ANALIZA MATEMATYCZNA 2
Maciej Burnecki zadania z odpowiedziami
Spis treści
1 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju 2
2 Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 2
3 Szeregi liczbowe 3
4 Szeregi potęgowe 3
5 Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych 3
6 Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych 4
7 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych 4
8 Ogólne własności całek podwójnych 5
9 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych 5
10 Ogólne własności całek potrójnych 6
11 Współrzędne walcowe 6
12 Współrzędne sferyczne 6
13 Przekształcenie Laplace’a 6
14 Przekształcenie Fouriera 7
15 Powtórzenie 7
16 Egzaminy 8
Zestaw A . . . 8
Zestaw B . . . 8
Zestaw C . . . 8
Zestaw D . . . 9
Zestaw E . . . 9
Zestaw F . . . 10
Zestaw G . . . 10
Zestaw H . . . 11
17 Odpowiedzi, wskazówki 11 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju . . . 11
Całki niewłaściwe drugiego rodzaju . . . 11
Szeregi liczbowe . . . 12
Szeregi potęgowe . . . 12
Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych . . . 12
Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych . . . 13
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych . . . 13
Ogólne własności całek podwójnych . . . 13
Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych . . . 14
Ogólne własności całek potrójnych . . . 14
Współrzędne walcowe . . . 14
Współrzędne sferyczne . . . 14
Przekształcenie Laplace’a . . . 14
Przekształcenie Fouriera . . . 14
Powtórzenie . . . 15
Egzaminy . . . 15
Zestaw A . . . 15
Zestaw B . . . 16
Zestaw C . . . 17
Zestaw D . . . 18
Zestaw E . . . 19
Zestaw F . . . 20
Zestaw G . . . 21
Zestaw H . . . 22
1 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
1. Korzystając z kryterium porównawczego, zbadaj zbieżność całki (a)
∞
Z
1
2 + cos x
x32 dx, (b)
∞
Z
0
x2arc tg x
√1 + x7 dx, (c)
∞
Z
1
√ dx
x3+π2arc tg x2, (d)
∞
Z
2
cos2xπ x + sin x2 dx.
2. Korzystając z kryterium ilorazowego, zbadaj zbieżność całki
(a)
∞
Z
1
sin4 1
√8
x dx, (b)
∞
Z
1
2 − sinx1
√3
x2 dx, (c)
∞
Z
1
25x8− 9x2+ 3
x7− x2+ 1 dx, (d)
∞
Z
0
1000x
(2x+ 1)10 dx, (e)
∞
Z
1
ln 1 + 1x
x dx.
3. Zbadaj zbieżność całki (a)
∞
Z
1
√x sin1
x dx, (b)
∞
Z
1
ex1 − 1
√x dx.
4. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki (a)
∞
Z
0
3 cos(4x) − 2 sin x6
x2− x + 1 dx, (b)
∞
Z
0
x2− 5 arc tg x
√
x5+ cos x + 1 dx, (c)
∞
Z
0
sin x x2 dx.
5. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje:
(a)
∞
Z
−∞
dx
1 + x2, (b)
∞
Z
−∞
e−|x| dx, (c)
∞
Z
−∞
x sin x dx, (d)
∞
Z
−∞
x cos x dx.
2 Całki niewłaściwe drugiego rodzaju
1. Dwoma sposobami, za pomocą kryterium porównawczego oraz ilorazowego, zbadaj zbieżność całki
π
Z2
0
dx
cos x, (b)
1
Z
0
dx
sin (x4), (c)
1
Z
0
dx sin√
x.
2. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki
π
Z
0
x sin1
x dx, (b)
1
Z
0
cos1x x arc tg x dx.
3. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje:
1
Z
−1
dx x, (b)
1
Z
−1
dx x2, (c)
1
Z
−1
dx
√3
x2.
3 Szeregi liczbowe
1. Wykorzystując warunek konieczny zbieżności, wykaż rozbieżność szeregu (a)
∞
X
n=1
arc tg n arc cosn1, (b)
∞
X
n=2
n
1 − n
n .
2. Korzystając z kryterium d’Alemberta, zbadaj zbieżność szeregu (a)
∞
X
n=2
(−1)n n10 10n, (b)
∞
X
n=1
(−1)n (2n)!
6n(n!)2, (c)
∞
X
n=1
n sin 1 3n. 3. Korzystając z kryterium Cauchy’ego, zbadaj zbieżność szeregu
(a)
∞
X
n=1
(−1)n
(arctg(2n+ 1))n, (b)
∞
X
n=1
−3n+ 7n 2n+ 5n . 4. Zbadaj zbieżność szeregu
(a)
∞
X
n=1
(−1)n
√n
2 n , (b)
∞
X
n=1
cos(nπ) tg 1 n , (c)
∞
X
n=1
n
n + 1
n2
2n, (d)
∞
X
n=1
n! (−2)n πn , (e)
∞
X
n=1
1 5n
n + 2 n
n2
.
