неідеальному тепловому контакті з урахуванням анізотропії матеріалів / Б. Окрепкий, Ф.Мигович // Вісник ТДТУ. — 2009. — Том 14. — № 4. — С. 188-192. — (математичне моделювання.математика. фізика).
УДК 536.2
Б. Окрепкий, канд. фіз.-мат. наук; Ф.Мигович, канд.фіз.-мат. наук
Тернопільський національний економічний університет
ОСЕСИМЕТРИЧНА ТЕМПЕРАТУРНА ЗАДАЧА
ДЛЯ СИСТЕМИ ТІЛ ЦИЛІНДР-ПІВПРОСТІР
ПРИ НЕІДЕАЛЬНОМУ ТЕПЛОВОМУ КОНТАКТІ
З УРАХУВАННЯМ АНІЗОТРОПІЇ МАТЕРІАЛІВ
Резюме. Побудовано розв’язок осесиметричної температурної задачі для системи тіл циліндр- півпростір при неідеальному тепловому контакті між циліндром та півпростором у випадку анізотропії матеріалів. Отримано формули для визначення температурних полів при різних варіантах температурних умов на бічних поверхнях циліндра і півпростору. Досліджено вплив контактної провідності й коефіцієнтів анізотропії на розподіл температурних полів і градієнтів у зоні контакту двох тіл. Ключові слова: осесиметричні задачі, анізотропія матеріалів, циліндр-півпростір, неідеальний тепловий контакт.B.Okrepkiy, F. Migovich
AXES –SYMMETRIC TEMPERATURE TASK
FOR THE BODY SYSTEM CYLINDER –SEMISPASE
UNDER NON-IDEAL HEAT CONTACT IN THE OCCASION
ANISOTROPY MATERIALS
The summary. The solution of the axes-symmetric temperature task for the body system cylinder –
semispase under non-ideal heat contact between cylinder and semispace in the occasion anisotropy materials. Formula for determination temperature conditions on the border surface of the cylinder and semispace have been obtained. Invastigation was made on the influence of the contact conductivity and coefficients of anisotropy on distributing of the temperature fields and gradients in the area of contact of two bodies.
∫
∞ = 0 0 1 1 ) ( ) , ( ) , ( z rT r z J r dr T ξ ξ , (9) за допомогою якої з рівняння (7) знаходимо вираз для T1(ρ,ζ) через довільну функцію ) ( 1 η ϕ :∫
∞ = 0 0 / 1 1 ) ( ) ( ) , (ρ ζ ϕ η eηζ λ1J ηρ dη T , (10) де R z R r/ , = / = ζ ρ . Розглянемо перший випадок температурних умов (1)-(4). Вони будуть задовольнятись, якщо покласти D0 =0, Dk =0, Ck =0 (k=1,2,...). Із умови (4) отримуємо , що , R k k µ β = де µk – корені рівняння J1(µk)=0. Гранична умова (3), з урахуванням ортогональності функції Бесселя, призводить до деяких співвідношень між постійними A і n B , у результаті чого температура в n циліндрі виражається через одну нескінченну систему постійних Ck(1) за формулою[
]
R L l J l ch l sh C l C T T k k k k k z z z z = − − − + =∑
∞ = , ) ( ) / ( / ) ( ) ( 1 1 0 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 0 0 µ λ µ ρ λ ζ µ λ λ λ λ ξ λ λ λ . (11) Задовольнивши першу умову (1) й умову (2), отримаємо парні інтегральні рівняння відносно функції ϕ1(η): ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 0 0 0 1 < + =∑
∫
∞ = ∞ ρ ρ µ µ η ηρ η ηϕ л k k лJ C C T d J , (12)∑
∞ = > 0 0 1(η) (ηρ) η 0 (ρ 1) ϕ J d , (13) розв’язок яких має вигляд + − =∑
∞∫
=1 1 0 ) 1 ( 1 0 01 cos ) sin sin
,...) 1 , 0 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( , ) 1 ( ) 1 ( + = =
∑
∞ = k C C n k n n k k k α γ α , (17) де , 3 2 2 1 0 1 1 ) 1 ( 0 λ π λ λ λ λ α + + = R h l z z z ; 2 1 , cos sin 2 (1) 0 ) 1 ( , 0 = − = µ γ µ µ πµ α n n n n n , cos sin 2 2 ) 1 ( − = k k k k k µ µ µ πµ α n k n k k n k n k n n n k ≠ − −= 2 sin cos sin cos ,
Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 1. Графіки розподілу температури α1=T/ T0 у зоні контакту, криві 1− h01=0,1, 2− h10 =1, 4 3− h10 = , 4 h− 01=∞ Рис. 2. Графіки розподілу градієнта α2 =R∂T/∂zT0 у зоні контакту, криві 1− h01=0,1, 2− h10 =1, 4 3− h10 = , − =∞ 1 0 4 h Висновки. Осесиметричну температурну задачу для системи тіл циліндр-півпростір при неідеальному тепловому контакті з урахуванням анізотропії матеріалів можна звести до розв’язування диференціального рівняння Лапласа (7) за різних граничних умов. Застосовуючи інтегральне перетворення Ганкеля та метод Фур’є, розв’язування температурних задач зведено до визначення деяких постійних із нескінченної системи алгебраїчних рівнянь, через які знаходимо температурні поля і градієнти в будь-якій точці циліндра і півпростору. На числовому прикладі бачимо, що контактна провідність 1 0 h значно впливає на розподіл температурних полів і градієнтів у зоні контакту системи тіл циліндр-півпростір. Для трансверсально-ізотропного матеріалу (магнію) температура і градієнти зменшуються приблизно на 6-10% порівняно з ізотропними тілами. Література 1. Грилицкий Д.В. Осесимметричные контактные задачи теории упругости термоупругости /Д.В.Грилицкий, Я.М.Кизыма – Львов: Изд-во при Львов. ун.-те, 1981. – 135с. 2. Коваленко А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко – К.: Наук. Думка, 1970 – 304с. 3. Шелестовский Б.Г. Термоупругая контактная задача для трансвернсально-изотропного полупространства при неидеальном тепловом контакте / Борис Шелестовский, Дмитрий Грилицкий // Изв. АН СССР, МТТ. – 1973. – № 5. – С. 47 – 53. 4. Кизыма Я.М. Осесимметричная температурная задача для систем тел цилиндр-полупространство / Ярослав Кизыма, Богдан Окрепкий // Прикладная механика. – 1975. – Т.11, вып.12. – С.37 – 44. 5. Окрепкий Б.С. Осесимметрична температурна задача для системи тіл циліндр-півпростір при неідеальному тепловому контакті /Богдан Окрепкий, Марія Шелестовська// Вісник Тернопільського державного технічного університету. – 2005. – №3. – С.23 – 27.
6. Singh A. Axisymmetrical thermal stresses in transversely isotropic bodies / Arch., mech. Stosowanej.- 1960.- vol.12.- /№3.
