Zielona G´ora, ... 2018 r.,
MECHANIKA KWANTOWA Fizyka — III rok
CWICZENIA´ Zadania - lista No 2 Zad. 1) Niesko´nczona studnia potencja lu.
Rozwa˙zmy cz¸astk¸e kwantow¸a o masie m poruszaj¸ac¸a si¸e w jednowymiarowym uk ladzie pomi¸edzy nieprzenikalnymi ´sciankami ustawionymi w punktach x = 0 i x = d. ˙Zadna si la nie dzia la cz¸astk¸e; Hamiltonian uk ladu ma posta´c:
Hf (x) := −ˆ h¯2 2m
d2 dx2f (x) ,
gdzie f spe lnia odpowiednie warunki brzegowe w punktach x = 0 i x = d:
f (0) = f (d) = 0
a) Znajd´z spektrum energetyczne cz¸astki, tj. znajd´z warto´sci w lasne ˆH.
b) Przeanalizuj jak energie zale˙z¸a od d.
c) Znajd´z funkcje ψi, i = 1 , 2 , ... kt´ore reprezentuj¸a stany w lasne hamiltoni- anu; znormalizuj je.
d) Niech ψ1 oznacza stan podstawowy, tj. stan odpowiadaj¸acy najni˙zszej energii, niech ψ2 b¸edzie pierwszym stanem wzbudzonym. Rozwa˙zmy
ψ = ψ1+ ψ2. (1)
Znormalizuj ψ.
e) Za l´o˙zmy , ˙ze w czasie t = 0 uk lad zdefiniowany jest przez ψ (2) (po normalizacji). Zanjd´z stan uk ladu w t > 0.
f) Znajd´z warto´s´c ´sredni¸a h ˆXiψi i wariancj¸e ∆ ˆXψi for i = 1 , 2.
Zad. 2) Typowa ´srednica j¸adra wynosi oko lo 10−14m. Wykorzystuj¸ac model niesko´nczone studni potencja lu obliczy´c energi¸e przej´scia z pierwszego stanu wzbudzonego do stanu podstawowego dla protonu uwi¸ezionego w j¸adrze.
Oczywi´scie jest to przybli˙zenie dla protonu w j¸adrze.
Zad. 3)∗
Niech hx, yi oznacza iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej X , przy czym
||x||2 = hx, xi. Pokaza´c, ˙ze a)
|hx, yi| ≤ ||x|| ||y||
- nier´owno´s´c Schwarza);
b)
||x + y||2+ ||x − y||2 = 2(||x||2+ ||y||2) - prawo r´ownoleg loboku;
c)
hx, yi = 0 ⇔ ||x + y||2 = ||x||2+ ||y||2 - twierdzenie Pitagorasa,
d)
kx + yk ≤ kxk + kyk - nier´owno´s´c tr´ojk¸ata.
Zad. 4)∗
Pokaza´c, ˙ze je´sli ˆU jest operatorem unitarnym, to
a) warto´sci w lasne operatora ˆU s¸a liczbami zespolonymi o module 1;
b) operatory ˆA oraz ˆAU = ˆU ˆA ˆU+ maj¸a takie same warto´sci w lasne;
c) je´sli operator ˆA jest operatorem samosprz¸e˙zonym to r´ownie˙z operator AˆU = ˆU ˆA ˆU+ jest operatorem samosprz¸e˙zonym.
zad. 5)
Rozwa˙zmy operatory reprezentuj¸ace p¸ed i po lo˙zenie ˆ
pf (x) = −i¯hdf (x)
dx , xf (x) = xf (x) ,ˆ w przestrzeni L2(R). Znale´z´c komutator operator´ow
[ˆp, ˆx] = −i¯h, oraz
[ˆp, ˆx2] . zad. 6)
Za l´o˙zmy, ˙ze rozk lad prawdopodobie´nstwa po lo˙zenia cz¸astki opisany jest funkcj¸a:
f (x) = 21/2
σ1/2π1/4 exp −x2 2σ2
!
.
Znale´z´c warto´sci ´srednie h ˆXi i h ˆP i oraz odchylenia standardowe ∆ ˆX, ∆ ˆP w tym stanie.
