Rachunek prawdopodobie«stwa IB
(45 godz. wykª., 30 godzin ¢w) Wymagania: Teoria miaryWykªad: Tomasz Rolski, ¢wiczenia: Konrad Kolesko
Celem wykªadu jest zaznajomienie z podstawowymi poj¦ciami i twierdze- niami rachunku prawdopodobie«stwa. Wykªad b¦dzie prowadzony od pod- staw, przy u»yciu narz¦dzi i poj¦¢ teorii miary. Takie podej±cie pozwala wysªowi¢ i zrozumie¢ twierdzenia, i stanowi podstaw¦ do dalszych studiów matematycznych z statystyki matematycznej i teorii procesów stochastycz- nych. Jednocze±nie b¦d¡ rozwijane intuicje probabilistyczne, które s¡ pod- staw¡ rozwoju przedmiotu.
Zalecana literatura:
• Jakubowski, J. & Sztencel, R.(2004) Wst¦p do teorii prawdopodobie«stwa.
SCRIPT. (zamówienia: www.script.com.pl)
Inne warto±ciowe pozycje:
• Billingsley, P. (1987) Prawdopodobie«stwo i miara. PWN Warszawa (tªumaczenie z ang.)
• Breiman, L. (1968) Probability. Addison-Wesley. Reading, MA.
• Chung, K.L. (1974) A Course of Probability Theory. Academic Press, New York.
• Feller, W. (1966) Wst¦p do rachunku prawdopodobieñstwa. PWN. (t. I) (tªumaczenie z ang.)
• Durret, R. (2005) PROBABILITY; Theory and Examples; Third Ed..
• Hald, A. (1990) A History of Probability & Statistics, Wiley.
Bardziej zaawansowane:
• Kallenberg, O. Foundation of Modern Probability. Springer, New York.
• Shiryayev, A.N. (1995) Probability. Springer, New York.
• Feller, W. (1969) Wst¦p do rachunku prawdopodobieñstwa. PWN. (t. II)
Szczegóªowy program wykªadu:
1. Opis do±wiadczenia losowego. Aksjomaty teorii prawdopodobie«stwa.
Wzór wª¡cze« i wyª¡cze«.
Klasyczna de nicja prawdopodobie«stwa. Podstawowe schematy kombinatoryczne. (wariacje z powtórzeniami, wariacje bez powtórzeñ, kombinacje, zadanie o dniach urodzin, paradoks kawalera de Mere, ko- incydencje) (to byªo na KiERP).
2. Podstawowe wªasno±ci miary probabilistycznej. Prawdopodobie«stwo geometryczne (paradoks Bertranda, zadanie o igle Buona).
3. Prawdopodobie«sto warunkowe. Wzór na prawdopodobie«stwo caªko- wite i wzór Bayesa.
4. Zmienna losowa, σ-ciaªo generowane przez zmienn¡ losow¡, rozkªad zmiennej losowej, g¦sto±¢ rozkªadu. Wektor losowy i jego rozkªad i dystrybuanta (rozkªad absolutnie ci¡gªy, rozkªad dyskretny). Sumy niezale»nych zmiennych losowych (splot rozkªadu). Twierdzenie o pod- stawieniu. Ci¡gi niezale»nych zmiennych losowych..
5. Niezale»no±¢ zdarze«. Schemat Bernoulliego. Lemat Borela-Cantelliego.
Niezale»no±¢ a produktowanie przestrzeni probabilistycznych. Istnie- nie niezale»nego ci¡gu niezale»nych zmiennych losowych o zadanych rozkªadach. Informacja o tw. Koªmogorowa o zgodno±ci.
6. Parametry rozkªadu (warto±¢ oczekiwana, wariancja, kowariancja). Prze- gl¡d najwa»niejszych rozkªadów: dyskretnych (dwumianowy, Poissona, geometryczny) oraz ci¡gªych (jednostajny, wykªadniczy, normalny, gamma,
2
Cauchego, Pareto). Wielowymiarowy rozkªad normalny. Rozkªady funkcji od zmiennej lub wektoru losowego.
7. Podstawowe nierówno±ci (Szwarca, Jensena, Höldera, Czebyszewa). Ro- dzaje zbie»no±ci zmiennych losowych.
8. Sumy niezale»nych losowych. Prawo zero-jedynkowe Koªmogorowa.
Twierdzenie o dwóch szeregach. Twierdzenie Koªmogorowa o trzech szeregach (dowód w jedn¡ stron¦). Nierówno±¢ Koªmogorowa.
9. Mocne prawo wielkich liczb Koªmogorowa.
10. Twierdzenie Poissona (przybli»anie rozkªadem Poissona lub normal- nym, reguªa trzech sigm).
11. Sªaba zbie»no±¢ rozkªadów. J¦drne rodziny rozkªadów. Zbie»no±¢ dys- trybuant.
12. Funkcje charakterystyczne. Funkcje charakterystyczne a momenty. Twier- dzenie Lévy'ego-Cramera o ci¡gªo±ci. Wielowymiarowe funkcje cha- rakterystyczne. Wzory na funkcje charakterystyczne rozkªadów dys- kretnych (jednopunktowy, dwupunktowy, Poissona, dwumianowy, geo- metryczny) oraz rozkªadów ci¡gªych (normalny, jednostajny, gamma, dwustronny wykªadniczy, trójk¡tny) oraz wielowymiarowy normalny.
13. Centralne twierdzenie graniczne. Aproksymacje sum niezale»nych zmien- nych losowych. Informacja o zastosowaniu CTG w statystyce.
14. Ogólna teoria warunkowych warto±ci oczekiwanych.
Egzamin Egzamin pisemny, skªadaj¡cy si¦ z 6-8 problemów, i trwaj¡cy 2-3 godz.
3
