• Nie Znaleziono Wyników

znajd´z warto´sci w lasne ˆH

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "znajd´z warto´sci w lasne ˆH"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Zielona G´ora, ... 2018 r.,

MECHANIKA KWANTOWA Fizyka — III rok

CWICZENIA´ Zadania - lista No 2 Zad. 1) Niesko´nczona studnia potencja lu.

Rozwa˙zmy cz¸astk¸e kwantow¸a o masie m poruszaj¸ac¸a si¸e w jednowymiarowym uk ladzie pomi¸edzy nieprzenikalnymi ´sciankami ustawionymi w punktach x = 0 i x = d. ˙Zadna si la nie dzia la cz¸astk¸e; Hamiltonian uk ladu ma posta´c:

Hf (x) := −ˆ h¯2 2m

d2 dx2f (x) ,

gdzie f spe lnia odpowiednie warunki brzegowe w punktach x = 0 i x = d:

f (0) = f (d) = 0

a) Znajd´z spektrum energetyczne cz¸astki, tj. znajd´z warto´sci w lasne ˆH.

b) Przeanalizuj jak energie zale˙z¸a od d.

c) Znajd´z funkcje ψi, i = 1 , 2 , ... kt´ore reprezentuj¸a stany w lasne hamiltoni- anu; znormalizuj je.

d) Niech ψ1 oznacza stan podstawowy, tj. stan odpowiadaj¸acy najni˙zszej energii, niech ψ2 b¸edzie pierwszym stanem wzbudzonym. Rozwa˙zmy

ψ = ψ1+ ψ2. (1)

Znormalizuj ψ.

e) Za l´o˙zmy , ˙ze w czasie t = 0 uk lad zdefiniowany jest przez ψ (2) (po normalizacji). Zanjd´z stan uk ladu w t > 0.

f) Znajd´z warto´s´c ´sredni¸a h ˆXiψi i wariancj¸e ∆ ˆXψi for i = 1 , 2.

Zad. 2) Typowa ´srednica j¸adra wynosi oko lo 10−14m. Wykorzystuj¸ac model niesko´nczone studni potencja lu obliczy´c energi¸e przej´scia z pierwszego stanu wzbudzonego do stanu podstawowego dla protonu uwi¸ezionego w j¸adrze.

Oczywi´scie jest to przybli˙zenie dla protonu w j¸adrze.

Zad. 3)

Niech hx, yi oznacza iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej X , przy czym

(2)

||x||2 = hx, xi. Pokaza´c, ˙ze a)

|hx, yi| ≤ ||x|| ||y||

- nier´owno´s´c Schwarza);

b)

||x + y||2+ ||x − y||2 = 2(||x||2+ ||y||2) - prawo r´ownoleg loboku;

c)

hx, yi = 0 ⇔ ||x + y||2 = ||x||2+ ||y||2 - twierdzenie Pitagorasa,

d)

kx + yk ≤ kxk + kyk - nier´owno´s´c tr´ojk¸ata.

Zad. 4)

Pokaza´c, ˙ze je´sli ˆU jest operatorem unitarnym, to

a) warto´sci w lasne operatora ˆU s¸a liczbami zespolonymi o module 1;

b) operatory ˆA oraz ˆAU = ˆU ˆA ˆU+ maj¸a takie same warto´sci w lasne;

c) je´sli operator ˆA jest operatorem samosprz¸e˙zonym to r´ownie˙z operator AˆU = ˆU ˆA ˆU+ jest operatorem samosprz¸e˙zonym.

zad. 5)

Rozwa˙zmy operatory reprezentuj¸ace p¸ed i po lo˙zenie ˆ

pf (x) = −i¯hdf (x)

dx , xf (x) = xf (x) ,ˆ w przestrzeni L2(R). Znale´z´c komutator operator´ow

[ˆp, ˆx] = −i¯h, oraz

[ˆp, ˆx2] . zad. 6)

Za l´o˙zmy, ˙ze rozk lad prawdopodobie´nstwa po lo˙zenia cz¸astki opisany jest funkcj¸a:

f (x) = 21/2

σ1/2π1/4 exp −x22

!

.

(3)

Znale´z´c warto´sci ´srednie h ˆXi i h ˆP i oraz odchylenia standardowe ∆ ˆX, ∆ ˆP w tym stanie.

Zad. 7)

Wyprowadzi´c zasad¸e nieoznaczono´sci dla wielko´sci fizycznych, kt´orym odpo- wiadaj¸a nieprzemienne operatory ˆK oraz ˆF , czyli poka´c, ˙ze

∆ ˆK ∆ ˆF ≥ 1 2

h[ ˆK, ˆF ]i . Zad. 8)

Korzystaj¸ac z zasady nieoznaczono´sci Heisenberga obliczy´c (w metrach) nieoz- naczono´s´c po lo˙zenia pszczo ly wa˙z¸acej 0.68 g i poruszaj¸acej si¸e z pr¸edko´sci¸a 0.85 m/s. Za lo˙zy´c, ˙ze nieoznaczono´s´c pr¸edko´sci wynosi 0.1 m/s.