4 Szeregi potęgowe
1. Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego (a)
∞
X
n=1
(x + 2)n 2n , (b)
∞
X
n=1
n
6n xn, (c)
∞
X
n=1
(6 − 2x)n
√n + 1 , (d)
∞
X
n=1
(−4x − 8)n n 8n , (e)
∞
X
n=1
n(2 − 4x)n.
2. Dla zadanej funkcji f wyznacz szereg Maclaurina, przedział jego zbieżności oraz wzór na n-ty współczynnik w tym rozwinięciu, jeśli
(a) f (x) = 4x
x − 4, (b) f (x) = 2x
16 + x4, (c) f (x) = x3ln
1 −1
4x2
, (d) f (x) = x2e−5x3. 3. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych, oblicz
(a) f(4)(0) dla f (x) = x2cos(2x), (b) f(12)(0) dla f (x) = x2sin(3x), (c) f(5)(0) dla f (x) = x3 1 + 4x . 4. Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, oblicz sumę
(a)
∞
X
n=0
3n + 4 3n , (b)
∞
X
n=1
n2n 3n , (c)
∞
X
n=0
(−1)n
(n + 2)5n, (d)
∞
X
n=1
1 n(n + 3)2n.
5 Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych
1. Niech x, y, z oznaczają zmienne rzeczywiste. Wyznacz dziedzinę D naturalną funkcji f , opisz zadaną poziomicę oraz określ kształt pozostałych poziomic, jeśli
(a) f (x, y) = e1/(x2+y2−3), poziomica f (x, y) = e, (b) f (x, y, z) = x2+ y2+ z2
x2+ y2+ z2− 0, 5, poziomica f (x, y, z) = 2.
2. Zbadaj istnienie i ewentualnie oblicz lim
(x,y,z)→(0,0,0)
2 −p
4 − x2− y2− z2 x2+ y2+ z2 . 3. Wyznacz zbiór A punktów ciągłości funkcji f : Rn → R, określonej wzorami
(a) f (x, y) =
( xy, gdy y ¬ x2
2x3− 1, gdy x2< y, (b) f (x, y) =
( arc tg(xy), gdy |xy| < 1
x, gdy 1 ¬ |xy|,
(c) f (x, y) =
( cos(x − y), gdy |x − y| < π4
y, gdy π4 ¬ |x − y|, (d) f (x, y, z) =
( z−7
x2+y2+z2−25, gdy x2+ y2+ z26= 25
1
2, gdy x2+ y2+ z2= 25.
6 Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych
1. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji f (x, y) = sin(xy3) + x
√y w punkcie (π, 1).
2. Dla funkcji f (x, y, z) = x2ln(y + 2z) oblicz ∂4f
∂x2∂z∂y(7, 1, 0).
3. Sprawdź, czy spełniony jest warunek wystarczający dla istnienia płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P0= (x0, y0, z0), a następnie wyznacz równanie tej płaszczyzny, jeśli
(a) f (x, y) = tg2(x + y2), (x0, y0) =
0,
√π 2
, (b) f (x, y) = ln(x + y2), (x0, y0) = (0, e),
(c) f (x, y) = ln y
arc cos x, (x0, y0) = 1 2,√
e
, (d) f (x, y) = 3y−4x, (x0, y0) = (1, 4),
(e) f (x, y) = 4 arc tg 2xy2 , (x0, y0) = 1 4,√
2
.
4. Wyznacz kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie P0, jeśli (a) f (x, y) = 2x−y, P0=
1 ln 4, 1
ln 2
, (b) f (x, y, z) = sin (x√
y) + arc tg z, P0= π 4,16
9 , 1
. 5. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P0 i w kierunku wektora v, jeśli
(a) f (x, y) = x sin (y2+ x3), P0= −√3
π, 0 , v = 1 π,
r 1 − 1
π2
! ,
(b) f (x, y, z) = x sin(y + z), P0= 1,π
4,π 4
, v =
1, −1,√ 2
.
6. Za pomocą różniczki funkcji dwóch zmiennych podaj przybliżoną wartość wyrażenia (a)p
1, 002 · 0, 9994, (b) arc tg0, 01 + 0, 072 1 − 0, 0007 .
7. Oszacuj, o ile mogliśmy się pomylić obliczając pole powierzchni całkowitej ścian prostopadłościanu, jeśli krawędzie mierzyliśmy z dokładnością 0,1 mm i otrzymaliśmy wyniki 10.0 mm, 20.0 mm, 30.0 mm.
7 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
1. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji
(a) f (x, y) = −4x3− 3xy2+ 12xy, (b) f (x, y) = (x2+ 2y2) e−y, (c∗) f (x, y) = x2− 2y3+ 3y2 e−x, (d∗) f (x, y) = xn+ yn− nxy, gdzie n 2 jest ustaloną liczbą naturalną.
2. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f na zbiorze D, jeśli
(a) f (x, y) = y2x + 2yx + x2− 2x, D = [1, 2] × [−2, 0], (b) f (x, y) = (x + y2)√
ex, D = [−3, −1] × [−1, 1], (c) f (x, y) = x2− x + y2+1
4, D = {(x, y) ∈ R2: |x| + |y| ¬ 1}, (d) f (x, y) = 3(x − 2)y, D = {(x, y) ∈ R2: x2− 4x + y2¬ 0}.
3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x, y) przy warunku g(x, y) = 0, jeśli
(a) f (x, y) = 2x2− y2, g(x, y) = x − y − 1, (b) f (x, y) = x2− ln x4y2 , g(x, y) = xy − 1.
8 Ogólne własności całek podwójnych
1. Zmień kolejność całkowania w całce iterowanej (a)
2
Z
1
dy
y2
Z
2−y
f (x, y) dx, (b)
1
Z
−1
dx
x2
Z
−x2
f (x, y) dy. Sporządź rysunek.
2. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach
(a) y2= −5x, y = −x, (b) y = −1, y2= 4x, xy = −2, (c) xy = 10, x + y + 7 = 0, (d) y = ex−1, y = 1 x, x = 2, (e) y = sin x, y = 2
π|x|, (f) y = 3x, y = 2x + 1, (g) y = ex, y = (e − 1)x + 1.
Sporządź rysunek.
3. Oblicz masę obszaru D o gęstości powierzchniowej σ, jeśli (a) D =n
(x, y) ∈ R2: −π
3 ¬ x ¬ −π
4, sin x ¬ y ¬ 0o
, σ(x, y) = −x, (b) D jest ograniczony przez krzywe xy = 3, x + y − 4 = 0, a σ(x, y) = y.
Na płaszczyźnie zaznacz obszar D.
9 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych
1. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz (a)
Z Z
D
y dxdy, jeśli D = {(x, y) ∈ R2: y ¬
√3
3 x, x2+ y2¬ 9}, (b)
Z Z
D
3x2+y2 dx dy, jeśli D =(x, y) ∈ R2: x 0, y ¬ 0, x2+ y2¬ 4 ,
(c) Z Z
D
x2+ y2
dx dy, jeśli D =n
(x, y) ∈ R2:√
3 x ¬ y ¬ 0, x2+ y2¬ 4o .
Obszar D zaznacz na płaszczyźnie.
2. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz masę obszaru D ⊆ R2 o gęstości powierzchniowej σ(x, y), jeśli D jest ograniczony krzywymi
(a) y = 0, y =√
3 x, x =p
1 − y2, x =p
9 − y2, a σ(x, y) =p
x2+ y2, (b) x = 0, y = −
√3
3 x, y = −p
4 − x2, y = −p
16 − y2, a σ(x, y) = x2+ y2, (c) x = 0, y =√
3 x, y =p
4 − x2, a σ(x, y) = x.
Obszar D zaznacz na płaszczyźnie.
10 Ogólne własności całek potrójnych
1. Zmień kolejność całkowania na dzdydx oraz dzdxdy w całce
(a)
2
Z
0
dx
0
Z
−2+x
dy
4−2x+2y
Z
0
f (x, y, z) dz, (b)
0
Z
−2
dx
2+x
Z
0
dy
3+32x−32y
Z
0
f (x, y, z) dz,
(c)
1
Z
0
dy
4−4y
Z
0
dz
1−y−14z
Z
0
f (x, y, z) dx, (d)
4
Z
0
dy
4−y
Z
0
dz
0
Z
−1+14y+14z
f (x, y, z) dx.
Sporządź rysunek obszaru całkowania.
2. Oblicz objętość obszaru w przestrzeni, ograniczonego przez powierzchnie
(a) z = 2, z = 8, x = 5 − y2, x = 3 + y2, (b) x = 0, y = 2, y = 2x, x + y + z = 0, 2x + y − z = 0.
Sporządź rysunek.
11 Współrzędne walcowe
1. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz objętość obszaru U ⊆ R3, ograniczonego powierzchniami (a) x2+ y2− z = 0,p
x2+ y2− z + 2 = 0, (b) x2+ y2+ z = 0,p
x2+ y2− z − 6 = 0.
Sporządź rysunek.
2. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, o gęstości objętościowej masy γ, jeśli
(a) γ(x, y, z) =p
x2+ y2, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniach 5p
x2+ y2+ z = 0, z + 5 = 0,
(b) γ(x, y, z) = x2+ y2, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniach x2+ y2− z + 1 = 0, 2x2+ 2y2− z = 0.
Sporządź rysunek.
12 Współrzędne sferyczne
1. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz objętość obszaru U ⊆ R3, ograniczonego powierzchniami (a)√
3 z −p
x2+ y2= 0, z −p
9 − x2− y2= 0, (b)p
x2+ y2− z = 0,p
9 − x2− y2− z = 0,p
4 − x2− y2− z = 0.
Naszkicuj obszar całkowania.
2. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz masę kuli K =
(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2+ z2¬ 1 4
, o gęstości objętościowej masy γ(x, y, z) = z +1
2.