Zad. 7)∗
Wyprowadzi´c zasad¸e nieoznaczono´sci dla wielko´sci fizycznych, kt´orym odpo- wiadaj¸a nieprzemienne operatory ˆK oraz ˆF , czyli poka´c, ˙ze
∆ ˆK ∆ ˆF ≥ 1 2
h[ ˆK, ˆF ]i . Zad. 8)
Korzystaj¸ac z zasady nieoznaczono´sci Heisenberga obliczy´c (w metrach) nieoz- naczono´s´c po lo˙zenia pszczo ly wa˙z¸acej 0.68 g i poruszaj¸acej si¸e z pr¸edko´sci¸a 0.85 m/s. Za lo˙zy´c, ˙ze nieoznaczono´s´c pr¸edko´sci wynosi 0.1 m/s.
Masa atomu wodoru wynosi 1.008 u a ´srednia pr¸edko´s´c w temp. 25oC jest 1.36×103m/s. Jaka jest nieoznaczono´s´c (w metrach) po lo˙zenia atomu wodoru, je´sli nieoznaczono´s´c pr¸edko´sci wynosi 1%?
Quantum Mechanics Class
Section No 2 Problem 1) Infinite well potential.
Consider a quantum particle of mass m moving in one dimensional system between two unpenetrable walls localized at points x = 0 i x = d. No other force exerts on the particle; therefore the Hamiltonian takes the following form:
Hf (x) := −ˆ h¯2 2m
d2 dx2f (x) ,
where f satisfies appropriated boundary conditions at x = 0 and x = d.
a) Find out the energetic spectrum of the particle, i.e. find out the eigenval- ues of the Hamiltonian ˆH.
b) Analyze how the energies depend on d.
c) Find the functions ψi, i = 1 , 2 , ... which state eigenfunctions of the Hamil- tonian and normalized them.
d) Let ψ1 denote the ground state, i.e. the state of the lowest energy, and let ψ2 be the first excited state. Consider
ψ = ψ1+ ψ2. (2)
Normalize ψ.
e) Assume that the system is determined at time t = 0 by ψ defined by (2) (after normalization). Find the state of system at time t > 0.
f) Find the mean value h ˆXiψi and variancy ∆ ˆXψi for i = 1 , 2.
Problem 2) A typical diameter of the nucleus is about 10−14m. Use the infinite square-well potential to calculate the transition energy from the first excited state to the ground state for a proton confined to the nucleus. Of course, this is only a rough calculation for a proton in a nucleus.
Problem 3)∗
Let hx, yi denote the scalar product in the linear space X and ||x||2 = hx, xi.
Show that a)
|hx, yi ≤ ||x|| ||y||
- Schwarz inequality);
b)
||x + y||2+ ||x − y||2 = 2(||x||2+ ||y||2) - rectangular principle;
c)
hx, yi = 0 ⇔ ||x + y||2 = ||x||2+ ||y||2 - Pitagoras theorem,
d)
kxk + kyk ≥ kx + yk - triangle inequality.
Problem 4)∗ Show that, if ˆU is a unitary operator then a) the eigenvalues of ˆU are complex numbers with modulus 1;
b) operators ˆA and ˆAU = ˆU ˆA ˆU+ have the same eigenvalues;
c) if the operator ˆA is self-adjoint then ˆAU = ˆU ˆA ˆU+ is self-adjoint as well.
Problem 5) Consider the operator representing momentum and position ˆ
pf (x) = −i¯hdf (x)
dx , xf (x) = xf (x) ,ˆ in the space L2(R). Find out commutator
[ˆp, ˆx] = −i¯h, and
[ˆp, ˆx2] .
Problem 6) Assume that that the distribution of the probability of local- ization (position) of a particle is described by the function
f (x) = 21/2
σ1/2π1/4 exp −x2 2σ2
!
.
Find the expectation values hˆxi i hˆpi and the standard deviations ∆ˆx, ∆ˆp in this state.
Problem 7)∗ Prove the uncertainty principle for physical quantities repre- sented by non-commutating operators ˆK oraz ˆF , i.e. show poka´c, ˙ze
∆ ˆK ∆ ˆF ≥ 1 2
h[ ˆK, ˆF ]i .
Problem 8 )
Use the Heisenberg uncertainty principle from the previous problem to calcu- late the uncertainty (in meters) in the position of a honeybee weighing 0.68 g and traveling at a velocity of 0.85 m/s. Assume that the uncertainty in the velocity is 0.1 m/s.
The mass of a helium atom is 1.008 u and its average velocity at 25oC is 1.36 × 103m/s. What is the uncertainty (in meters) in the position of a helium atom if the uncertainty in its velocity is 1%?