Masa atomu wodoru wynosi 1.008 u a ´srednia pr¸edko´s´c w temp. 25oC jest 1.36×103m/s. Jaka jest nieoznaczono´s´c (w metrach) po lo˙zenia atomu wodoru, je´sli nieoznaczono´s´c pr¸edko´sci wynosi 1%?

(4)

Quantum Mechanics Class

Section No 2 Problem 1) Infinite well potential.

Consider a quantum particle of mass m moving in one dimensional system between two unpenetrable walls localized at points x = 0 i x = d. No other force exerts on the particle; therefore the Hamiltonian takes the following form:

Hf (x) := −ˆ h¯2 2m

d2 dx2f (x) ,

where f satisfies appropriated boundary conditions at x = 0 and x = d.

a) Find out the energetic spectrum of the particle, i.e. find out the eigenval- ues of the Hamiltonian ˆH.

b) Analyze how the energies depend on d.

c) Find the functions ψi, i = 1 , 2 , ... which state eigenfunctions of the Hamil- tonian and normalized them.

d) Let ψ1 denote the ground state, i.e. the state of the lowest energy, and let ψ2 be the first excited state. Consider

ψ = ψ1+ ψ2. (2)

Normalize ψ.

e) Assume that the system is determined at time t = 0 by ψ defined by (2) (after normalization). Find the state of system at time t > 0.

f) Find the mean value h ˆXiψi and variancy ∆ ˆXψi for i = 1 , 2.

Problem 2) A typical diameter of the nucleus is about 10−14m. Use the infinite square-well potential to calculate the transition energy from the first excited state to the ground state for a proton confined to the nucleus. Of course, this is only a rough calculation for a proton in a nucleus.

Problem 3)

Let hx, yi denote the scalar product in the linear space X and ||x||2 = hx, xi.

Show that a)

|hx, yi ≤ ||x|| ||y||

(5)

- Schwarz inequality);

b)

||x + y||2+ ||x − y||2 = 2(||x||2+ ||y||2) - rectangular principle;

c)

hx, yi = 0 ⇔ ||x + y||2 = ||x||2+ ||y||2 - Pitagoras theorem,

d)

kxk + kyk ≥ kx + yk - triangle inequality.

Problem 4) Show that, if ˆU is a unitary operator then a) the eigenvalues of ˆU are complex numbers with modulus 1;

b) operators ˆA and ˆAU = ˆU ˆA ˆU+ have the same eigenvalues;

c) if the operator ˆA is self-adjoint then ˆAU = ˆU ˆA ˆU+ is self-adjoint as well.

Problem 5) Consider the operator representing momentum and position ˆ

pf (x) = −i¯hdf (x)

dx , xf (x) = xf (x) ,ˆ in the space L2(R). Find out commutator

[ˆp, ˆx] = −i¯h, and

[ˆp, ˆx2] .

Problem 6) Assume that that the distribution of the probability of local- ization (position) of a particle is described by the function

f (x) = 21/2

σ1/2π1/4 exp −x22

!

.

Find the expectation values hˆxi i hˆpi and the standard deviations ∆ˆx, ∆ˆp in this state.

Problem 7) Prove the uncertainty principle for physical quantities repre- sented by non-commutating operators ˆK oraz ˆF , i.e. show poka´c, ˙ze

∆ ˆK ∆ ˆF ≥ 1 2

h[ ˆK, ˆF ]i .

(6)

Problem 8 )

Use the Heisenberg uncertainty principle from the previous problem to calcu- late the uncertainty (in meters) in the position of a honeybee weighing 0.68 g and traveling at a velocity of 0.85 m/s. Assume that the uncertainty in the velocity is 0.1 m/s.

The mass of a helium atom is 1.008 u and its average velocity at 25oC is 1.36 × 103m/s. What is the uncertainty (in meters) in the position of a helium atom if the uncertainty in its velocity is 1%?

Cytaty

Powiązane dokumenty

I Diabatic wind profiles, turbulence and their influence on wind turbine loads 7 2 Offshore wind profiles 9 3 Influence of diabatic wind profiles on wind turbine loads 25 4

Na tegorocznej konferencji podjęto interdyscyplinarną refleksję nad za- gadnieniami związanymi z nauką o informacji, omówiono zachodzące przemiany w kontekście

The fact that the influence of uncertainties of SWAN input is small compared to uncertainties of model parameters shows that uncertainties of current magnitude, tilt angle,

Early research found that individuals with ASD enjoy the visual type of humour found in slapstick comedy and the less complex language found in simple jokes (Ricks, Wing, 1975)..

public task performs it for the benefit of the general public, that such performance is permanent and uninterrupted, and that any interruption to it requires the consent of

The Van Zuylen-Viti models of the expectation value and the standard deviation of the overflow queue length are shown to give statistically the same results as the Markov model

В польском языке немногочисленные аудиаль- ные метафоры распространены в группе 'мочеиспускание': spuścić płyn (букв. слить

At Matagorda Peninsula, IG waves dominated the backshore (sea-side) wave field for the duration of Phase II—that is, the time period wherein the bed was deemed fully saturated from