3. Oblicz masę obszaru U ⊆ R3, wyciętego z pierścienia kulistego P = {(x, y, z) ∈ R3: 1 ¬ x2+ y2+ z2¬ 4} przez stożek S = {(x, y, z) ∈ R3: z =√
3p
x2+ y2}, jeśli gęstość objętościowa masy γ(x, y, z) = 5 x2+ y2+ z2.
13 Przekształcenie Laplace’a
1. Niech a > 0. Wyznacz transformatę Laplace’a funkcji
(a) f (t) =
1 dla 0 ¬ t < a
0 dla a ¬ t, (b) f (t) =
t dla 0 ¬ t < a
0 dla a ¬ t, (c) f (t) =
t dla 0 ¬ t < a
−t + 2a dla a ¬ t < 2a
0 dla 2a ¬ t.
2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y0+ 5y = −10t, y(0) = 2
5, (b) y0+ 7y = −14t, y(0) = 2 7, (c) y00+ y0− 2y = 4e2t, y(0) = 0, y0(0) = 1, (d)
x0 = 3x + y y0= −x + y,
x(0) = 0 y(0) = 1.
Uwaga: wartość transformacji (czyli transformata) Laplace’a L tneαt (s) = n!
(s − α)n+1, w tym L eαt (s) = 1
s − α, L (tn) (s) = n!
sn+1, L(1)(s) = 1 s.
14 Przekształcenie Fouriera
1. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Fouriera funkcji (a) f (t) =
1 dla 0 ¬ t ¬ 1
0 dla pozostałych t ∈ R, (b) f (t) =
1 gdy |t| ¬ 1
0 dla pozostałych t ∈ R.
15 Powtórzenie
1. Korzystając między innymi z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, oblicz (a)
∞
X
n=0
3n− n 7n , (b)
∞
X
n=1
2n− n n 5n+1.
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = tg2(3x+y2) w punkcie (x0, y0) =
0,
√π 2
.
3. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = xy2+ 2xy +1
2x2− 2x na kwadracie D = [2, 4] × [−2, 0].
4. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x5+ y5− 5xy.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach xy = 6, 2x + y − 8 = 0, jeśli gęstość powierzchniowa σ(x, y) = y. naszkicuj obszar D.
6. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach y = 0, x = 1, y = 3x, y + z = 0, y + z = 0, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x.
7. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz objętość ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez po- wierzchnie o równaniach x2+ y2− 4z = 0,p
x2+ y2− 4z + 2 = 0. naszkicuj obszar U .
8. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz objętość ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez po- wierzchnie o równaniach√
3 z −p
x2+ y2= 0, z −p
9 − x2− y2= 0. Sporządź rysunek obszaru U . 9. Wyznacz transformatę Laplace’a funkcji f (t) =
1 − |t − 1| dla 0 ¬ t < 2
0 dla 2 ¬ t.
10. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y0+ 2y = 4e−t, y(0) = 4.
Uwaga: wartość transformacji (czyli transformata) Laplace’a L tneαt (s) = n!
(s − α)n+1, w tym L (eαt) (s) =s−α1 , L (tn) (s) = n!
sn+1, L(1)(s) = 1 s.
16 Egzaminy
Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.
Zestaw A
1. Wyznacz środek x0 i promień R przedziału zbieżności oraz zbadaj zbieżność na końcach szeregu potęgowego
∞
X
n=1
7n(3x + 1)n.
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = sin(2x − y) w punkcie (x0, y0, z0) =
π,π
3, f (x0, y0) .
3. Sprawdź, czy funkcja f (x, y) = x4+ y4+ 4x − 32y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x0, y0) = (−1, 2);
w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj i oblicz ekstremum.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
2
Z
1
dy
0
Z
− ln y
f (x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach x2+ y2− 2z = 0, z = 2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2+ y2.
6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Laplace’a funkcji f : [0, ∞) → R, określonej wzorami f (t) =
1 dla 1 ¬ t < 2 0 dla pozostałych t.
Zestaw B
1. Zbadaj zbieżność szeregu
∞
X
n=1
n2+ n + 1 n4+ 1 .
2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = tg(−x + 2y) w punkcie (x0, y0) =π 6,π
6
i w kierunku wersora
~v = √2
2 , −
√2 2
! .
3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = x3+ x + y na trójkącie D ⊆ R2, wyznaczonym przez proste o równaniach x = 0, y = 0, y = −x + 1.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
1
Z
0
dy
arc sin y
Z
0
f (x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z =p
4 − x2− y2, z =p
x2+ y2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2+ y2+ z2.
6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Laplace’a funkcji f : [0, ∞) → R, określonej wzorami f (t) =
et dla 1 ¬ t < 3 0 dla pozostałych t.
Zestaw C
1. Wyznacz środek x0i promień R przedziału zbieżności oraz zbadaj zbieżność na końcach szeregu potęgowego
∞
X
n=1
(4x + 2)n 8n .
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = cos(x − 3y) w punkcie (x0, y0, z0) =π
4, π, f (x0, y0) .
