Zestaw zadań do zajęć wyrównawczych z matematyki dla IFT s.2
8. Funkcje trygonometryczne
1. Rozwiąż zadania:
a) Obserwator widzi dwa samoloty pod kątami wzniesienia α i β i ma wrażenie, że oba samoloty znajdują się na tej samej prostej pionowej. Obliczyć, na jakiej wysokości znajdują się samoloty, jeżeli wiadomo, że naprawdę lecą one na tej samej wysokości i że odległość między nimi wynosi a metrów;
b) Cesarz chiński Czu-Kong (12 wiek p.n.e.) zbadał, że pręt pionowy mający 8 jednostek długości rzuca w południe najdłuższego dnia cień długości 1.54 jednostki, w południe zaś najkrótszego dnia rzuca cień długości 13.12 jednostki długości. Na zasadzie tych spostrzeżeń obliczył kąt nachylenia płaszczyzny ekliptyki do płaszczyzny równika.
Powtórzyć to obliczenie i wynik porównać ze znanym nachyleniem płaszczyzny ekliptyki (ok. 23°26’16’’ dla X 2010r.);
c) do naczynia w kształcie półkuli o promieniu r=8cm nalewamy wody do wysokości 3cm.
Jaki jest największy kąt, o który można przechylić naczynie tak, aby woda nie wylała się?
2. Na podstawie definicji funkcji trygonometrycznych (dla trójkąta prostokątnego):
a) udowodnić wzór na „jedynkę trygonometryczną”;
b) wykazać, że sin tg cos
α α
= α.
3. Znając wartość tgαααα=m, obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne kąta αααα. 4. Dowieść następujących tożsamości:
a) tgx−ctgx=
(
tgx−1 ctg)(
x+1)
;b) sin 1 cos 2
1 cos sin sin
x x
x x x
+ + =
+ ;
c)
2 2
2
1 2 sin 1 tg
1 tg x x
x
− = −
+ .
5. Podane wartości funkcji zastąpić równoważnymi wartościami funkcji kątów ostrych:
a) cos 605 , sin 240 , cos
(
−510 , sin) (
−812)
; b) tg285 , ctg317 , tg(
−214 , ctg) (
−317)
.6. Wyprowadzić wzory na funkcje trygonometryczne sum i różnic kątów.
7. Rozwiąż zadania
a) Na szczycie wieży umieszczono antenę radiowej stacji nadawczej. Znając wysokość h wieży i długość masztu l anteny obliczyć oddalenie podnóża wieży od punku A, z którego widać wieżę i antenę pod jednakowymi kątami.
b) Na płaszczyźnie poziomej leży krążek szklany. Poziomy promień światła pada na krążek i po załamaniu się w nim odbija się tak, że promień wychodzący jest równoległy do promienia padającego. Przyjmując współczynnik załamania szkła względem powietrza równy 2/3 znaleźć kąt, pod jakim promień pada na krążek.
8. Oblicz:
a) sin
(
a+x)
=cos5 ,x a=const;b) sin 270
(
+x)
+cos 3x=0;c) 6 cos2x+sinx− = ; 5 0
d) 3sin2x+5cos2x−4tg2x+ = ; 3 0 e) sin
(
x−a)
=sinx−sina;f) 3
sin sin 2 sin 3 4 cos cos cos
2 2
x x
x+ x+ x= x ;
g) tgx+tg2x=tg3x.
