Lista nr 7 z Robotyki 1
1. Dla hipotetycznych obiekt´ow o zadanych energiach kinetycznych i potencjalnych wyliczy´c ich r´ownania dynamiki (zastanowi´c sie, jaki jest wektor wsp´, o lrzednych uog´, olnionych q w poszczeg´olnych przy- padkach):
(a) obiekt 1
K(q, ˙q) = (2 sin q1+ 3q2) ˙q21+ cos2(2q2− q1) ˙q22− 2 sin q1cos q2q˙1q˙2, V (q) = m1g sin(q1+ q2) + m2g(sin q1+ cos q2)
(b) obiekt 2
K(q, ˙q) = 2 ˙q12+ q1q22q˙22+ ˙q23,
V (q) = m1gq1q2+ m2gq21− m2g sin q3
Energie kinetyczn, a dla ka˙zdego obiektu przedstawi´, c w postaci formy kwadratowej xTAx.
2. Policzy´c macierz pseudoinercji jednorodnego preta o d lugo´, sci l i masie m, umieszczonego pomiedzy, punktami (a, 0, 0)T oraz (a + l, 0, 0)T. Ile wynosi moment bezw ladno´sci preta wzgl, edem uk ladu, umieszczonego w jego ´srodku, a ile, gdy uk lad jest umieszczony na jego ko´ncu?
3. Policzy´c macierz pseudoinercji jednorodnej p lytki (o pomijalnej grubo´sci) kwadratowej o boku a i masie m, ´srodku masy w poczatku uk ladu wsp´, o lrzednych, wzgl, edem kt´, orego liczymy macierz. Boki kwadratu sa rownoleg le do osi. P lytka le˙zy na p laszczy´, znie XY (czy wsp´o lrzedna Z jest istotna?)., 4. Bardzo u˙zyteczne twierdzenie Steinera pozwala policzy´c macierz pseudoinercji J obiektu, gdy znamy jego macierz pseudoinercji J0w uk ladzie zwiazanym ze ´, srodkiem masy. Zale˙zno´s´c jest nastepuj, aca:,
J = A · J0· AT,
gdzie macierz A ∈ SE(3) (jednorodna) jest transformacja pomi, edzy uk ladem, w kt´, orym liczymy J , a uk ladem, w kt´orym liczono J0.
(a) Policzy´c macierz pseudoinercji kwadratu z zadania 3 obr´oconego o 45o.
(b) Policzy´c macierz pseudoinercji kwadratu z zadania 3 przesunietego o wektor (1, 2, 0), T.
(c) Policzy´c macierz pseudoinercji kwadratu z zadania 3 przesunietego o wektor (1, 2, 0), T i obr´oconego o 45o.
(d) Czy kolejno´s´c wykonywania transformacji jest istotna? Przypuszczenia potwierdzi´c odpowied- nim szkicem.
(e) Policzy´c macierz pseudoinercji kwadratu z zadania 3 przesunietego o wektor (1, 2, 3), T. 5. Policzy´c r´ownania dynamiki planarnego podw´ojnego wahad la, umieszczonego na p laszczy´znie pio-
nowej:
(a) gdy masy ogniw maja rozk lad liniowy i jednorodny,, (b) gdy masy sa punktowe, umieszczone na ko´, ncach ogniw.