3. Sprawdź, czy funkcja f (x, y) = x3+3x2−2xy+5y2−4y3przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x0, y0) = (0, 0).
W przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj i oblicz ekstremum.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
−1
Z
−e
dy
ln(−y)
Z
0
f (x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z =p
x2+ y2, z = 2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) =p
x2+ y2.
6. Wyznacz z definicji transformatę Laplace’a funkcji f : [0, ∞) → R, określonej wzorami f (t) =
2 dla 2 ¬ t < 3 0 dla pozostałych t.
Zestaw D
1. Zbadaj zbieżność szeregu
∞
X
n=1
n4+ n2+ 1 n5+ 5 .
2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = arc tg(−x + y) w punkcie (x0, y0) = (1, 2) i w kierunku wersora
~v = −
√2 2 ,
√2 2
! .
3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = y3+ x + y na trójkącie D ⊆ R2, wyznaczonym przez proste o równaniach x = 0, y = 0, y = x + 1.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
1
Z
0
dy
π 2
Z
arc cos y
f (x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z =p
1 − x2− y2, z =p
3 (x2+ y2), jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) =p
x2+ y2+ z2. 6. Wyznacz z definicji transformatę Laplace’a funkcji f : [0, ∞) → R, określonej wzorami
f (t) =
e2t dla 1 ¬ t < 4 0 dla pozostałych t.
Zestaw E
1. Wyznacz środek x0i promień R przedziału zbieżności oraz zbadaj zbieżność na końcach szeregu potęgowego
∞
X
n=1
2x + 8 10
n .
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = ln(5x − 4y) w punkcie (x0, y0, z0) = (e, e, f (x0, y0)).
3. Sprawdź, czy funkcja f (x, y) = x8+ y6− 8x − 6y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x0, y0) = (1, 1); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj i oblicz ekstremum.
4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y2= −5x, y = −x. Sporządź rysunek.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = 3x2+ 3y2, z = 12, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) =p
x2+ y2. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne walcowe.
6. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y0− 5y = 0, y(0) = 1.
Uwaga: jeśli α ∈ R, to transformata Laplace’aL eαt (s) = 1 s − α.
Zestaw F
1. Zbadaj zbieżność szeregu
∞
X
n=1
cos n n +√
n3.
2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = arc tg(−x + 4y) w punkcie (x0, y0) = (0, 0) i w kierunku wersora
~v = √3
2 , −1 2
! .
3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = x5+ x + 2y na trójkącie D ⊆ R2(liczonym razem z wnętrzem), wyznaczonym przez proste o równaniach x = 0, y = 1, y = x.
4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = e−x, x = −1, y = x + 1. Sporządź rysunek.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z =p
1 − x2− y2, z = 1
√3
px2+ y2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2+ y2+ z2. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne sferyczne.
6. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y0− y = −1, y(0) = 1.
Uwaga: jeśli n ∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .}, to transformata Laplace’a [L(1)] (s) = 1 s.
Zestaw G
1. Wyznacz środek x0i promień R przedziału zbieżności oraz zbadaj zbieżność na końcach szeregu potęgowego
∞
X
n=1
2x − 14 5
n
.
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = e−2x+3y w punkcie (x0, y0, z0) = (ln 2, ln 2, f (x0, y0)).
3. Sprawdź, czy funkcja f (x, y) = x6+ y4− 6x + 4y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x0, y0) = (1, −1). W przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum.
4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach x = y2, y = x.
Sporządź rysunek.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = 4x2+ 4y2, z = 4, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2+ y2.
Wskazówka: wykorzystaj współrzędne walcowe.
6. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y0+ 2y = 0, y(0) = 1.
Uwaga: jeśli α ∈ R, to transformata Laplace’aL eαt (s) = 1 s − α.
Zestaw H
1. Zbadaj zbieżność szeregu
∞
X
n=1
4 − cos n2
√n .
2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = arc tg(4x − y) w punkcie (x0, y0) = (0, 0) i w kierunku wersora
~v = −1 2,
√3 2
! .
3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = y5+ y + 2x na trójkącie D ⊆ R2 (liczonym razem z wnętrzem), wyznaczonym przez proste o równaniach y = 0, x = 1, y = x.
4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = ex, x = 1, y = −x + 1. Sporządź rysunek.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z =p
4 − x2− y2, z =√ 3 ·p
x2+ y2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2+ y2+ z2. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne sferyczne.
6. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y0+ y = 4, y(0) = 4.
Uwaga: jeśli n ∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .}, to transformata Laplace’a [L(1)] (s) = 1 s.
17 Odpowiedzi, wskazówki
Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
1. (a) Zbieżna, (b) zbieżna, (c) zbieżna, (d) rozbieżna do ∞.
2. (a) Rozbieżna do ∞, (b) rozbieżna do ∞, (c) zbieżna, (d) zbieżna, (e) zbieżna.
3. (a) Rozbieżna do ∞, (b) zbieżna.
