸a pierwotn¸a funkcji f (x) = ex dla x ∈ R, gdy˙z F0(x) = (ex)0 = ex = f (x).
Funkcja F (x) = x3 jest funkcj¸a pierwotn¸a funkcji f (x) = 3x2 dla x ∈ R, gdy˙z F0(x) = (x3)0 = 3x2 = f (x).
Twierdzenie Niech F b¸edzie funkcj¸a pierwotn¸a funkcji f na przedziale I. Wtedy a) G(x) = F (x) + C0, gdzie C0 ∈ R, jest funkcj¸a pierwotn¸a funkcji f na I,
b) ka˙zd¸a funkcj¸e pierwotn¸a funkcji f na I mo˙zna przedstawi´c w postaci F (x) + C, gdzie C ∈ R.
Twierdzenie Je˙zeli funkcja f jest ci¸ag la na przedziale I, to ma funkcj¸e pierwotn¸a na tym przedziale.
2 Ca lka nieoznaczona
Definicja
Z
f (x) dx ≡ F (x) + C, je˙zeli F0(x) = f (x) dla x ∈ I.
1
Przyk lady
R cos x dx = sin x + C, poniewa˙z (sin x)0 = cos x.
R ex dx = ex+ C, poniewa˙z (ex)0 = ex. R 3x2 dx = x3+ C, gdy˙z (x3)0 = 3x2.
Uwaga
a) R f (x) dx0 = f (x), b) R f0(x) dx = f (x) + C.
2.1 Wzory podstawowe
1. R xα dx = α+11 xα+1+ C, α 6= −1, 2. R x−1 dx ≡R 1
x dx = ln |x| + C, 3. R sin x dx = − cos x + C,
4. R cos x dx = sin x + C, 5. R ex dx = ex+ C.
2.2 Regu ly ca lkowania
I. R (f (x) + g(x)) dx = R f (x) dx + R g(x) dx, II. R (f (x) − g(x)) dx = R f (x) dx − R g(x) dx, III. R (λf (x)) dx = λ R f (x) dx, λ ∈ R,
IV. R f (x)g0(x) dx = f (x)g(x) −R f0(x)g(x) dx (wz´or na ca lkowanie przez cz¸e´sci), V. R g(f (x))f0(x) dx =R g(t) dt (wz´or na ca lkowanie przez podstawienie).
Przyk lady
R (x + cos x − 2ex) dx = 12x2− sin x − 2ex+ C, R x2−x+1
√x dx =R
x32 − x12 + x−12
dx = 25x52 − 23x32 + 2x12 + C, R x sin x dx =
f (x) = x g0(x) = sin x f0(x) = 1 g(x) = − cos x
= −x cos x+R cos x dx = −x cos x+sin x+C,
2
R (2x − 5)7 dx =
2x − 5 = t 2dx = dt dx = 12dt
= 12R t7 dt = 161t8+ C = 161 (2x − 5)8+ C,
R dx
2+√ x =
2 +√ x = t x = (t − 2)2 dx = 2(t − 2)dt
= 2R t−2
t dt = 2t − 4 ln |t| + C = 4 + 2√
x − 4 ln |2 +√
x| + C,
R tg x dx = R cos xsin x dx =
cos x = t
− sin xdx = dt
= −R dt
t = − ln |t| + C = − ln | cos x| + C,
R ln x dx =
f (x) = ln x g0(x) = 1 f0(x) = 1x g(x) = x
= x ln x −R
dx = x ln x − x + C,
R x2e−x dx =
f (x) = x2 g0(x) = e−x f0(x) = 2x g(x) = −e−x
= −x2e−x+ 2R xe−x dx =
=
f (x) = x g0(x) = e−x f0(x) = 1 g(x) = −e−x
= −x2e−x+ 2 −xe−x+R e−x dx =
= −x2e−x− 2xe−x− 2e−x+ C = −e−x(x2+ 2x + 2) + C,
R x√
1 + x dx =
1 + x = t2 x = t2− 1 dx = 2tdt
=R (t2− 1) · t · 2t dt = 2R (t4− t2) dt =
= 25t5− 23t3+ C = 25p(1 + x)5− 23p(x + 1)3+ C.
2.3 Wzory podstawowe /cd/
6. R 1
1+x2 dx = arctg x + C, 7. R √ 1
1−x2 dx = arcsin x + C.
Przyk lady R x2dx
1+x2 =R dx − R 1+xdx2 = x − arctg x + C, R x7dx
√
1−x16 =
x8 = t 8x7dx = dt x7dx = 18dt
= 18R dt
√
1−t2 = 18arcsin t + C = 18arcsin x8+ C.
3
