Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x tan x

Analiza Matematyczna Egzamin Poprawkowy

Zestaw M1 Zadanie 1

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x tan x

w punkcie ( ^π ₄ , ^π ₄ ).

Rozwi¸ azanie

Równanie prostej - stycznej w punkcie p

y = f ⁰ (p)(x − p) + f (p) Obliczamy dla p = ^π ₄ :

f ( π 4 ) = π

4 , f ⁰ (p) = tan p + x

cos ² (p) , f ⁰ ( π

4 ) = tan π

4 + π/4

cos ² π/4 = 1 + π/4

2/4 = 1 + π 2 Równanie stycznej

y = (1 + π

2 )(x − π 4 ) + π

4 ↔ y = (1 + π

2 )x − π ² 8

Zadanie 2

Stosuj¸ ac wzór Maclaurina, prosz¸e obliczyć wartość e

z dokładności¸ a 10 ⁻³ . Rozwi¸ azanie

Przypomnijmy wzór Maclaurina z reszt¸ a rz¸edu n dla funkcji f (x) = e ^x . e ^x = 1 + x + x ²

2 + x ³

6 + . . . + x ⁿ⁻¹

(n − 1)! + x ⁿ n! e ^c gdzie c ∈ (0, x).

St¸ ad

e ^x − (1 + x + x ² 2 + x ³

6 + . . . + x ⁿ⁻¹ (n − 1)! )

=    

e ^c x ⁿ n!

1

Podstawiaj¸ ac w reszcie x = ¹ ₄ , otrzymujemy nast¸epuj¸ ac¸ a nierówność na ilość składników rozwini¸ecia n.

e ^c 1

n!4 ⁿ < 2

n!4 ⁿ ≤ 10 ⁻³ ↔ n!4 ⁿ ≥ 2000 ↔ n ≥ 4 Mamy wi¸ec

e

≈ 1 + 1 4 + 1

32 + 1

384 = 1.2839

Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć

Z 3x + 1 x ² + 2x − 3 dx

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że trójmian kwadratowy t(x) mianownika funkcji wymiernej ma wyróżnik

∆ = 16 > 0, możemy przedstawić go w postaci iloczynowej t(x) = 1 · (x + 3)(x − 1) Funkcj¸e podcałkow¸ a zapiszemy w postaci sumy ułamków prostych

3x + 1

(x + 3)(x − 1) = A

x + 3 + B x − 1

Z tego rozkładu wyznaczamy liczby A i B : A = 2, B = 1 (prosz¸e sprawdzić!) St¸ ad

Z 3x + 1

x ² + 2x − 3 dx =

Z 2

x + 3 dx+

Z 1

x − 1 dx = 2ln|x+3|+ln|x−1|+C = ln (x + 3) ² |(x − 1)|+C

Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć

lim _x→0 e ^6x − e ^−x sin x Rozwi¸ azanie

Jest to wyrażenie typu ⁰ ₀ . Zastosujemy wi¸ec twierdzenie markiza

2

de L’Hospitala .

x→0 lim

e ^6x − e ^−x

sin x = H = lim

x→0

6e ^6x + e ^−x

cos x = 6 + 1 1 = 7

Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć obj¸etość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Oy oszaru określo- nego nierównościami

0 ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √

1 + 2x ² .

Rozwi¸ azanie

Skorzystamy ze wzoru na obj¸etość bryły obrotowej, powstałej przez obrót dookoła osi Oy obszaru zawartego mi¸edzy wykresem funkcji g(y) a osi¸ a Oy dla y ∈ [c, d].

|V (c, d) = Z d

c

π[g(y)] ² dy

W tym celu znajdziemy najpierw funkcj¸e odwrotn¸ a funkcji f (x) = √

1 + 2x ² . Mamy g(y) =

q y

−1

2 ( ze wzgl¸edu na jednoznaczność uwzgl¸edniliśmy ”dodatni¸ a cz¸eść wykresu ”. Prosz¸e sprawdzić.

Z układu równań





 0 =

q y

−1 2

2 =

q y

−1 2

wyznaczamy przedział [c, d] = [1, 3] (dla tej cz¸eści wykresu).

St¸ ad obj¸etość bryły

|V (1, 3)| = Z 3

1

π

"r y ² − 1

2

# 2

dy = π  y ³ 6 | ³ ₁ − y

2 | ³ ₁



= 10 3 π

Zadanie 6

Prosz¸e obliczyć

n→∞ lim

 n + 2 n − 1

 n+2

3

Rozwi¸ azanie

Wykorzystamy definicj¸e ci¸ agow¸ a funkcji wykładniczej exp(x).

n→∞ lim

 1 + x

n

 n

= exp(x) = e ^x

Mamy

n→∞ lim

 n + 2 n − 1

 n+2

= lim

n→∞



1 + 3 n − 1

 n−1

· lim

n→∞



1 + 3 n − 1

 3

= e ³ · 1 = e ³

4