4. (a) Zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna),
(b) całka jest rozbieżna do ∞ i nie jest zbieżna bezwzględnie, (c) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna).
5. (a) całka jest równa π, zatem tyle samo wynosi wartość główna, (b) całka jest równa 2, zatem tyle samo wynosi wartość główna,
(c) ani całka, ani wartość główna całki nie istnieją, (d) całka nie istnieje, wartość główna całki wynosi 0.
Całki niewłaściwe drugiego rodzaju
1. Dla kryterium porównawczego można wykorzystaj nierówności 2
πx < sin x < x, zachodzące dla 0 < x < π 2. (a) Rozbieżna do ∞, (b) rozbieżna do ∞, (b) zbieżna.
2. (a) Zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna), (b) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna).
3. (a) Całka rozbieżna (nie istnieje), wartość główna wynosi 0, (b) całka i wartość główna nie istnieją, (c) całka wynosi 6, zatem wartość główna tyle samo.
Szeregi liczbowe
1. (a) lim
n→∞an =π
2 6= 0, (b) lim
n→∞|an| = e 6= 0.
2. (a) Zbieżny bezwzględnie, (b) zbieżny bezwzględnie, (c) zbieżny bezwzględnie.
3. (a) Zbieżny bezwzględnie, (b) rozbieżny do ∞.
4. (a) Zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leibniza, a do pokazania rozbieżności szeregu modułów wykorzystaj rozbieżność szeregu harmonicznego i nierówność 1 < √n
2, (b) zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leibniza, a do pokazania
rozbieżności szeregu modułów wykorzystaj rozbieżność szeregu harmonicznego i oszacowanie x < tg x dla 0 < x <π
2, (c) zbieżny bezwzględnie, (d) rozbieżny, (e) rozbieżny do ∞.
Szeregi potęgowe
1. (a) (−4, 0), (b) (−6, 6), (c) 5 2,7
2
, (d) (−4, 0], (e) 1 4,3
4
.
2. (a)
∞
X
n=1
−1
4n−1xn, (−4, 4), cn =
( 0 dla n = 0
−1
4n−1 dla n ∈ N+, (b)
∞
X
k=0
(−1)k
8 · 16kx4k+1, (−2, 2), cn=
(−1)n−14
2n+2 dla n = 4k + 1, k ∈ N 0 dla pozostałych n ∈ N, (c)
∞
X
k=1
−1
k4kx2k+3, (−2, 2), cn=
( −1
(n−3)2n−4 dla n = 2k + 3, k ∈ N+ 0 dla pozostałych n ∈ N, (d)
∞
X
k=0
(−5)k
k! x3k+2, R, cn=
( (−5)n−23 n−2
3 ! dla n = 3k + 2, k ∈ N 0 dla pozostałych n ∈ N.
3. (a) −48, (b) 0, (c) 1920.
4. (a) 33
4 , (b) 6, (c) 5 − 25 ln6
5, (d) 16 9 −7
3ln 2.
Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych
1. (a) D = {(x, y) ∈ R2: x2+ y26= 3} (płaszczyzna bez okręgu); szukaną poziomicą jest okrąg o środku w (0, 0) i promieniu 2, pozostałymi poziomicami są okręgi o środku w (0, 0) i promieniach
% ∈ [0,√ 3) ∪ (√
3, ∞),
(b) D = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2+ z26= 1
2} (przestrzeń R3bez sfery); szukaną poziomicą jest sfera o środku w (0, 0, 0) i promieniu 1, pozostałymi poziomicami są sfery o środku w (0, 0, 0) i promieniach % ∈
"
0,
√2 2
!
∪ √
2 2 , ∞
! .
2. 1 4.
3. (a) A = {(x, y) ∈ R2: y 6= x2} ∪ {(1, 1)} – funkcja jest ciągła poza parabolą y = x2 i dodatkowo jest ciągła w punkcie (1, 1),
(b) A = {(x, y) ∈ R2: |xy| 6= 1} ∪ π 4,4
π
,
−π 4,4
π
– funkcja jest ciągła poza hiperbolami y = 1
x, y = −1
x i dodatkowo jest ciągła w punktach π 4,4
π
,
−π 4,4
π
,
(c) A = n
(x, y) ∈ R2: y = |y − x| 6= π 4
o∪ ( π
4 +
√2 2 ,
√2 2
! , −π
4 +
√2 2 ,
√2 2
!)
– funkcja jest ciągła poza
prostymi y = x −π
4, y = x +π
4 i dodatkowo jest ciągła w punktach π 4 +
√2 2 ,
√2 2
! , −π
4 +
√2 2 ,
√2 2
! , (d) A = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2+ z26= 25} – funkcja jest ciągła poza sferą x2+ y2+ z2= 25.
Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych
1. ∂2f
∂x2(π, 1) = 0,∂2f
∂y2(π, 1) = −21 4 π, ∂2f
∂x∂y(π, 1) = ∂2f
∂y∂x(π, 1) = −7 2. 2. ∂4f
∂x2∂z∂y(7, 1, 0) = −4.
3. (a) z − 1 = 4x + 4√ π
y −
√π 2
, (b) z − 2 = 1 e2x +2
e(y − e), (c) z − 3 2π =3√
3 π2
x −1
2
+ 3
π√
e(y −√ e),
(d) z − 1 = −4 ln 3(x − 1) + ln 3(y − 4), (e) z − π = 8
x − 1
4
+ 2√
2(y −√ 2).
4. (a) gradf (P0) = ln 2
√e, −ln 2
√e
, (b) gradf (P0) = 2 3,3π
64,1 2
.
5. (a) ∂f
∂v(P0) = 3, (b) ∂f
∂v(P0) = 1 2.
6. (a) 0, 997, (b) 0, 01. Wskazówka: rozważ funkcję f (x, y) = arc tg x + y2 1 − xy. 7. ∆f ≈ 24 mm2.
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
1. (a) f (1, 2) = 8 – maksimum lokalne właściwe, f (−1, 2) = −8 – minimum lokalne właściwe, (b) f (0, 0) = 0 – minimum lokalne właściwe (i najmniejsza wartość funkcji),
(c) f (0, 0) = 0 – minimum lokalne właściwe.
Wskazówka: dla punktu P0= (1, 1) zauważ, że ∂f2
∂x2(P0) = 0,∂f3
∂x3(P0) 6= 0,
(d) f (1, 1) = 2 − n – minimum lokalne właściwe. dla dla n parzystych przyjmowane także w punkcie (−1, −1).
2. (a) M = 0, m = −9
4, (b) M = 0, m = −2
e, (c) M = 9
4, m = 0, (d) M = 6, m = −6.
3. (a) Minimum lokalne (i jednocześnie najmniejsza wartość) m = −2 w punkcie (−1, −2),
(b) minima lokalne właściwe (i najmniejsza wartość funkcji) równe 1 w punktach (1, 1) i (−1, −1).
Ogólne własności całek podwójnych
1. (a)
1
Z
0
dx
2
Z
2−x
f (x, y) dy +
4
Z
1
dx
2
Z
√x
f (x, y) dy, (b)
1
Z
−1
dy
−√
|y|
Z
−1
f (x, y) dx +
1
Z
−1
dy
1
Z
√|y|
f (x, y) dx.
2. (a) 25
6 , (b) 2 ln 2 − 7
12, (c) 21
2 − 10 ln 5 + 10 ln 2, (d) e − 1 − ln 2, (e) 1 −π
4, (f) 2 − 2
ln 3, (g) 3 2−1
2e.
3. (a) 3√ 2 − 4 24 π +
√3 −√ 2
2 , (b) 4 3.
Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych
1. (a) −9√
3, (b) 20
ln 3π, (c) 4 3π.
2. (c) 26
9 π, (b) 20π, (c) 4 3
2 −√
3 .
Ogólne własności całek potrójnych
1. (a)
4
Z
0
dz
0
Z
−2+12z
dy
2+y−12z
Z
0
f (x, y, z) dx,
4
Z
0
dz
2−12z
Z
0
dx
0
Z
−2+x+12z
f (x, y, z) dy,
(b)
3
Z
0
dz
2−23z
Z
0
dy
0
Z
−2+y+23z
f (x, y, z) dx,
3
Z
0
dz
0
Z
−2+23z
dx
2+x−23z
Z
0
f (x, y, z) dy,
(c)
4
Z
0
dz
1−14z
Z
0
dy
1−y−14z
Z
0
f (x, y, z) dx,
4
Z
0
dz
1−14z
Z
0
dx
1−x−14z
Z
0
f (x, y, z) dx,
(d)
4
Z
0
dz
4−z
Z
0
dy
0
Z
−1+14y+14z
f (x, y, z) dx,
4
Z
0
dz
0
Z
−1+14z
dx
4+4x−z
Z
0
f (x, y, z) dy.
2. (a) 8, (b) 11 3 .
Współrzędne walcowe
1. (a) 16
3 π, (b) 32 3 π.
2. (a) 5
6π, (b) π 6.
Współrzędne sferyczne
1. (a) 9π, (b) 19 2 −√ 2
3 π.
2. π 12. 3. 31(2 −√
3)π.
Przekształcenie Laplace’a
1. (a) F (s) = 1 − e−as
s , (b) F (s) = 1 − e−as
s2 −ae−as
s , (c) F (s) = 1 − 2e−as+ e−2as
s2 .
2. (a) y(t) =2
5 − 2t, (b) y(t) =2
7 − 2t, (c) y(t) = e2t− et, (d)
x(t) = −te2t y(t) = −e2t+ te2t .
Przekształcenie Fouriera
1. (a) ˆf (s) = 1 − e−si
si dla s ∈ R \ {0}, (b) ˆf (s) = 2 sin s
s dla s ∈ R \ {0}.
Powtórzenie
1. (a) 14
9 , (b) ln 5 − ln 3
5 − 1
20. 2. ∂f
∂v(x0, y0) = 3. 3. z − 1 = 4√ π
y −
√π 2
+ 12x.
4. Zbiór możliwych ekstremów globalnych Z =
−9
2, −2, 0, −4
, największa wartość M = max Z = 0, najmniejsza m = min Z = −9
2.
5. Minimum lokalne właściwe f (1, 1) = −3. 6. M = 9
4. 7. M = 16 3 . 8. |U | = 8
3π. 9. |U | = 9π. 10. F (s) = 1 − 2e−s+ e−2s
s2 . 11. y(t) = 4e−t.
Egzaminy
Zestaw A 1. x0= −1
3, R = 1 21.
2. fx= 2 cos(2x − y), fy = − cos(2x − y), f (π, π//3) = −
√3 2 , fx
π,pi
3
= 1, fy π,π
3
= −0, 5, z +
√ 3
2 = x − π −1 2
y −π
3
.
3. fx= 4x3+ 4, fy= 4y3− 32, fx(−1, 2) = fy(−1, 2) = 0, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) =
12x2 0
0 12y2
, W (−1, 2) > 0, zatem ekstremum, fxx(−1, 2) > 0, więc minimum lokalne właściwe f (−1, 2) = −51.
4. I =
0
Z
− ln 2
dx
2
Z
e−x
f (x, y) dy.
5. M =
2π
Z
0
dϕ
2
Z
0
d%
2
Z
%2//2
%3dz = 2π 2 · 24 4 − 26
2 · 6
= 16 3 π.
6. F (s) =
2
Z
1
e−stdt = −e−2s− e−s s
= es− 1 se2s
.
Zestaw B 1. n2+ n + 1
n4+ 1 ∼ 1
n2, szereg zbieżny bezwzględnie.
2. fx= −1
cos2(−x + 2y), fy = 2
cos2(−x + 2y), fx
π 6,π
6
= −4 3, fy
π 6,π
6
= 8 3, ∂f
∂~v
π 6,π
6
= −2√ 2.
3. Brak punktów krytycznych. Przy x = 0: f1(y) = y, największa wartość M1= 1, najmniejsza m1= 0. Przy y = 0:
f2(x) = x3+ x, największa wartość M2= 2, najmniejsza m2= 0. Przy y = −x + 1: f3(x) = x3+ 1, największa wartość M3= 2, najmniejsza m3= 0. Razem: największa wartość M = 2, najmniejsza m = 0.
4. I =
π//2
Z
0
dx
1
Z
sin x
f (x, y) dy.
5. M =
2π
Z
0
dϕ
π//2
Z
π//4
dψ
2
Z
0
r4cos ψdr = 2π 1 −
√2 2
!25 5
= 32 5 (2 −√
2)π
.
6. F (s) =
3
Z
1
e(1−s)tdt = e3(1−s)− e1−s 1 − s .
Zestaw C 1. x0= −1
2, R = 2.
2. fx = − sin(x − 3y), fy = 3 sin(x − 3y), fπ 4, π
= −
√2 2 , fx
π 4, π
=
√2 2 , fyπ
4, π
= −3√ 2 2 , z +
√2
2 =
√2 2
x −π
4
−3√ 2
2 (y − π).
3. fx = 3x2+ 6x − 2y, fy = −2x + 10y − 12y2, fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) =
6x + 6 0 − 2
−2 10 − 24y
, W (0, 0) = 56 > 0, więc jest ekstremum, fxx(0, 0) > 0, więc minimum lokalne właściwe f (0, 0) = 0.
4. I =
1
Z
0
dx
−ex
Z
−e
f (x, y) dy.
5. M =
2π
Z
0
dϕ
2
Z
0
d%
2
Z
%
%2dz = 2π 3
2
Z
0
(2%2− %3)d% = 2π 16 3 − 4
=8 3π.
6. F (s) = 2
3
Z
2
e−stdt = −2e−3s− e−2s
s = 2es− 1 se3s .
Zestaw D 1. an∼ 1
n, szereg rozbieżny.
2. fx= −1
1 + (−x + y)2), fy = −1
1 + (−x + y)2), fx(1, 2) = −1
2, fy(1, 2) = 1 2, ∂f
∂~v(1, 2) =
√2 2 .
3. Brak punktów krytycznych. Przy y = 0: f1(x) = x, największa wartość M1 = 0, najmniejsza m1 = −1. Przy x = 0: f2(y) = y3+ y, największa wartość M2 = 2, najmniejsza m2 = 0. Przy y = x + 1: f3(y) = y3+ 2y − 1, największa wartość M3= 2, najmniejsza m3= −1. Razem: największa wartość M = 2, najmniejsza m = −1.
4. I =
π//2
Z
0
dx
1
Z
cos x
f (x, y) dy.
5. M =
2π
Z
0
dϕ
π//2
Z
π//3
dψ
1
Z
0
r3cos ψdr = 2π 1 −
√3 2
!1 4 = 1
2 −
√3 4
! π.
